1

LOGIKA

DR KATARZYNA BUDZYŃSKA

Lektury:

Lektura podstawowa:

Borkowski L., Wprowadzenie do logiki i teorii mnogości, Towarzystwo Naukowe KUL,

Lublin 1991

Nieznański E., Logika. Podstawy – język – uzasadnianie, C. H. Beck, Warszawa 2000

Lektura uzupełniająca:
Ziembiński Z., Logika praktyczna, PWN, Warszawa 1995

SPIS TREŚCI

I.

LOGIKA

........................................................................................................................................ 3

1. PRZEDMIOT LOGIKI

............................................................................................................... 3

2. DZIAŁY LOGIKI

.......................................................................................................................... 3

II.

SYNTAKTYKA I SEMANTYKA JĘZYKA

......................................................... 5

1. POJĘCIE JĘZYKA

....................................................................................................................... 5

2. REGUŁY JĘZYKOWE

.............................................................................................................. 5

3. WYRAŻENIA JĘZYKA

............................................................................................................ 6

4. STAŁE, ZMIENNE ORAZ FUNKCJE NAZWOWE I ZDANIOWE

.............. 7

4.1 WYRAŻENIA NAZWOWE................................................................................................................. 8

4.2 WYRAŻENIA ZDANIOWE ................................................................................................................ 8

III.

WIELOZNACZNOŚCI I BŁĘDY JĘZYKOWE

.................................................. 9

1. BŁĘDY WIELOZNACZNOŚCI ZDAŃ:

.......................................................................... 9

2. MÓWIENIE CHAOTYCZNE

.............................................................................................. 10

IV.

TEORIA ZBIORÓW

............................................................................................................ 10

1. PODZIAŁ ZBIORÓW

............................................................................................................... 10

2. RELACJE MIĘDZY ZBIORAMI

...................................................................................... 13

3. ZBIORY SKOŃCZONE I NIESKOŃCZONE

............................................................ 17

4. ZBIORY PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE

............................................ 17

5. TWIERDZENIE CANTORA I MOC CONTINUUM

............................................. 17

V.

TEORIA RELACJI

............................................................................................................... 18

1. n-ki UPORZĄDKOWANE

...................................................................................................... 18

2. n-CZŁONOWY ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

.......................................................... 18

3. n-ARGUMENTOWA RELACJA

....................................................................................... 19

4. DZIEDZINA, PRZECIWDZIEDZINA I POLE RELACJI

................................. 19

5. KONWERS RELACJI

.............................................................................................................. 20

6. WŁASNOŚCI RELACJI

.......................................................................................................... 20

6.1 ZWROTNOŚĆ, SYMETRYCZNOŚĆ, PRZECHODNIOŚĆ I SPÓJNOŚĆ RELACJI..................... 20

6.2 RELACJE RÓWNOWAŻNOŚCIOWE I PORZĄDKUJĄCE ........................................................... 21

7. FUNKCJE

......................................................................................................................................... 23

VI.

FORMALNE RACHUNKI LOGICZNE

................................................................. 24

1. CHARAKTERYSTYKI MATRYCOWE FUNKTORÓW

PRAWDZIWOŚCIOWYCH

....................................................................................................... 24

2. POJĘCIA INTERPRETACJI, FORMALIZACJI, WARTOŚCIOWANIA

ORAZ TAUTOLOGII

.................................................................................................................... 26

2

VII.

KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ (KRZ)

........................................................ 26

1. SŁOWNIK I WYRAŻENIA SENSOWNE KRZ

........................................................ 27

2. TEZY KRZ

....................................................................................................................................... 27

VIII.

KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW (KRP)

............................. 28

1. SŁOWNIK I WYRAŻENIA SENSOWNE KRP

........................................................ 29

2. TEZY KRP

....................................................................................................................................... 30

IX.

ELEMENTY METODOLOGII

..................................................................................... 31

1. METODY UZASADNIANIA ZDAŃ

................................................................................. 31

2. POJĘCIE ROZUMOWANIA

................................................................................................ 32

3. SYSTEM DEDUKCYJNY

....................................................................................................... 34

3

I.

LOGIKA

1. PRZEDMIOT LOGIKI

2. DZIAŁY LOGIKI

1. PRZEDMIOT LOGIKI

Wskazuje się na różne przedmioty logiki, czyli dziedziny, którymi ta nauka się zajmuje:

 prawa myślenia,

 język – zgodnie z tym ujęciem logika zajmuje się systemem znaków i regułami w nim

obowiązującymi,

 wynikaniem logicznym,

 różne przedmioty w zależności od działu logiki – w tym ujęciu logika traktowana jest jako

nauka niejednorodna.

2. DZIAŁY LOGIKI

Logikę można podzielić ze względu na 3 kryteria:

 kryterium systemowe (ze względu na badaną dziedzinę),

 kryterium ilości wartości logicznych,

 kryterium historyczne.

1. Ze względu na kryterium systemowe logikę dzielimy na:

a. semiotykę logiczną (teorię wszystkich języków):

- syntaktykę

- semantykę

- pragmatykę

b. logikę formalną (teorię języków formalnych):

- rachunek zdań

- rachunek predykatów

c. metodologię nauk (teorię języka nauki)

SYNTAKTYKA – dział logiki zajmujący się znakami języka i związkami między nimi,

SEMANTYKA – dział logiki zajmujący się związkami między znakami języka a obiektami z

rzeczywistości pozajęzykowej,

PRAGMATYKA – dział logiki zajmujący się związkami między językiem a użytkownikami

języka,

LOGIKA FORMALNA – dział logiki zajmujący się symbolicznym aspektem języka (formą

jego wyrażeń),

METODOLOGIA– dział logiki zajmujący się metodami naukotwórczymi (metodami

uzasadniania zdań) obowiązującymi w naukach.

Przykładowe zastosowania pojęć metodologii w literaturze:
„Powodem, dla którego antropologia kulturowa popadła w na powrót zbliżający ją do

etnologii i etnografii relatywizm, jest wadliwa baza metodologiczna. Antropolodzy szukają

bowiem nie tego, co łączy, ale tego, co dzieli ludzi między sobą. Takie zaś podejście jest

nieuniknioną konsekwencją braku dystansu do badanego przedmiotu. W tym bowiem

przypadku zawsze jest się „obserwatorem-człowiekiem” należącym do pewnej kultury i/lub

cywilizacji, obserwującym innych ludzi, należących do tego samego bądź odmiennego kręgu

kulturowego. Brak dystansu to tutaj przede wszystkim „istnienie” w obrębie danego systemu

wartości, którego nie sposób się na czas badań pozbyć. Traktowanie człowieka jako

odrębnego, obcego badaczowi gatunku zwierząt, które proponuje etologia, ma stwarzać taką

4

możliwość spotęgowaną jeszcze szukaniem podobieństw a nie różnic gatunkowych, czyli tak

zwanych biogramów.”

1

Można powiedzieć, że rachunek zdań jest sformalizowaną teorią spójników logicznych:

„nieprawda, że ...” – negacja, symbolicznie: ¬ lub ~,

„... i ...” – koniunkcja, symbolicznie: ∧,

„... lub ...” – alternatywa, symbolicznie: ∨,

„jeżeli ..., to ....” – implikacja, symbolicznie: ⇒ lub →,

„... wtedy i tylko wtedy, gdy ...” – równoważność, symbolicznie: ⇔, ↔ lub ≡.

Rachunek zdań charakteryzuje własności tych spójników, np. określa, że dwie negacje „się

znoszą” czy też że koniunkcja jest przemienna (tzn. można zmieniać kolejność wyrażeń, które

ten spójnik łączy, bez zmiany sensu całego wyrażenia).

Natomiast rachunek predykatów jest sformalizowaną teorią kwantyfikatorów:

„dla każdego ... jest tak, że ...” – kwantyfikator ogólny, symbolicznie: ∀ ....

„istnieje takie ..., że ...” – kwantyfikator szczegółowy, symbolicznie: ∃ ....

Rachunek predykatów charakteryzuje własności kwantyfikatorów, np. określa, że jak „coś”
zachodzi dla wszystkich obiektów (∀), to będzie to zachodzić także dla niektórych (∃), np.
skoro wszyscy (∀) ludzie są ssakami, to również niektórzy (∃) są ssakami.

2. Ze względu na kryterium ilości wartości logicznych logikę dzielimy na:

a. logikę dwuwartościową (klasyczną)

- klasyczny rachunek zdań (KRZ)

- klasyczny rachunek predykatów (KRP)

- teoria sylogizmów (sylogistyka Arystotelesa)

b. logikę wielowartościową (nieklasyczną)

LOGIKA KLASYCZNA – wyróżnia się tu dwie wartości logiczne: prawdę (symbolicznie: 1)

i fałsz (symbolicznie: 0).

LOGIKA WIELOWARTOŚCIOWA – wyróżnia się tu także wartości pośrednie między 1 i 0,

czyli wartości należące do przedziału <0, 1>. Twórcą jednego z takich systemów –

logiki trójwartościowej – był polski logik Jan Łukasiewicz (1920 r.).

3. Ze względu na kryterium historyczne logikę dzielimy na:

a. logikę tradycyjną

b. logikę współczesną

LOGIKA TRADYCYJNA - twórca: Arystoteles (384-322 p.n.e.); jest to rachunek pojęć.

LOGIKA WSPÓŁCZESNA - twórca: Gottlob Frege (1879 r.); jest to rachunek sądów. Frege

skonstruował symboliczne rachunki zdań i predykatów.

1

Lejman Jacek, Zwierzęcy prześwit cywilizacji. Desmond Morris i etologia współczesna, Wyd. UMCS, Lublin

1999, s. 20, podkreślenia własne

5

II.

SYNTAKTYKA I SEMANTYKA JĘZYKA

1. POJĘCIE JĘZYKA

2. REGUŁY JĘZYKOWE

3. WYRAŻENIA JĘZYKOWE

4. STAŁE, ZMIENNE ORAZ FUNKCJE NAZWOWE I ZDANIOWE

1. POJĘCIE JĘZYKA

DEF. Język – system znaków, którym przyporządkowane są reguły semantyczne i

syntaktyczne.

Znaki określa się inaczej jako wyrażenia językowe czy symbole. Do znaków zaliczamy

dźwięki i napisy.

Ze względu na sposób powstawania języka wyróżniamy języki:

a. naturalne:

(i) kształtują się wiele lat w społeczności, (ii) zbiór wyrażeń podlega ciągłym zmianom, (iii)

wyrażenia są najczęściej WIELOZNACZNE.

b. sztuczne:

(i) buduje się je ze względu na ściśle określony cel, (ii) powstają w jednym momencie na

mocy jakiejś umowy, np. język matematyki, język morsa; (iii) języki te są

JEDNOZNACZNE.

Wszystkie języki formalne konstruowane w logice są językami sztucznymi.

Funkcje języka:

a. funkcja emotywna - dowcipy, przekleństwa,

b. funkcja performatywna - wpływanie na czyjeś zachowanie, np. wszelkiego rodzaju

rozkazy jak „baczność”,

c. funkcja opisowa - logika bada tylko tę funkcję języka, gdyż jej badania dotyczą sposobów

opisywania przez język rzeczywistości pozajęzykowej.

2. REGUŁY JĘZYKOWE

Do reguł językowych zaliczamy:

a) reguły syntaktyczne (składniowe):

reguły przekształcania wyrażeń

reguły budowania wyrażeń - reguły gramatyczne budowania znaków złożonych ze

znaków prostszych

b) reguły semantyczne (znaczeniowe) – reguły przyporządkowujące wyrażeniom języka

obiekty z rzeczywistości pozajęzykowej (korelaty tych wyrażeń)

Pierwszy typ reguł syntaktycznych określa, w jaki sposób w języku przekształca się zdania,

np. zdanie: „Nieprawda, że Ania nie jest człowiekiem” można przekształcić w zdanie: „Ania
jest człowiekiem

”.

Drugi typ reguł syntaktycznych pozwala na utworzenie np. z nazwy „kot” i funktora

„miauczeć” zdanie: „Kot miauczy” czy nazwę złożoną: „miauczący kot”. Każde z tych

wyrażeń złożonych zostało utworzone na podstawie innej reguły składniowej języka

polskiego.

6

 UWAGA:

Wyrażenie może mieć więcej niż 1 regułę semantyczną, np. wyrażenie „zamek” wraz z:

 RSem

1

oznaczać będzie zamek jako gród

 Rsem

2

oznaczać będzie zamek w drzwiach

 Rsem

3

oznaczać będzie zamek błyskawiczny

3. WYRAŻENIA JĘZYKA

Zbiór wyrażeń języka można podzielić na 4 rodzaje:

 NAZWY

 ZDANIA

 FUNKTORY

 OPERATORY

1. NAZWY

DEF. Nazwa - wyrażenie, które można wstawić w miejsce A lub B w schemacie typu „A jest

B”.

2. ZDANIA

DEF. Zdanie - wyrażenie, któremu przyporządkowana jest jedna z wartości logicznych.

Ponieważ logika klasyczna jest dwuwartościowa, zdanie jest więc według tej logiki

wyrażeniem, któremu przysługuje wartość prawdy (symbolicznie: 1) lub fałszu

(symbolicznie: 0).

3. FUNKTORY

DEF. Funktor jest to niesamodzielne wyrażenie, które wraz z pewnymi wyrażeniami,

zwanymi jego argumentami, tworzy wyrażenie złożone.

Wśród funktorów wyróżniamy:

A. ze względu na to, co mogą tworzyć:

funktory nazwotwórcze

funktory zdaniotwórcze

B. ze względu na argumenty danego funktora:

funktory od argumentów nazwowych

funktory od argumentów zdaniowych

PRZYKŁ.

a. duży chłopiec
chłopiec

– nazwa

duży

– funktor nazwotwórczy (tworzy nazwę „duży chłopiec”) od argumentu nazwowego

(„chłopiec”)

Takim samym typem funktora są wszelkie przymiotniki przy rzeczownikach (gramatycznie:

przydawki), np.: mały..., zielony..., brudny...

b. Nieprawda, że dziś pada deszcz.
Nieprawda, że

- funktor negacji; jest to zawsze funktor zdaniotwórczy (tworzy w tym

przykładzie zdanie „Nieprawda, że dziś pada deszcz”) od argumentu zdaniowego (w tym

przykładzie od zdania „Dziś pada deszcz”)

7

c. Monika idzie do szkoły.
idzie do

- funktor zdaniotwórczy (tworzy zdanie „Monika idzie do szkoły”) od dwóch

argumentów nazwowych („Monika”, „szkoła”)

d. Monika idzie do szkoły lub czyta książkę.
lub

- funktor zdaniotwórczy (tworzy zdanie „Monika idzie do szkoły lub czyta książkę”) od

dwóch argumentów zdaniowych („Monika idzie do szkoły”, „Monika czyta książkę”)

Takim samym typem funktora (funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych)
jak „lub”, czyli jak alternatywa (symbolicznie: ∨) są inne funktory „łączące” dwa zdania: (1)
„i” czyli koniunkcja (symbolicznie: ∧), (2) „jeżeli ...., to...” czyli implikacja (symbolicznie:

→), (3) „wtedy, gdy” lub „gdy” czyli równoważność (symbolicznie: ≡).

DEF. Funktor główny wyrażenia W jest to funktor, który wraz ze swoimi argumentami, daje

całe wyrażenie W.

ZAD.

Proszę określić, jakiego typu funktory występują w następujących wyrażeniach oraz wskazać

ich funktory główne:

1. Ładna Ala lubi czarnego kota.

2. Jeżeli Anna przechodzi na czerwonym świetle, to dostanie mandat.

3. Jeżeli nieprawda, że Piotr dzwoni do kolegi, to dzwoni do miłej koleżanki.

4. Piotr wyznaje Ewie miłość, mimo że Ewa kocha Jana.

5. Ania mieszka w wysokim budynku i ma piękny widok.

4. OPERATORY
Operatory

to tak jak funktory wyrażenia niesamodzielne. Mówimy o nich, że wiążą zmienne.

Wśród operatorów wyróżniamy:

A. Kwantyfikatory

a. szczegółowy (symbolicznie:

∃)

b. ogólny (sybolicznie:

∀)

B. Operator abstrakcji (symbolicznie: { : })

Ad.A. ∃x (x jest człowiekiem) – wyrażenie to stwierdza, że istnieje przynajmniej jeden (albo
więcej, może nawet wszystkie) obiekt x, który jest człowiekiem.

∀x (x jest człowiekiem) - wyrażenie to stwierdza, że wszystkie obiekty x są ludźmi.

Ad.B. {x: x>5} - wyrażenie to wyznacza zbiór x-ów większych od 5.

DEF. Wskaźnik operatora - wyrażenie występujące bezpośrednio po kwantyfikatorze.

DEF. Zasięg operatora - sensowne wyrażenie występujące bezpośrednio po danym

kwantyfikatorze oraz jego wskaźniku i ewentualnie ograniczone jednorodnymi nawiasami.

Wyrażenie sensowne jest zawsze wyrażeniem zdaniowym. Natomiast wskaźnikiem

kwantyfikatora są najczęściej zmienne nazwowe x, y, z.

4. STAŁE, ZMIENNE ORAZ FUNKCJE NAZWOWE I ZDANIOWE

4.1 WYRAŻENIA NAZWOWE

4.2 WYRAŻENIA ZDANIOWE

8

Do powtórzenia:

- Pojęcia kwantyfikatora ogólnego i szczegółowego,

- Pojęcia wskaźnika i zasięgu kwantyfikatora (ogólnie: operatora).

4.1 WYRAŻENIA NAZWOWE

Zamiast o nazwach możemy w szerszym sensie mówić o wyrażeniach nazwowych. Wśród

wyrażeń nazwowych wyróżniamy:

 stałe nazwowe

 zmienne nazwowe

 funkcje nazwowe

1. Stała nazwowa to konkretna, określona nazwa, np. pies, Jan, 329, krasnoludek

2. DEF. Zmienna nazwowa – symbol (wyrażenie) reprezentujące stałe nazwowe.

Symbole zmiennych nazwowych: S, P (w sylogistyce Arystotelesa), x, y, z (w KRP, w

teoriach matematycznych).

PRZYKŁ.

W wyrażeniu „x jest człowiekiem” za x możemy wstawić dowolną stałą nazwową, np. Jan jest
człowiekiem

, Pies jest człowiekiem, 326 jest człowiekiem. W matematyce, np. w wyrażeniu:

x+2=5

, pod zmienną x można podstawić dowolną stałą nazwową, otrzymując zdanie

prawdziwe lub zdanie fałszywe, ale zawsze sensowne syntaktycznie: 3+2=5 (prawda),
10+2=5

(fałsz), Jan+2=5 (fałsz).

 UWAGA: W wyniku podstawienia stałej za zmienną tej samej kategorii syntaktycznej

możemy otrzymać zdanie fałszywe, ale nie zdanie nonsensowne syntaktycznie.

ZAD.1

Proszę wskazać wskaźniki i zasięgi kwantyfikatorów:
1. ∀x F(x) ∧∀y (F(y) → F(x)) → G(y)

2. ∀x F(x) ∧∀y F(y) → (F(x) → G(y))

3. ∀x [F(x) ∧∀y (F(y) → F(x)) → G(y)]

4. ∀x F(x) ∧∀y [(F(y) → F(x)) → G(y)]

3. DEF. Funkcja nazwowa - wyrażenie nazwowe zawierające co najmniej jedną zmienną.

4.2 WYRAŻENIA ZDANIOWE

Zamiast o zdaniach możemy w szerszym sensie mówić o wyrażeniach zdaniowych. Wśród

wyrażeń zdaniowych wyróżniamy:

 stałe zdaniowe

 zmienne zdaniowe

 funkcje zdaniowe

1. Stała zdaniowa to wszelkie konkretne, określone zdanie, np. Dziś jest wtorek, Ala ma kota.

2. DEF. Zmienna zdaniowa - symbol (wyrażenie) reprezentujące stałe zdaniowe.

Symbole zmiennych zdaniowych: p, q, r, s.

3. DEF. Funkcja (formuła) zdaniowa - wyrażenie zdaniowe zawierające co najmniej jedną

zmienną.

9

 UWAGA: Dane wyrażenie jest funkcją zdaniową niezależnie od tego, jakiej kategorii

syntaktycznej jest wolna zmienna występująca w tej funkcji. Przykładowo wyrażenie, w

którym występuje wolna zmienna nazwowa, będzie funkcją zdaniową, jeżeli staje się stałą

zdaniową po podstawieniu za tę wolną zmienną nazwową stałej nazwowej.

ZAD.2

Proszę określić, jakiego typu są poniższe wyrażenia:

1. p

2. x jest człowiekiem

3. p jest zdaniem prostym

4. ojciec x-a

5. p ∨ q

6. y

7. stolica państwa x

ZAD.3

Proszę określić, jakiego typu są poniższe wyrażenia, a następnie tam, gdzie to możliwe -

wskazać zasięg kwantyfikatorów oraz zmienne wolne i związane:

1. 2 + 4 = 6

2. 2 + 4

3. x + 4 = 6
4. x + y
5. x + y = 6
6. ∀x (x + y = 6)
7. ∀x ∀y (x + y = 6)

 UWAGA: Z funkcji zdaniowej otrzymujemy stałą zdaniową za pomocą jednej z

dwóch metod:

1. przez podstawienia za wszystkie zmienne wolne stałych odpowiedniej kategorii

syntaktycznej,

2. przez związanie kwantyfikatorami wszystkich zmiennych wolnych występujących w tym

wyrażeniu.

I tak dla funkcji zdaniowej: x lubi y, otrzymamy za pomocą pierwszej z metod następującą
stałą zdaniową: Anna lubi Piotra, a za pomocą drugiej z metod:

∀x∃y (x lubi y). Metody te

można oczywiście łączyć, np.

∃y (Anna lubi y).

III. WIELOZNACZNOŚCI I BŁĘDY JĘZYKOWE

1. BŁĘDY WIELOZNACZNOŚCI ZDAŃ:

Można powiedzieć, że zdanie jest wieloznaczne wtedy, gdy zdanie to może być rozumiane na

co najmniej dwa różne sposoby.

Amfibolia - jest to wieloznaczność zdania będąca wynikiem nieprawidłowej budowy tego

zdania.

Niedopowiedzenie - jest to wieloznaczność zdania będąca wynikiem opuszczenia istotnych i

nie dających się domyśleć składników tego zdania.

Ekwiwokacja - jest to wieloznaczność zespołu zdań będąca wynikiem użycia w tym zespole

wyrażenia w różnych konotacjach.

10

2. MÓWIENIE CHAOTYCZNE

Jest to mówienie (1) o wielu sprawach naraz, (2) w sposób nieuporządkowany, (3) nie

wiadomo o czym lub też (4) mówienie syntaktycznie lub semantycznie niespójne

(nonsensowne).

ZAD.

Proszę określić, jakiego typu wieloznaczności występują w podanych zdaniach lub zespołach

zdań:

1. Dziś Prusa można spotkać w każdym niemal kiosku

2. Wacek wszedł na lód i zaczął pękać

3. Do uprawy roli Barbara nie nadawała się, więc Bogumił sam ją uprawiał

4. Logika zajmuje się badaniem rozumowań, rozumowania są to procesy psychiczne

pewnego rodzaju, zatem logika zajmuje się procesami psychicznymi pewnego rodzaju.

5. Ślimakowi ciężko było bronować, bo kamienie właziły mu w zęby

6. Chłopy zdobyły Reymontowi nagrodę Nobla

7. Każde prawo ma prawodawcę, prawa przyrody są prawami, zatem prawa przyrody mają

prawodawcę

8. Robak ratując Tadeusza, strzelił do niedźwiedzia, który nie wiedział, że jest jego ojcem

9. Nad Niemnem słychać było pranie kobiet

10. Przed pójściem do wojska Baryka zakopał swój majątek wraz z żoną i synem w piwnicy

11. Wszelkie postępowanie kryminalne powinno być karane przez prawo, oskarżenie o

złodziejstwo jest postępowaniem kryminalnym, zatem oskarżenie o złodziejstwo powinno

być karane przez prawo

IV. TEORIA ZBIORÓW

1. PODZIAŁ ZBIORÓW

1.1 Podział ze względu na charakter zbioru

1.2 Podział ze względu na ostrość warunku

1.3. Podział ze względu na złożoność

2. RELACJE MIĘDZY ZBIORAMI

3. ZBIORY SKOŃCZONE I NIESKOŃCZONE

4. ZBIORY PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE

5. TWIERDZENIE CANTORA I MOC CONTINUUM

1. PODZIAŁ ZBIORÓW

1.1 PODZIAŁ ZE WZGLĘDU NA CHARAKTER ZBIORU:

Ze względu na charakter zbioru wyróżnia się:

 Zbiory kolektywne

 Zbiory dystrybutywne

Zbiór kolektywny – realnie istniejąca całość (totum), w której da się wyróżnić realne części.

Zbiory kolektywne są przedmiotem badań mereologii Leśniewskiego.

Zbiór dystrybutywny - pewna mnogość obiektów, która realnie nie istnieje i jest wyróżniona

myślowo ze względu na pewną cechę.

11

Zbiory dystrybutywne dzielą się na zbiory klasyczne i rozmyte.

Zbiory badane na gruncie teorii mnogości i w większości rozważań logiczno-matematycznych

są właśnie zbiorami dystrybutywnymi klasycznymi.

Zbiory dystrybutywne można scharakteryzować następująco:

Niech x – przebiega dowolne obiekty. Będziemy mówić, że Z(x) jest zbiorem:

Z(x) = {x: x posiada cechę Z}

Do zbioru Z(x) wybieramy te x-y, które posiadają cechę Z.

X będzie zbiorem wtedy, gdy X=Z(x).

Zbiory będziemy oznaczać wielkimi literami, np.: X,Y,Z, A, B, C.

PRZYKŁ.

Z(x) - zbiór zielonych przedmiotów, x - przedmiot, Z - cecha bycia zielonym.

Z(x) = {x: x jest zielony}

 UWAGA: Określenia poszczególnych zbiorów nie są definicjami, ponieważ pojęcie

zbioru jest terminem pierwotnym, czyli nie posiadającym definicji!!!

Porównanie zbiorów kolektywnych i dystrybutywnych:

PRZYKŁ.1

Zbiór pszczół - wyróżniony ze względu na cechę bycia pszczołą – jest to zbiór

dystrybutywny.

Rój pszczół - pewna zorganizowana całość, która może pogryźć - a więc realnie istniejąca,

(elementy tego zbioru również istnieją realnie) - zbiór kolektywny.

PRZYKŁ.2

Każde z jabłek w tym worku ważą 100 gr (tzn. każde jabłko z osobna) – zbiór jabłek

wyróżniony jest ze względu na wspólną cechę określonej wagi – zbiór jabłek rozumiany jest

jako dystrybutywny

Wszystkie jabłka w tym worku ważą 70 kg (tzn. całość jabłek) - zbiór jabłek rozumiany jest

jako zbiór kolektywny

RÓŻNICE:

 Zbiór kolektywny – zbiór ten jest realnie istniejącym obiektem, np. las, tabliczka

czekolady

Zbiór dystrybutywny – nie istnieje realnie, sztucznie stworzony (za pomocą myślowej

operacji) poprzez:

1. wskazanie (wyliczenie) elementów

2. nałożenie warunku - czyli określenie cechy klasyfikującej obiekty do tego zbioru:

X = {x: x posiada pewną cechę}.

 Zbiór kolektywny – istnienie realne całości zależy od istnienia realnego jego części.

Zbiór dystrybutywny – nie dotyczy.

 Zbiór kolektywny – występuje tu relacja bycia częścią zbioru: x < X (x jest częścią X-a)

Zbiór dystrybutywny – występuje tu relacja bycia elementem zbioru: x ∈

∈

∈

∈ X (x należy

do

X, x jest elementem X)

Te relacje mają różne własności: relacja bycia częścią jest relacją przechodnią, natomiast

relacja bycia elementem – relacją nieprzechodnią

Przykł. Niech x to zielony liść, X – drzewo, Y – las. Wtedy zachodzi: x<X ∧ X<Y → x<Y,

spełniony jest zatem warunek przechodniości.

12

Przyjmijmy natomiast, że x to zielony liść, ale X to zbiór przedmiotów zielonych i Y - zbiór
zbiorów przedmiotów kolorowych. Wtedy: ¬(x∈X ∧ X∈Y → x∈Y). Zatem nie jest

spełniony warunek przechodniości dla relacji należenia do zbioru.

1.2 PODZIAŁ ZE WZGLĘDU NA OSTROŚĆ WARUNKU:

Ze względu na ostrość warunku wyróżnia się:

 Zbiory klasyczne

 Zbiory rozmyte

Zbiór klasyczny – zbiór, dla którego cecha wyróżniająca mnogość obiektów jest cechą ostrą,

tzn. że w stosunku do dowolnego przedmiotu można bez wahania orzec, czy przedmiot ten
posiada, czy nie posiada danej cechy: ∀x (x∈X lub x∉X).

Zbiory klasyczne dzielą się na proste i złożone.

W przypadku zbiorów klasycznych możemy mówić o idealizacji, czyli o wyostrzaniu cech.

Zbiór rozmyty – zbiór, dla którego cecha wyróżniająca mnogość obiektów nie jest cechą
ostrą

.

PRZYKŁ.

a. cecha: bycie łysym – wyznacza ona zbiór osób łysych.

Cecha ta jest nieostra, gdyż w sytuacji gdy osoba posiada np. 70 włosów to nie można bez

wahania orzec, czy ta osoba posiada cechę bycia łysym, czy tej cechy nie posiada.

b. cecha: bycie człowiekiem – wyznacza ona zbiór ludzi: X={x: x jest człowiekiem}

Jest to cecha nieostra (idealizacja: psycholog, który bada postrzeganie przestrzeni przez

człowieka - dla niego nieważne będą „graniczne” przypadki, on ma swoją własną koncepcję

człowieka, będzie dokonywał idealizacji cechy bycia człowiekiem).

c. cecha: bycie liczbą naturalną - wyznacza zbiór liczb naturalnych. Jest to cecha ostra.

d. cecha: bycie nazwą w sensie logicznym - wyznacza zbiór nazw w sensie logicznym:

X = {x: x jest nazwą w sensie logicznym}

Jest to cecha ostra.

1.3. PODZIAŁ ZE WZGLĘDU NA ZŁOŻONOŚĆ

Ze względu na złożoność wyróżnia się:

 Zbiory proste

zbiór pełny (uniwersum)

zbiór pusty

 Zbiory złożone

dopełnienie

suma

iloczyn (część wspólna)

różnica

Zbiór pełny

Oznaczenie: 1lub V.

DEF. 1={x: x=x}

Jest to zbiór wszystkich przedmiotów niesprzecznych. Dla takich przedmiotów zachodzi

zawsze: x=x.

13

Można ograniczać 1-kę do konkretnego pola rozważań, np. 1-ka ontologiczna (zbiór bytów),

1-ka astronomiczna (zbiór obiektów kosmicznych), uniwersum wyrażeń (takie ograniczenie

występuje np. w logice), uniwersum liczb (np. w matematyce).

Zbiór pusty
DEF. ∅ = {x: x≠x}

Dopełnienie zbioru

Niech X będzie zbiorem ludzi. Wtedy -X jest zbiorem nie-ludzi (pozostałych, różnych od

ludzi, obiektów w danym uniwersum - dopełnienie zbioru to „dopełnienie do uniwersum”).

Zachodzi więc następujący związek: -X=1/X
DEF. x∈-X ≡ x∉X

Suma zbiorów
DEF. x∈X∪Y ≡ x∈X ∨ x∈Y

Iloczyn zbiorów
DEF. x∈X∩Y ≡ x∈X ∧ x∈Y

Różnica zbiorów
DEF. x∈X/Y ≡ x∈X ∧ x∉Y

Symbol różnicy zapisuje się również inaczej: X-Y.

Podane definicje zbiorów można formułować w inny sposób. Przykładowo definicję różnicy

zbiorów można zapisać następująco:
X/Y = {x: x∈X ∧ x∉Y}.

2. RELACJE MIĘDZY ZBIORAMI

 IDENTYCZNOŚĆ

 PODRZĘDNOŚĆ

 NADRZĘDNOŚĆ

 KRZYŻOWANIE SIĘ

 ROZŁĄCZNOŚĆ

Poszczególne relacje między zbiorami będziemy definiować korzystając z pojęcia zawierania

się zbiorów. Wyróżnia się zawieranie się niewłaściwe (inaczej: inkluzja niewłaściwa),
symbolicznie: ⊂, oraz zawieranie się właściwe (inaczej: inkluzja właściwa), symbolicznie: ⊆.
DEF. X ⊂

⊂

⊂

⊂ Y ≡ ∀x (x∈X → x∈Y)

Każdy element zbioru X jest elementem zbioru Y. Mówimy, że X jest podzbiorem Y.
DEF. X ⊆

⊆

⊆

⊆ Y ≡ X⊂ Y ∧ X≠Y

 UWAGA: Nie należy mylić relacji bycia podzbiorem (relacji zawierania) z relacją

należenia do zbioru.

1. IDENTYCZNOŚĆ
DEF. X=Y ≡ X⊂Y ∧ Y⊂X

PRZYKŁ.1

X={x: x jest człowiekiem}

Y={y: y jest zwierzęciem rozumnym}

14

X=Y

PRZYKŁ. 2

X = {x: x jest dębem}

Y = {y: y jest drzewem, którego owocami są żołędzie}

Zbiory X i Y są identyczne, gdyż każdy dąb jest drzewem, którego owocami są żołędzie (z
definicji tego, że X ⊂

⊂

⊂

⊂ Y) i każde drzewo, którego owocami są żołędzie jest dębem (z definicji

tego, że Y ⊂

⊂

⊂

⊂ X).

2. PODRZĘDNOŚĆ
DEF. Zbiór X jest podrzędny względem zbioru Y ≡ spełnione są następujące warunki: (1) X

⊂ Y, (2) ¬(Y ⊂ X)

PRZYKŁ.1

X – zbiór zielonych przedmiotów

Y - zbiór kolorowych przedmiotów

Y

X

X

PRZYKŁ.2

X = {x: x jest dębem}

Y = {y: y jest drzewem}

Zbiór dębów jest podrzędny w stosunku do zbioru drzew, ponieważ każdy dąb jest drzewem
(X⊂Y) i istnieją drzewa nie będące dębami, np. buki, kasztany, świerki (czyli nie każde
drzewo jest dębem ¬(Y ⊂ X) ).

3. NADRZĘDNOŚĆ
DEF. Zbiór X jest nadrzędny względem zbioru Y ≡ spełnione są następujące warunki: (1)
Y⊂X, (2) ¬(X ⊂ Y)

4. KRZYŻOWANIE SIĘ
DEF. Zbiór X krzyżuje się z zbioru Y ≡ spełnione są następujące warunki: (1) ¬(X ⊂ Y), (2)

¬(Y ⊂ X), (3) X∩Y≠∅

PRZYKŁ.1

X- zbiór przedmiotów białych

Y- zbiór ptaków
X∩Y - zbiór białych ptaków

15

X

Y

PRZYKŁ.2

X = {x: x jest dębem}

Y = {y: y jest drzewem rosnącym w Warszawie}

Zbiór dębów i zbiór drzew rosnących w Warszawie krzyżują się, ponieważ istnieją dęby
rosnące w Warszawie (czyli spełniony jest warunek: X∩Y≠∅) i istnieją dęby rosnące poza
Warszawą (czyli spełniony jest warunek: ¬(X ⊂ Y)) i istnieją drzewa, które nie są dębami,

ale rosną w Warszawie, np. kasztany rosnące w Warszawie, topole rosnące w Warszawie
(czyli spełniony jest warunek: ¬(Y ⊂ X)).

5. ROZŁĄCZNOŚĆ
DEF. Zbiór X jest rozłączny względem zbioru Y ≡ X∩Y=∅

PRZYKŁ.1

X- zbiór przedmiotów trójkątnych

Y- zbiór ptaków

X

Y

PRZYKŁ.2

X = {x: x jest dębem}

Y = {y: y jest świerkiem}

Zbiór dębów i zbiór świerków są rozłączne, ponieważ nie istnieją dęby będące świerkami, czy

mówiąc jeszcze inaczej: żaden dąb nie jest świerkiem.

DEF. Zbiory rozłączne X i Y są przeciwne ≡ X ∪Y ≠ 1
DEF. Zbiory rozłączne X i Y są sprzeczne ≡ X ∪Y = 1

PRZYKŁ.3

Zbiór ludzi i zbiór nieludzi są sprzeczne. Natomiast zbiorem przeciwnym do zbioru ludzi

będzie np. zbiór kotów.

ZAD.1

Proszę określić, jakie relacje zachodzą między następującymi zbiorami:

1. zbiór studentów i zbiór analfabetów

2. zbiór studentów i zbiór osób nieinteligentnych

3. zbiór autobusów i zbiór pojazdów

4. zbiór szkół wyższych i zbiór absolwentów szkół wyższych

5. zbiór koni i zbiór kopyt

6. zbiór nauczycieli języka polskiego i zbiór Anglików

7. zbiór kobiet zamężnych i zbiór mężczyzn żonatych

16

8. zbiór osób posiadających brata i zbiór kobiet posiadających rodzeństwo

9. zbiór mężczyzn żonatych i zbiór osób po ślubie

10. zbiór mężczyzn żonatych i zbiór osób zakochanych

11. zbiór osób mężczyzn dziecko i zbiór osób posiadających siostrę

12. zbiór osób posiadających dziecko i zbiór kobiet posiadających żyjącego ojca

13. zbiór murzynów i zbiór osób czarnoskórych

ZAD.2

Proszę określić relacje między podanymi zbiorami i wykonać działania na zbiorach:

1. 1={x: x jest ssakiem}

X={x: x jest człowiekiem}

Y={x: x jest jajorodny}
a. X∩ -Y=
b. -X ∪ -Y =
c. X ∪ -Y =
d. -X ∩ -Y =

e. X/Y =

2. 1={x: x jest ssakiem}

X={x: x jest człowiekiem}

Y={x: x jest żyworodny}

 UWAGA: jeżeli wynikiem działań jest zbiór prosty (np. X lub Y, 1 lub ∅), to takie

rozwiązanie zapisujemy. Natomiast jeżeli wynik jest zbiorem złożonym, to należy wyznaczyć

taki zbiór podając cechę, którą muszą spełniać obiekty, aby należeć do zbioru), np. -Y={x: x

jest ssakiem jajorodnym}

a. X ∩ -Y =
b. -X ∪ -Y=
c. -X ∩ -Y =

d. -X / Y=

e. X/Y =

f. Y/X =

g. X/ -Y =

h. -Y/ -X =

i. -X/ -Y =

3. 1={x: x jest ssakiem}

X={x: x jest człowiekiem}

Y = {x: x jest karmiony mlekiem matki}
a. -X ∩ -Y =

b. -(-X / Y)=

c. X/Y =

d. –X/Y =

4. 1={x: x jest liczbą naturalną}

X={x: x jest parzystą liczbą naturalną}={x: x jest liczbą naturalną i x jest parzyste}

Y={x: x jest liczbą naturalną i x > 5}

a. -X ∩ -Y =
b. (X ∩ -Y) ∪1 =

17

c. -(X ∪ -Y)=

d. -X / Y=

5. 1={x: x jest człowiekiem}

X={x: x posiada wyższe wykształcenie}

Y={x: x jest analfabetą}
a. -X ∪ -Y=
b. -(X ∩Y) =

ZAD.3

Proszę wyznaczyć następujące zbiory złożone: X/Y, -X/Y, -X/-Y, X/-Y, dla następujących

zbiorów:

1. X={x: x jest inteligentną kobietą}, Y={y: y jest piękną kobietą}

2. X={x: x jest kobietą}, Y={y: y jest piękną kobietą}

3. X={x: x jest inteligentną kobietą}, Y={y: y jest inteligentnym mężczyzną}

3. ZBIORY SKOŃCZONE I NIESKOŃCZONE

DEF. Zbiór A jest zbiorem skończonym ≡ ∃n [n∈N ∧ mocA= n]

DEF. Zbiór A jest zbiorem nieskończonym ≡ ¬∃n [n∈N ∧ mocA= n]

Jeżeli zbiór A jest zbiorem nieskończonym, to zbiór A jest równoliczny z pewnym swoim
podzbiorem właściwym, tzn. ∃B [B⊆A ∧ A∼B].

Jeżeli zbiór A jest zbiorem skończonym, to zbiór A nie jest równoliczny z żadnym swoim
podzbiorem właściwym, tzn. ¬∃B [B⊆A ∧ A∼B].

4. ZBIORY PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE

DEF. Zbiór A jest zbiorem przeliczalnym ≡ A jest zbiorem skończonym lub A∼ N
DEF. Zbiór A jest zbiorem nieprzeliczalnym ≡ A∼ R

5. TWIERDZENIE CANTORA I MOC CONTINUUM

TW. Cantora: mocA < moc2

A

18

V.

TEORIA RELACJI

1. n-ki UPORZĄDKOWANE

2. n-CZŁONOWY ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

3. n-ARGUMENTOWA RELACJA

4. DZIEDZINA, PRZECIWDZIEDZINA I POLE RELACJI

5. KONWERS RELACJI

6. WŁASNOŚCI RELACJI

7. FUNKCJE

1. n-ki UPORZĄDKOWANE

DEF.1 <x, y> = {{x}, {x, y}}

Pojęcie pary uporządkowanej wprowadzamy po to, aby uwyraźnić kolejność elementów

zbioru. W zbiorze, który nie jest parą uporządkowaną, zachodzi zależność:

{x, y} = {y, x}.

Natomiast w parze uporządkowanej taka zależność nie zachodzi, tzn.:
<x, y> ≠ <y, x>.

Różnicę pod względem kolejności elementów między zbiorem i parą uporządkowaną

(ogólniej n-ką uporządkowaną) można porównać ze znanymi z matematyki rozróżnieniami

pod tym względem między zbiorem i ciągiem w analizie matematycznej czy kombinacją i

wariancją w rachunku prawdopodobieństwa.

Wagę kolejności podkreśla twierdzenie o identyczności dwóch par uporządkowanych:
TW. <x, y> = <z, u> ≡ x=z ∧ y=u

Twierdzenie to wskazuje, że dwie pary uporządkowane są tylko wtedy równe, gdy równe są

ich odpowiadające sobie (pod względem kolejności) elementy, tzn.: gdy pierwszy element

pierwszej pary (x) jest identyczny z pierwszym elementem drugiej pary (z) oraz gdy drugi
element

pierwszej pary (y) jest identyczny z drugim elementem drugiej pary (u).

Trójkę uporządkowaną

definiujemy odwołując się do zdefiniowanego wcześniej pojęcia pary

uporządkowanej (który z kolei zdefiniowany jest za pomocą pojęcia zwykłego zbioru - patrz

def.1 tego rozdziału):

DEF.2 <x, y, z> = <<x, y>, z>

Analogicznie definiujemy n-elementowy układ uporządkowany, inaczej nazwany n-ką
uporządkowaną

:

DEF.3 <x

1

, . . . ,x

n-1

, x

n

> = << x

1

, . . ., x

n-1

>, x

n

>

2. n-CZŁONOWY ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

Dwuczłonowy iloczyn kartezjański

XxY (nie należy go mylić ze „zwykłym” iloczynem

zbiorów, czyli częścią wspólną) jest to zbiór par uporządkowanych, takich że pierwsze

elementy tych par uporządkowanych należą do zbioru X i drugie elementy par należą do

zbioru Y:
DEF. <x, y> ∈ XxY ≡ x∈X ∧ y∈Y
Inaczej: XxY = {<x, y>: x∈X ∧ y∈Y}

ZAD.

Proszę wyznaczyć iloczyny kartezjańskie: XxY i YxX, dla następujących zbiorów:

1. X={5}, Y={19, 20, 25}

19

2. X={2, 3}, Y={a, b}

Analogicznie jak w układach uporządkowanych tak i w przypadku iloczynu kartezjańskiego

możemy zdefiniować trójczłonowy i n-członowy iloczyn kartezjański:
DEF. <x, y, z> ∈ XxYxZ ≡ x∈X ∧ y∈Y ∧ z∈Z
DEF. <x

1

, . . . , x

n

> ∈ X

1

x....xX

n

≡ x

1

∈X

1

∧ ... ∧ x

n

∈X

n

3. n-ARGUMENTOWA RELACJA

DEF. Relacja dwuargumentowa xRy jest to zbiór par uporządkowanych

Inaczej: Relacja dwuargumentowa jest to podzbiór dwuczłonowego iloczynu kartezjańskiego
Zachodzenie relacji dwuargumentowej zapisujemy następująco: xRy lub <x, y>∈R

DEF. Relacja n-argumentowa R(x

1

, ..., x

n

)

jest to zbiór n-elementowych układów

uporządkowanych

Inaczej: Relacja n-argumentowa jest to podzbiór n-członowego iloczynu kartezjańskiego
Zachodzenie relacji n-argumentowej zapisujemy następująco: R(x

1

, ..., x

n

) lub <x

1

, ..., x

n

>∈R

PRZYKŁ.

a. x leży między y a z, w zbiorze miast polskich M

Relacja: leżenia między ... a ..., jest relacją trójargumentową: R(x, y, z). Jest ona określona na
trójczłonowym iloczynie kartezjańskim (jest jego podzbiorem): R ⊂ MxMxM.

b.. x jest matką y-ka w zbiorze ludzi L

Relacja: bycia matką, jest relacją dwuargumentową: R(x, y). Jest ona określona na
dwuczłonowym iloczynie kartezjańskim: R ⊂ LxL.

c. x porusza y-kiem w zbiorze przedmiotów P

Relacja: poruszania, jest relacją dwuargumentową: R(x, y). Jest ona określona na
dwuczłonowym iloczynie kartezjańskim: R ⊂ PxP.

 UWAGA: W każdym zdaniu, w którym mówimy coś, o co najmniej dwóch

przedmiotach stwierdzamy zachodzenie pewnej relacji (stwierdzamy, że te przedmioty mają

się do siebie w pewien określony sposób), np. w zdaniu „Ania kocha Janka” stwierdzamy, że

dwa obiekty mają się do siebie w pewien sposób, mianowicie Ania i Jan pozostają do siebie

w relacji kochania.

4. DZIEDZINA, PRZECIWDZIEDZINA I POLE RELACJI

DEF. D

L

(R)={x: ∃y xRy}

W obrazowy, choć bardzo nieprecyzyjny sposób definicję tę można rozumieć następująco:

dziedzina jest to zbiór x-ów, ale nie dowolnych, tylko takich, do których „coś” (czyli y) jest w

relacji, dla której wyznaczana jest dziedzina.

Dziedzinę inaczej określa się jako dziedzinę lewą – wtedy przeciwdziedzinę określa się jako

dziedzinę prawą.

DEF. D

P

(R)={y: ∃x xRy}

DEF. P(R)=D

L

(R) ∪ D

P

(R)

Obrazowo można powiedzieć, że pole relacji to zbiór, który „obejmuje” wszystkie przedmioty

uczestniczące w relacji („po prawej i lewej stronie”).

20

ZAD. 4.1

Proszę określić:

 relację, jej dziedzinę, przeciwdziedzinę i pole,

 relację między dziedziną i przeciwdziedziną oraz

 wskazać jakiego iloczynu kartezjańskiego jest ona podzbiorem.

1. x jest matką y-ka w zbiorze ludzi L

2. x jest matką y-ka w zbiorze kobiet K

3. x jest bratem y-ka w zbiorze ludzi L

4. x jest mężem y-ka w zbiorze ludzi L

5. x jest większy lub równy y w zbiorze liczb całkowitych C

6. x jest równy pod względem wzrostu z y-kiem w zbiorze ludzi L

7. x jest młodszy od y-ka w zbiorze ludzi L

8. x należy do tej samej partii politycznej co y w zbiorze ludzi L

9. x zawiera się w y w zbiorze zbiorów Z

5. KONWERS RELACJI

Konwers relacji R oznacza się symbolem R’:
DEF. xR’ y ≡ yRx

ZAD.

Proszę wyznaczyć konwersy relacji określonych w zad. 4.1

6. WŁASNOŚCI RELACJI

6.1 ZWROTNOŚĆ, SYMETRYCZNOŚĆ, PRZECHODNIOŚĆ I SPÓJNOŚĆ

RELACJI

6.2 RELACJE RÓWNOWAŻNOŚCIOWE I PORZĄDKUJĄCE

6.1 ZWROTNOŚĆ, SYMETRYCZNOŚĆ, PRZECHODNIOŚĆ I SPÓJNOŚĆ

RELACJI

6.1.1 ZWROTNOŚĆ RELACJI

Pod względem zwrotności relacja może być:

1. zwrotna

2. azwrotna (inaczej: przeciwzwrotna)

3. ani zwrotna, ani azwrotna

DEF. R jest zwrotna w zbiorze A ≡ ∀x∈A (xRx)
DEF. R jest azwrotna w zbiorze A ≡ ∀x∈A ¬(xRx)

Relacja może nie być, ani zwrotna, ani azwrotna w zbiorze A wtedy, gdy istnieją takie

elementy zbioru A, które są w relacji do samych siebie i jednocześnie istnieją takie elementy

zbioru A, które nie są w relacji do samych siebie. Przykładem takiej relacji jest relacja
podobania się

w zbiorze ludzi.

6.1.2 SYMETRYCZNOŚĆ RELACJI

Pod względem symetryczności relacja może być:

1. symetryczna

2. asymetryczna (inaczej: przeciwsymetryczna)

3. antysymetryczna

4. ani symetryczna, ani asymetryczna

21

DEF. R jest symetryczna w zbiorze A ≡ ∀x,y∈A (xRy → yRx)
DEF. R jest asymetryczna w zbiorze A ≡ ∀x,y∈A [xRy → ¬(yRx)]
DEF. R jest antysymetryczna w zbiorze A ≡ ∀x,y∈A (xRy ∧ yRx → x=y)

6.1.3 PRZECHODNIOŚĆ RELACJI

Pod względem przechodniości relacja może być:

1. przechodnia

2. nieprzechodnia

DEF. R jest przechodnia w zbiorze A ≡ ∀x,y,z ∈A (xRy ∧ yRz → xRz)

6.1.4 SPÓJNOŚĆ RELACJI

Pod względem spójności relacja może być:

1. spójna

2. niespójna

DEF. R jest spójna w zbiorze A ≡ ∀x,y∈A (xRy ∨ yRx ∨ x=y)

ZAD.

Proszę określić własności formalne relacji podanych w zad. 4.1 (z wyjątkiem przykładu 9)

6.2 RELACJE RÓWNOWAŻNOŚCIOWE I PORZĄDKUJĄCE

A. RELACJE RÓWNOWAŻNOŚCIOWE

DEF. Relację R

⊂A×A nazywamy relacją równoważnościową, gdy jest ona: (1) zwrotna w

zbiorze A, (2) symetryczna w zbiorze A, (3) przechodnia w zbiorze A.

PRZYKŁADAMI takiej relacji są:

- identyczność (w dowolnym zbiorze)

- równoważność wyrażeń

- przystawanie odcinków

- przystawanie i podobieństwo trójkątów (ogólniej: wielokątów)

- równoległość prostych

ZAD.

Na zbiorze A={a, b, c, d} określona jest relacja R. Uzupełnij ją tak, aby otrzymać relację

równoważnościową.

1.

R={<a, b>, <b, b>, <b, c>, <c, c>}.

2.

R={<a, a>, <a, b>, <b, c>, <d, c>}.

 UWAGA: Można powiedzieć nieprecyzyjnie, że każda relacja równoważnościowa

„określa”, że przedmioty pozostające w tej relacji mają jakąś wspólną, taką samą cechę (są
pod pewnym względem jednakowe

):

- relacja przystawania „określa”, że wielokąty mają jednakowe kształty (długości boków i

kąty)

- relacja równoległości „określa”, że proste mają jednakowe kierunki

- różne relacje „określające” wspólne cechy u ludzi, np. relacja posiadania wspólnych

zainteresowań „określa”, że grupa osób posiada jednakowe zainteresowania.

22

Zbiór wszystkich przedmiotów ze zbioru A podobnych pod pewnym względem do
dowolnego przedmiotu x∈A (czyli pozostających do tego przedmiotu w pewnej relacji

równoważnościowej R określonej w zbiorze A), nazywamy klasą abstrakcji relacji R w
zbiorze A wyznaczoną przez element x

(symbolicznie: [x]

A,R

) i definiujemy następująco:

DEF. Jeżeli R∈równ(A) i x∈A, to [x]

A,R

= {y: y∈A ∧ xRy}

PRZYKŁ.

Określimy klasy abstrakcji dla zadanego zbioru A i relacji w nim określonej R:

(a) A- zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie euklidesowej

R- relacja równoległości

[k]

A,R

- zbiór wszystkich prostych tej płaszczyzny równoległych do prostej k

[l]

A,R

- zbiór wszystkich prostych tej płaszczyzny równoległych do prostej l

Ogólnie: dla dowolnej prostej x otrzymujemy następującą klasę abstrakcji:

[x]

A,R

- zbiór wszystkich prostych tej płaszczyzny równoległych do prostej x

Wszystkie proste należące do tej samej klasy abstrakcji są do siebie równoległe, a więc
posiadają ten sam kierunek

, pewną wspólną tej klasie własność, której nie posiadają proste z

pozostałych klas abstrakcji. Jest to ich własność charakterystyczna.

(b) A- zbiór wszystkich trójkątów ∆ na płaszczyźnie euklidesowej

R- relacja podobieństwa trójkątów

Możemy uporządkować, pogrupować ∆ w klasy, „grupy”, w taki sposób, że do każdej
„grupy” należą ∆ podobne do siebie:
[∆

∆∆∆ABC]

A,R

- zbiór wszystkich trójkątów tej płaszczyzny podobnych do trójkąta ABC

[∆

∆∆∆DEF]

A,R

- zbiór wszystkich trójkątów tej płaszczyzny podobnych do trójkąta DEF

Ogólnie: dla dowolnego trójkąta x otrzymujemy następującą klasę abstrakcji:

[x]

A,R

- zbiór wszystkich trójkątów tej płaszczyzny podobnych do trójkąta x

Możemy powiedzieć, że klasa abstrakcji dla relacji podobieństwa trójkąta x jest definicją
kształtu trójkąta x.

ZAD.

Proszę określić klasy abstrakcji dla zadanych zbiorów A i relacji w nich określonych R. Czy

można nadać specyficzne nazwy wyznaczonym klasom abstrakcji?

1. A- zbiór walców w przestrzeni

R- relacja przystawania brył

2. A- zbiór ludzi

R- relacja pokrewieństwa

3. A- zbiór polityków

R- relacja należenia do tej samej partii

4. A- zbiór mężczyzn

R- relacja posiadania takiego samego koloru włosów

Wróćmy do punktu (b) z powyższego przykładu. Każdy trójkąt będzie wyznaczał klasę

abstrakcji składającą się z trójkątów podobnych do niego i do każdego innego z jego klasy.

Wszystkie trójkąty znajdą się w jakiejś klasie abstrakcji (inaczej mówiąc: każdy z nich

zostanie przyporządkowany do odpowiedniego zbioru, czyli klasy). Łącząc wszystkie klasy w

rodzinę zbiorów dostaniemy klasę ilorazową (zbiór ilorazowy) dla zbioru A i relacji R

(symbolicznie: A/R), czyli w tym wypadku zbiór wszystkich klas abstrakcji wszystkich

trójkątów jakie można wyznaczyć na płaszczyźnie euklidesowej, a mówiąc jeszcze inaczej

zbiór wszystkich kształtów trójkątów dla tej płaszczyzny.

23

DEF. Jeżeli R∈równ(A), to A/R = {X: ∃x∈A (X= [x]

A,R

)}

 UWAGA: Klasa ilorazowa jest to więc rodzina klas abstrakcji (klasy abstrakcji to

zbiory), przy czym nałożony jest na te klasy warunek, że musi istnieć element wyznaczający

daną klasę, każda z klas nie może być więc pusta. Mówiąc bardziej obrazowo, choć

nieprecyzyjnie: musi istnieć element, do którego będziemy przyrównywać pozostałe elementy

zbioru A (w naszym przypadku element x) i względem niego będziemy tworzyć daną klasę

abstrakcji [x]

A,R

.

B. RELACJE PORZĄDKUJĄCE

DEF. Relację R

⊂A×A nazywamy relacją ostrego porządku, gdy jest ona: (1) azwrotna w

zbiorze A, (2) przechodnia w zbiorze A.

Mówimy wtedy, że relacja R ostro porządkuje zbiór A.

DEF. Relację R

⊂A×A nazywamy relacją nieostrego porządku wtedy, gdy jest ona: (1)

zwrotna w zbiorze A, (2) antysymetryczna w zbiorze A, (2) przechodnia w zbiorze A.

Mówimy wtedy, że relacja R nieostro porządkuje zbiór A.

DEF. Relację R

⊂A×A nazywamy relacją liniowego porządku wtedy, gdy jest ona relacją

porządku i jednocześnie jest spójna w zbiorze A.

Mówimy wtedy, że relacja R porządkuje liniowo zbiór A.

Wśród relacja liniowych wyróżnia się:

1. liniowe relacje ostrego porządku,

2. liniowe relacje nieostrego porządku.

ZAD.

Proszę określić własności formalne relacji i, o ile to możliwe, na tej podstawie wskazać, w

jaki sposób porządkują one odpowiednie zbiory. W przypadku relacji równoważności proszę

określić klasy abstrakcji tej relacji i klasy ilorazowe. Będzie się przyjmować, że w każdym z

przykładów relacje określone są na zbiorze ludzi L:

1-8. relacje z zadania 4.1

9. R - bycie niestarszym

10. R - posiadanie wspólnych krewnych

11. R - bycie zakochanym w tej samej osobie

12. R - bycie starszym

13. R - bycie równym pod względem wzrostu

14. x jest znajomym y-ka

15. x zna y-ka

7. FUNKCJE

Funkcja jest taką relacją, w której jeden element dziedziny jest przyporządkowany tylko

jednemu elementowi przeciwdziedziny.
DEF. Func(R) ≡ ∀x∀y∀z (xRy ∧ xRz → y=z)
Powiemy, że: y = f(x) ≡ <x, y> ∈ f

Wśród funkcji wyróżnia się takie funkcje, w których jeden element przeciwdziedziny jest

przyporządkowany tylko jednemu elementowi dziedziny. Funkcje takie nazywane są

funkcjami różnowartościowymi czy inaczej: wzajemnie jednoznacznymi lub

jednojednoznacznymi. Oznaczać je będziemy następująco: 1-1.
DEF. 1-1(f) ≡ ∀x∀y (x ≠ y → f(x) ≠ f(y))

24

ZAD.

Proszę wskazać, które z poniższych relacji są funkcjami, a które funkcjami

różnowartościowymi:

1. R: bycie matką, w zbiorze ludzi L

2. R: bycie żoną w danym momencie czasowym, w zbiorze Polaków P

3. R: Z → {0, 1}, gdzie Z – zbiór zdań

4. R: bycie starszym, w zbiorze ludzi L

5. R: bycie zakochanym, w zbiorze ludzi L

6. R: bycie zakochanym w tej samej osobie, w zbiorze ludzi L

7. y = x

2

, czyli: y jest kwadratem x-a, w zbiorze liczb naturalnych N

8. y = x

2

, czyli: y jest kwadratem x-a, w zbiorze liczb całkowitych C

VI. FORMALNE RACHUNKI LOGICZNE

W dalszej części będziemy zajmować się formalnymi rachunkami logicznymi: klasycznym

rachunkiem zdań (KRZ), klasycznym rachunkiem predykatów (KRP). Dlatego w pierwszej

kolejności wprowadzimy pojęcia wstępne, których znajomość jest konieczna do badania tych

rachunków formalnych.

1.

CHARAKTERYSTYKI

MATRYCOWE

FUNKTORÓW

PRAWDZIWOŚCIOWYCH

2.

POJĘCIA INTERPRETACJI, FORMALIZACJI, WARTOŚCIOWANIA ORAZ

TAUTOLOGII

Do powtórzenia:

- Pojęcia stałej, zmiennej oraz funkcji zdaniowej,

- Pojęcie funktora głównego.

1. CHARAKTERYSTYKI MATRYCOWE FUNKTORÓW

PRAWDZIWOŚCIOWYCH

Do funktorów (spójników) prawdziwościowych zaliczamy funktory o następujących

charakterystykach matrycowych:

A. FUNKTORY JEDNOARGUMENTOWE:

Wyróżnia się 4 jednoargumentowe spójniki prawdziwościowe (2

2

). Z punktu widzenia

praktyki użycia w językach naturalnych najważniejszym jest funktor negacji.

p

¬

¬

¬

¬p

F

2

(p)

F

3

(p)

F

4

(p)

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

¬

¬

¬

¬p jest to funktor negacji; czytamy go: nieprawda, że p

F

2

(p) jest to funktor asercji, czyli potwierdzający zdanie p; czytamy go: zaprawdę p

F

3

(p) jest to funktor falsyfikujący wszystko (nadający wszystkiemu wartość fałszu)

F

4

(p) jest to funktor potwierdzający wszystko (nadający wszystkiemu wartość prawdy)

25

B. FUNKTORY DWUARGUMENTOWE:

Wyróżnia się 16 dwuargumentowych spójników prawdziwościowych (2

4

). Jednak tylko

niektóre z nich badane są szczegółowiej w rachunkach logicznych ze względu na ich istotną

interpretację w językach naturalnych.

 KONIUNKCJA

Czytamy: p i q, np. Jan idzie do szkoły i gwiżdże.

Zdanie to jest prawdziwe tylko wtedy, gdy Jan rzeczywiście idzie do szkoły (czyli v(p)=1) i

rzeczywiście w tym czasie również gwiżdże (czyli również v(q)=1).

p

q

p∧

∧∧∧q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

 ALTERNATYWA ZWYKŁA

Czytamy: p lub q, np. Jan studiuje historię lub filozofię.

Zdanie to jest prawdziwe, bądź gdy Jan studiuje tylko historię (tzn. v(p)=1 i v(q)=0), bądź gdy

studiuje tylko filozofię (tzn. v(p)=0 i v(q)=1), bądź gdy studiuje dwa kierunki: historię i

filozofię (tzn. v(p)=1 i v(q)=1).

p

q

p∨

∨∨∨q

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

 IMPLIKACJA

Czytamy: jeżeli p, to q, np. Jeżeli Kraków jest stolicą Polski, to 2+2=4.

Pierwszy człon implikacji to poprzednik, drugi następnik.

 UWAGA: tego spójnika nie wolno utożsamiać z wynikaniem między zdaniami, a

zdarzenia przez niego opisywanego z przyczynowością obserwowaną w rzeczywistości

pozajęzykowej.

p

q

p →

→

→

→ q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

 RÓWNOWAŻNOŚĆ

Czytamy: p wtedy i tylko wtedy, gdy q lub: p wtedy, gdy q lub: p to tyle co q.

Równoważność między zdaniami zachodzi, gdy zdania te mają te same wartości logiczne

(tzn. gdy v(p) = v(q) = 1 lub gdy v(p) = v(q) = 0).

26

p

q

p ≡

≡≡≡ q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

2. POJĘCIA INTERPRETACJI, FORMALIZACJI, WARTOŚCIOWANIA

ORAZ TAUTOLOGII

Funkcja zdaniowa – wyrażenie zdaniowe, w którym występuje co najmniej jedna zmienna.

Zmienne zdaniowe to p, q, r. Funkcje zdaniowe należą do języka formalnego.

Zdania zaś należą do języka naturalnego.

DEF. Interpretacją funkcji zdaniowej α

ααα jest każde takie zdanie, które powstaje z funkcji α

przez podstawienie za wszystkie zmienne zdaniowe zdań.

DEF. Formalizacją zdania nazywamy dowolną funkcję zdaniową, której interpretacją jest to

zdanie.

DEF. Tautologią logiki L jest taka funkcja zdaniowa tej logiki, której każda interpretacja jest

zdaniem prawdziwym.

I odpowiednio:

DEF. Kontrtautologią logiki L jest taka funkcja zdaniowa tej logiki, której każda

interpretacja jest zdaniem fałszywym.

Interpretacja funkcji zdaniowej danej logiki jest stałą zdaniową, zatem należy do języka

naturalnego. Natomiast formalizacja zdania, tautologia i kontratologia danej logiki to funkcje

zdaniowe, czyli wyrażenia należące do języka formalnego.

PRZYKŁ.
a. p

∨ q - funkcja zdaniowa czasami prawdziwa, czasami fałszywa. Badana funkcja nie jest

więc, ani tautologią, ani kontrtautologią. Przykładowo interpretacja tej funkcji zdaniowej

może być zdaniem fałszywym, np. ‘Stallone jest rybą lub Stallone jest żyrafą’ lub zdaniem

prawdziwym ‘Stallone jest kobietą lub Stallone jest mężczyzną’.
b. p

∨ ¬p - funkcja zdaniowa „zawsze” prawdziwa – jest to tautologia. Interpretacje tej

funkcji zdaniowej będą zawsze zdaniami prawdziwymi, np. ‘Stallone jest kobietą lub Stallone
nie jest kobietą’,

‘Stallone jest mężczyzną lub Stallone nie jest mężczyzną’.

VII. KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ (KRZ)

Klasyczny Rachunek Zdań jest to formalna teoria języka zajmująca się wyrażeniami

zdaniowymi oraz związkami, jakie między nimi zachodzą ze względu na występowanie

między wyrażeniami spójników prawdziwościowych. Logicy zajmują się wyrażeniami i

związkami między nimi pod kątem ich wartości logicznych – prawdy i fałszu (szukają

wyrażeń zdaniowych „zawsze” prawdziwych, wyrażeń zdaniowych „zawsze” fałszywych,

niezawodnych schematów rozumowań, itp.).

27

1.

SŁOWNIK I WYRAŻENIA SENSOWNE KRZ

2.

TEZY KRZ

 UWAGA:

Prawo logiczne jest to prawdziwe wyrażenie zdaniowe zbudowane wyłącznie ze stałych

logicznych i zmiennych

Teza logiczna logiki L (twierdzenie logiki L) jest to wyrażenie, dla którego istnieje dowód

w tym systemie.

1. SŁOWNIK I WYRAŻENIA SENSOWNE KRZ

DEF. Do słownika KRZ należą:

1. zmienne zdaniowe: p, q, r, s
2. stałe logiczne:

¬, ∧, ∨, →, ≡

3. nawiasy: ( ), [ ]

DEF. Do wyrażeń sensownych KRZ należą:

1. zmienne zdaniowe: p, q, r, s
2. Jeżeli wyrażeniami sensownymi KRZ są wyrażenia

α,β, to wyrażeniami sensownymi KRZ

są również:

¬α, α∧β, α∨β, α→β, α≡β

3. Wyrażeniem sensownym KRZ jest każde wyrażenie takiej postaci jak 1 i 2.

UWAGA:

 Stałe logiczne to inaczej: funktory prawdziwościowe, spójniki zdaniowe.

2. TEZY KRZ

T1. [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
T2. [(p ∧ q) → r] ≡ [p → (q → r)]
T3. [p→ (q → r)] ≡ [q → (p → r)]
T4. (p ∨ q) ≡ (¬q → p)
T5. ¬ ¬p ≡ p
T6. (p→ q) ≡ (¬q → ¬p)
T7. [(p ∧ q) → r] ≡ [(p ∧ ¬r) → ¬q]
T8. [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p
T9. p → (¬p → q)
T10. q → (p → q)
T11. p ≡ p
T12. (p ≡ q) ≡ (q ≡ p)
T13. [(p ≡ q) ∧ (q ≡ r)] → (p ≡ r)
T14. (p ≡ q) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)]
T15. (p → ¬p) → ¬p
T16. (¬p → p) → p
T17. [(p → q) ∧ (p → r)] ≡ [p → (q ∧ r)]
T18. [(p → r) ∧ (q → r)] ≡ [(p ∨ q) → r]
T19. [(p → r) ∧ (q → r) ∧ (p ∨ q)] → r
T20. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
T21. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

28

T22. ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
T23. ¬(p ∧ ¬p)
T24. p ∨ ¬p
T25. (p → q) → [(p ∧ r) → (q ∧ r)]
T26. [(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∧ r) → (q ∧ s)]
T27. (p → q) → [(p ∨ r) → (q ∨ r)]
T28. [(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∨ r) → (q ∨ s)]
T29. [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)] → (q ∨ s)
T30. (p → q) ≡ (¬p ∨ q)

Tezy T20 i T21 nazywane są prawami de Morgana (inaczej: prawem negowania alternatywy i

prawem negowania koniunkcji). Teza T23 nazywana jest prawem niesprzeczności, a teza T24

– prawem wyłączonego środka.

ZAD.1

Proszę wskazać, które wyrażenia należą do słownika KRZ i do wyrażeń sensownych KRZ:

1. jeżeli... to...

2. idę do

3. ¬

4. p

5. p→

6. p→ (q ∧ r)

7. SaP

ZAD.2

Proszę utworzyć interpretacje tez T2, T5-T8, T20, T22-T24 oraz T29.

ZAD.3

Proszę wskazać, które z poniższych wyrażeń jest tezą KRZ z jedną zmienną zdaniową:
1. p → (q ∨ p)

2. p ∨ ¬p

3. SaP ∨ ¬SaP

4. SaP → (SaP ∨ SeP)

VIII. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW (KRP)

1. SŁOWNIK I WYRAŻENIA SENSOWNE KRP

2. TEZY KRP

Do powtórzenia:

- Pojęcia stałej, zmiennej oraz funkcji nazwowej;

- Pojęcia kwantyfikatora dużego, małego, wskaźnika i zasięgu kwantyfikatora;

Klasyczny Rachunek Predykatów jest to formalna teoria języka zajmująca się związkami

między zdaniami, w których, w odróżnieniu od KRZ, ujawniona jest struktura formalna

zdania prostego. W logice tej zdania proste składają się z:

29

(1) zmiennej nazwowej i predykatu jednoargumentowego (czyli funktora zdaniotwórczego od

jednego argumentu nazwowego) – takiemu wyrażeniu zdaniowemu odpowiada w

rzeczywistości pozajęzykowej sytuacja polegająca na tym, że obiektowi (indywiduum)

przysługuje cecha,

(2) z dwóch zmiennych nazwowych i predykatu dwuargumentowego (czyli funktora

zdaniotwórczego od dwóch argumentów nazwowych) – takiemu wyrażeniu zdaniowemu

odpowiada w rzeczywistości pozajęzykowej sytuacja polegająca na tym, że między dwoma

obiektami (indywiduami) zachodzi relacja,

.

.

(n) z n-zmiennych nazwowych i predykatu n-argumentowego (czyli funktora

zdaniotwórczego od n-argumentów nazwowych) – takiemu wyrażeniu zdaniowemu

odpowiada w rzeczywistości pozajęzykowej sytuacja polegająca na tym, że między n-

obiektami zachodzi n-argumentowa relacja.

 UWAGA: KRP jest nadbudowane nad KRZ, tzn.:

1. w KRP obowiązują te same co w KRZ:

a.

wyrażenia sensowne

b.

tezy

c.

reguły

2. w KRP obowiązują specyficzne (nie obowiązujące w KRZ):

a.

wyrażenia sensowne (np.

∀x Fx)

b.

tezy (np. ∀x (Fx ∧ Gx) ≡ ∀x Fx ∧ ∀x Gx)

c.

reguły (np. O∀, D∃)

1. SŁOWNIK I WYRAŻENIA SENSOWNE KRP

DEF. Do słownika KRP należą:

1. zmienne zdaniowe p, q, r, s

2. zmienne nazwowe x, y, z

3. predykaty n-argumentowe F, G, R

4. stałe logiczne

¬, ∧, ∨, →, ≡

5. kwantyfikatory ∀, ∃

6. nawiasy ( ), [ ]

DEF. Do wyrażeń sensownych KRP należą:

1. zmienne zdaniowe p, q, r, s

2. wyrażenia atomowe

ϕ(α

1

, ...,

α

n

)

składające się z n-argumentowego predykatu i n-

elementowego ciągu zmiennych nazwowych.

3. Jeżeli wyrażeniami sensownymi KRP są wyrażenia

α, β, to wyrażeniami

sensownymi KRP są również:

¬α, α∧β, α∨β, α→β, α≡β

4. Jeżeli

α jest zmienną nazwową, a ϕ jest wyrażeniem sensownym KRP, to

wyrażeniami sensownymi są również:

∀α ϕ, ∃α ϕ

5. Wyrażeniem sensownym KRP jest każde i tylko takie wyrażenie jak wyrażenie 1,

2, 3 i 4.

30

2. TEZY KRP

I. Lematy (twierdzenia pomocnicze):
T1. ∀x Fx → Fy
T2. Fy → ∃x Fx
T3. ∀x Fx → ∃x Fx
T4. ∀x Fx ≡ ∀y Fy
T5. ∃x Fx ≡ ∃y Fy

II. Prawa rozdzielności (kwantyfikatorów względem spójników logicznych):
T6. ∀x ¬Fx ≡ ¬∃x Fx
T7. ∃x ¬Fx ≡ ¬∀x Fx
T8. ∀x (Fx ∧ Gx) ≡ (∀x Fx ∧ ∀x Gx)
T9. ∃x (Fx ∧ Gx) → (∃x Fx ∧ ∃x Gx)
T10. (∀x Fx ∨ ∀x Gx) → ∀x (Fx ∨ Gx)
T11. ∃x (Fx ∨ Gx) ≡ (∃x Fx ∨ ∃x Gx)
T12. ∀x (Fx → Gx) → (∀x Fx → ∀x Gx)
T13. ∀x (Fx → Gx) → (∃x Fx → ∃x Gx)
T14. ∃x (Fx → Gx) ≡ (∀x Fx → ∃x Gx)
T15. ∀x (Fx ≡ Gx) → (∀x Fx ≡ ∀x Gx)
T16. ∀x (Fx ≡ Gx) → (∃x Fx ≡ ∃x Gx)

III. Prawa przenoszenia kwantyfikatorów (w prawach tych zmienna α reprezentuje

wszystkie i tylko te formuły KRP, w których zmienna x nie jest zmienną wolną):
T17. ∀x (Fx ∧ α) ≡ (∀x Fx ∧ α)
T18. ∃x (Fx ∧ α) ≡ (∃x Fx ∧ α)
T19. ∀x (Fx ∨ α) ≡ (∀x Fx ∨ α)
T20. ∃x (Fx ∨ α) ≡ (∃x Fx ∨ α)
T21. ∀x (Fx → α) ≡ (∃x Fx → α)
T22. ∀x (α → Fx) ≡ (α → ∀x Fx)
T23. ∃x (Fx → α) ≡ (∀x Fx → α)
T24. ∃x (α → Fx) ≡ (α → ∃x Fx)
T25. ∀x (α ≡ Fx) → (α ≡ ∀x Fx)
T26. ∀x (α ≡ Fx) → (α ≡ ∃x Fx)

IV. Prawa przestawiania kwantyfikatorów:
T27. ∀x∀y Fxy ≡ ∀y∀x Fxy
T28. ∃x∃y Fxy ≡ ∃y∃x Fxy
T29. ∃x∀y Fxy → ∀y∃x Fxy

ZAD.1

Proszę utworzyć interpretacje funkcji zdaniowych T7, T8, T10 oraz T14.

ZAD.2

Proszę znaleźć kontrprzykład pokazujący, że tezami KRP nie są wyrażenia stanowiące

implikacje „w przeciwnym kierunku“ do implikacji stanowiących tezy T9, T10 i T29, tzn.

wyrażenia:
W9: ∃x Fx ∧ ∃x Gx→ ∃x (Fx ∧ Gx),
W10: ∀x (Fx ∨ Gx) → ∀x Fx ∨ ∀x Gx
W29: ∀y∃x Fxy → ∃x∀y Fxy.

31

IX. ELEMENTY METODOLOGII

1. METODY UZASADNIANIA ZDAŃ

2. POJĘCIE ROZUMOWANIA

3. SYSTEM DEDUKCYJNY

1. METODY UZASADNIANIA ZDAŃ

Metody uzasadniania zdań (metody wykazywania prawdziwości zdań) są najważniejszym

zagadnieniem badanym przez metodologię nauk. Poprawne uzasadnianie zdań jest istotne,

gdyż tylko teorie naukowe, w których wszystkie zdania są prawdziwe, mogą być

„pełnowartościowymi” teoriami. Co za tym idzie tylko na podstawie takich teorii można

dokonywać przewidywań i prognoz czy też planować swoje działania.

Zdanie jest uzasadnione

na gruncie danej nauki wtedy, gdy zostało wykazane w tej nauce, że

spełnione są warunki wystarczające do tego, aby zaliczyć to zdanie do zbioru zdań

prawdziwych.

Wyróżnia się następujące metody uzasadniania zdań:

 metody bezpośrednie:

(a)

doświadczenie

(b)

konwencja językowa

 metody pośrednie (rozumowania):

(a)

rozumowania dedukcyjne

(b)

rozumowania redukcyjne

(c)

rozumowania niededukcyjno-nieredukcyjne

(1) Uzasadnianie bezpośrednie

Uzasadnianie bezpośrednie jest to takie uzasadnianie, w którym wykazując prawdziwość

danego zdania nie powołujemy się na inne zdanie. Zdania uzasadniamy bezpośrednio

powołując się na doświadczenie (przyjmuje ono postać obserwacji bądź eksperymentu - czyli

celowo zaplanowanej obserwacji) lub istniejącą w danym języku konwencję terminologiczną

(prawdziwość zdania uzasadniana jest poprzez wskazanie na sposób rozumienia określonych

wyrażeń w tym języku).

PRZYKŁ.

Prawdziwość zdania „Na moim podwórku jest mokro” określony użytkownik języka może

wykazać (uzasadnić) na podstawie doświadczenia, tzn. na podstawie obserwacji, jak wygląda

okolica za jego oknem.

Prawdziwość zdania „Kawaler jest nieżonatym mężczyzną” określony użytkownik języka

może uzasadnić na podstawie konwencji terminologicznej języka polskiego, tzn. na podstawie

wskazania, w jaki sposób w języku polskim rozumiane jest pojęcie „kawaler”.

(2) Uzasadnianie pośrednie

Uzasadnianie pośrednie jest to takie uzasadnianie, w którym wykazując prawdziwość danego

zdania powołujemy się na inne zdania wcześniej uznane za prawdziwe. Uzasadnianie

pośrednie jest więc zawsze rozumowaniem.

32

PRZYKŁ.

Jeżeli użytkownik języka nie ma możliwości przeprowadzenia obserwacji (nie może np.

podejść do okna i sprawdzić, czy jest mokro), to może wykazać (uzasadnić) prawdziwość

zdania „Na moim podwórku jest mokro” przeprowadzając odpowiednie rozumowanie. W tym

celu musi on wskazać takie zdania wcześniej uznane za prawdziwe, które zwiększają

prawdopodobieństwo lub gwarantują, że zdanie „Na moim podwórku jest mokro” jest

prawdziwe. Użytkownik języka może więc powiedzieć, że zdanie „Na moim podwórku jest
mokro

” jest prawdziwe, bo prawdą jest, że „Teraz pada deszcz” (słyszy bądź widzi, że pada) i

wie też, że prawdą jest: „jeżeli pada deszcz, to jest mokro”. Prawdziwość zdania „Na moim
podwórku jest mokro

” jest więc w tym wypadku uzasadniona bez przeprowadzania

obserwacji, ale na podstawie zdań uznanych za prawdziwe. Schemat tego uzasadniania

(rozumowania) wygląda następująco:

Wniosek: Na moim podwórku jest mokro, ponieważ:

Przesłanka

1

: Pada deszcz, oraz

Przesłanka

2

: Jeżeli pada deszcz, to jest mokro.

2. POJĘCIE ROZUMOWANIA

Rozumowanie to „coś więcej” niż wynikanie - w tym procesie uznajemy jakieś zdania na

podstawie zdań wcześniej uznanych.

Rozumowanie jest to taki ciąg zdań, w którym na podstawie uznanych wcześniej zdań

nazywanych przesłankami (symbolicznie: P) zostaje uznany wniosek (symbolicznie: Wn) w

oparciu o określoną podstawę tego uzasadniania. Między przesłankami a wnioskiem zachodzi

zawsze relacja wyprowadzania (relacja inferencji), symbolicznie przedstawiania za pomocą

spójnika: ├. W języku naturalnym relacja wyprowadzania oddawana jest za pomocą wyrażeń:

„zatem”, „dlatego też”, „wiec”, „bo”, „ponieważ”. Schemat rozumowania wygląda

następująco:

P ├ Wn

czyli:

Przesłanki – Relacja Wyprowadzania - Wniosek

np.: Pada deszcz (P

1

), Jeżeli pada deszcz, to jest mokro (P

2

) - zatem (├) - Jest mokro (Wn).

Jeżeli relacja wyprowadzania wniosku na podstawie przesłanek opiera się na relacji

wynikania logicznego, to rozumowanie nazywamy rozumowaniem dedukcyjnym (dedukcją).

Jeżeli natomiast relacja wynikania logicznego nie zachodzi między przesłankami a

wnioskiem, ale zachodzi między wnioskiem a przesłankami, rozumowanie jest

rozumowaniem redukcyjnym. Schemat wynikania logicznego wygląda następująco:

Racje – Relacja Wynikania Logicznego - Następstwo

Z pewnych zdań (nazywanych racjami) wynika logicznie na gruncie określonej logiki L

zdanie (nazywane następstwem) wtedy, gdy implikacja utworzona z tych zdań podpada pod

tautologię logiki L.

PRZYKŁ.1

Ze zdań: Pada deszcz, Jeżeli pada deszcz, to jest mokro, wynika logicznie na gruncie logiki

KRZ zdanie: Jest mokro, ponieważ implikacja: Jeżeli [pada deszcz i (jeżeli pada deszcz, to
jest mokro)], to jest mokro

, podpada pod tautologię KRZ: [p

∧ (p→q)] → q.

PRZYKŁ.2

Ze zdań: Każdy człowiek jest ssakiem, Każdy ssak jest kręgowcem, wynika logicznie na

gruncie teorii sylogizmów zdanie: Każdy człowiek jest kręgowcem, ponieważ implikacja:

33

Jeżeli każdy człowiek jest ssakiem i

każdy ssak jest kręgowcem, to każdy człowiek jest

kręgowcem

, podpada pod tautologię teorii sylogizmów: (SaP

∧ PaM) → SaM.

Wyróżniamy więc rozumowania:

(1) Dedukcyjne – jest to rozumowanie, w którym z przesłanek wynika logicznie wniosek,

(2) Redukcyjne – jest to rozumowanie, w którym z wniosku wynikają logicznie przesłanki

(choć z przesłanek nie wynika logicznie wniosek),

(3) Niededukcyjno-nieredukcyjne – jest to rozumowanie, w którym ani z przesłanek nie

wynika logicznie wniosek, ani z wniosku nie wynikają logicznie przesłanki.

PRZYKŁ.3

Rozważmy następujące dwa rozumowania:

R

1

: Pada deszcz (P) zatem jest mokro (Wn)

R

2

: Jest mokro (P) zatem padał deszcz (Wn)

Prawem, dzięki któremu może zachodzić wynikanie między dwoma zdaniami: Pada deszcz,
Jest mokro,

jest następujące prawo charakteryzujące znaną zależność:

Prawo: Jeżeli pada deszcz, to jest mokro.

Siła uzasadniania wniosku jest „większa” w pierwszym rozumowaniu od siły uzasadniania w

rozumowaniu drugim, gdyż w pierwszym z nich kierunek wyprowadzania z przesłanki (Pada
deszcz

) wniosku (Jest mokro) jest zgodny z kierunkiem prawa, na którym opiera się

wynikanie. Natomiast w drugim rozumowaniu kierunek wyprowadzania z przesłanki (Jest
mokro

) wniosku (Padał deszcz) jest odwrotny do kierunku prawa, na którym opiera się

wynikanie. W pierwszym rozumowaniu z przesłanek wynika więc wniosek – jest to dedukcja,

natomiast w drugim – z wniosku wynikają przesłanki, ale nie odwrotnie, czyli jest to

redukcja.

W rozumowaniach dedukcyjnych przesłanki stanowią racje wynikania logicznego, natomiast

wniosek jest następstwem tej relacji. W rozumowaniach redukcyjnych przesłanki stanowią

zaś następstwo wynikania logicznego, natomiast wniosek jest racją tej relacji.

W rozumowaniu redukcyjnym R

2

w przykładzie 3 zdanie: Jest mokro nie stanowi racji

wynikania logicznego i zdanie: Pada deszcz nie stanowi następstwa, ponieważ z tego, że jest

mokro wcale nie wynika, że pada deszcz. Mokro może być bowiem dlatego, że przejechała

polewaczka czy gospodarz podlewając trawnik polał całe podwórze. Natomiast z tego, że

pada deszcz (wniosek) wynika, że jest mokro (czyli z wniosku wynika przesłanka), ponieważ

zawsze gdy spadnie deszcz w jakimś miejscu i czasie, będzie tam w tym momencie mokro.

Zatem jeżeli rozumujemy „w odwrotnym kierunku”, tak jak w rozumowaniu R

1

z przesłanek

wynika wniosek, zatem rozumowanie to jest rozumowaniem dedukcyjnym.

Ważnym typem rozumowania dedukcyjnego jest dowodzenie. Dowodzenie charakteryzuje

się tym, że najpierw stwierdzony jest wniosek dowodzenia, dla którego następnie poszukuje

się racji, tzn. przesłanek uzasadniających ten wniosek.

Ważnym typem rozumowania redukcyjnego stosowanym w naukach przyrodniczych jest

indukcja enumeracyjna niezupełna (potocznie określana krótko jako indukcja). Ten typ

redukcji charakteryzuje się tym, że na podstawie wielu szczegółowych przesłanek

opisujących, że poszczególne przedmioty badane posiadają pewną cechę, wyprowadza się

wniosek ogólny, że wszystkie przedmioty badanego typu posiadają tę cechę.

Przykładem indukcji jest następujące rozumowanie: Pierwsza kostka cukru rozpuściła się w
herbacie

(P

1

), Druga kostka cukru rozpuściła się w herbacie (P

2

), Trzecia kostka cukru

rozpuściła się w herbacie

(P

3

), zatem Każda kostka cukru rozpuszcza się w herbacie (Wn).

34

(Wniosek tego rozumowania można sformułować również w następującej postaci: Cukier
zawsze rozpuszcza się w herbacie

).

Ważnym typem rozumowania niededukcyjno-nieredukcyjnego jest wnioskowanie przez

analogię. W rozumowaniu tym na podstawie wielu szczegółowych przesłanek opisujących,

że poszczególne przedmioty badane posiadają pewną cechę, wyprowadza się również

szczegółowy wniosek, że inny przedmiot badanego typu posiadają tę cechę. Wnioskowanie

przez analogię tak jak indukcja wychodzi od szczegółowych przesłanek, ale w

przeciwieństwie do tego rozumowania redukcyjnego nie dochodzi do wniosku ogólnego, ale

szczegółowego. Przyjmując przesłanki takie jak w rozumowaniu powyżej, tzn.: Pierwsza
kostka cukru rozpuściła się w herbacie

(P

1

), Druga kostka cukru rozpuściła się w herbacie

(P

2

), Trzecia kostka cukru rozpuściła się w herbacie (P

3

), we wnioskowaniu przez analogię

wniosek nie będzie opisywać własności wszystkich kostek cukru, ale kolejnej, innej kostki

cukru: Wn: Czwarta kostka cukru rozpuści się w herbacie (Wn).

Wśród rozumowań wyróżniamy rozumowania niezawodne:

DEF. Rozumowanie niezawodne – rozumowanie, w którym prawdziwość przesłanek

gwarantuje prawdziwość wniosku

DEF. Niezawodna reguła wnioskowania – reguła, której zastosowanie gwarantuje, że z

prawdziwych przesłanek wyprowadzony zostanie prawdziwy wniosek

Rozumowania dedukcyjne są rozumowaniami niezawodnymi, całkowicie uzasadniającymi.

Natomiast rozumowania redukcyjne są rozumowaniami częściowo uzasadniającymi,

uprawdopodobniającymi, gdyż przy prawdziwych przesłankach nie gwarantują one

prawdziwości wniosku, ale jedynie zwiększają prawdopodobieństwo, że wyciągnięty wniosek

będzie prawdziwy.

3. SYSTEM DEDUKCYJNY

W naukach wszystkie prawa (wyrażenia prawdziwe) danej dziedziny „grupuje się” w

uporządkowany zbiór wyrażeń nazywany teorią naukową. W logice i matematyce teorie

przyjmują postać systemów dedukcyjnych, czyli formalnych teorii naukowych.

System dedukcyjny zostaje budowany w następujący sposób: w pierwszej kolejności

przyjmuje się aksjomaty oraz reguły dedukcyjne, które będą obowiązywać w tym systemie.

Aksjomaty są to takie wyrażenia, których prawdziwość przyjmuje się bez dowodu. Nie

znaczy to oczywiście, że aksjomaty wolno dobierać w sposób dowolny. Naukowiec budujący

dany system dedukcyjny jest przekonany o prawdziwości tych aksjomatów na jakiejś

podstawie różnej od dowodu przeprowadzonego w tym systemie (np. ze względu na
oczywistą prawdziwość tych wyrażeń, jak w przypadku wyrażenia: p

⇒ p). Przyjęte reguły

dedukcyjne pozwalają na przeprowadzanie rozumowań dedukcyjnych na gruncie tego

systemu. Na podstawie aksjomatów i przyjętych reguł wyprowadza się konsekwencje tych

aksjomatów. Tak więc system dedukcyjny jest zbiorem zdań prawdziwych, do których zalicza

się aksjomaty (wyrażenia zdaniowe, których prawdziwość jest założona) oraz ich

konsekwencje (wyrażenia zdaniowe, których dowody zostały przeprowadzone na gruncie

tego systemu). Nieprecyzyjnie można powiedzieć, że:

System dedukcyjny: aksjomaty + reguły dedukcyjne + twierdzenia będące konsekwencjami

aksjomatów

Podstawowym warunkiem, jaki musi spełniać system dedukcyjny, jest to, aby żadna para

wyrażeń nie była ze sobą wzajemnie sprzeczna, czyli aby system ten był niesprzeczny