Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

2. STOPA ZWROTU Z OBLIGACJI

Klasyczne miary stopy zwrotu:

1. Bieżąca stopa zwrotu

2. Stopa zwrotu w terminie do wykupu

3. Stopa zwrotu w terminie do wcześniejszego wykupu

Bieżąca stopa zwrotu

Bieżąca

Wartość rocznej płatności kuponowej

stopa zwrotu

aktualna cena rynkowa obligacji

Przykład 6.4

Obliczyć bieżącą stopę zwrotu obligacji o nominale N=1000zł,

kuponie r=23% oraz aktualnej cenie rynkowej 972 zł.:

%)

66

,

23

(

2366

,

0

972

230

g

≅

=

☺☺☺☺☺☺☺☺

Analiza obligacji – Stopa zwrotu z obligacji

1

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Stopa zwrotu w terminie do wykupu

Stopa zwrotu w terminie do wykupu

jest równa stopie pro-

centowej, dla której wartość teraźniejsza przepływów gotów-

kowych generowanych przez obligację jest równa aktualnej

cenie rynkowej

n

n

2

)

i

1

(

N

)

i

1

(

R

)

i

1

(

R

)

i

1

(

R

P

+

+

+

+

+

+

+

+

=

L

(6.13)

gdzie:

P – aktualna cena rynkowa obligacji

R – kupon (odsetki)

i – stopa zwrotu w terminie do wykupu (rozwiąza-

nie równania 6.13)

n

n

1

k

k

)

i

1

(

N

)

i

1

(

R

P

−

=

−

+

+

+

=

∑

(6.14)

N

a

)

i

r

(

N

P

i|

n

+

−

=

(6.15)

Analiza obligacji – Stopa zwrotu z obligacji

2

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Przykład 6.5

Wyznaczyć stopę zwrotu do wykupu obligacji:

Nominał (cena wykupu) N = 1000 zł

kupon r = 23%

n = 5 – 5 lat do wykupu

P = 1268,18 aktualna cena rynkowa.

Należy rozwiązać równanie

5

5

4

3

2

)

i

1

(

1000

)

i

1

(

230

)

i

1

(

230

)

i

1

(

230

)

i

1

(

230

)

i

1

(

230

18

,

1268

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

1000

i

)

i

1

(

1

)

i

23

,

0

(

1000

18

,

1268

5

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

−

=

−

Rozwiązanie tego równania i = 0,15 (15%)

☺☺☺☺☺☺☺☺

Przybliżone rozwiązanie równania (6.15)

N

a

)

i

r

(

N

P

i|

n

+

−

=

i|

n

a

)

i

r

(

N

N

P

k

−

=

−

=

stąd

i|

n

i|

n

a

1

k

r

a

k

r

i

⋅

−

=

−

=

(6.16)

Analiza obligacji – Stopa zwrotu z obligacji

3

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

i

2

1

n

1

n

1

i

n

2

1

n

n

1

a

1

i|

n

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

+

=

+

+

≈

(6.17)

Podstawiając (6.17) do (6.16) mamy:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

+

−

≈

i

2

1

n

1

n

k

r

i

(6.18)

rozwiązując względem „i” otrzymujemy:

Analiza obligacji – Stopa zwrotu z obligacji

4

(6.19)

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

≈

k

n

2

1

n

1

n

k

r

i

+

Upraszczając

5

,

0

n

2

1

n

≈

+

otrzymujemy (metoda sprzedawcy –

bond salesman’s method)

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

≈

k

5

,

0

1

n

k

r

i

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Przykład 6.6.

Obliczyć przybliżoną stopę zwrotu w terminie do wykupu ob-

ligacji z przykładu 6.

26818

,

0

1000

18

,

268

1000

1000

18

,

1268

k

=

=

−

=

zł

1519

,

0

160908

,

1

176364

,

0

26818

,

0

5

2

1

5

1

5

26818

,

0

23

,

0

i

≈

=

⋅

+

+

−

≈

i

≈ 15,19%

Metoda sprzedawcy

(bond salesman’s method)

1555

,

0

13409

,

1

176364

,

0

26818

,

0

5

,

0

1

5

26818

,

0

23

,

0

i

=

=

⋅

+

−

≈

i

≈ 15,55%

☺☺☺☺☺☺☺☺

Stopa zwrotu w terminie do wykupu obligacji zerokuponowej

P = Nv

n

P = (1+i)

n

1

P

N

i

n

1

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

(6.20)

Analiza obligacji – Stopa zwrotu z obligacji

5

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Analiza obligacji – Stopa zwrotu z obligacji

6

Podstawowe formuły matematyczne wyceny obligacji

Oznaczenia

:

C

n

– cena bieżąca obligacji na n-okresów (lat) do wykupu)

n – liczba okresów (lat) pozostałych do terminu wykupu

r – stopa kuponu obligacji

N – nominał obligacji

R= rN – kwota kuponu obligacji

i – stopa zwrotu w terminie do wykupu

v = (1+i)

-1

– czynnik dyskontujący

Oznaczenia dodatkowe:

W – cena wykupu obligacji W

≠ N

q – zmodyfikowana stopa kuponu obligacji

R = rN = qW;

q=rN /W

(6.21)

G – kwota bazowa obligacji

iG = rN;

G = rN/i

(6.22)

G – kwota, którą należy zainwestować ze stopą zwrotu „i” tak,

aby otrzymać okresowe płatności równe kwocie kuponu

obligacji

K – Wartość początkowa (PV) ceny wykupu obligacji

K

=

Wv

n

= W(1+i)

-n

(6.23)

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

1. Formuła bazowa

n

i|

n

n

Wv

Ra

C

+

=

K

Ra

C

i|

n

n

+

=

(6.24)

K

rNa

C

i|

n

n

+

=

2. Formuła premia /dyskonto

i|

n

n

a

)

iW

rN

(

W

C

−

+

=

(6.25)

(Podstawiając

i|

n

n

ia

1

v

−

=

do 6.24)

i|

n

n

a

)

i

q

(

W

W

C

−

+

=

(Podstawiając rN = qW )

3. Formuła kwoty bazowej

(6.26)

n

n

v

)

G

W

(

G

C

−

+

=

(Podstawiając rN = iG oraz

i|

n

n

ia

v

1

=

−

do 6.24)

4. Formuła Makehama

(6.27)

)

K

W

)(

i

/

q

(

K

C

n

−

+

=

(Podstawiając rN = gW oraz

i

/

)

v

1

(

a

n

i|

n

−

=

do 6.24)

Porównując (6.24) i (6.27) otrzymujemy:

)

K

W

)(

i

/

q

(

Ra

i|

n

−

=

(6.28)

Analiza obligacji – Stopa zwrotu z obligacji

7

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Przykład 6.7.

Wyznaczyć cenę bieżącą obligacji o nominale 1000zł, oprocen-

towanej rocznie na 20%, z ceną wykupu 1050zł na 5 lat przed

wykupem. Do obliczeń przyjąć stopę zwrotu w terminie do

wykupu 22%.

Dane:

N = 1000zł; r = 0,2; n = 5; W= 1050 zł; i = 0,22

R = rN = 0,2

⋅1000 = 200zł

Dane dodatkowe:

q – zmodyfikowana stopa kuponu

q = rN/W = 0,2

⋅1000/1050 = 0,190476

G – kwota bazowa obligacji

G = rN/i = 0,2

⋅1000/0,22 = 909,09 zł

v

n

– czynnik dyskontujący (tablice)

v

n

= (1+0,22)

-5

≈ 0,37000

i|

n

a

–

wartość początkowa renty jednostkowej

86364

,

2

a

a

22

,

0

|

5

i|

n

≈

=

K – wartość początkowa ceny wykupu W

K

=

Wv

n

= 1050

⋅(1+0,22)

-5

=

1050

⋅0,37≈ 388,50zł

Analiza obligacji – Stopa zwrotu z obligacji

8

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Obliczenia

1. Formuła bazowa

50

,

388

86364

,

2

200

K

Ra

C

i|

n

n

+

⋅

=

+

=

C

5

= 572,73 + 388,5 = 961.23 zł

2. Formuła premia /dyskonto

i|

n

n

a

)

iW

rN

(

W

C

−

+

=

= 1050 +(200 –0,2

⋅1050)⋅2,86364

C

5

= 1050 –88,77 = 961,23 zł

3. Formuła kwoty bazowej

= 909,09 + (1050 – 909,09)

⋅0,37

n

n

v

)

G

W

(

G

C

−

+

=

C

5

= 909,09 +52,14 = 961,23 zł

4. Formuła Makehama

=388,50 + (0,190476/0,22)(1050–388,5)

)

K

W

)(

i

/

q

(

K

C

n

−

+

=

C

5

= 388,5 + 572,73 = 961,23 zł

☺☺☺☺☺☺☺☺

Analiza obligacji – Stopa zwrotu z obligacji

9

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Analiza obligacji – Czas trwania obligacji

10

3. CZAS TRWANIA OBLIGACJI (Duration)

Pomiar zmienności ceny obligacji:

Przykład 6.8.

Zmiana ceny obligacji 2 i 10 letnich.

Wniosek 1.

Ceny obligacji zmieniają się w przeciwnym kierun-

ku niż wymagana stopa zwrotu

Wniosek2.

Przy niewielkich zmianach stopy zwrotu, procento-

wa zmiana ceny danej obligacji jest w przybliżeniu

taka sama przy wzroście jak i przy spadku tej stopy.

Wniosek3.

Przy dużych zmianach stopy zwrotu, procentowa

zmiana ceny danej obligacji jest różna w zależno-

ści od kierunku zmiany tej stopy.

Wniosek4.

Przy zmianie stopy zwrotu o tą samą liczbę punk-

tów bazowych, procentowy wzrost ceny jest więk-

szy niż jej spadek.

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

y = f(x);

∆y ≈ f ′(x

0

)

∆

n

i|

n

n

Wv

Ra

C

+

=

(Formuła bazowa)

n

n

2

1

n

)

i

1

(

W

)

i

1

(

R

)

i

1

(

R

)

i

1

(

R

)

i

(

C

−

−

−

−

+

+

+

+

+

+

+

+

=

L

(6.29)

)

1

n

(

)

1

n

(

3

2

n

)

i

1

(

nW

)

i

1

(

nR

)

i

1

(

R

2

)

i

1

(

R

)

i

(

C

+

−

+

−

−

−

+

−

+

−

−

+

−

+

−

=

′

L

(6.30)

M

)

i

1

(

)

i

(

C

1

n

−

+

−

=

′

(6.31)

n

n

1

j

j

)

i

1

(

nW

)

i

1

(

j

R

M

−

=

−

+

+

+

=

∑

(6.32)

i

M

)

i

1

(

)

i

(

C

1

n

∆

+

−

≈

∆

−

i

C

M

)

i

1

(

C

)

i

(

C

n

1

n

n

∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

≈

∆

−

(6.33)

Czas trwania Macaulaya (Frederik Macaulay 1938)

n

n

1

j

n

j

n

c

C

nWv

)

j

1

(

j

R

C

M

M

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

+

+

=

=

∑

=

−

(6.34)

(

)

n

n

n

c

C

nWv

)

Ia

(

R

M

+

=

(6.35)

Zmodyfikowany czas trwania Macaulaya

M

z

= M

c

/(1+i) = M

c

v (6.36)

i

M

C

)

i

(

C

z

n

n

∆

−

≈

∆

(6.37)

Analiza obligacji – Czas trwania obligacji

11

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Zmodyfikowany czas trwania określa przybliżoną procentową

zmianę ceny obligacji odpowiadającą danej zmianie stopy pro-

centowej

Czas trwania Macaulaya – Średnio ważony czas

n

n

n

2

n

c

C

v

)

W

R

(

n

C

Rv

2

C

Rv

1

M

+

+

+

+

=

L

(6.38)

Wagi

n

j

j

C

Rv

w

=

dla j=1,2, . . . n-1

(6.39)

n

n

n

C

v

)

W

R

(

w

+

=

Suma wag

1

C

v

)

W

R

(

C

Rv

C

Rv

n

n

n

2

n

=

+

+

+

+

L

(6.40)

(6.41)

∑

=

−

=

n

1

j

j

w

j

M

Przykład 6.9.

Wyznaczyć czas trwania Macaulaya obligacji 25%, o nominale

1000zł, z 5-cio letnim okresem wykupu przy założeniu 20%

stopy zwrotu w okresie do wykupu.

Analiza obligacji – Czas trwania obligacji

12

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Rok Przepływy

pieniężne

Czynnik

dyskontujący

Zdyskontowane

przepływy

Wagi

Wartości

złożone

j R

j

v

j

R

j

v

j

w

j

jw

j

1 250 0,8333 208,33 0,1812 0,1812

2 250 0,6944 173,61 0,1510 0,3020

3 250 0,5787 144,67 0,1258 0,3774

3 250 0,4823 102,56 0,1048 0,4192

5 1250 0,4019 502,34 0,4370 2,185

∑

C

n

=1149,53

1,000

3,4648

Czas trwania obligacji

M

c

= 3,4648

Zmodyfikowany czas trwania obligacji

M

z

=

3,4648 /1,2 = 2,8873

Przykład 6.10.

Wyznaczyć czas trwania obligacji z przykładu 6.9 posługując

się wzorem (6.35)

(

)

n

n

n

c

C

nWv

)

Ia

(

R

M

+

=

n

i|

n

n

Wv

Ra

C

+

=

(W = N =1000)

i

nv

)

i

1

(

a

i

nv

a

)

Ia

(

n

i|

n

n

i|

n

n

−

+

=

−

=

&&

Analiza obligacji – Czas trwania obligacji

13

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Tablice finansowe

=

2

,

0

|

5

a

2,99061

v

5

=

0,40188

C

5

=

250

⋅2,99061+1000⋅0,40188=1149,5325

(Ia)

5

=

(2,99061

⋅- 5⋅0,40188) /0,2=7,8967

M

c

=

(250

⋅7,8967 + 5⋅1000⋅0,40188) / 1149,5325

M

c

= 3,4653

☺☺☺☺☺☺☺☺

Obliczenie przybliżonej procentowej zmiany ceny obligacji

i

M

C

)

i

(

C

z

n

n

∆

−

≈

∆

(

∆i = 0,01)

Stopa zwrotu zmieni się o 1% = 100 punktów bazowych

%

M

01

,

0

M

C

)

i

(

C

z

z

n

n

−

=

⋅

−

≈

∆

(6.42)

Zmodyfikowany czas trwania obligacji wyrażony w procentach

wyznacza przybliżoną procentową zmianę ceny obligacji spo-

wodowaną zmianą stopy procentowej o 100 punktów bazo-

wych

Czas trwania nie może być traktowany jako średni ważony

termin do wykupu obligacji. (Nie jest miarą czasu)

Analiza obligacji – Czas trwania obligacji

14

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Przykład 6.11.

Obliczyć procentową zmianę ceny obligacji wywołaną zmianą

stopy zwrotu w terminie do wykupu o 100 punktów bazowych.

M

z

= 2,8873

M

z

% = M

z

0,01 = 0,028873

Obliczanie przybliżonej zmiany ceny obligacji

(6.43)

i

C

M

)

i

(

C

n

z

n

∆

⋅

⋅

−

≈

∆

– Nominalny czas trwania

n

z

N

C

M

M

⋅

=

Wartość cenowa punktu bazowego – nominalna wartość punk-

tu bazowego

(price value of a basis point – dollar value of a basis point

(

∆

i = 0,0001))

∆C

n

(i)

≈ M

N

⋅0,0001 (6.44)

P

b

= M

N

⋅0,0001

(6.45)

Wartość cenowa punktu bazowego informuje o ile zmieni się

cena obligacji przy zmianie stopy zwrotu w terminie do wyku-

pu o jeden punkt bazowy.

Analiza obligacji – Czas trwania obligacji

15

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Przykład 6.12.

Obliczyć nominalny czas trwania oraz wartość cenową punktu

bazowego obligacji z zadania 6.9

Nominalny czas trwania obligacji

M

N

= M

Z

⋅C

n

= 2,8873

⋅1149,5325 = 3319,045187

Wartość cenowa punktu bazowego

P

b

=M

N

⋅0,0001 = 0,3319

☺☺☺☺☺☺☺☺

UOGÓLNIENIA

(6.46)

∑

=

−

+

=

n

1

j

j

j

)

j

1

(

R

)

i

(

PV

i

)

i

1

(

D

)

i

(

PV

)

i

(

PV

1

∆

+

−

≈

∆

−

(6.47)

Czas trwania ciągu płatności {R

k

} (Duration)

PV

v

jR

D

n

1

j

j

j

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

=

∑

=

(6.48)

Zmodyfikowany czas trwania ciągu płatności {R

k

}

)

i

1

(

D

D

z

+

=

= Dv

(6.49)

i

D

)

i

(

PV

)

i

(

PV

z

∆

−

≈

∆

(6.50)

i

PV

D

)

i

(

PV

z

∆

⋅

−

≈

∆

(6.51)

Analiza obligacji – Czas trwania obligacji

16