1 |

S t r o n a

7. Okres zwrotu nakładów

Okres zwrotu nakładów związanych z określonym przedsięwzięciem inwestycyjnym
oznacza czas, jaki jest niezbędny do wyrównania (zwrotu) przez wpływy poniesionych
wydatków. Krótszy okres zwrotu oznacza wcześniejsze odzyskanie zamrożonych środków
finansowych, natomiast długi okres zwrotu jest dla firmy niekorzystny, gdyż wiąże się z
ryzykiem i niepewnością.
Okres zwrotu nakładów inwestycyjnych (O

z

) określa następujący wzór:



=







(1)

N - łączna suma nakładów w zł;



 - średnioroczne wpływy pieniężne (w zł/rok)

8. Okresy zwrotu nakładów dla niejednakowych wpływów



= +

 −





−



∙  ę

O

z

- okres zwrotu nakładów inwestycyjnych

R - ostatni rok, w którym nie zwracają się jeszcze poniesione nakłady

N - wartość nakładu inwestycyjnego

W

1

- skumulowane wpływy w roku, w którym nie zwracają się jeszcze poniesione

nakłady

W

2

- skumulowane wpływy w roku, w którym zwracają się poniesione nakłady

Przykład (okres zwrotu nakładów)

Firma rozważa jeden z dwóch projektów inwestycyjnych, dla których wartość nakładów
wynosi 100 zł, a oczekiwane wpływy przedstawia tablica:

Rok

Projekt A

Projekt B

Wpływy pieniężne

Wpływy

Bieżące

Skumulowane

1

20

20

40

2

70

90

40

3

40

130

40

4

60

190

40

5

30

220

40

220

200

Projekt A:





=  +

 − 

  −  =  + , " = , " =  + , " ∙ ę =

=  + ą

Projekt B:



$

=





 =



% = , " =  + , " ∙ ę =  + &ę

Firma powinna wybrać projekt inwestycyjny A, gdyż okres zwrotu z inwestycji jest krótszy.
9. KSIEGOWA STOPA ZWROTU:

Księgowa stopa zwrotu (ARR) zwana również stopą zwrotu z inwestycji (ROI) wyraża
procentowy stosunek przeciętnego - założonego w okresie rozpatrywania projektu -zysku
netto do wielkości nakładów początkowych. W sposób ogólny księgową stopę zwrotu
można przedstawić następująco:

 =



'



∙ %

(2)

Z

n

- roczny zysk netto osiągany w trakcie funkcjonowania przedsięwzięcia

N - wartość kapitału służącego sfinansowaniu początkowych nakładów inwestycyjnych

2 |

S t r o n a

Można wyróżnić kilka odmian księgowej stopy zwrotu.

Bazując na wielkościach rocznych: ARR

I

i ARR

II

:



)

=



'

+

 % * + 

)

=



'



,

% *%+

Bazując na wielkościach przeciętnych: ARR

III

i ARR

IV



)))

=

-

'

 % *"+ 

)

=

-

'





% *&+

Z

n

- roczny zysk netto

-

'

- średnioroczny zysk netto obliczony z całego okresu funkcjonowania danego

przedsięwzięcia

N - zaangażowany kapitał (nakład) całkowity
N

w

- wielkość zaangażowanego kapitału własnego (zakładowego)

O - roczne odsetki od kredytu

Formuły (3) i (4) wymagają wybrania reprezentatywnego roku w okresie trwania
projektu

Formuły (5) i (6) bazują na warto ciach średnich

W przypadku wielu projektów wybieramy projekt o największej stopie zwrotu.

W przypadku pojedynczego projektu porównujemy wartość obliczonej stopy zwrotu ze
stopą graniczną (określoną na podstawie rynkowej stopy procentowej)







Przykład (księgowa stopa zwrotu)

Firma rozważa projekt inwestycyjny o nakładach 50 tys. zł, z czego 30 tys. zł będzie
finansowana z kredytów bankowych. Przewidywane koszty i zyski przedstawia tablica.
Określona przez inwestora graniczna stopa zwrotu wynosi 16%.

rok

1

2

3

4

koszty całkowite:
w tym odsetki od kredytu

12 800

4 400

11 000

2 000

10 500

1 000

12 000

600

Zysk brutto

14 000

16 000

20 000

10 000

Zysk netto

8 400

9 600

12 000

6 000

.//

0

=

1

2

+ 3

4 100% =

9600 + 2000

50000

100% = 23,2%

.//

00

=

1

2

4

<

100% =

9600

20000 100% = 48%

.//

000

=

1̅

2

4 100% =

1

4 *8400 + 9600 + 12000 + 6000+

50000

100% = 18%

Projekt jest opłacalny dla inwestora.

10. METODY ANALIZY PROGÓW RENTOWNOŚCI I WRAŻLIWOŚCI

PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH
Próg rentowności jest to punktem wyrównywania, w którym realizowane przychody ze
sprzedaży dokładnie pokrywają poniesione koszty.
Analiza progu rentowności projektów inwestycyjnych powinna być stosowana we
wstępnej fazie ich oceny. Próg rentowności może być wyrażony ilościowo lub
wartościowo.
Ilościowy próg rentowności oznacza taką liczbę sprzedanych produktów, przy której
przychody ze sprzedaży zrównują się z poniesionymi na ich wytworzenie kosztami.
Wartościowy próg rentowności oznacza taki poziom przychodów ze sprzedaży, który
pokrywa wszystkie koszty produkcji.

3 |

S t r o n a

Całkowite przychody (P) są równe iloczynowi ceny (c) sprzedaży wyrobu i liczby (x)
sprzedanych jednostek, czyli:

@ =  ∙ A *B+

Równanie całkowitych kosztów produkcji (K) przyjmuje natomiast następującą postać:

C = C



∙ A + C



*D+

K

z

– jednostkowe koszty zmienne produkcji

K

s

– koszty stałe

11. Ilościowy próg rentowności

Ilościowy próg rentowności pokazuje ile sztuk produktu mamy sprzedać, aby pokryć
koszty stałe.
Próg rentowności znajduje się w punkcie, w którym P = K (wielkość produkcji pokryje
poniesione koszty), tzn.:

 ∙ A = C



∙ A + C



*+

Stąd ilościowy próg rentowności wynosi:

x jest ilościowym progiem rentowności produkcji wyrobu (krytycznym punktem
produkcji)

12. Wartościowy próg rentowności

→

Wartościowy próg rentowości wskazuje jaka wartość sprzedaży pokrywa nasze koszty

stałe

→

Próg rentowności w ujęciu wartościowym można wyznaczyć mnożąc próg

rentowności w ujęciu ilościowym przez cenę jednostkową

@



= A = $E@ =

C



 − C



*+

@

,

= @



∙  =

C



 − C



4 |

S t r o n a

13. Próg rentowności w produkcji wieloasortymentowej

Próg rentowności przy produkcji wieloasortymentowej przedsiębiorstwo osiągnie wtedy,
gdy suma kosztów stałych i kosztów zmiennych poszczególnych produktów będzie
równa sumie przychodów ze sprzedaży wszystkich asortymentów,





i – numer asortymentu
c

i

– cena i-tego asortymentu

C



- jednostkowe koszty zmienne produkcji i-tego asortymentu

F



– udział procentowy poszczególnych asortymentów w rozmiarach produkcji

C



- koszty stałe

14. METODY ANALIZY PROGÓW RENTOWNOŚCI I WRAŻLIWOŚCI

PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH
Różnica pomiędzy całkowitymi przychodami (P) i całkowitymi kosztami (K) określona 1
jest mianem zysku operacyjnego (Z-D), tzn.



G

= @ − C *+

Wykorzystując zależności

@ =  ∙ A i C = C



∙ A + C



, relację 11 można przedstawić w

postaci:



G

=  ∙ A − *C



∙ A + C



+ *+

Lub



G

= * − C



+ ∙ A + C



* +

Różnica

 − C



, oznacza marżę brutto (marżę pokrycia na poziomie jednostkowym)

jaką można uzyskać na każdym sprzedanym produkcie.
Próg rentowności produkcji może być zastosowany do ustalenia stopnia wykorzystania
zdolności produkcyjnej lub stopnia zaspokojenia przewidywanego popytu w punkcie
BEP.

A



=

$E@

A



% *%+

x

m

- zdolność produkcyjna (lub poziom zaspokojenia przewidywanego popytu) w

jednostkach fizycznych

x - punkt krytyczny produkcji (próg rentowności BEP)
x

z

– stopień wykorzystania zdolności produkcyjnych

Graniczny poziom jednostkowej ceny sprzedaży jest to taki poziom, przy którym

sprzedając zakładaną ilość produktów nie osiągamy zysku i nie poniesiemy strat.



'

= C



+

C



AI *"+

c

min

- graniczny poziom jednostkowej ceny sprzedaży

JK - zakładana wielkość sprzedaży

K

z

- jednostkowy koszt zmienny

K

s

— koszt stały

Graniczny poziom jednostkowy kosztów zmiennych określa równanie:

C



A

=  −

C



AI *&+

C



A

- graniczny poziom jednostkowych kosztów zmiennych

W analizowanym projekcie inwestycyjnym można wyznaczyć tzw. margines

(strefę) bezpieczeństwa (MS).

L =

M

N

∑ *P

Q

− M

RQ

+S

Q

2

QTU

5 |

S t r o n a

Margines bezpieczeństwa projektu inwestycyjnego

stanowi różnicę między planowanym

poziomem produkcji, odpowiadającym poziomowi zdolności produkcyjnej (lub
poziomowi zaspokojenia przewidywanego popytu), a poziomem produkcji określonym
przez próg rentowności. Margines bezpieczeństwa musi być rozpatrywany ze względu na
jednostkowe ceny sprzedaży i jednostkowe koszty zmienne.

15. MARGINES BEZPIECZEŃSTWA

Margines bezpieczeństwa informuje o ile może ulec zmniejszenie planowanych
dochodów ze sprzedaży pod wpływem czynników zewnętrznych tj. zakłóceń na rynkach
zbytu, zmniejszania zamówień, zaostrzenia warunków technicznych, ograniczenia dostaw
materiałów i surowców produkcyjnych.

→

im większy margines bezpieczeństwa tym mniejsze ryzyko działania

przedsiębiorstwa i mniejsza perspektywa produkcji przynoszącej straty finansowe

→

wysoki margines bezpieczeństwa gwarantuje przedsiębiorstwu stabilność

działania, ponieważ zaistniałe zakłócenia na rynku nie powodują negatywnych
skutków w postaci utraty rentowności

Margines bezpieczeństwa informuje o ile maksymalnie możemy zmniejszyć przychód
ze sprzedaży, aby przedsiębiorstwo nie poniosło strat.

W kategorii jednostkowej ceny sprzedaży margines bezpieczeństwa określa

następująca relacja:

V



=

 − 

'



% *B+

c - jednostkowa cena sprzedaży
c

min

— graniczny poziom jednostkowej ceny sprzedaży

W kategorii poziomu jednostkowego kosztu zmiennego produkcji (MS), przedstawia

równanie:

V

C



=

C



A

− C



C



% *D+

C



A

- graniczny poziom jednostkowych kosztów zmiennych

C



- jednostkowy koszt zmienny

Margines bezpieczeństwa (MS)

→

MS < 0 inwestycja przynosi straty

→

MS = PR pokryte koszty, brak zysku

→

0,5 < MS < l zysk inwestycji

16. Dynamiczne metody oceny projektów inwestycyjnych

Metody dynamiczne (metody dyskontowe), w przeciwieństwie do statycznych,
uwzględniają zmianę wartości pieniądza w czasie. Pozwalają na sprowadzenie do
porównywalności nakłady i efekty realizowane w różnych okresach czasu.
Wśród najczęściej stosowanych metod dyskontowych możemy wyróżnić:

→

1. NPV - Net Present Value – wartość zaktualizowana netto

→

2. IRR - Internal Rate of Return - wewnętrzna stopa zwrotu

→

3. MIRR - Modified Rate of Return - zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu

→

4. Pi - Profitability Index – wskaźnik rentowności.

17. NPV - Net Present Value - wartość zaktualizowana netto

NPV jest to wartość otrzymana poprzez zdyskontowanie oddzielnie dla każdego roku
przepływów pieniężnych przez cały okres trwania projektu, przy określonym poziomie
stopy dyskontowej (procentowej). Stopa procentowa odzwierciedla graniczną
rentowność projektu.

6 |

S t r o n a

@W = X





* + Y+



'

T

Gdzie:

NPV - wartość zaktualizowana netto
NCF

t

- przepływ pieniężny netto w kolejnych latach okresu obliczeniowego; różnica

między wpływami (przychodami) a wypływami (rozchodami)

r- poziom stopy dyskontowej



*Z[+

\

- współczynnik dyskontujący dla kolejnych lat okresu obliczeniowego

t= 0,1,...,n - kolejne lata okresu obliczeniowego

Gdy:

NPV > 0 - inwestycja opłacalna

NPV < 0 - inwestycja nieopłacalna.

Jeśli nakłady inwestycyjne są ponoszone w kolejnych latach okresu obliczeniowego
to NPV obliczamy ze wzoru:

@W = X





* + Y+



'

T

− X





* + Y+



'

T





- przepływy pieniężne netto w kolejnych latach okresu obliczeniowego( bez

nakładów)





- nakłady inwestycyjne w kolejnych latach okresu obliczeniowego.

Jeśli nakłady inwestycyjne są ponoszone w roku t=0 to NPV obliczamy ze wzoru

@W = X





* + Y+



'

T

− 

CF

t

- przepływy pieniężne netto w kolejnych latach okresu obliczeniowego (bez

nakładów)

N - globalne nakłady inwestycyjne

Wykorzystanie metody NPV dla oceny projektów inwestycyjnych wymaga ustalenia

kosztów użycia kapitału (w metodzie tej koszt użycia kapitału jest równy stopie
dyskontowej).

Na wysokość kosztu użycia kapitału wpływają m.in.:

 źródła finansowania przedsięwzięcia
 oprocentowanie kredytu
 wysokość podatku dochodowego
 rentowność osiągana przy alternatywnym lokowaniu środków
 ryzyko związane z inwestowaniem na danym rynku.

Y = C

]

,



+ C

,

,



; ,



+ ,



= 

Gdzie:

r - koszt użycia kapitału - stopa dyskontowa
K

b

- koszt użycia kredytów bankowych

K

w

- koszt użycia kapitałów własnych

w

1

- udział kredytów bankowych w ogólnych środkach finansowych przeznaczonych na

finansowanie inwestycji

w

2

- udział kapitału własnego w finansowaniu inwestycji.

C

]

= * − @

_

+

Gdzie

K

b

- koszt użycia kredytów bankowych

7 |

S t r o n a

i - bankowa stopa procentowa
P

d

– stopa podatku dochodowego



Przykład – NPV: Firma rozważa sposób inwestycji kwoty 120tys. zł na 4 lata. Projekt

przewiduje otrzymanie po kolejnych 12-miesiecznych okresach
odpowiednio 60tys. zł, 20tys. zł, 30tys. zł i 40tys. zł. Istnieje możliwość
alternatywnego ulokowania tych pieniędzy na 4-letniej lokacie bankowej
o stałym oprocentowaniu 10% płatnym na koniec każdego roku (roczne
kapitalizacja odsetek).

t

0

1

2

3

4

Suma

N

120 000

0

0

0

0

120 000

CF

t

0

60 000

20 000

30 000

40 000

1

*1 + r+

a

1

0,91

0,83

0,75

0,68



b

*1 + c+

b

0

54 600

16 600

22 500

27 200

120 900

@W = X





* + Y+



'

T

−  =   −   = 

Projekt jest opłacalny.

18. IRR - Internal Rate of Return - wewnętrzna stopa zwrotu

IRR to taka stopa zwrotu przy której NPV = 0 przy danym okresie trwania projektu i
znanych przepływach pieniężnych (IRR to stopa procentowa, przy której obecna wartość
strumieni wydatków jest równa obecnej wartości strumieni wpływów). Zakładamy, że
stopa reinwestycji jest równa wewnętrznej stopie zwrotu.

X





* + ) +



'

T

= 

Przybliżony wynik można otrzymać stosując metodę kolejnych iteracji (przybliżeń):
1. Ustalamy przepływy pieniężne netto w kolejnych latach realizacji i funkcjonowania
analizowanego przedsięwzięcia
2. Wybieramy dwie stopy procentowa - r

1

przy której NPV jest zbliżone do 0 ale dodatnie

i r

2

przy której NPV jest zbliżone do zera ale ujemne.

3. Stosujemy przybliżoną formułę interpelacji liniowej:

) = Y



+

@W*Y



− Y



+

@W + |W|

efghi

IRR - wewnętrzna stopa zwrotu
r

1

- poziom stopy procentowej przy której NPV > 0

r

2

- poziom stopy procentowej przy której NPV < 0

PV - poziom NPV obliczonej na podstawie r

1

NV - poziom NPV obliczonej na podstawie r

2

Im różnica między r

1

a r

2

jest mniejsza tym

ustalony na podstawie powyższego wzoru

wynik jest dokładniejszy.

Opłacalny jest projekt z najwyższą stopą zwrotu

lub wyższą od stopy granicznej.



Przykład – IRR (wewnętrzna stopa zwrotu)

Firma rozważa sposób inwestycji kwoty 120tys. zł na 4 lata. Projekt przewiduje
otrzymanie po kolejnych l2-miesięcznych okresach odpowiednio 60tys. zł, 20tys. zł, 30tys.
zł i 40tys. zł. Istnieje możliwość alternatywnego ulokowania tych pieniędzy na
4-letniej lokacie bankowej o stałym oprocentowaniu 10% płatnym na koniec każdego roku
(roczna kapitalizacja odsetek).

8 |

S t r o n a

rok

NCF

t

r=9%

r=10%

r=11%

r=12%

0

-120 000

-120 000

-120 000

-120 000

-120 000

1

60 000

55 200

54 600

54 000

53 400

2

20 000

16 800

16 600

16 200

16 000

3

30 000

23 100

22 500

21 900

21 300

4

40 000

28 400

27 200

26 400

25 600

NPV

3 500

900

-1 500

-3 700

) = Y



+

@W*Y



− Y



+

@W + |W| = ,  +

*,  − , +

 + " = ,  D = , D"%

Projekt jest opłacalny.

19. Zastosowanie IRR i NPV

W przypadku oceny pojedynczego projektu metody NPV i IRR dadzą ten sam efekt

W przypadku kilku projektów mogą dać inne rezultaty - wybiera się wówczas metodę

NPV(konstrukcja metody NPV opiera się na założeniu, że przepływy pieniężne będą
reinwestowane wg przyjętej stopy procentowej. W metodzie IRR zakładamy, że stopa
reinwestycji będzie równa właśnie obliczonej wewnętrznej stopie zwrotu)

Najczęściej inwestorzy orientują się w tempie pomnażania kapitału na rynku - więc

sami wybierają stopę dyskontową dla danego projektu.

Koszt kapitału jest znany

np. w postaci

oprocentowania kredytów

długoterminowych.

Koszt kapitału trudny do

ustalenia

Stopa dyskontowa

odzwierciedla rzeczywisty

koszt kapitału

Stosuje się NPV i IRR.
IRR odzwierciedla wówczas
rzeczywistą stopę zwrotu
zainwestowanego kapitału,
która jest tożsama z ceną
kapitału na rynku

Lepsza jest IRR.
Pozwala na ustalenie
najlepszych proporcji
między kapitałem własnym
a obcym, gdyż IRR
wyznacza maksymalną
nieprzekraczalną cenę
kapitału

Lepsza jest NPV.
Przedstawia aktualną
wartość efektu netto przez
cały okres inwestycji.

20. NIIRR - Modified Rate of Return -zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu

Stopa reinwestycji - stopa procentowa informujące o poziomie rentowności osiąganej z
tytułu bieżącego inwestowania osiąganych przez firmę dodatnich przepływów
pieniężnych. Jest ona zazwyczaj różna od IRR
MIRR to taka wartość stopy dyskontowej, która zrównuje zaktualizowaną wartość
końcową dodatnich przepływów pieniężnych z wartością bieżącą ujemnych przepływów
pieniężnych – stopa reinwestycji jest równa kosztowi kapitału.

X






* + Y+



'

T

= X

)



* + Y+

'j

* + V) +

'

'

T

Gdzie:

MIRR - wewnętrzna stopa zwrotu uwzględniająca przewidywana stopę reinwestycji
COF

t

- ujemne przepływy pieniężne w roku t

CIF

t

- dodatnie przepływy pieniężne w roku t

r - stopa dyskontowa stosowana przez inwestora - koszt kapitału
n - okres obliczeniowy będący sumą okresu ponoszenia nakładów (budowy) i okresu

osiągania dodatnich CF

9 |

S t r o n a

Po przekształceniach otrzymujemy wzór:

V) =

k∑ )



* + Y+

'j

'

T

'

l∑






* + Y+



'

T

'

− 

Gdy MlRR > r - projekt inwestycyjny przyjmuje się do realizacji.
W przypadku kilku projektów wybiera się ten, którego wartość MIRR jest największa.



Przykład – MIRR (Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu)

Firma rozważa sposób inwestycji kwoty 120tys. zł na 4 lata. Projekt przewiduje
otrzymanie po kolejnych l2-miesięcznych okresach odpowiednio 60tys. zł, 20tys. zł, 30tys.
zł i 40tys. zł. Graniczny koszt kapitału inwestora wynosi 10%. Oczekiwana rentowność
kapitału (koszt kapitału) wynosi 14%.

rok t

Wpływy CIF

t

Nakłady COF

t

CIF

t

(1+r)

n-t

n=4

r=0,14

3

b

*1 + c+

b

r=0,14

0

0

120 000

0

120 000

1

60 000

0

88 893

0

2

20 000

0

25 992

0

3

30 000

0

34 200

0

4

40 000

0

40 000

0

150 000

189085

189 085

120 000

V) =

k∑ )



* + Y+

'j

'

T

'

l∑






* + Y+



'

T

'

−  =

√D D"

%

√ 

%

−  = ,  = %

Projekt jest opłacalny.

21. PI - Profitability Index - wskaźnik rentowności = wskaźnik zyskowności

PI to wskaźnik stosowany gdy mamy dokonać wyboru jednego spośród kilku projektów
(dla których NPV>0) przy ograniczonych możliwościach finansowych.
PI - to iloraz sumy zdyskontowanych dodatnich przepływów pieniężnych do sumy
zdyskontowanych ujemnych przepływów.

@) =

∑

)



* + Y+



'

T

∑

)



* + Y+



'

T

Jeżeli:

PI > 1 - projekt inwestycyjny przyjmuje się do realizacji
W przypadku oceny kilku projektów wybieramy ten, dla którego PI jest największe.

22. Podejście probabilistyczne

,-



= X ,

n

o

n

śY_' ,YGś ,oł,ó, , sGn't t

s

nT

u



= vX*,

n

− ,-



+



o

n

s

nT

G_' '_Y_G, ,oł,ó, , sGn't t

Ś

rednia wartość NPV i odchylenie standardowe NPV

,-

@W

= X

,-



* + Y+



− 

'

T

10 |

S t r o n a

u



@W

= X w

u



* + Y+



x



'

T

u

@W

= ku

@W

Współczynnik zmienności NPV
W

@W

=

u

@W

,-

@W

W tej metodzie

średnia wartość NPV powinna być dodatnie

współczynnik zmienności NPV jak najmniejszy - im jest większy tym projekt

bardziej ryzykowny

W podejściu probabilistycznym wybieramy projekt z dodatnią średnią wartością NPV oraz
najmniejszym współczynnikiem zmienności odzwierciedlającym ryzyko projektu. Jeżeli
projekt jest jeden i jest bardzo ryzykowny można zaostrzyć kryterium NPV poprzez
podniesienie stopy dyskontowej.



Przykład – Podejście probabilistyczne

Wykorzystując podejście probabilistyczne, ocenić za pomocą kryterium NPV projekt
inwestycyjny wymagający nakładów inwestycyjnych w wysokości 5 000zł. Zakładana
stopa dyskontowa (bez uwzględnienia ryzyka) wynosi 10%, a rozkład wpływów wraz z
oszacowanymi przez ekspertów prawdopodobieństwami ich realizacji przedstawia się
następująco (projekt dotyczy dwuletniego przedsięwzięcia).

Rok

Wpływy w zł

(W

j

)

Prawdopodobieństwo realizacji

wpływów

(P

j

)

1

3.000
4.000
5.000

0,2
0,5
0,3

2

2.000
4.000
5.000

0,2
0,4
0,4

Rok t

(W

j

)

(P

j

)

y

z

{

z

*y

z

− y-

\

+



{

z

|

\

= vX*y

z

− y-

\

+



{

z

}

zT



* + [+

\

y-

\

* + [+

\

w

|

\

* + [+

\

x



1

3.000
4.000
5.000

0,2
0,5
0,3

600

2.000
1.500

242.000

5.000

243.000

suma

1

4.100

490.000

700

0,91

3731

405769

2

2.000
4.000
5.000

0,2
0,4
0,4

400

1.600
2.000

800.000

0

400.000

suma

1

4.000 1.200.000

1095,44

0,83

3320

826672,28

suma

7051

1232441,28

,-



= %

,-



= %

11 |

S t r o n a

u



= vX*,

n

− ,-



+



o

n

s

nT

= B

u



= vX*,

n

− ,-



+



o

n

s

nT

= ", %%

,-

@W

= X

,-



* + Y+



− 

'

T

= B" − " = "

u

@W

= ku

@W

= k %%, D = , "

W

@W

=

u

@W

,-

@W

=

, "

" = "%%

Ś

rednia wartość NPV jest dodatnia, współczynnik zmienności wynosi 54%, projekt jest

umiarkowanie ryzykowny. Można zaostrzyć kryterium NPV. Jeżeli nadal średnie NPV
będzie dodatnie projekt może zostać zaakceptowany.
Podnosząc stopę dyskontową do 12%

,-

@W

= X

,-



* + Y+



− 

'

T

=

%

* + , + +

%

* + , +



− " = &D% − "

u

@W

= ku

@W

= k"&, D = B", 

W

@W

=

u

@W

,-

@W

=

B", 

D% = "D%

Ś

rednia wartość NPV jest dodatnia. Projekt może być przyjęty do realizacji.