‚WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ  ZADANIA

ELEMENTY LOGIKI I TEORII MNOGO‘CI

1. Sprawdzi¢ metod¡ zero-jedynkow¡, »e nast¦puj¡ce zdania s¡ tautologiami

(zawsze maj¡ warto±¢ 1):
[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)

(prawo sylogizmu)

(∼ t ⇒∼ z) ⇒ (z ⇒ t)

(prawo kontrapozycji)

∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q)

(I prawo de Morgana)

∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p ∨ ∼ q)

(II prawo de Morgana)

(p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))

(p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))

(prawa rozdzielno±ci)

2. Czy mo»e si¦ zdarzy¢, »e:

zdanie p ⇒ q jest prawdziwe, natomiast zdanie (∼ p) ⇒ (∼ q) jest

faªszywe
zdanie q ⇒ p jest prawdziwe, natomiast zdanie (∼ p) ⇒ (∼ q) jest

faªszywe
zdanie q ⇒ p jest prawdziwe, natomiast zdanie p ⇒ q jest faªszywe ?

3. Zapisa¢ za pomoc¡ kwantykatorów i funkcji zdaniowych:

a) x jest liczb¡ pierwsz¡

b) x jest wspóln¡ wielokrotno±ci¡ liczb y i z

c) x jest najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±ci¡ liczb y i z

d) x i y maj¡ te same dzielniki

e) x nie jest kwadratem liczby naturalnej

f) f jest funkcj¡ malej¡c¡

g) f nie jest funkcj¡ staª¡

h) x nie jest liczb¡ pierwsz¡

i) x przy dzieleniu przez 4 daje reszt¦ 1 lub 2

j) ka»da liczba naturalna przy dzieleniu przez 2 daje reszt¦ 0 lub 1

4. Napisa¢ zaprzeczenia zda«:

∃

x∈R

∀

y∈R

x < y

∀

x>0

∀

y<0

∃

z∈R

y < z < x

∃

x>0

cos x < 0

oraz zda« z poprzedniego zadania.

5. Pokaza¢, »e dla dowolnych liczb a, b ∈ R:

a) |a| ≥ 0, |a| = | − a|

1

b) −|a| ≤ a ≤ |a|

c) (−a ≤ b ≤ a) ⇔ (|b| ≤ a)

d) |ab| = |a||b|, 



a

b




=

|a|

|b|

dla b 6= 0

e) |a + b| ≤ |a| + |b|

f) ||a| − |b|| ≤ |a − b|, ||a| − |b|| ≤ |a + b|

6. Rozwi¡za¢ nierówno±ci i naszkicowa¢ rysunek:

a) |x + 1| <

1
4

b) |x − 2| ≥ 1

c) |x + 2| + |x − 2| ≤ 12

d) |x(x + 1)| ≤

1

16

e) |x| + x > 2x

2

f)

1

|x|

> x

2

− |x| + 1

7. Znale¹¢ A ∪ B, A ∩ B, A \ B:

a) A = {5n : n ∈ N}, B = {8n + 2 : n ∈ N}

b) A = {2n : n ∈ N}, B = {3n : n ∈ N}

c) A = {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+y

2

≤ 1}

, B = {(x, y) ∈ R

2

: x

2

−2x+y

2

≤ 3}

8. Niech A, B, C b¦d¡ dowolnymi zbiorami. Pokaza¢, »e:

A \ B = A ∩ B

0

(A ∪ B) ∩ B

0

= A \ B

A ∪ (A ∩ B) = A = A ∩ (A ∪ B)

A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C)

(A \ B) ∩ B = ∅

A ∪ B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B)

9. Która z nast¦puj¡cych inkluzji jest prawdziwa?

(A ∩ B) ⊂ (A ∪ B)

(A ∪ A) ⊂ A)

(A ∩ A) ⊂ A

(A \ B) ⊂ (A ∪ B)

(A \ B) ⊂ (A ∩ B)

(A ∩ B) ⊂ A

10. Niech A = {A : A jest niesko«czonym podzbiorem zbioru liczb naturalnych},

B = {B : B

jest sko«czonym podzbiorem zbioru liczb naturalnych}, C =

{C : C

0

∈ B}

. Sprawdzi¢, czy:

a) P, Q ∈ A ⇒ P ∪ Q ∈ A

2

b) P, Q ∈ A ⇒ P ∩ Q ∈ A

c) P, Q ∈ A ⇒ P \ Q ∈ A

d) P, Q ∈ B ⇒ P ∪ Q ∈ B

e) P, Q ∈ B ⇒ P ∩ Q ∈ B

f) P, Q ∈ B ⇒ P \ Q ∈ B

g) P, Q ∈ C ⇒ P ∪ Q ∈ C

h) P, Q ∈ C ⇒ P ∩ Q ∈ C

i) P, Q ∈ C ⇒ P \ Q ∈ C

j) P ∈ B, Q ∈ A ⇒ P ∪ Q ∈ A

k) P ∈ B, Q ∈ A ⇒ P ∩ Q ∈ B

l) P ∈ C, Q ∈ A ⇒ P ∪ Q ∈ A

11. Sprawdzi¢, czy f jest ró»nowarto±ciowa i na. Je±li istnieje f

−1

, wyz-

naczy¢ je.

a) f : R −→ R, f(x) =



2x+1

x+2

dla x 6= −2

2

dla x = −2

b) f : R −→ R, f(x) =







2x + 3 dla x 6= −1, x 6= 0

3

dla

x = −1

1

dla

x = 0

c) f : R −→ R

2

, f(x) = (x + 2, 2x + 1)

d) f : R

2

−→ R

2

, f(x, y) = (x + 2y, xy)

e) f : R −→ R, f(x) =







−x

2

dla

x < 0

x

dla x ∈ [0; 1)

2x − 1 dla

x ≥ 1

f) f : R −→ R, f(x) =







x + 1

dla x < 1

3

dla x = 1

x

2

+ 2x + 1 dla x > 1

INDUKCJA MATEMATYCZNA

12. Udowodni¢ za pomoc¡ metody indukcji matematycznej:

a)

1

√

1

+

1

√

2

+ . . . +

1

√

n

>

√

n

b) 5|n

5

− n

c) 19|(5 · 2

3n−2

+ 3

3n−1

)

d) (a + b)

n

= a

n

+

n

1



a

n−1

b +

n

2



a

n−2

b

2

+ . . . +



n

n − 1



ab

n−1

+ b

n

e) (1 + 2 + . . . + n)

2

= 1

3

+ 2

3

+ . . . + n

3

f) (1 + x

1

)(1 + x

2

) . . . (1 + x

n

) ≥ 1 + x

1

+ x

2

+ . . . + x

n

przy zaªo»eniu:

x

1

, x

2

, . . . , x

n

≥ 0

Wniosek: nierówno±¢ Bernoulliego (1 + x)

n

≥ 1 + nx

.

3

g) x

1

+ x

2

+ . . . + x

n

≥ n

przy zaªo»eniu x

1

x

2

. . . x

n

= 1

Wniosek:
x

1

, x

2

, . . . , x

n

> 0 ⇒

x

1

+x

2

+...+x

n

n

≥

n

√

x

1

x

2

. . . x

n

x

1

, x

2

, . . . , x

n

> 0 ⇒

n

1

x1

+

1

x2

+...+

1

xn

≤

n

√

x

1

x

2

. . . x

n

h) a

n

+ b

n

≤ (a + b)

n

, a, b ≥ 0

i) (a + b)

n

≤ 2

n−1

, a, b ≥ 0

CIGI I SZEREGI LICZBOWE, KRESY ZBIORÓW

13. Korzystaj¡c z denicji granicy ci¡gu wykaza¢, »e:

a. lim

n→∞

n

n+1

= 1

b. ci¡g a

n

= {0, 1, 0, 1, . . .}

nie ma granicy

c. ci¡g a

n

= {(−2)

n

}

nie ma granicy

d. lim

n→∞

(

√

n

2

+ 1 − n) = 0

e. ci¡g a

n

= {(−1)

n

+

(−1)

n+1

n

}

nie ma granicy

f. lim

n→∞

(

2n

n

3

+1

) = 0

g. lim

n→∞

(−1)

n

n

= 0

h. lim

n→∞

x

n

= a

to lim

n→∞

|x

n

| = |a|

. Czy implikacja przeciwna jest

prawdziwa?

14. Pokaza¢, »e lim

n→∞

2n−1

n

= 2

. Do liczby  równej a) 0,1; b) 0,05; c)

0,0001 dobra¢ tak liczb¦ N, »eby dla ka»dego n > N speªniony byª

warunek |a

n

− 2| < 

.

15. Zbada¢, czy dany ci¡g jest ograniczony z góry lub z doªu:

a. a

n

= n

2

− n + 1

b. b

n

=

(−1)

n

n

c. c

n

=

1−3

n

2

d. d

n

=

n

2

n

2

+1

e. e

n

=

n

2

n

f. f

n

= cos

nπ

4

g. g

n

=

n

3

−n+1

n

4

+n

2

+1

h. h

n

=

10

n

n!

i. i

n

=

n

n

n!

j. j

n

=

√

n + 1 −

√

n

k. k

n

=

3

√

n −

3

√

n + 1

l. l

n

= log

n+1

n

4

m. m

n

= sin

1

n

n. p

n

=

n−1

n

2

16. Które z warunków s¡ równowa»ne?

(A) lim

n→∞

a

n

= g

, g ∈ R

(B) ∀

>0

∃

N ∈N

∀

n>N

|a

n

− g| ≤ 

(C) ∀

>0

∃

N ∈N

∀

n>N

|a

n

− g| < 2

(D) ∃

N ∈N

∀

>0

∀

n>N

|a

n

− g| ≤ 

17. Pokaza¢ bezpo±rednio (bez korzystania z twierdzenia o sumie, ró»nicy i

iloczynie granic), »e je±li {a

n

}

, {b

n

}

s¡ zbie»ne, to:

a. lim

n→∞

(a

n

− 3b

n

) = lim

n→∞

a

n

− 3 lim

n→∞

b

n

b. lim

n→∞

(

1
2

a

n

+ b

n

) =

1
2

lim

n→∞

a

n

+ lim

n→∞

b

n

c. lim

n→∞

(−

√

2a

n

+

2
3

b

n

) = −

√

2 lim

n→∞

a

n

+

2
3

lim

n→∞

b

n

18. Ci¡gi {a

n

}

, {b

n

}

okre±lamy nast¦puj¡co: a

1

= a

, b

1

= b

, a

n+1

=

a

n

+b

n

2

,

b

n+1

=

a

n+1

+b

n

2

. Pokaza¢, »e je±li oba ci¡gi s¡ zbie»ne, to lim

n→∞

a

n

=

lim

n→∞

b

n

.

19. Wykaza¢, »e je±li {a

n

}

jest ci¡giem zbie»nym, to lim

n→∞

(a

n+1

− a

n

) = 0

.

Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?

20. Pokaza¢, »e skre±lenie, doª¡czenie lub zamiana sko«czonej ilo±ci wyrazów

ci¡gu na inne nie ma wpªywu ani na zbie»no±¢ ci¡gu, ani na warto±¢ jego

granicy.

21. Czy mozliwe jest, »e:

•

prawie wszystkie wyrazy ci¡gu s¡ mniejsze od 3 i jest niesko«czenie

wiele wyrazów ciagu wi¦kszych od 4

•

prawie wszystkie wyrazy ci¡gu s¡ ujemne i jest 1000 wyrazów ci¡gu

dodatnich

•

jest niesko«czenie wiele wyrazów ci¡gu nieparzystych i niesko«cze-

nie wiele wyrazów ciagu podzielnych przez 4

•

jest niesko«czenie wiele wyrazów ci¡gu, które s¡ liczbami wymiernymi

i prawie wszystkie wyrazy ci¡gu s¡ postaci n

√

2

, gdzie n jest liczb¡

naturaln¡?

22. Sprawdzi¢, czy 1) prawie wszystkie wyrazy ci¡gu nale»¡ do (a; b); 2)

niesko«czenie wiele wyrazów ci¡gu nale»y do (a; b) i niesko«czenie wiele

wyrazów ci¡gu znajduje si¦ poza (a; b); 3) prawie wszystkie wyrazy ci¡gu

znajduj¡ si¦ poza (a; b):

a. a

n

= (−1)

n

(

1
2

+ (−1)

n

−

1

n

)

, (a; b) := (0; 1);

b. a

n

= (−1)

n

(

1
2

− 2 · (−1)

n

−

1

n

)

, (a; b) := (−1

1
2

; −1)

;

5

c. a

n

= (−1)

n

(

1
2

+ (−1)

n

+

1

n

)

, (a; b) := (0; 1);

d. a

n

= (−1)

n

(

1
2

+ 3 · (−1)

n

−

1

n

)

, (a; b) := (2

1
2

; 3)

;

23. Dowie±¢, »e je±li ci¡gi {a

n

}

i {b

n

}

s¡ zbie»ne do tej samej granicy, to ci¡g

{a

1

, b

1

, a

2

, b

2

, . . .}

te» jest zbie»ny do tej granicy. Co mo»na powiedzie¢

o tym ci¡gu, je±li granice ci¡gów {a

n

}

, {b

n

}

s¡ ró»ne?

To samo zadanie dla nast¦puj¡cych ci¡gów: {a

1

, a

2

, b

1

, a

3

, a

4

, b

2

, . . .}

,

{a

1

, b

1

, a

2

, a

3

, b

2

, a

4

, a

5

, a

6

, b

3

, . . .}

.

24. Pokaza¢, »e:

1) lim

n→∞

n

√

n = 1

;

2) lim

n→∞

1

n

√

n!

= 0

;

3) lim

n→∞

a

n

n!

= 0

.

25. Pokaza¢, »e podane ci¡gi s¡ zbie»ne:

1) a

n

= (1 +

1

n

)

; 2) (1 +

1
2

)(1 +

1
4

) . . . (1 +

1

2

n

)

; 3)

q

2 +

p

2 + . . . +

√

2

;

4)

sin 1

2

+

sin 2

2

2

+. . .+

sin n

2

n

; 5)

cos 1!

1·2

+

cos 2!

2·3

+. . .+

cos n!

n(n+1)

; 6) 1+

1

2

2

+

1

3

2

+. . .+

1

n

2

.

26. Korzystaj¡c z warunku Cauchy'ego pokaza¢, »e nast¦puj¡ce ci¡gi nie s¡

zbie»ne:
1) x

k

= 1 +

1
2

+ . . . +

1
k

;

2) x

n

= 1 +

1

ln 2

+

1

ln 3

+ . . . +

1

ln n

.

27. Pokaza¢, »e je±li a

n

→ 0

oraz ci¡g {b

n

}

jest ograniczony, to a

n

b

n

→ 0

.

28. Obliczy¢ granice ci¡gów:

1)

10000n

n

2

+1

; 2)

5n

2

+n−3

15n

2

−7

; 3)

√

n + 2−

√

n; 4)

√

3n

2

+ 2n − 5−n

√

3; 5)

√

n

2

+1+

√

n

n−

3

√

n

2

+8

;

6)

3

q

n+1

3n+2

; 7)

3

√

n

3

+ 5n − n; 8)

√

n(

√

n + 2 −

√

n); 9)(

3n+2
10+n

)

4

; 10)

(−1)

n

2n−1

;

11)

sin n

n

; 12)

3

√

n sin(n!)

n

; 13)(−1)

n+1

(

2
3

)

n

; 14)(−

3
5

)

n

; 15)(−

5
3

)

n

; 16)

3

n+1

+2

n+1

3

n

+2

n

;

17)

2

n

+(−1)

n

2

n

+1

; 18)

3·2

2n+2

−10

5·4

n+4

+3

; 19)(

3
2

)

n

·

2

n+1

−1

3

n+1

−1

; 20)

(−2)

n

+3

n

(−2)

n+1

+3

n+1

; 21)

2

n

+2n!

3

n

+5

;

22)

(n+1)!+(n+2)!

n!+(n+3)!

.

29. Obliczy¢ granice ci¡gów:

1)

n

√

2

n

+ 3

n

; 2)

n

√

4

n

+ 6

n

; 3)

n

q

3

n

+ (

1
2

)

n

+ 9

n

; 4)

n sin 2

n

n

2

+1

; 5)

2n

√

n

2

+sin n+n

;

6)

n+sin n

n

; 7)

1

√

n

2

+1

+

1

√

n

2

+2

+

1

√

n

2

+3

+ . . . +

1

√

n

2

+n

;

8) 1 +

5

n

n

; 9)

n+9

n

n

; 10) 1 −

1

n

n

; 11) 1 −

3

n

2

n

; 12)

n

n+1

n

;

13)



n

2

+2

2n

2

+1



n

; 14)

ln(1+

6

n

)

1

n

; 15)n(ln(n + 1) − ln n).

30. Znale¹¢ punkty skupienia ci¡gu, wskaza¢ granic¦ górn¡ i doln¡:

1) 1−

1

n

; 2) (−1)

n−1

(2+

3

n

)

; 3) 1+

n

n+1

cos

nπ

2

; 4)1+2(−1)

n+1

+3(−1)

n(n−1)

2

;

5) {

1
2

,

1
2

,

1
4

,

3
4

,

1
8

,

7
8

, . . . ,

1

2

n

,

2

n

−1

2

n

, . . .}

.

6

31. Skonstruowa¢ przykªad ci¡gu, który:

a) nie ma punktów skupienia;
b) ma dokªadnie jeden punkt skupienia, ale nie jest zbie»ny;
c) ma niesko«czenie wiele punktów skupienia;
d) ma jako punkty skupienia wszystkie liczby wymierne (rzeczywiste).

32. Korzystaj¡c z nast¦puj¡cego

Twierdzenia 1.:
Je»eli lim

n→∞

a

n

= g

, to lim

n→∞

a

1

+a

2

+...+a

n

n

= g

(równie» dla g =

+∞, g = −∞

).

udowodni¢:
Twierdzenie 2. Je»eli a

n

> 0

i lim

n→∞

a

n

= g

, to lim

n→∞

n

√

a

1

a

2

. . . a

n

=

g

.

Twierdzenie 3. Je»eli a

n

> 0

i lim

n→∞

a

n+1

a

n

= g

, to lim

n→∞

n

√

a

n

= g

.

33. Korzystaj¡c z udowodnionych twierdze«, obliczy¢ granice ci¡gów:

a) a

n

=

n

√

n

b) b

n

=

n

√

n!

c) c

n

=

1

n

n

√

n!.

34. Czy istnieje taki ci¡g {a

n

}

, »e granica lim

n→∞

n

√

a

n

istnieje, a granica

lim

a

n+1

a

n

nie istnieje?

35. Wykaza¢ zbie»no±¢ i obliczy¢ granic¦ nast¦puj¡cych ci¡gów okre±lonych

rekurencyjnie:
a) a

1

=

√

c

, a

n+1

=

√

c + a

n

;

b) b

1

= 0

, b

2

= 1

, b

n

=

1
2

(b

n−1

+ b

n−2

)

.

36. Korzystaj¡c z warunku koniecznego zbie»no±ci szeregów oraz kryterium

d'Alemberta zbie»no±ci szeregów pokaza¢, »e:
a) lim

c

n

n!

= 0

dla c ≥ 0;

b) lim

n!

n

n

= 0

;

c) lim

n

p

c

n

= 0

dla c > 1 i p ∈ Z.

37. Niech A, B ⊂ R. Deniujemy:

−A = {−x : x ∈ A}

A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}

A · B = {xy : x ∈ A, y ∈ B}.

Pokaza¢, »e:

1) inf(−A) = − sup A;
2) sup(−A) = − inf A;
3) inf(A + B) = inf A + inf B;

7

4) inf(A · B) = inf A inf B dla A, B ⊂ R

+

;

5) sup(A + B) = sup A + sup B;
6) sup(A · B) = sup A sup B dla A, B ⊂ R

+

.

38. Wyznaczy¢ kresy zbiorów, je±li istniej¡:

a) A = {x ∈ R : log

2

||x| − 1| < 2}

;

b) B = {k +

1

n

: n ∈ N, k ∈ {0, 1, 2}}

;

c) C = {1 +

(−1)

n

n

2

: n ∈ N}

;

d) D = {

x

x

2

+1

: x ∈ R}

.

39. Udowodni¢, »e zbiór A wszystkich uªamków wymiernych postaci

m

n

, gdzie

m, n ∈ N

i 0 < m < n nie posiada elementu najwi¦kszego i najm-

niejszego. Znale¹¢ kresy tego zbioru.

40. Niech A = {

1
2

+

n

2n+1

: n ∈ N}

. Pokaza¢, »e inf A = 0, sup A = 1.

41. Pokaza¢, »e je±li w zbiorze A istnieje element najwi¦kszy M i element

najmniejszy m, to sup A = M, inf A = m.

42. Pokaza¢, »e:

a) lim

n→∞

x

n

= +∞

i lim

n→∞

y

n

= −∞

to lim

n→∞

x

n

y

n

= −∞

;

b) lim

n→∞

x

n

= 0

i x

n

> 0

dla n ∈ N to lim

n→∞

1

x

n

= +∞

.

43. Zbada¢ zbie»no±¢ nast¦puj¡cych szeregów:

I (bez stosowania kryteriów zbie»no±ci)
a) P

+∞
n=1

q

n

, b) P

+∞
n=1

1

n(n+1)

, c) P

+∞
n=1

1

√

n

.

II (z denicji)
a)

1

1·4

+

1

4·7

+ . . . +

1

(3n−2)(3n+1)

+ . . .

, b) P

+∞
n=1

(

√

n + 2 − 2

√

n + 1 +

√

n)

.

III (szereg harmoniczny uogólniony)
a) P

+∞
n=1

1

2n−1

, b) P

+∞
n=1

1

n

√

n+1

, c) P

+∞
n=1

1

√

(2n−1)(2n+1)

.

IV (tw. Cauchy'ego)
a) P

+∞
n=1

cos nx−cos(n+1)x

n

, b) P

+∞
n=1

cos x

n

n

2

, c) P

+∞
n=1

1

n

, d) P

+∞
n=1

(−1)

n 1

n

,

e) P

+∞
n=1

1

√

n(n+1)

.

V (kryteria zbie»no±ci)
a) P

+∞
n=1

1+(−1)

n

2

n

, b) P

+∞
n=1

2+(−1)

n

2

n

, c) P

+∞
n=1

(2n−1)!!

(2n)!!(2n+1)

, d) P

+∞
n=1

(n!)

2

2

n2

,

e) P

+∞
n=1

nx

(1+x

2

)

n

, f) P

+∞
n=1

n

n+ 1

n

(n+

1

n

)

n

, f) P

+∞
n=1

sin

1

n

tg

1

n

, g) P

+∞
n=1

(

2n+1
3n+1

)

1
2

n

,

h) P

+∞
n=1

1

n

(

3
5

)

n

, i) P

+∞
n=1

ln(

n

2

+1

n

2

)

, j) P

+∞
n=1

n

3

(

√

2+(−1)

n

)

n

3

n

, k) P

+∞
n=1

a

n

, gdzie

a

n

=

1

n

dla n = m

2

i a

n

=

1

n

2

dla n 6= m

2

.

VI (zbie»no±¢ warunkowa i bezwzgl¦dna)

8

a) P

+∞
n=1

(−1)

n+1

1

2n−1

, b) P

+∞
n=1

(−1)

n

1

(2n−1)

2

, c) P

+∞
n=1

(−1)

n+1

1

ln(n+1)

,

d) P

+∞
n=1

(−1)

n+1 2

n2

n!

, e) P

+∞
n=1

(−1)

n+1

2

n

(

n−1

n

)

n2

.

44. Wykaza¢, »e je±li szeregi P

+∞
n=1

a

n

i P

+∞
n=1

b

n

s¡ zbie»ne, to dla α, β ∈ R

zbie»ny jest szereg P

+∞
n=1

(αa

n

+βb

n

)

oraz P

+∞
n=1

(αa

n

+βb

n

) = α

P

+∞
n=1

a

n

+

β

P

+∞
n=1

b

n

)

. Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?

45. Wykaza¢, »e je±li szereg P

+∞
n=1

|a

n

|

jest zbie»ny, to zbie»ny jest te» szereg

P

+∞
n=1

a

n

.

46. Pokaza¢, »e je±li szeregi P

+∞
n=1

a

2
n

i P

+∞
n=1

b

2
n

s¡ zbie»ne, to zbie»ne s¡ te»

szeregi:
a) P

+∞
n=1

|a

n

b

n

|

, b) P

+∞
n=1

(a

n

+ b

n

)

2

, c) P

+∞
n=1

|a

n

|

n

.

47. Pokaza¢, »e:

∞

X

n=0

x

n

n!

·

∞

X

n=0

y

n

n!

=

∞

X

n=0

(x + y)

n

n!

.

48. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów:

a) 1 +

1
2

+

1
3

−

1
4

−

1
5

−

1
6

+

1
7

+

1
8

+

1
9

− . . .

b) P

+∞
n=1

(−1)

n(n−1)

2

2

n

c) P

+∞
n=1

ln

100

n

n

sin

πn

4

d) P

+∞
n=1

cos

πn2
n+1

ln

2

n

e) P

+∞
n=1

sin(π

√

n

2

+ k

2

)

.

49. Znale¹¢ kwadrat szeregu P

+∞
n=1

(−1)

n+1

√

n

. Czy jest to szereg zbie»ny?

50. Pokaza¢, »e:

a) P

+∞
n=0

q

n

2

=

P

+∞
n=0

(n + 1)q

n

b) P

+∞
n=0

1

n!

P

+∞
n=0

(−1)

n

n!

= 1

.

9