7

ALGEBRA ZBIORÓW

Jako pojęcia pierwotne, tzn. takie, które nie definiujemy przyjmujemy:
zbiór ,element zbioru, przynależność elementu do zbioru.

Zdanie: x należy do zbioru

A

oznaczamy symbolem x

∈

A

(x

∉

A)

(x

∈

A)’

Jeżeli

A

⊂

B,

to

A

jest podzbiorem

B

Zbiory identyczne

A,B

(A=B)

[(A

⊂

B)

∧

(B

⊂

A)]

(A

⊄

B)

[(A

⊂

B)

∧

(A ≠ B)]

Zbiorem pustym

∅

nazywamy zbiór nie zawierający żadnego elementu.

Ponieważ x

∈ ∅

=> x

∈

A

A-dowolny zbiór

więc zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru. Zbiór

∅

oraz A to tzw.

podzbiory niewłaściwe zbioru A.
Oznaczamy przez W(x) własność elementu x

∈

X

≠

∅

Zbiór elementów posiadających własność W(x) oznaczamy następująco

{x

∈

X:W(x)}

DZIAŁANIA NA ZBIORACH

♦ SUMA ZBIORÓW

A,B

A

∪

B={x: ( x

∈

A)

∨

( x

∈

B)}

♦ ILOCZYN ZBIORÓW

A,B

A

∩

B={x: ( x

∈

A)

∧

( x

∈

B)}

Jeżeli

A

∩

B

=

∅

to mówimy, że zbiory A,B są rozłączne

8

♦ RÓŻNICA ZBIORÓW

A,B

A\B={x: ( x

∈

A)

∧

( x

∉

B)}

♦ RÓŻNICE SYMETRYCZNE

ZBIORÓW A,B

A

*

−

B={x:[( x

∈

A)

∧

( x

∉

B)]

∨

[( x

∈

B)

∧

( x

∉

A)] }

PRAWA ALGEBRY ZBIORÓW

(1) Prawo de Morgana

)

\

(

)

\

(

)

(

\

C

A

B

A

C

B

A

∩

=

∪

)

\

(

)

\

(

)

(

\

C

A

B

A

C

B

A

∪

=

∩

(2) Prawo przemienności

A

B

B

A

∪

=

∪

A

B

B

A

∩

=

∩

(3) Prawo łączności

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

∩

∩

=

∩

∩

∪

∪

=

∪

∪

)

(

)

(

)

(

)

(

(4) Prawo rozdzielności

)

(

)

(

)

(

C

A

B

A

C

B

A

∩

∪

∩

=

∪

∩

)

(

)

(

)

(

C

A

B

A

C

B

A

∪

∪

∪

=

∩

∪

Dla liczb rzeczywistych a,b,c mamy a(b+c)=ab+ac a+(b*c)≠(a+)(a+c)

Jeżeli ograniczymy się do rozpatrywania podzbiorów danego zbioru X≠

∅

to przy A

⊂

X piszemy

A’=X\A, A’- dopełnienie zbioru A

9

ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

Iloczynem kartezjańskim - produktem kartezjańskim

zbiorów niepustych

A,B nazywamy zbiór par uporządkowanych (a,b) takich, że a

∈

A, b

∈

B

oznaczamy ten zbiór symbolem

A

×

B={(a,b) : a

∈

A, b

∈

B}

RELACJE I FUNKCJE

Relacją między elementami zbiorów A,B nazywamy podzbiór iloczynu
kartezjańskiego

A

×

B.

Mówimy, że x

∈

A

oraz y

∈

B

pozostaje względem siebie w relacji

R,

co

zapisujemy

xRy

jeżeli (x,y) należą do tego samego podzbioru, stąd

R={(x,y)

∈

A

×

B : xRy}

Relacja

f

między elementami zbioru X oraz Y nazywa się

funkcją

,

określoną na X o wartościach z Y.

]

)

(

[

)

(

,

z

y

xfz

xfy

xfy

Y

z

y

X

x

Y

y

X

x

=

⇒

∧

∀

∀

∧

∃

∀

∈

∈

∈

∈

Funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiorze Y co zapisujemy

f: X

→

Y lub y=f(x) dla x

∈

X

10

wtedy X nazywamy

dziedziną funkcji

f,

a zbiór

Y

0

= { y

∈

Y : y=f(x) } dla x

∈

X

nazywamy przeciw dziedziną funkcji f.

Jeżeli Y

0

=Y to mówimy, że f jest suriekcją X na Y.

Relację f nazywamy

funkcją odwzorowującą

X w Y wzajemnie

jednoznacznie lub funkcją wzajemnie jednoznaczną lub iniekcją, jeżeli













=

⇒

∧

∀

∀

∀

∧













=

⇒

∧

∃

∀

∧













∃

∀

∈

∈

∈

∈

∈

∈

∈

z

x

zfy

xfy

z

y

xfz

xfy

xfy

X

z

Y

y

X

x

Y

z

y

X

x

Y

y

X

x

)

(

,