Elektromagnetyzm cz.2

76.Obwód RC (analiza zależności i(t) oraz u(t), stała czasowa)

W obwodzie płynie prąd zmienny. Kondensator o pojemności C jest początkowo

nienaładowany. Aby go naładować, przesuwamy klucz S do pkt.
a. Powstaje wtedy obwód szeregowy RC, składający się z
kondensatora, doskonałego źródła o SEM

ε

i opornika o oporze

R. Z chwilą zamkniecia obwodu zaczyna przepływać ładunek
między okładką kondensatora i biegunem bateriipo każdej

stronie kondensatora. Ten prąd zwiększa łądunek q na
okładkach i różnicę potencjałów Uc(=q/C) na kondensatorze. Gdy różnica potencjałów stanie

się równa różnicy potencjałów na źródle, natężenie prądu stanie się równe zeru. Zgodnie ze
wzorem q=CU stacjonarny ładunek an całkowicie naładowanym kondensatorze wynosi Cε.

Kożystając z drugiego prawa Kirchhoffa otrzymujemy:
Zmienne I i q są powiązane wzorem I= dq/dt,

po podstawieniu do poprzedbiego wzoru otrzymujemy równanie ładowania:
początkowo kondensator jest nienaładowanu, czyli q(0)=0.

Rozwiązniem równania jest:

Pochodna funkcji q(t) względem czasu jest równa natężeniu prądu I(t), ładującego
kondensator:

Ładowany kondensator początkowo zachowuje się przy przepływie prądu jak zwykły
przewodnik bez oporu, a po upływie długiego czasu jak przerwa w obwodzie.

Stosując wzórq=CU oraz równanie ładowania, znajdujemy różnicę potęcjałów na
kondensatorze podczas ładowania:

Wielkość RC nazywamy pojemnościową stałą czasową obwodu ioznaczamy symbolem τ . iIm
większą wartość ma τ , tym dluższy czas łądowania.

Zakłądamy, że kondensator jest całkowicie naładowany do różnicy potencjałów U

0

, równej

SEM

ε

źródła i w chwili t=0klucz S przestawiamy z pkt. A do b. Kondensator może się wieć

rozłądować przez opornik R. Równanie rozładowania dla

ε

= 0 przyjmuje postać:

Rozwiązanie tego równania ma postać:

ładunek q maleje wykładniczo w czasie, z szybkością zależną od pojemności stałej czasowej

τ=RC. Większa stała τ oznacza dłuższy czas rozładowywania.
Różniczkując funkcję q(t) otrzymujemy wzór na natężenie prądu I(t):

77.Pole magnetyczne (linie sił pola, wektor indukcji B, strumień pola)

Siłę działającą na ładunek q poruszający się w polu magnetycznym z prędkoscią v wiążemy z

indukcją magnetyczną B. Związek pomiędzy siłą magnetyczną, a indukcją magnetyczną B
zapisujemy w postaci równania wektorowego:

Siłę tę nazywamy siłą Lorenza, a powyzsze
równanie definiuje indukcję polamagnetycznego B.

Jednostką indukcji B jest tesla(T) : 1T = 1N/(Am) = 1Vs/m

2

.

Siła jest równa zeru, gdy cząstka nie porusza się oraz gdy wektor prędkosci jest równoległy

lub antyrównoległy do wektora B. Natomiast maksimum siły wystepuje gdy wektor prędkości
v jest prostopadły do wektora B. Z reguły sróby prawoskretnej lub reguły prawej dłoni

mozemy wyznaczyc kierunek i zwrot wektora siły F.

Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysując tzw. linie pola
magnetycznego, czyli linie wektora indukcji magnetycznej B.

Wektor B jest jest styczny do linii pola w każym punkcie, a
rozmieszczenie linii obrazuje wielkość pola – im geściej

rozmieszczone są linie tym silniejsze pole. To, że linie pola B są
zawsze liniami zamkniętymi stanowi fundamentalną różnicę

między stałym polem magnetycznym i elektrycznym, którego linie
zaczynają i kończą się na ładunku. Najsilniejsze pole występuje w

pobliżu biegunów magnetycznych. Linie pola magnetycznego
można wyznaczyc doświadczalnie przy uzyciu np. opiłków żelaza,

które zachowują się jak dipole magnetyczne. Opiłki ustawiają się
zgodnie z kierunkiem B i daja obraz linii pola magnetycznego.

78.Cząstka naładowana w polu E i B (wzór Lorentza)

79.Przewodnik z prądem w polu magnetycznym

Ponieważ siła magnetyczna działa na ładunki w ruchu zatem działa na cały przewodnik z
prądem

N-liczba elektronów w przewodniku o długości l i przekroju

poprzecznym S.

N=nSl

I= q/t = nSle/(l/v

u

) = nSev

u

F = nSle( I/nSe)Bsinφ = IlBsinφ

lub

80.Energia potencjalna ramki z prądem w polu magnetycznym przy obrocie

Prostokątna ramka o bokach a i b została umieszczona w
jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. przez ramkę płynie

prąd o natężeniu I, a normalna do płaszczyzny tworzy kąt φ
z polem B.

Siły F

b

dzałające na boki b znoszą się wzajemnie. Siły F

a

tworzą parę

sił dającą wypadkowy moment siły obracający ramkę:

siła F

a

wynosi :

więc

Wielkość wektorową

nazywamy magnetycznym momentem

dipolowym. Wektor ten jest prostopadły do płaszczyzny ramki z

pradem. Pole magnetyczne działa więc na ramkę z prądem momentem skrecającym
obracając ją. Położenie równowagi ramki wystepuje dla φ = 0, czyli gdy moment dipolowy

jest równoległy do pola magnetycznego B. Ramka zachowuje się jak dipol magnetyczny.
Obracając dipol magnetyczny pole magnetyczne wykonuje pracę i wobec tego dipol posiada

energie potencjalną. Energia potencjalna dipola magnetycznego związana z jego orientacją w

zewnętrznym polu magnetycznym dana jest równaniem:

energia osiąga minimum dla momentu dipolowego

równoległego do zewnetrznego pola magnetycznego B, a
maksimum gdy moment dipolowy jest skierowany przeciwnie do

pola.

81.Efekt Halla (napiecie i opór Halla). Czestość cyklotronowa

Rozpatrujemy płytkę metalu (lub półprzewodnika) umieszczona w polu magnetycznym,

prostopadłym do kierunku przepływu pradu. Jeżeli w
płydce płynie prąd to na łądunki działa siła odchlająca

powodująca zakrzywienie ich torów w kierunku jednej ze
ścianek bocznych płytki. Gromadzenie się ładunków na

ściance bocznej powoduje powstanie poprzecznego pola
elektrycznego Halla E

H

.

Pole Halla dane jest zaleznością:
d- szerokośc płytki.

Strona prawa płytki ładuje się ujemnie

i

powstałe pole Halla przeciwdziała

dalszemu przesuwaniu elektronów. Osiągnięty zostaje
stan równowagi, w którym odchylające pole magnetyczne

jest równoważone przez pole elektryczne Halla:

lub

stąd

Jeżeli zmierzymy E

H

(w praktyce V

LP

– napięcie Halla) i pole B to

możemy wyznaczyć v

u

. Gdy v

u

i B są prostopadłe to:

wiemy, że

v

u

= I/neS = j/ne

(bo j=I/S – gęstość prądu, S – pole

powierzchni przekroju poprzecznego płytki, n – koncentracja nośników).
Zatem koncentracja nośników wynosi:

Cyklotron

Dwie cylindryczne elektrody (duanty) umeiszczone są w

jednorodnym polu magnetycznym B prostopadłym do
płąszczyzny duantów. Do tych elektrod doprowadzone jest z

generatora zmienne napięcie, które cyklicznie zmienia
kierunek pola elektrycznego w szczelinie pomiędzy

duantami.
Czestotliwość czastki krążącej w polu B obliczamy:

F= mv

2

/r

qvB = mv

2

/r

r= mv/qB
f = 1/T = v/2π r = qB/2π m

82.Doświadczenie Thomsona – odkrycie elektronu

Naładowane cząstki (elektrony) emitowane są przez rozżarzone włókno w tylnej części lampy

prózniowej i przyspieszane przez przyłozona różnicę potencjałów U. Po przejściu przez
szczelinę C cząstki tworzą wąska wiązkę. Następnie przechodzą przez obszar skrzyżowanych

pól E i B, kierując się w stronę ekranu fluorescencyjnego S, na którym wywołują
świeceniestaci plamki. Siły działające w obszarze skrzyżowanych pól na naładowane cząstki

mogą odchylić je od środka ekranu. Zmieniając wartości i kierunki wektorów pól, Thomson
mógł więc zmieniać położenie plamki świetlnej na ekranie. Pole elektryczne E odchyla

elektrony w przeciwną stronę niż pole B (należy pamiętać, że pole elektryczne działa na
naładowaną ujemnie cząskę siłą, skierowana przeciwnie do kierunku pola) – siły są

przeciwnie skierowane . Można ustawić je tak, aby się równoważyły.
Najpierw wyznaczamy odchylenie cząstki na końcu płytek, przy właczonym wyłącznie polu E

(1)

a= F/m = qE/m

y = (½) at

2

L = vt

=>

(2)

a = 2yv

2

/L

2

przyrównujemy równanie

(1)

i

(2)

i otrzymujemy wzór na odchylenie czastki na końcu płytek:

(3)

y = qEL

2

/(2mv

2

)

Kierunek odchylenia zależy od ładunku cząstki, a więc Thomson mógł wykazać, że cząstki
wywołujące świecenie na ekranie były naładowane ujemnie.

Dobieramy pola w taki sposób, aby siły siły odchylające równoważyły się:

F

E

= F

B

|q|E = |q|vB sin(90

o

) = |q|vB

=>

(4)

v =E/B

po podstawieniu zależności

(4)

do wyrażenia

(3)

otrzymujemy:

m/q = B

2

L

2

/(2yE)

Thomson stwierdził, że cząstki poruszające się w jego aparaturze znajdują się we wszystkich

substancjach oraz że są one lżejsze ponad tysiąc razy od nalżejszego znanego atomu
(wodoru).

83.Prawo Ampere'a (przykład: odziaływanie dwóch przewodników z

prądem)

Wyraża ono związek pomiędzy prądem (źródłem pola B) a indukcją magnetyczną.

jest pzrenikalnością magnetyczną próżni.

Przewodnik a wytwarza w swoim otoczeniu w

odległości d pole magnetyczbe, które wynosi

w tym polu znajduje się przewodnik b, w którym płynie
prąd I

b

. na odcinek l tego przewodnika działa siła:

Dwa równoległe przewodniki z prądem oddziałują na

siebie za pośrednictwem pola magnetycznego. Przewodniki, w których prąd płynie w tych
samych kierunkach przyciągają się, a te w których prądy mają kierunki przeciwne odpychają

się.

84.Prawo Biota-Savarta

Prawo Biota-Savarta jest matematycznie równoważne z prawem Ampere'a. Ggdy symetria
pola nie jest znana, wówczas dzielimy przewodnik z prądem na rózniczkowo małe elementy i

stosując prawo Biota-Savarta obliczamy pole jakie wytwarzają one w danym punkcie.
Następnie sumujemy (całkujemy) pola od tych elementarnych prądów, żeby uzyskać

wypadkowy wektor B.
Zgodnie z prawem Biota-Savarta pole dB w wybranym punkcie P wynosi:

Wartość liczbowa dB jest dana równaniem

85.Dipol magnetyczny – model przewodnika kołowego z prądem

Przewodnik kołowy z prądem zachowuje się jak dipol magnetyczny. Jeżeli umiescimy go w
zewnetrznym polu magnetycznym o indukcji B, to będzie działać na niego moment siły:

Obliczamy pole B na osi kołowego przewodnika z prądem
w punkcie P, jak na rysunku obok.

Z prawa Biota-Savarta znajdujemy pole dB pochodzące od
elementu dl:

Zwróćmy uwagę, że

element dl jest
prostopadły do r. Pole dB można rozłożyć na dwie

skłądowe. Suma wszystkich składowych dB

y

jest równa

zeru, bo dla każdego elementu przewodnika dl ta

skłądowa znosi się z odpowiednią składową elementu

leżącego po przeciwnej stronie okregu. Wystarczy zsumować skłądowe dB

x

.

Otrzymujemy:

zgodnie z rysunkiem

oraz

Ostatecznie otrzymujemy więc:

Wielkości I, R, x są takie same dla wszystkich elementów dl prądu, dlatego możemy wyłączyć

je przed znak całki.

86.Prawo indukcji Faradaya. Indukcyjność

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu siły elektromotorycznej SEM

w obwodzie podczas przemieszczania się wzgledem siebie źródła pola magnetycznego i tego
obwodu. Mówimy, że w obwodzie indukowana jest siła elektromotoryczna indukcji. W

obwodzie zamknietym, SEM indukcji wywołuje przepływ pradu indukcyjnego i w
konsekwencji powstanie wytwarzanego przez ten prąd indukowanego pola magnetycznego.

Dla powstania pradu indukcyjnego potrzebny jest względny ruch źródła pola magnetycznego
i przewodnika. Faraday doszedł do wniosku, że o powstawaniu

siły elektromotorycznej

indukcji decyduje szybkość zmian strumienia magnetycznego

Ilosciowy związek przedstawia prawo Faradaya:

,gdzie

Zmianę strumienia magnetycznego można uzyskać poprzez obrót
obwodu w polu magnetycznym (zmiana kąta alfa). Strumień zmienia zarówno swoją wartość,

jak i znak, więc indukowana jest zmienna SEM. Jeżeli ramka obraca się z prędkością kątową

to

strumień dany jest wzorem:

a SEM indukcji:

Reguła Lentza:

INDUKCJA Gdy natężenie prądu przepływającego przez obwód zmienia się to zmienia się
też, wytworzony przez ten prąd, strumień pola magnetycznego przenikający obwód, więc

zgodnie z prawem Faradaya indukuje się w obwodzie SEM.
Tę siłę elektromotoryczną nazywamy sila elektromotoryczną samoindukcji, a samo zjawisko

zjawiskiem indukcji wlasnej. Jeżeli obwód zawiera N zwojów to:
Całkowity strumień zawarty w obwodzie jest proporcjonalny do

natężenia prądu płynącego przez obwód:

Stałą proporcjonalności nazywamy indukcyjnością (współczynnik indukcji
własnej, współczynnik samoindukcji).

Zrózniczkowanie tego równania prowadzi do wyrażenia:

Łącząc równania na SEM i zrózniczkowane równanie indukcyjności otrzymujemy:

Jednostką indukcyjności jest henr (H); 1H = 1 Vs/A.

87.Obwód LC – drgania elektromagnetyczne

Rozpatrujemy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L i pojemności C.

przyjmujemy, że opór elektryczny obwodu jest równy zeru (R=0). Zakładamy też, że w chwili
początkowej na kondensatorze C jest nagromadzony ładunek Q

0

, a prąd w obwodzie nie

płynie. W takiej sytuacji energia zawarta na kondensatorze jest maksymalna:

a energia w cewce jest równa zero:

Następnie kondensator zaczyna rozładowywać się. W obwodzie plynie prąd I = dQ/dt. W
miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta w polu elektrycznym

kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia się w cewce w miarę
narastania w niej prądu. Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana

dopola magnetycznego cewki. Jednak pomimo, ze kondensator jest całkowicie rozłądowany
prąd dalej płynie w obwodzie. Jej źródłem jest SEM samoindukcji powstająca w cewce, która

podtrzymuje słąbnący prąd. Ten prad ładuje kondensator (przeciwnie) więc energia jest
ponownie przekazywana do kondensatora. Wreszcie ładunek na kondensatorze osiąga

maksimum, a prąd w obwodzie zanika. Stan końcowy jest więc taki jak początkowy, tylko
kondensator jest nałądowany odwrotnie.

Sytuacja powtarza się, tylko prąd rozłądowania kondensatora będzie płynął w przeciwnym
kierunku. Mamy więc do czynienia z oscylacjami ładunku(prądu). Zmienia się zarówno

wartość jak i znak ładunku na kondensatorze i prądu w obwodzie.
Zgodnie z prawem Kirchhoffa:

tak więc:

=>

Jest to równanie

drgań w obwodzie
LC.

Analogicznie jak dla drgań swobodnych:

gdzie czestość kołowa wynosi:

Napięcia na cewce i kondensatorze wynosza:

oraz

Maksymalne wartości (amplitudy) tych napięć są takie same: