Funkcje dwóch zmiennych

Pojęcie funkcji dwóch zmiennych

Dany jest niepusty podzbiór D płaszczyzny Oxy.

Funkcję f, która każdemu punktowi

)

,

(

y

x

P



należącemu

do zbioru D przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę
rzeczywistą

)

,

(

y

x

f

z



nazywamy funkcją dwóch

zmiennych rzeczywistych x i y.

Przykład 1. Niech

3

)

,

(

2







xy

x

y

x

f

. Dziedziną funkcji

f jest cała płaszczyzna Oxy.

Wartość tej funkcji w punkcie

)

3

,

2

(



P

wynosi:

13

3

3

2

2

)

3

,

2

(

2











f

Przykład 2. Niech

x

y

y

x

f





1

)

,

(

. Dziedziną funkcji f jest

płaszczyzna Oxy z usuniętą prostą

x

y



.

Wartość tej funkcji w punkcie

)

4

,

1

(



P

wynosi:

3

1

1

4

1

)

4

,

1

(







f

.

Pochodne cząstkowe

Pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x
oznaczamy symbolem:

'

x

f

albo

x

f





i określamy wzorem:

h

y

x

f

y

h

x

f

y

x

f

h

x

)

,

(

)

,

(

lim

)

,

(

0

'









Pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej y
oznaczamy symbolem:

'

y

f

albo

y

f





i określamy wzorem:

h

y

x

f

h

y

x

f

y

x

f

h

y

)

,

(

)

,

(

lim

)

,

(

0

'









Obliczanie pochodnych cząstkowych wykonujemy
według tych samych reguł, co dla funkcji jednej zmiennej
z tym, że:

- obliczając

'

x

f

zmienną y uważamy za stałą,

- obliczając

'

y

f

zmienną x uważamy za stałą.

Przykład 3.

x

xy

y

x

y

x

f







2

3

2

3

5

)

,

(

.

1

3

10

1

1

3

2

5

)

,

(

2

3

2

3

'

















y

xy

y

x

y

y

x

f

x

xy

y

x

y

x

y

x

y

x

f

y

6

15

0

2

3

3

5

)

,

(

2

2

2

2

'















Przykład 4.

x

y

xe

y

x

f

y

ln

)

,

(





x

y

xe

x

y

e

x

y

e

y

x

f

y

y

y

x

















1

1

)

,

(

'

x

e

x

y

x

f

y

y

ln

)

,

(

'







Pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Są to pochodne cząstkowe obliczone z pochodnych
cząstkowych

'

x

f

i

'

y

f

.

Oznaczamy je symbolami:

''

''

''

''

,

,

,

yy

yx

xy

xx

f

f

f

f

albo:

2

2

2

2

2

2

,

,

,

y

f

yx

f

xy

f

x

f

















Pochodne:

''

''

,

yy

xx

f

f

nazywamy czystymi.

Pochodne:

''

''

,

yx

xy

f

f

nazywamy mieszanymi.

Przykład 5. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu

funkcji

3

5

3

4

)

,

(

x

y

x

y

x

y

x

f







Rozwiązanie. Obliczmy pochodne rzędu pierwszego:

2

4

3

3

2

4

3

3

'

3

5

4

3

5

4

)

,

(

x

y

x

y

x

x

x

y

x

y

y

x

f

x

















5

2

4

5

2

4

'

3

0

1

3

)

,

(

x

y

x

x

y

x

y

x

f

y















Teraz obliczamy pochodne rzędu drugiego:

x

y

x

y

x

x

x

y

x

y

y

x

f

xx

6

20

12

6

4

5

3

4

)

,

(

3

3

2

3

2

3

''

















4

2

3

4

2

3

''

5

12

0

1

5

3

4

)

,

(

x

y

x

x

y

x

y

x

f

xy















4

2

3

4

3

2

''

5

12

5

4

3

)

,

(

x

y

x

x

x

y

y

x

f

yx











y

x

y

x

y

x

f

yy

4

4

''

6

0

2

3

)

,

(









Zauważmy, że w powyższym przykładzie jest:

)

,

(

)

,

(

''

''

y

x

f

y

x

f

yx

xy



. Nie jest to przypadek. Pochodne

mieszane – jeśli istnieją – są sobie równe (twierdzenie
Schwarza).

Otoczenie punktu na płaszczyźnie Oxy Otoczeniem o
promieniu



punktu

)

,

(

0

0

y

x

na płaszczyźnie Oxy

nazywamy wnętrze koła o środku

)

,

(

0

0

y

x

i promieniu



.

Założenie. W dalszym ciągu będziemy zakładać, że
istnieją wszystkie pochodne cząstkowe rozważanej funkcji
w pewnym otoczeniu punktu

)

,

(

0

0

y

x

.

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

maksimum,

gdy istnieje otoczenie U punktu

)

,

(

0

0

y

x

zawarte w

dziedzinie funkcji f i takie, że dla każdego

U

y

x



)

,

(

jest:

)

,

(

)

,

(

0

0

y

x

f

y

x

f



Mówimy, że funkcja f ma w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

minimum,

gdy istnieje otoczenie U punktu

)

,

(

0

0

y

x

zawarte w

dziedzinie funkcji f i takie, że dla każdego

U

y

x



)

,

(

jest:

)

,

(

)

,

(

0

0

y

x

f

y

x

f



Warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch
zmiennych

Jeżeli funkcja f ma w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

ekstremum, to obie

pochodne cząstkowe

'

x

f

i

'

y

f

są w tym punkcie równe

zeru:

0

)

,

(

)

,

(

0

0

'

0

0

'





y

x

f

y

x

f

y

x

Punkt stacjonarny funkcji f jest to punkt, w którym obie
pochodne cząstkowe tej funkcji są równe zero.

Warunek dostateczny (wystarczający) ekstremum funkcji
dwóch zmiennych

Jeżeli

)

,

(

0

0

y

x

jest punktem stacjonarnym funkcji f i

wyrażenie

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

0

0

''

0

0

''

0

0

''

0

0

''

0

0

y

x

f

y

x

f

y

x

f

y

x

f

y

x

W

yy

yx

xy

xx



jest dodatnie, to funkcja f ma w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

ekstremum.

Gdy

0

)

,

(

0

0

''



y

x

f

xx

jest to maksimum, zaś gdy

0

)

,

(

0

0

''



y

x

f

xx

jest to minimum.

Warunek wykluczający ekstremum funkcji dwóch
zmiennych

Jeżeli

)

,

(

0

0

y

x

jest punktem stacjonarnym funkcji f i

wyrażenie

)

,

(

0

0

y

x

W

jest ujemne, to funkcja f nie ma w

punkcie

)

,

(

0

0

y

x

ekstremum.

Przykład 6. Wyznaczyć ekstrema funkcji

xy

y

x

y

x

f

3

)

,

(

3

3







Rozwiązanie. Dziedzina – cała płaszczyzna.

Obliczamy pochodne cząstkowe:

x

y

y

x

f

y

x

y

x

f

y

x

3

3

)

,

(

,

3

3

)

,

(

2

'

2

'









Punkty stacjonarne:

















0

3

3

0

3

3

2

2

x

y

y

x

, stąd

















0

0

2

2

x

y

y

x

Z pierwszego równania wyznaczamy:

2

x

y



i wstawiamy

do drugiego równania:

0

4





x

x

Stąd:

0

)

1

(

3





x

x

1

,

0

2

1





x

x

Zatem:

1

1

,

0

0

2

2

2

1









y

y

.

Są dwa punkty stacjonarne:

)

1

,

1

(

,

)

0

,

0

(

2

1





P

P

Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu drugiego:

y

y

x

f

y

x

f

y

x

f

x

y

x

f

yy

yx

xy

xx

6

)

,

(

,

3

)

,

(

)

,

(

,

6

)

,

(

''

''

''

''











Wyznacznik

9

36

6

3

3

6

)

,

(











xy

y

x

y

x

W

Badamy punkt

)

0

,

0

(

1



P

:

0

9

9

0

0

36

)

0

,

0

(















W

W punkcie

)

0

,

0

(

1



P

funkcja nie ma ekstremum.

Badamy punkt

)

1

,

1

(

2



P

:

0

27

9

1

1

36

)

1

,

1

(













W

W punkcie

)

1

,

1

(

2



P

funkcja ma ekstremum. Ponieważ

0

6

1

6

)

1

,

1

(

''









xx

f

więc jest to minimum.