Algebra zbiorów 

 

Pojęcie  zbioru  jest  jednym  z  podstawowych  pojęć  matematycznych.  Jest  przy  tym  pojęciem 

pierwotnym, czyli niedefiniowalnym. 

Przedmioty, które należą do danego zbioru nazywamy jego elementami. Jeśli a jest elementem zbioru A 

to piszemy:  

, ,

zamiast 

,

,

. 

 należy do zbioru A  tzn. a nie jest elementem zbioru A, to piszemy: 

Zbiór  definiujemy  przez  określenie  jego  elementów.  Zatem  dwa  zbiory,  które  mają  te  same  elementy 

  

 

 

Elementy zbioru można określić na dwa sposoby: 

i)

przez  bezpośrednie  wyliczenie,  np. 

, , ,

  którego  elementami  są 

, ,

ii)

przez  podanie  warunku (własności), np. 

Φ

,  co  oznacza,  że  zbiór    składa  się  z 

iotów

e

ą  własność 

Φ

.  Często  używany  jest  w  takim  przypadku  zapis: 

Zbiór, który nie zawiera żadnych elementów nazywamy zbiorem pustym, oznaczamy go symbolem   

Jeżeli każdy element zbioru   jest elementem zbioru  , to mówimy że   jest podzbiorem  , lub że   

jest nadzbiorem  . Mów

 również, że zbiór   zawarty jest w  , lub że   zawiera  . Zapisujemy to 

 lub 

. 

Symbol   nazywamy znakiem inkluzji. Definicję inkluzji można zapisać następująco: 

 

 

⇔

 

 

 

 

t podzbiorem   to piszemy: 

 

. 

 odpowiednio 

sumą, iloczynem (przekrojem) i różnicą zbiorów. Zbiory te są określone w następujący sposób: 

. 

Kiedy  występuje  kilka  przedmiotów  należących  do  tego  samego  zbioru  często  piszemy 

, 

Gdy a nie

,

. 

uważamy za identyczne. Można to zapisać: 

 

  jest  zbiorem,

przedmioty 

, oraz  , 

tych  przedm

,  któr   maj

: 

Φ

 

imy

następująco: 

 

Jeżeli  nie jes

Z dowolnych dwu zbiorów   i   można utworzyć nowe zbiory: 

, 

,  \  zwane

MB 

Algebra zbiorów 

 

 

   

, 

 

   

, 

\

   

. 

Zbiory nazywamy rozłącznymi jeśli 

. 

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami pewnego zbioru, to zbiór ten nazywamy przestrzenią i 

oznaczamy przez  .  

’

\  

Z powyższych definicji wynikają następujące własności: 

Dla dowolnych zbiorów A, B, C: 

i)    

           

 

   

 

 

       

   

 

 

 

vi)

          

 

, 

vii

 

       

 

 

 

  , 

 

 

, 

 

 

 

 

, 

 

 

, 

xii

 

       

   

   

 

, 

xiii

 

   

 

   

 

 

 

, 

               \

, 

 

 

 

  \ , 

 

\

 

,

 

  \  

. 

ejsze prawa działań na zbiorach (algebry zbiorów):

Przemienność sumy i przekroju: 

a.

 

 

, 

b.

 

 

. 

 

Dopełnieniem zbioru 

 nazywamy zbiór  \  i zapisujemy: 

ii)      

        

iii)   

 

   

 

   

 

   

iv)   

v

≠

 

 

 

   

viii

 

       

 

 

ix

x

 

 

xi

  , 

xiv

xv

  \  

xvi

\  

)

xvii

 

ni

Najważ

 

i)

MB 

2

Algebra 

 

MB 

3

Łączność sumy i przekroju: 

a.

 

, 

b.

 

. 

Rozdzielność sumy i przekroju: 

a.

, 

b.

 

. 

Prawa tautologii: 

a.

, 

b.

. 

Prawa de Morgana (dla różnicy): 

. 

wa Boole’a

a.

’

 

b.

’

 

e

ia) 

’

’

’, 

’

’

’. 

, 

b.

, 

\

, 

 

 

 

zbiorów

ii)

iii)

   

iv)

v)

a.

\  

\

   

\ , 

b.

\  

\

   

\

vi)

Pra

 

,

.

vii)

Prawa de Morgana (dla dop łnien

a.

b.

viii)

Działania ze zbiorem pustym: 

a.

c.

d.

\

.