A

L

G

E

B

R

A
L

IN

IO

W

A
1

L

is

ta

zada

ń

200

3

/2004

5

.

G

e

o

m
e

tr

ia
ana

li

ty

czn

a
w
p

r

z

e

st

r

z

e

n

i

◦

Z

adan

ie

5

.1

∗

[1

.1]

†

O

b

lic

zy

ć

d

łu

go

śc

i

p

o

d

an

y

ch

w

ek

to

ró

w

:

a

)

~

a

=
(3

,

−

4

,
12)
;

b

)

~

b

=



√

3

,

−

√

5

,
2

√

2



;

c)

~

c

=
(%

co

s

ϕ

,%

sin

ϕ

,h

),

gd

zie

%

­

0

or

az

ϕ

,h

∈

R

;

d

)

~

d

=
(%

co

s

ϕ

co

s

ψ

,%

sin

ϕ

co

s

ψ

,%

sin

ψ

),

gd

zie

%

­

0

or

az

ϕ

,ψ
∈

R

.

◦

Z

adan

ie

5

.2

[11
.2]

W

ek

to

ry
~

a

,

~

b

tw

or

zą

d

w

a

są

sie

d

n

ie

b

ok

i

tr

ó

jk

ąta
.

W
y

ra

zi

ć

śr

o

d

ko

w

e

te

go

tr

ó

jk

ąt

a

p

rz

ez

w

ek

to

ry

~

a

,

~

b

.

◦

Z

adan

ie

5

.3

[11
.3]

Z

n

al

eź

ć

w

er

so

r

~

u

,

k

tó

ry

:

a

)

le

ży

w
p

ła

sz

cz

y

źn

ie

x

O

y

i

tw

or

zy

kąt
α
z

d

o

d

at

n

ią

cz

ęś

cią

os

i

O

x

;

b

)

tw

or

zy

z

d

o

d

at

n

im

i

cz

ęś

cia

m

i

os

i

O

x

,

O

y

,

O

z

o

d

p

ow

ie

d

n

io

ką

ty

α

,

β

,

γ

;

c)

tw

or

zy
je

d

n

ak

ow

e

ką

ty
z

w

ek

to

ra

m

i

~

a

=
(0

,
3

,

−

4)

,

~

b

=
(8

,
6

,
0)

i

je

st

p

oło
żo

n

y
w

p

ła

sz

cz

y

źn

ie

w

y

zn

ac

zo

n

ej

p

rz

ez

te

w

ek

to

ry

.

◦

Z

adan

ie

5

.4

[11
.4]

O

b

lic

zy

ć

ilo

cz

y

n

y

sk

al

ar

n

e

p

o

d

an

y

ch

p

ar

w

ek

to

ró

w

:

a

)

~

a

=
(1

,

−

2

,
5)

,

~

b

=
(3

,

−

1

,
0)

;

b

)

~

u

=
3 ~

i

−

2 ~

k

,

~

v

=
−

~

i

+
3 ~

j

+

7 ~

k

;

c*
)

~

x

=
~

p

+
2
~

q

−

~

r

,

~

y

=
3
~

p

−

~

q

+

2
~

r

,

gd

zie

~

p

,

~

q

,

~

r

są

w

er

so

ra

m

i

p

ar

am

i

p

ro

sto

p

ad

ły

m

i.

◦

Z

adan

ie

5

.5

[11
.5]

K

or

zy

st

a

ją

c

z

ilo

cz

y

n

u

sk

al

ar

n

eg

o

ob

lic

zy

ć

m

ia

ry

kąt

ów
m

ię

d

zy

:

a

)

w

ek

to

ra

m

i

~

a

=
(

−

3

,
0

,
4)

,

~

b

=
(0

,
1

,

−

2)

;

b

)

w

u

sie

cz

n

y

m

i

kąt

ów
u

tw

or

zo

n

y

ch

p

rz

ez

os

ie

O

x

,

O

y

or

az

o

sie

O

y

,

O

z

u

k

ła

d

u

O

x

y

z

;

c)

p

rz

ek

ąt

n

y

m

i

ró

w

n

ol

egło
śc

ia

n

u
ro

zp

ię

te

go

n

a

w

ek

to

ra

ch

~

u

=
(1

,
2

,
3)

,

~

v

=
(

−

1

,
0

,
2)

,

~

w

=
(3

,
1

,
5)

.

∗

N

u

m

era

c

ja

zada
ń
z

k

si

ą

żk

i

A

lg

e

b

ra

lini
o

w

a

1

.

P

rz

y

k

ła

d

y

i

za

d

a

ni

a

,

w

y

dan

ie

IX

.

†

N

u

m

era

c

ja

zada
ń
z

k

si

ą

żk

i

A

lg

e

b

ra

lini
o

w

a

1

.

P

rz

y

k

ła

d

y

i

za

d

a

ni

a

,

w

y

dan

ie

V

II

I.

1

◦

Z

adan

ie

5

.6

[11
.6]

O

b

lic

zy

ć

d

łu

go
ść

rz

u

tu

p

ro

sto

kąt

n

eg

o

w

ek

to

ra

~

a

=



√

2

,

√

3

,

−

√

5



n

a

w

ek

to

r

~

b

=



−

√

8

,
0

,

√

5



.

◦

Z

adan

ie

5

.7

[11
.7]

O

b

lic

zy

ć

ilo

cz

y

n

y

w

ek

to

ro

w

e

p

o

d

an

y

ch

p

ar

w

ek

to

ró

w

:

a

)

~

a

=
(

−

3

,
2

,
0)

,

~

b

=
(1

,
5

,

−

2)

;

b

)

~

u

=
2 ~

i

−

3 ~

k

,

~

v

=

~

i

+

~

j

−

4 ~

k

;

c*
)

~

x

=
2
~

p

+

~

q

+

~

r

,

~

y

=
~

p

+
3
~

q

+
4
~

r

,

gd

zie

~

p

,

~

q

,

~

r

są

p

ar

am

i

p

ro

sto

p

ad

ły

m

i

w

er

so

ra

m

i

o

or

ie

n

ta

cj

i

zg

o

d

n

ej

z

or

ie

n

ta

cj

ą

u

k

ła

d

u

w

sp

ół

rz

ęd

n

y

ch

.

◦

Z

adan

ie

5

.8

[11
.8]

O

b

lic

zy

ć

p

ol

a

p

o

d

an

y

ch

p

ow

ie

rz

ch

n

i:

a

)

ró

w

n

ol

egło
b

ok

ro

zp

ię

ty

n

a

w

ek

to

ra

ch

~

a

=
(1

,
2

,
3)

,

~

b

=
(0

,

−

2

,
5)

;

b

)

tr

ó

jk

ąt

o

w

ie

rz

ch

oł

ka

ch

A
=
(1

,

−

1

,
3)

,

B
=
(0

,
2

,

−

3)

,

C
=
(2

,
2

,
1)

;

c)

cz

w

or

oś

ci

an

ro

zp

ię

ty

n

a

w

ek

to

ra

ch

~

u

,

~

v

,

~

w

.

◦

Z

adan

ie

5

.9

[11
.9]

T

ró

jk

ąt
A

B

C
ro

zp

ię

ty
je

st

n

a

w

ek

to

ra

ch

−

→

A

B

=
(1

,
5

,

−

3)

,

−

→

A

C

=
(

−

1

,
0

,
4)

.

O

b

lic

zy

ć

w

y

so

k
oś

ć

te

go

tr

ó

jk

ąt

a

op

u

sz

cz

on

ą

z

w

ie

rz

ch

oł

ka

C

.

◦

Z

adan

ie

5

.10

[12
.1]

O

b

lic

zy

ć

ilo

cz

y

n

y

m

ie

sz

an

e

p

o

d

an

y

ch

tr

ó

je

k

w

ek

to

ró

w

:

a

)

~

a

=
(

−

3

,
2

,
1)

,

~

b

=
(0

,
1

,

−

5)

,

~

c

=
(2

,
3

,

−

4)

;

b

)

~

u

=

~

i

+

~

j

,

~

v

=
2 ~

i

−

3 ~

j

+

~

k

,

~

w

=
−

~

i

+

2 ~

j

−

5 ~

k

.

◦

Z

adan

ie

5

.11

[12
.2]

O

b

lic

zy

ć

ob

ję

to

śc

i

p

o

d

an

y

ch

w

ie

lo

śc

ia

n

ów

:

a

)

ró

w

n

ol

egło
śc

ia

n

ro

zp

ię

ty

n

a

w

ek

to

ra

ch

~

a

=
(0

,
0

,
1)

,

~

b

=
(

−

1

,
2

,
3)

,

~

c

=
(2

,
5

,

−

1)

;

b

)

cz

w

or

oś

cia

n

o

w

ie

rz

ch

oł

ka

ch

A
=
(1

,
1

,
1)

,

B
=
(1

,
2

,
3)

,

C
=
(2

,
3

,

−

1)

,

D
=
(

−

1

,
3

,
5)

;

c*
)

ró

w

n

ol

egło
śc

ia

n

o

p

rz

ek

ąt

n

y

ch

~

u

,

~

v

,

~

w

.

◦

Z

adan

ie

5

.12

[12
.3]

S

p

ra

w

d

zi

ć,

cz

y

a

)

w

ek

to

ry

~

a

=
(

−

1

,
3

,

−

5)

, ~

b

=
(1

,

−

1

,
1)

,
~

c

=
(4

,

−

2

,
0)

są

w

sp

ół

p

ła

sz

cz

y

zn

ow

e;

b

)

p

u

n

k

ty

P
=
(0

,
0

,
0)

,

Q
=
(

−

1

,
2

,
3)

,

R
=
(2

,
3

,

−

4)

,

S
=
(2

,

−

1

,
5)

są

w

sp

ół

p

ła

sz

cz

y

-

zn

ow

e.

2

◦

Z

adan

ie

5

.13

[12
.4]

Na
p

is

ać

ró

w

n

an

ia

ogó
ln

e

i

p

ar

am

et

ry

cz

n

e

p

ła

sz

cz

y

zn
sp

eł

n

ia

ją

cy

ch
p

o

d

an

e

w

ar

u

n

k

i:

a

)

p

ła

sz

cz

y

zn

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

t

P
=
(1

,

−

2

,
0)

i

je

st

p

ro

sto

p

ad

ła

d

o

w

ek

to

ra

~

n

=

(0

,

−

3

,
2)

;

b

)

p

ła

sz

cz

y

zn

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

ty

P

1

=
(0

,
0

,
0)

,

P

2

=
(1

,
2

,
3)

,

P

3

=
(

−

1

,

−

3

,
5)

;

c)

p

ła

sz

cz

y

zn

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

ty

P

1

=
(1

,

−

3

,
4)

,

P

2

=
(2

,
0

,

−

1)

or

az

je

st

p

ro

st

o-

p

ad

ła

d

o

p

ła

sz

cz

y

zn

y

x

O

z

;

d

)

p

ła

sz

cz

y

zn

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

t

P
=
(1

,

−

1

,
3)

or

az

je

st

ró

w

n

ol

egł

a

d

o

w

ek

to

ró

w

~

a

=
(1

,
1

,
0)

,

~

b

=
(0

,
1

,
1)

;

e

)

p

ła

sz

cz

y

zn

a
p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

t

P
=
(0

,
3

,
0)

i

je

st

ró

w

n

ol

eg

ła
d

o

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:

3

x

−

y

+
2

=
0;

f)

p

ła

sz

cz

y

zn

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

t

P
=
(2

,
1

,

−

3)

i

je

st

p

ro

sto

p

ad

ła

d

o

p

ła

sz

cz

y

zn

π

1

:

x

+
y

=
0,

π

2

:

y

−

z

=
0

.

◦

Z

adan

ie

5

.14

[12
.5]

Na
p

is

ać

ró

w

n

an

ia

p

ar

am

et

ry

cz

n

e

i

k

ie

ru

n

ko

w

e

p

ro

st

y

ch

sp

eł

n

ia

ją

cy

ch

p

o

d

an

e

w

ar

u

n

k

i:

a

)

p

ro

st

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

t

P
=
(

−

3

,
5

,
2

)

i

je

st

ró

w

n

ol

egł

a

d

o

w

ek

to

ra

~

v

=
(2

,

−

1

,
3)

;

b

)

p

ro

st

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

ty

P

1

=
(1

,
0

,
6)

,

P

2

=
(

−

2

,
2

,
4)

;

c)

p

ro

st

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

t

P
=
(0

,

−

2

,
3)

i

je

st

p

ro

sto

p

ad

ła

d

o

p

ła

sz

cz

y

zn

y
π
:

3

x

−

y

+

2

z

−

6

=
0;

d

)

p

ro

st

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

u

n

k

t

P
=
(7

,
2

,
0)

i

je

st

p

ro

sto

p

ad

ła

d

o

w

ek

to

ró

w
~

v

1

=
(2

,
0

,

−

3)

,

~

v

2

=
(

−

1

,
2

,
0)

;

e

)

p

ro

st

a

je

st

d

w

u

sie

cz

n

ą

kąt

a

os

tr

eg

o

u

tw

or

zo

n

eg

o

p

rz

ez

p

ro

st

e

l

1

:

x

+

2

3

=

y

−

4

−

1

=

z

5

,

l

2

:

x

+

2

1

=

y

−

4

−

5

=

z

3

;

f*

)

p

ro

st

a

je

st

d

w

u

sie

cz

n

ą

kąt

a

os

tr

eg

o

u

tw

or

zo

n

eg

o

p

rz

ez

p

ro

st

e

l

1

:

x

−

1

2

=

y

+

1

−

1

=

z

−

2

2

,

l

2

:

x

+

6

4

=

y

−

1

−

3

=

z

+
29

−

12

.

◦

Z

adan

ie

5

.15

[12
.6]

Z

b

ad

ać

,

cz

y

a

)

p

u

n

k

ty

A
=
(1

,
2

,
3)

,

B
=
(

−

1

,

−

2

,
0)

n

al

eż

ą

d

o

p

ro

st

ej

l

:











x

=
1

+
t,

y

=
2

+

2

t,

z

=
3

−

t,

g

d

zie

t

∈

R

;

3

b

)

p

ro

sta
m
:

(

2

x

+
y

−

z

+
3

=
0

x

−

2

y

+
z

−

5

=
0

je

st

za

w

ar

ta

w
p

ła

sz

cz

y

źn

ie

π

:

5

y

−

3

z

+
13

=
0;

c)

p

u

n

k

ty

A
=
(0

,
1

,
5)

,

B
=
(1

,
2

,
3)

n

al

eż

ą

d

o

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:











x

=
−

1

+
s

+
t,

y

=
2

+

3

s

−

t,

z

=
3

−

s

+

2

t,

gd

zi

e

s

,t

∈

R

;

d

)

p

ro

st

e

l

1

:

x

+
1

−

2

=

y

−

3

1

=

z

+

4

−

8

,

l

2

:

x

1

=

y

−

1

1

=

z

−

2

2

m

a

ją

p

u

n

k

t

w

sp

ól

n

y

;

e

)

p

ro

sta
l

:











x

=
t,

y

=
1

+
2

t,

z

=
2

+
3

t,

gd

zi

e

t

∈

R

,

je

st

ró

w

n

ol

egł

a

d

o

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:

x

+
y

−

z

+
3

=
0

.

◦

Z

adan

ie

5

.16

[12
.7]

Z

n

al

eź

ć

p

u

n

k

ty

p

rz

ec

ię

cia

:

a

)

p

ro

st

y

ch

l

1

:

(

x

+
2

y

−

z

+
4

=
0

,

y

+
z

−

3

=
0

,

l

2

:

(

2

x

−

y

−

2

z

+
8

=
0

,

x

+
2

y

+
2

z

−

5

=
0;

b

)

p

ro

st

ej

l

:

x

−

1

0

=

y

+
2

3

=

z

−

4

−

1

i

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:











x

=
s

+
t,

y

=
1

+
s

+
2

t,

z

=
3

+
2

s

+
4

t,

gd

zie

s

,t

∈

R

;

c)

p

ła

sz

cz

y

zn

π

1

:

3

x

+
y

+
z

+

1

=
0,

π

2

:

x

+
2

z

+
6

=
0,

π

3

:

3

y

+
2

z

=
0

.

◦

Z

adan

ie

5

.17

[13
.1]

O

b

lic

zy

ć

o

d

le

gło
ść

:

a

)

p

u

n

k

tu

P
=
(1

,

−

2

,
3)

o

d

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:

x

+
y

−

3

z

+
5

=
0;

b

)

p

ła

sz

cz

y

zn

ró

w

n

ol

egł

y

ch

π

1

:

2

x

+
y

−

2

z

=
0,

π

2

:

2

x

+
y

−

2

z

−

3

=
0;

c)

p

ła

sz

cz

y

zn

π

1

:

x

−

2

y

+
2

z

+

5

=
0,

π

2

:

3

x

−

6

y

+
6

z

−

3

=
0;

d

)

p

u

n

k

tu

P
=
(0

,
1

,

−

1)

o

d

p

ro

st

ej

l

:

x

2

=

y

−

1

=

z

3

;

e

)

p

ro

st

y

ch

ró

w

n

ol

egł

y

ch

l

1

:

x

−

1

1

=

y

+
1

2

=

z

−

1

,

l

2

:

x

−

2

=

y

−

1

−

4

=

z

−

3

2

;

f)

p

ro

st

y

ch

sk

oś

n

y

ch

l

1

:

(

x

=
0

,

y

=
0

,

l

2

:

(

x

=
1

,

z

=
1;

g

)

p

ro

st

y

ch

l

1

:

x

−

9

4

=

y

−

2

−

3

=

z

1

,

l

2

:

x

−

2

=

y

+
7

9

=

z

−

2

2

;

4

h

)

p

ro

st

ej

l

:











x

=
2

+
t,

y

=
−

3

+

2

t,

z

=
2

−

t,

gd

zie

t

∈

R

,

o

d

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:

2

x

+
y

+

4

z

=
0

.

◦

Z

adan

ie

5

.18

[13
.2]

O

b

lic

zy

ć

m

ia

rę

kąt

a

m

ię

d

zy

:

a

)

p

ro

stą
l

:

x

−

3

2

=

y

−

1

0

=

z

+

2

−

3

i

p

ła

sz

cz

y

zn

ą

π

:

x

−

z

=
0;

b

)

p

ła

sz

cz

y

zn

am

i

π

1

:

x

−

2

y

+

3

z

−

5

=
0,

π

2

:

2

x

+
y

−

z

+

3

=
0;

c)

p

ro

st

y

m

i

l

1

:











x

=
1

−

t,

y

=
−

2

+
t,

z

=
3

t,

gd

zie

t

∈

R

,
l

2

:











x

=
3

−

2

t,

y

=
4

−

t,

z

=
1

+

3

t,

gd

zie

t

∈

R

.

◦

Z

adan

ie

5

.19

[13
.3]

Z

n

al

eź

ć

rz

u

t

p

ro

sto

kąt

n

y

:

a

)

p

u

n

k

tu

P
=
(

−

3

,
2

,
0)

n

a

p

ła

sz

cz

y

zn

ę

π

:

x

+
y

+
z

=
0;

b

)

p

u

n

k

tu

P
=
(

−

1

,
2

,
0)

n

a

p

ro

stą
l

:

x

=
y

=
z

;

c)

p

ro

st

ej

l

:

x

−

3

1

=

y

−

5

2

=

z

+

1

0

n

a

p

ła

sz

cz

y

zn

ę

π

:

x

+

3

y

−

2

z

−

6

=
0

.

◦

Z

adan

ie

5

.20

[13
.4]

Z

n

al

eź

ć

p

u

n

k

t

sy

m

et

ry

cz

n

y

d

o

p

u

n

k

tu

P
=
(2

,
3

,

−

1)

w

zg

lę

d

em

:

a

)

p

u

n

k

tu

S

=
(1

,

−

1

,
2)

;

b

)

p

ro

st

ej

l

:

(

x

+
y

=
0

,

y

+
z

=
0;

c)

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:

2

x

−

y

+
z

−

6

=
0

.

◦

Z

adan

ie

5

.21

[13
.5]

Z

n

al

eź

ć

rz

u

t

u

ko

śn

y

w
k

ie

ru

n

k

u

w

ek

to

ra

~

v

=
(2

,
3

,

−

1)

:

a

)

p

u

n

k

tu

O
=
(0

,
0

,
0)

n

a

p

ła

sz

cz

y

zn

ę

π

:

x

−

2

z

+
8

=
0;

b

)

p

ro

st

ej

l

:

x

−

1

=
y

+

1

=
z

−

2

n

a

p

ła

sz

cz

y

zn

ę

π

:

x

−

y

+
z

−

1

=
0

.

◦

Z

adan

ie

5

.22

[13
.6]

O

b

lic

zy

ć

ob

ję

to

śc

i

i

p

ol

a

p

ow

ie

rz

ch

n

i

b

ry

ł

og

ra

n

ic

zo

n

y

ch

p

o

d

an

y

m

i

p

ła

sz

cz

y

-

zn

am

i:

a

)

x

=
1,

y

=
−

1,

z

=
3,

x

+
y

+
z

=
5;

b

)

x

−

y

=
1,

x

−

y

=
5,

x

+

2

z

=
0,

x

+

2

z

=
3,

z

=
−

1,

z

=
4

.

5

◦

Z

adan

ie

5

.23

[13
.7]

O

b

lic

zy

ć

p

ol

e

tr

ó

jk

ąt

a

u

tw

or

zo

n

eg

o

p

rz

ez

p

ar

am

i

p

rz

ec

in

a

ją

ce

się

p

ro

st

e:

l

1

:











x

=
−

2

+
2

t,

y

=
0

,

z

=
4

t,

l

2

:











x

=
0

,

y

=
3

+
3

s

,

z

=
−

4

s

,

l

3

:











x

=
−

2

p

,

y

=
3

−

3

p

,

z

=
0

,

gd

zi

e

t,

s

,p

∈

R

.

◦

Z

adan

ie

5

.24

[14
.1]

T

rz

y

sta

cj

e

ra

d

io

lo

ka

cy

jn

e

S

1

,

S

2

,

S

3

u

m

ie

sz

cz

on

e

są

w
w

ie

rz

ch

oł

ka

ch

tr

ó

jk

ąta

p

ro

sto

kąt

n

eg

o

o

p

rz

y

p

ro

sto

kąt

n

y

ch

l

1

=
30
0

k

m

,

l

2

=
40
0

k

m
(r

y

su

n

ek

).

P

o-

m

ia

ry

o

d

le

gło
śc

i

ra

k

ie

ty

R
o

d

ty

ch

sta

cj

i

d

ał

y

n

as

tę

p

u

ją

ce

w

y

n

ik

i

d

1

=
30
0

k

m

,

d

2

=
40
0

k

m

,

d

3

=
40
0

k

m

.

O

b

lic

zy

ć,

n

a

ja

k

ie

j

w

y

so

ko

śc

i

h

le

cia

ła

ra

k

ie

ta

.

-

6

e

e

e

e

ee

r

r

rr

r

r

x

S

1

l

1

S

3

d

1

d

3

h

R

z

d

2

l

2

S

2

y

◦

Z

adan

ie

5

.25

[14
.2]

C

zą

st

ec

zk

a

p

or

u

sz

a

się

p

o

lin

ii

p

ro

st

ej

ze

stał
ą

p

rę

d

k

oś

ci

ą.

W
ch

w

ili

t

1

=
2

cz

ąs

te

cz

ka

zn

a

jd

ow

ał

a

się

w
p

u

n

k
cie

P

1

=
(0

,

−

2

,
5)

,

a

w
ch

w

ili

t

2

=
3

w

p

u

n

k

cie

P

2

=
(2

,
3

,
3)

.

Z

n

al

eź

ć

p

oł

oż

en

ie

P

0

te

j

cz

ąs

te

cz

k

i

w
ch

w

ili

t

0

=
0.

◦

Z

adan

ie

5

.26

[14
.3]

N

a

p

o

ch

y

ły

m
p

ła

sk

im
te

re

n

ie

w

y

ty

cz

on

o

k

w

ad

rat
A

1

A

2

A

3

A

4

.

W
zn

ie

sie

n

ia

n

ad

p

oz

io

m
m

or

za

p

u

n

k

tó

w
A

1

,

A

2

,

A

3

w

y

n

os

zą

o

d

p

ow

ie

d

n

io

h

1

=
10
0

m

,

h

2

=

11
0

m

,

h

3

=
16
0

m

.

O

b

lic

zy

ć

w

zn

ie

sie

n

ie

h

4

p

u

n

k

tu

A

4

n

ad

p

oz

io

m
m

or

za

.

◦

Z

adan

ie

5

.27

[14
.5]

W
ce

lu

ok

re

śle

n

ia

kąt

a

n

ac

h

y

le

n

ia

p

ła

sk

ie

go

n

as

y

p

u

d

o

p

oz

io

m

u

,

w

y

ko

n

an

o

p

om

ia

ry

kąt

a

n

ac

h

y

le

n

ia

te

go

n

as

y

p

u

w
k

ie

ru

n

k

u

w

sc

h

o

d

n

im
i

p

oł

u

d

n

io

w

y

m

.

P

om

ia

ry

te

d

ał

y

n

as

tę

p

u

ją

ce

w

y

n

ik

i:

w
k

ie

ru

n

k

u

w

sc

h

o

d

n

im
n

as

y

p

w

zn

os

i

się

p

o

d

kąt

em
α
=
30

◦

,

a

w
k

ie

ru

n

k

u

p

oł

u

d

n

io

w

y

m
op

ad

a

p

o

d

kąt

em
β
=
45

◦

.

O

b

lic

zy

ć

ką

t

n

ac

h

y

le

n

ia

te

go

n

as

y

p

u

d

o

p

oz

io

m

u

.

◦

Z

adan

ie

5

.28

[14
.6]

S

iat

ka

m

as

k

u

ją

ca

ta

jn

y

ob

ie

k

t

w

o

js

k

ow

y

za

cz

ep

io

n

a

je

st

n

a

tr

ze

ch

m

as

zta

ch

(r

y

su

n

ek

).

M

as

zt

y

te

m

a

ją

w

y

so

ko

śc

i

h

1

=
5

m

,

h

2

=
7

m

,

h

3

=
10

m
i

u

sta

-

w

io

n

e

są

w
w

ie

rz

ch

oł

ka

ch

tr

ó

jk

ąt

a

ró

w

n

ob

o

cz

n

eg

o

o

b

ok

u

a

=
20

m

.

O

b

lic

zy

ć

p

ol

e

siat

k

i

m

as

k

u

ją

ce

j.

6

B

B

B

B

BB













L

L

L

LL















h

3

a

h

2

a

a

h

1

◦

Z

adan

ie

5

.29

[14
.8]

Na
d

W

ro

cł

aw

ie

m
p

rz

eb

ie

ga

ją

d

w

a

p

ro

sto

lin

io

w

e

ko

ry

ta

rz

e

p

ow

ie

tr

zn

e

d

la

sa

-

m

ol

ot

ów

.

P

ie

rw

sz

y

z

n

ic

h

p

rz

eb

ie

ga

p

oz

io

m

o

n

a

w

y

so

ko

śc

i

h

1

=
100
0

m
ze

w

sc

h

o

d

u

n

a

za

ch

ó

d

.

Nato

m

ia

st

d

ru

gi

p

rz

eb

ie

ga

z

p

oł

u

d

n

io

w

ego

-w

sc

h

o

d

u

n

a

p

ół

n

o

cn

y

-z

ac

h

ó

d

i

w

zn

os

i

się

p

o

d

kąt

em
α

=
10

◦

S

am

ol

ot

y

p

or

u

sz

a

ją

ce

się

ty

m

ko

ry

ta

rz

em
p

rz

el

at

u

ją

n

ad

W

ro

cł

aw

ie

m
n

a

w

y

so

ko

śc

i

h

2

=
300
0

m

.

O

b

lic

zy

ć

n

a

jm

n

ie

js

zą

m

oż

liw

ą

o

d

le

gło
ść

m

ię

d

zy

sa

m

ol

ota
m

i

le

cą

cy

m

i

ty

m

i

ko

ry

ta

rz

am

i.

◦

Z

adan

ie

5

.30

[14
.4]

T

rz

y

p

u

n

k

ty

m

at

er

ia

ln

e

o

m

as

ie

m
p

rz

y

m

o

co

w

an

e

są

d

o

n

ie

w

aż

k

ic

h

ra

m

io

n

o

d

łu

go

śc

i

l,

k

tó

re

tw

or

zą

m

ię

d

zy

so

b

ą

ką

ty

120

◦

(r

y

su

n

ek

).

U

k

ła

d

te

n

os

ad

zo

n

y

je

st

n

a

p

oz

io

m

ej

os

i

i

m

oż

e

ob

ra

ca

ć

się

w

ok

ół

n

ie

j.

U

za

sa

d

n

ić

,

że

u

k

ła

d

te

n

p

oz

os

ta

je

w
ró

w

n

ow

ad

ze

,

n

ie

za

le

żn

ie

o

d

p

oło
że

n

ia

p

o

cz

ąt

ko

w

ego

.

d

A

A

AA

s

s

s

α

m

m

m

120

◦

120

◦

120

◦

















 

o”s

l

l

l

I

 *



Y

j

?

6

◦

Z

adan

ie

5

.31

[14
.7]

W
w

ie

rz

ch

oł

ka

ch

sz

eś

cia

n

u

o

k

ra

w

ęd

zi

a
=
10

u

m

ie

sz

cz

on

e

są

p

u

n

k

ty

m

at

e-

ria

ln

e

o

m

as

ac

h

o

d

p

ow

ie

d

n

io

:

m

1

=
1,

m

2

=
2,

m

3

=
3,

m

4

=
4,

m

5

=
5,

m

6

=
6,

m

7

=
7,

m

8

=
8

(r

y

su

n

ek

).

a

)

O

k

re

śli

ć

p

oło
że

n

ie

śr

o

d

ka

m

as

y

te

go

u

k

ła

d

u

;

b

)

O

b

lic

zy

ć

m

om

en

t

b

ez

w

ła

d

n

oś

ci

p

o

d

an

eg

o

u

k

ła

d

u

m

as

w

zg

lę

d

em
os

i

O
z

;

c)

O

b

lic

zy

ć

m

om

en

t

b

ez

w

ła

d

n

oś

ci

p

o

d

an

eg

o

u

k

ła

d

u

m

as

w

zg

lę

d

em
os

i

łą

cz

ąc

ej

m

as

y

m

3

i

m

7

;

7

-

6

O

r

r

r

r

r

r

r

r

m

2

x

m

3

m

4

y

m

8

m

7

m

6

m

1

m

5

z

a

C

d

)

O

b

lic

zy

ć

sił

ę

p

rz

y

ci

ą

ga
n

ia

gr

aw

ita

cy

jn

eg

o

m

as

y

m

8

p

rz

ez

u

k

ła

d

p

oz

os

tał
y

ch

sie

d

m

iu

m

as

.

8