1

Wykład szósty

Tw 1. ( działaniach arytmetycznych na granicach). Jeżeli funkcje f

1

,f

2

są określone

na pewnym sąsiedztwie punktu x

0

oraz lim

x→x

0

f

1

(x) = g

1

i lim

x→x

0

f

2

(x) = g

2

, to

1. lim

x→x

0

(f

1

(x) + f

2

(x) = g

1

+ g

2

,

2. lim

x→x

0

(f

1

(x) − f

2

(x) = g

1

− g

2

,

3. lim

x→x

0

f

1

(x) · f

2

(x) = g

1

· g

2

,

4. lim

x→x

0

f

1

(x)

f

2

(x)

=

g

1

g

2

, jeśli g

2

6= 0.

Tw 2. (O granicy funkcji złożonej) Jeżeli lim

x→x

0

f (x) = g, f (x) 6= g dla x 6= x

0

oraz

lim

y→g

h(y) = p, to lim

x→x

0

h(f (x)) = p.

Ważne granice. lim

x→0

sin x

x

= 1, lim

x→0

a

x

− 1

x

= ln a (lim

x→0

e

x

− 1

x

= 1).

y = sinx/x dla x ¹ 0

y = 1 dla x = 0

-15

-10

-5

5

10

X

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Y

Granice niewłaściwe

Zał. Funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie S = (x

0

− δ ; x

0

) ∪ (x

0

; x

0

+ δ).

Def. 1. Funkcja f posiada w punkcie x

0

granicę niewłaściwą

+∞ (odp.−∞) (ozn. lim

x→x

0

f (x) =

+∞, odp. lim

x→x

0

f (x) = −∞), jeśli

2

∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → +∞)]

odp.∀(x

n

) ⊂ S [(x

n

→ x

0

) ⇒ (f (x

n

) → −∞)]

Granice w nieskończoności

Def. 2. Funkcja f posiada w +∞ granicę g, jeśli

∀(x

n

) ⊂ D

f

[(x

n

→ +∞) ⇒ (f (x

n

) → g)]. (ozn. lim

x→+∞

f (x) = g)

Podobnie definiuje się granice w −∞ (właściwe i niewłaściwe).

Uwaga 1. Twierdzenia (1)–(3) pozostają prawdziwe dla granic w nieskończoności.

Ważne granice. lim

x→+∞



1 +

1

x



x

= lim

x→−∞



1 +

1

x



x

= e, lim

x→+∞



1 −

1

x



x

=

1

e

.

Symbole nieoznaczone

0

0

,

∞
∞

, ∞ − ∞ , 0 · ∞ , 0

0

, ∞

0

, 1

∞

Ciągłość funkcji

Zał. Funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x

0

.

Def. 3. Funkcja f jest

ciągła w punkcie

x

0

, jeśli lim

x→x

0

f (x) = f (x

0

).

Uwaga 2. Suma (f + g), różnica (f − g), iloczyn (f · g) oraz iloraz

f

g

, gdy g(x

0

) 6= 0

!

funkcji ciągłych w punkcie x

0

jest funkcją ciągłą w punkcie x

0

.

Def. 4. Funkcja f jest

ciągła w zbiorze

A ⊂ R, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Uwaga 3. Wielomiany, f. wymierne, f. trygonometryczne, f. wykładnicze, f. logarytmiczne,
f. hiperboliczne są ciągłe w swoich dziedzinach naturalnych.

Punkt x

0

∈ D

f

, w którym funkcja f nie jest ciągła nazywamy

punktem nieciągłości

tej funk-

cji. Jeżeli punkt x

0

jest punktem nieciągłości funkcji f i jest ona ciągła na pewnym jego

sąsiedztwie, to nazywamy go

odosobnionym punktem nieciągłości

funkcji f .

Def. 5. Odosobniony punkt nieciągłości x

0

funkcji f jest punktem nieciągłości

I rodzaju

, jeśli

istnieją granice jednostronne lim

x→x

−
0

f (x), lim

x→x

+
0

f (x) i są skończone. W przeciwnym wypadku

punkt x

0

jest punktem nieciągłości

II rodzaju

.

Uwaga 4. Jeżeli funkcja f jest nieciągła w punkcie x

0

i istnieje lim

x→x

0

f (x), to można tę

nieciągłość usunąć.

3

0.5

1.0

1.5

X

1

2

3

Y

-2

-1

1

X

-4

-2

2

4

Y

Pochodna funkcji

Zał. Funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu O punktu x

0

; ∆x 6= 0 – przyrost argu-

mentu x taki, że x

0

+ ∆x ∈ O.

Ułamek:

f (x

0

+ ∆x) − f (x

0

)

∆x

nazywamy

ilorazem różnicowym

.

Def. 6. Liczbę lim

∆x→0

f (x

0

+ ∆x) − f (x

0

)

∆x

nazywamy

pochodną funkcji f w punkcie

x

0

i ozna-

czamy przez f

0

(x

0

).

Pochodne jednostronne (obliczane przy pomocy odpowiednich granic jednostronnych) funkcji
f oznaczamy przez: f

0

(x

−
0

) , f

0

(x

+
0

).

Funkcję f

0

nazywamy

pochodną funkcji

f .

Interpretacja geometryczna pochodnej

Równanie siecznej wykresu f przechodzącej przez punkty (x

0

, f (x

0

)), (x

0

+ ∆x, f (x

0

+ ∆x))

ma postać: y − f (x

0

) =

f (x

0

+ ∆x) − f (x

0

)

∆x

· (x − x

0

).

Granicznym położeniem tej siecznej (∆x → 0) jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie
(x

0

, f (x

0

)). Jeśli f

0

(x

0

) istnieje, to równanie tej stycznej: y − f (x

0

) = f

0

(x

0

) · (x − x

0

).

4

Α

Hx

0

, f

Hx

0

LL

Hx

0

+ Dx, f

Hx

0

+ Dx

LL

Α

Dx

y = f

HxL

sieczna

styczna

-1

1

2

3

4

X

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Y

Obliczanie pochodnych

Tw 3. (o działaniach arytmetycznych na pochodnych)Jeżeli funkcje f i g posiadają
pochodne f

0

, g

0

, to prawdziwe są wzory

1. (α · f )

0

= α · f

0

dla każdej liczby rzeczywistej α

2. (f + g)

0

= f

0

+ g

0

3. (f − g)

0

= f

0

− g

0

4. (f · g)

0

= f

0

· g + f · g

0

5.

f

g

!

0

=

f

0

· g − g

0

· f

g

2

, g 6= 0

Pochodne funkcji elementarnych

1. (c)

0

= 0

c – funkcja stała

2. (x

n

)

0

= nx

n−1

, n ∈ N

3. (sin x)

0

= cos x

4. (cos x)

0

= − sin x

5. (tg x)

0

=

1

cos

2

x

= 1 + tg

2

x

6. (ctg x)

0

= −

1

sin

2

x

7. (a

x

)

0

= a

x

· ln a ; (e

x

)

0

= e

x