4.5. Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Definicja

Otoczeniem punktu P

0

(x

0

, y

0

) na płaszczyźnie (oznaczenie ot.(P

0

, r) ) nazywamy wnętrze

koła o promieniu r i środku w P

0

, czyli: ot.(P

0

, r) = {(x, y)

∈

R

2

: (x - x

0

)

2

+ (y - y

0

)

2

< r

2

}.

Definicje

Dana jest funkcja z = f(x, y) ciągła w D

f

oraz, że pewne otoczenie punktu P

0

jest zawarte w

D

f

, czyli istnieje taki promień r, że ot.(P

0

, r)

⊂

⊂

⊂

⊂

D

f

.

a) Punkt P

0

(x

0

, y

0

) nazywamy punktem minimum lokalnego (miejscem minimum lub

krótko punktem minimum) funkcji z = f(x, y), jeśli istnieje takie jego otoczenie, że dla

każdego punktu P z tego otoczenia zachodzi f(P

0

)

≤

f(P), czyli f(x

0

, y

0

)

≤

f(x, y) dla

dowolnych x, y z tego otoczenia.

b) Punkt P

0

(x

0

, y

0

) nazywamy punktem maksimum lokalnego (miejscem maksimum)

funkcji z = f(x, y), jeśli istnieje takie jego otoczenie, że dla każdego punktu P z tego otoczenia

zachodzi f(P)

≤

f(P

0

), czyli f(x, y)

≤

f(x

0

, y

0

) dla dowolnych x, y z tego otoczenia (zob.

rysunek).

Uwaga

Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej nie należy mylić minimum lokalnego z

wartością najmniejszą, a także maksimum lokalnego z wartością największą funkcji w D

f

.

Twierdzenie

Funkcja f różniczkowalna w obszarze D może mieć ekstremum lokalne tylko w takim punkcie

P(x, y) tego obszaru, w którym równocześnie

'

x

f

(x, y) = 0 i

'

y

f

(x, y) = 0.

Algorytm

Funkcje, które wykorzystujemy w praktyce, określone jednym wzorem są ciągłe i mają

(co najmniej) pochodne cząstkowe rzędu drugiego. Wyznaczanie miejsca i wartości

ekstremum lokalnego (minimum lub maksimum) takich funkcji umożliwia algorytm:

1. Dana jest funkcja z = f(x, y) ciągła w obszarze D

f

.

2. Wyznaczamy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego

'

x

f

,

'

y

f

funkcji f.

3. Rozwiązujemy układ równań:

'

x

f

(x, y) =0 i

'

y

f

(x, y) = 0.

a) Jeśli układ jest sprzeczny, to funkcja f nie posiada ekstremów.

b) Gdy układ ma rozwiązania (x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

), …, (x

n

, y

n

), to oznacza, że żaden

punkt poza nimi nie może być miejscem ekstremum lokalnego, inaczej każdy z

tych punktów może być, ale nie musi być miejscem ekstremum lokalnego funkcji f.

4. Wyznaczamy pochodne cząstkowe rzędu drugiego

'

2

x

f

,

'

xy

f

,

'

yx

f

,

'

2

y

f

funkcji f.

5. Tworzymy wyznacznik W(x, y) =

'

'

'

'

2

2

y

yx

xy

x

f

f

f

f

.

6. Obliczamy wartość wyznacznika W dla każdego punktu:

(x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

), …, (x

n

, y

n

), czyli W(x

1

, y

1

), W(x

2

, y

2

), …, W(x

n

, y

n

).

7. Rozstrzygamy o istnieniu ekstremum lokalnego w każdym z punktów:

(x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

), …, (x

n

, y

n

).

a) jeżeli W(x, y) > 0 i

'

2

x

f

(x, y) < 0, to (x, y) jest miejscem maksimum lokalnego,

b) jeżeli W(x, y) > 0 i

'

2

x

f

(x, y) > 0, to (x, y) jest miejscem minimum lokalnego,

c) jeżeli W(x, y) < 0, to (x, y) nie jest miejscem ekstremum lokalnego,

d) jeżeli W(x, y) = 0, to do rozstrzygnięcie czy (x, y) jest (nie jest) miejscem

ekstremum lokalnego należy wykorzystać inną teorię.

8. Obliczamy wartość f(x, y) funkcji f w każdym punkcie ekstremum lokalnego.

Przykład

Wyznacz największą wartość iloczynu xyz trzech liczb dodatnich, których suma

x + y+ z = 12.

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że f(x, y) = xyz , gdzie x + y+ z = 12.

Definiujemy funkcję f wzorem f(x, y) = xy(12 – x – y) określoną dla x > 0 i y > 0, przy

czym ma być 12 – x – y > 0 .

Rozwiązanie zadania sprowadza się do wyznaczenia ekstremów lokalnych funkcji f

(miejsc tych ekstremów oraz ich wartości).

Postępujemy zgodnie z opisanym algorytmem:

2. Wyznaczamy pochodne

'

x

f

,

'

y

f

funkcji f.

Mamy

'

x

f

(x, y) = y(12 – 2x – y)

'

y

f

(x, y) = x(12 – x – 2y).

3. Rozwiązujemy układ równań:

y(12 – 2x – y) = 0 i x(12 – x – 2y) = 0.

Otrzymujemy rozwiązania: (0,0) (12, 0), (0,12), (4, 4).

Punkty (0, 0) (12, 0), (0,12) nie należą do dziedziny funkcji f. Jedynym punktem,

w którym funkcja f może mieć ekstremum jest P(4, 4).

4, 5, 6. Wyznaczamy wartość wyznacznika W(x, y) =

'

'

'

'

2

2

y

yx

xy

x

f

f

f

f

w punkcie (4, 4).

Mamy: W(4, 4) =

8

4

4

8

−

−

−

−

= 48.

7. Skoro

'

2

x

f

(4, 4 ) = -8 < 0 oraz W(4, 4) > 0, więc w punkcie P(4, 4) funkcja f ma

maksimum lokalne.

8. Wartość maksimum lokalnego wynosi f(4, 4) = 16(12 – 4 – 4) = 64.

Odpowiedź

Ostatecznie iloczyn liczb xyz jest największy i równy 64, gdy x = y = z = 4.

Zadania

1.

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:

a) z = x

2

– xy + y

2

– 2x + y ; b) z = x

3

+ y

2

– 6xy – 48x.

2.

Wyznacz wymiary otwartego pudełka prostopadłościennego o pojemności 64 cm

3

.

Uzupełnij rozumowanie:

Przyjmujemy, że wymiary pudełka wynoszą x, y, z.

Objętość V prostopadłościanu wynosi V = …..

Pole S powierzchni otwartego pudełka jest równe S = 2yz + ……

Definiujemy funkcję S = f(x,y) =

x

128

+ …….

Obliczamy pochodne:

'

x

S

= ……………….

'

y

S

= …………..

"

xx

S

= ……………

"

xy

S

= ……….

"

yy

S

= ……

Rozwiązujemy układ równań: ……………..

Wartości drugich pochodnych w punkcie ……….. wynoszą ……….

Obliczamy wartość wyznacznika: ………………

Interpretujemy otrzymane liczby: ……………

Odpowiedź: