ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA

oprac. I. Gorgol

1

Spis treści

1.

Elementy logiki

3

2.

Elementy rachunku zbiorów

4

3.

Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory.

4

4.

Funkcja złożona i odwrotna

6

5.

Granica ciągu liczbowego

7

6.

Granica funkcji

9

7.

Ciągłość funkcji

11

8.

Pochodna funkcji

12

9.

Reguła de l’Hospitala

13

10.

Zastosowania rachunku różniczkowego

13

11.

Liczby zespolone

16

2

1. ELEMENTY LOGIKI

3

1. Elementy logiki

Zadanie 1.1. Ustalić, które ze zdań są zdaniami w sensie logicznym. Podać wartość logiczną tych
zdań.

(1) Symbolem Lublina jest koziołek.

w=1

(2) Obecnie w Lublinie mieszka dwa miliony osób.

w=0

(3) Dwa plus dwa jest równe cztery.

w=1

(4) Czy dwa plus dwa wynosi cztery?
(5) Czy jest to zdanie w sensie logicznym?
(6) Ucz się pilnie!
(7) Jutro będzie padał deszcz.
(8) Krowa jest zwierzęciem parzystokopytnym.

w=1

(9) Okrąg jest brzegiem koła.

w=1

(10) π jest liczbą wymierną.

w=0

Zadanie 1.2. Sprawdzić, czy następujące formuły są prawami rachunku zdań:

(1) (p ∨ q) ∧ (∼ p =⇒ q)

N

(2) (p =⇒ q) =⇒ [(r∧ ∼ q) =⇒ (r∧ ∼ p)]

T

(3) (p =⇒ q) =⇒ (∼ q =⇒ r)

N

(4) {[(p ∧ q) =⇒ r] ∧ [p ∨ (q =⇒∼ r)]} =⇒ (p ∧ q ∧ r)

N

(5) [(p ∨ q) ∧ (p =⇒ q)] =⇒ (q =⇒ p)

N

(6) [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)] =⇒ (p ∨ q)

N

(7) [(p ∧ q) =⇒ r] =⇒ [(p∧ ∼ r) =⇒ (∼ q)]

T

(8) [(p =⇒ q) ∨ (r =⇒ q)] =⇒ [(p ∧ r) =⇒ q]

T

(9) [(p =⇒ q) ∧ p] =⇒ q

T

(10) [(p ⇐⇒ q) ∧ (r =⇒ q)] ⇐⇒ [(p ∨ r) =⇒ q]

N

Zadanie 1.3. Napisać zaprzeczenia następujących zdań lub form zdaniowych:

(1) x > 0 ∧ x < −2.
(2) x ¬ 0 ∨ x ­ 2.
(3) Dziecko założyło lewą i prawą rękawiczkę.
(4) Tu możemy skręcić w lewo lub w prawo.
(5) 2 < 5 ⇒ 3 < 5.
(6) Jeżeli pada deszcz, to idę pod parasolem.
(7) x

2

− 3x + 2 = 0 ⇒ (x = 1 ∨ x = 2).

(8) W = P = R = 0.
(9) Jeżeli liczba jest podzielna przez 9, to jest podzielna przez 3.

(10) Okrąg jest bryłą wtedy i tylko wtedy, gdy −1 jest kwadratem liczby rzeczywistej.

Zadanie 1.4. Sprawdzić, że formuła (p ⇔ q) ⇔ (∼ p ⇔∼ q) jest tautologią. Zastosować tę formułę
do poniższych form zdaniowych.

(1) x

2

− 3x + 2 = 0 ⇔ (x = 1 ∨ x = 2).

(2) Liczba dzieli się przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez 2 i dzieli się przez 3.
(3)

x−1
x−2

> 0 ⇔ [(x > 1 ∧ x > 2) ∨ (x < 1 ∧ x < 2)]

Zadanie 1.5. Wskazać warunki konieczne oraz warunki dostateczne. Napisać implikację odwrotną,
przeciwną i przeciwstawną do danej:

(1) Jeżeli liczba dzieli się przez 4, to jest liczbą parzystą.
(2) Jeżeli koło ma promień o długości 2, to jego pole wynosi 4π.
(3) Jeżeli kąty wpisane są oparte na tym samym łuku, to mają równe miary.
(4) Jeżeli czworokąt jest kwadratem, to jest rombem.
(5) Jeżeli liczba pierwsza jest większa od 3, to 2 nie jest jej dzielnikiem.

3. FUNKCJE ZDANIOWE I KWANTYFIKATORY.

4

2. Elementy rachunku zbiorów

Zadanie 2.1. Dane są zbiory A = {x ∈ R : |x − 2| ¬ 2} i B = {x ∈ R : |x − 1| ­ 1}. Znaleźć zbiory
A ∪ B, A ∩ B oraz A \ B.

Zadanie 2.2. Dane są zbiory A = {x ∈ R :

√

x

2

− 4x + 4 ¬ 1} i B = {x ∈ R : |x| > 1}. Zaznaczyć

zbiory (A ∪ B)

0

, A

0

∩ B oraz A \ B

0

.

Zadanie 2.3. Dane są zbiory A = {x ∈ R : |x − 2| ¬ 2} i B = {x ∈ R :

x−1
x+2

> 2}. Znaleźć zbiory

A

0

∪ B

0

oraz A

0

∩ B

0

.

Zadanie 2.4. Dane są zbiory A = {x ∈ R : |3 − x| ¬ 1} i B = {x ∈ R :

2x

x−2

< 1}. Znaleźć zbiory

A

0

∪ B

0

oraz A

0

∩ B

0

.

Zadanie 2.5. Dane są zbiory A = {(x, y) ∈ R

2

: y +1 ­ |x−1|} i B = {(x, y) ∈ R

2

: 3y ¬ −3x

2

+10x}.

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów.

Zadanie 2.6. Dane są zbiory A = {(x, y) ∈ R

2

: xy ¬ 4} i B = {(x, y) ∈ R

2

: x ­ 1 ∧ y ­ 2}. W

prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów.

Zadanie 2.7. Dane są zbiory A = {(x, y) ∈ R

2

: y ­ 2

x

− 1} i B = {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

¬ 4}. W

prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów.

Zadanie 2.8. Dane są zbiory A = {(x, y) ∈ R

2

: y ¬ sin x} i B = {(x, y) ∈ R

2

: x > 0 ∧ y ­ log

3

x}.

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów.

Zadanie 2.9. Wiadomo, że B = {x ∈ R : x ∈ (−2, 3)}. Podać przykład zbioru A spełniającego
równość:

A

0

∩ B

0

= {x ∈ R : x ∈ (−∞, −4) ∪ (−4, −2i ∪ (4, ∞)}.

Zadanie 2.10. Wiadomo, że A = {x ∈ R : x ∈ (−4, −1i ∪ h0, 2)}. Podać przykład zbioru B, dla
którego prawdziwa jest równość:

A

0

∪ B

0

= {x ∈ R : x ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, −2i ∪ (−1, 0) ∪ (1, ∞)}.

3. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory.

Zadanie 3.1. Ocenić wartość logiczną zdań:

(1)

^

x∈R

(x > 0 ∧ sin x < 0),

w = 0

(2)

_

y∈N

(

√

y ∈ N),

w = 1

(3)

_

t∈N

(t

2

+ t = 0 ∧ t < t

2

),

w = 0

(4)

^

z∈R

(z < z

2

∨ z

2

+ 1 > 0),

w = 1

(5)

^

a∈R

+

(a +

1

a

­ 0),

w = 1

(6)

_

x∈R

(x > 0 ⇒ cos x > 0).

w = 1

Napisać zaprzeczenia powyższych zdań.

Zadanie 3.2. Ocenić wartość logiczną zdań:

(1)

_

x∈R

_

y∈R

(x + y)

2

= x

2

+ y

2

+ 2xy, w = 1

(2)

^

x∈R

_

y∈R

xy = 1,

w = 0

(3)

^

m∈N

_

n∈N

(m

2

> n ∨ m ¬ n),

w = 1

(4)

_

x∈R

_

y

∈

N

^

n∈N

(x + y > n ∨ xy < n), w = 1

(5)

^

x∈R

+

^

y∈R

+

(y > x ⇒

√

y >

√

x).

w = 1

Napisać zaprzeczenia powyższych zdań.

3. FUNKCJE ZDANIOWE I KWANTYFIKATORY.

5

Zadanie 3.3. Określić wartość logiczną poniższego zdania. Odpowiedź uzasadnić.

_

a∈R

^

x∈R

(a − 3)x

2

+ (a + 1)x + 1 < 0.

w = 0

Zadanie 3.4. Określić wartość logiczną poniższego zdania. Odpowiedź uzasadnić.

_

b∈R

^

x∈R

(b + 1)x

2

+ (2b − 1)x + b > 0.

w = 1

Zadanie 3.5. Przekształcając wyrażenie

_

y

∼ (y 6= 0 =⇒ y

3

− y 6= 0),

wprowadzić kwantyfikator o zasięgu ograniczonym oraz ocenić wartość logiczną otrzymanego zdania.

Zadanie 3.6. Zbadać dla jakich zbiorów A, X ⊂ R prawdziwe jest zdanie

^

a∈A

^

x∈X

log

a

x < 0.

(A = (1, +∞) ∧ X = (0, 1)) ∨ (A = (0, 1) ∧ X = (1, +∞))

Zadanie 3.7. Zbadać dla jakich zbiorów A, X ⊂ R prawdziwe jest zdanie

^

a∈A

^

x∈X

a

x

< 1.

(A = (1, +∞) ∧ X = (−∞, 0)) ∨ (A = (0, 1) ∧ X = (0, +∞))

Zadanie 3.8. Wyznaczyć zakres T zmienności zmiennej t tak, by prawdziwe było zdanie

^

t∈T

^

x∈R



sin x +

1

2

< t

2

+ 2t −

3

2



.

T = (−∞, −3) ∪ (1, +∞)

Zadanie 3.9. Zapisać przy użyciu kwantyfikatorów oraz ocenić wartość logiczną poniższych zdań.
Odpowiedź uzasadnić.

(1) Suma dowolnych dwóch liczb rzeczywistych jest większa od ich różnicy.
(2) Iloczyn pewnych dwóch liczb rzeczywistych jest mniejszy od ich ilorazu.
(3) Istnieją liczby nie będące kwadratem żadnej liczby rzeczywistej.
(4) Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat byłby mniejszy od zera.
(5) Układ równań: x + y = 2, 2x + 2y = 3 nie ma rozwi azań.
(6) Liczby 5 i 17 nie mają wspólnego dzielnika.

Odpowiedzi:

(1)

^

x∈R

^

y∈R

(x + y > x − y),

w = 0, np. liczby −2 i −1

(2)

_

x∈R

_

y∈R

(xy <

x

y

),

w = 1, np. liczby

1
2

i

1
4

(3)

_

x∈R

^

y∈R

(x 6= y

2

),

w = 1, np. liczba −1

(4) ∼

_

x∈R

(x

2

< 0),

w = 1

(5) ∼

_

x∈R

_

y∈R

(x + y = 2 ∧ 2x + 2x = 3),

w = 0

(6) ∼

_

x∈Z

(

5

x

∈ Z ∧

17

x

∈ Z).

w = 0, wspólnym dzielnikiem tych liczb jest 1

4. FUNKCJA ZŁOŻONA I ODWROTNA

6

4. Funkcja złożona i odwrotna

Zadanie 4.1. Dana jest funkcja f określona warunkiem f (x) =

1

1−x

. Wyznaczyć f ◦ f oraz f ◦ f ◦ f .

Zadanie 4.2. Dane są funkcje f oraz g określone przy pomocy warunków f (x) = x

2

− 4 oraz g(x) =

√

x + 4. W jakim zbiorze określone są funkcje: f ◦ g oraz g ◦ f .

Zadanie 4.3. Dane są funkcje f i g określone przy pomocy warunków f (x) = x

2

oraz g(x) =

√

1 − 2x.

Wyznaczyć, o ile istnieją, następujące funkcje złożone: f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g, f ◦ f ◦ f .

Zadanie 4.4. Dane są funkcje f , g i h określone wzorami f (x) = log

3

x, g(x) = x

2

− 1 oraz h(x) =

√

x.

Dostosowując ewentualnie dziedziny, wykonać wszelkie możliwe złożenia wszystkich funkcji f , g i h.
Dokonać ponadto następujących złożeń: g ◦ f ◦ g, h ◦ h ◦ h, f ◦ f ◦ f .

Zadanie 4.5. Z jakich funkcji elementarnych złożone są funkcje określone wzorami:

(1) f (x) =

p

log(x + 1),

(2) f (x) = cos

3

3x,

(3) f (x) =

1

√

x

2

+ 1

,

(4) f (x) = 5

(3x+1)

2

?

Zadanie 4.6. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f określonej wzorem:.

(1) f (x) = −3x + 2,

f

−1

(x) =

−x+2

3

(2) f (x) = x

5

,

f

−1

(x) =

5

√

x

(3) f (x) =

2

x+2

,

f

−1

(x) =

2

x

− 2

(4) f (x) =

x−2

3x+4

,

f

−1

(x) =

4x+2
3x+1

(5) f (x) = 2

x+1

,

f

−1

(x) = log

2

x − 1

(6) f (x) = 2

x

3

+1

,

f

−1

(x) =

3

plog

2

x − 1

(7) f (x) = log

5

(x

2

+ 5), dla x > 0,

f

−1

(x) =

√

5

x

− 5

(8) f (x) = log

5

(x

2

+ 5), dla x < 0

f

−1

(x) = −

√

5

x

− 5

(9) f (x) =

3

x

3

x

+1

,

f

−1

(x) = log

3

x

1−x

(10) f (x) = 4

log

3

(2x+4)

, dla x > −2,

f

−1

(x) =

1
2

· 3

log

4

x

− 2

(11) f (x) = sin 3x, dla x ∈ h−

π

6

,

π

6

i,

f

−1

(x) =

1
3

arc sin x

(12) f (x) = cos

3

2x, dla x ∈ 0,

π

2

.

f

−1

(x) =

3

q

1
2

arc cos x

Zadanie 4.7. Obliczyć:

(1) arc cos

1
2

,

π

3

(2) arc tg 1,

π

4

(3) arc sin −

1
2

,

−

π

6

(4) arc ctg (−1),

−

π

4

(5) − arc cos

1
2

+ arc tg



−

√

3

3



+ arc tg

√

3 − 4 arc sin

√

2

2

,

−

7
6

π

(6) 3 arc cos



−

√

3

2



+ arc ctg tg

π

4

− arc sin sin

π

2

.

9
4

π

Zadanie 4.8. Wyrazić bez użycia funkcji trygonometrycznych:

(1) cos(arc sin x),

√

1 − x

2

(2) tg(arc sin x),

x

√

1−x

2

(3) ctg(arc cos x),

x

√

1−x

2

(4) cos(arc tg x),

1

√

1+x

2

(5) sin(arc ctg x),

1

√

1+x

2

(6) ctg(arc tg x).

1

x

Zadanie 4.9. Niech f : R → R oraz g : R → R będą funkcjami określonymi wzorami:

(a) f (x) =

x

x

2

+ 1

oraz

g(x) =

 x + 1

dla

x < 1

x

2

+ x

dla

x ­ 1

,

5. GRANICA CIĄGU LICZBOWEGO

7

(b) f (x) =



x

2

dla

x < 3

−x − 2

dla

x ­ 3

oraz

g(x) =



x

dla

x ¬ 0

2x + 3

dla

x > 0

,

(c) f (x) =

−2x + 3 dla x ¬ 1

x

2

dla

x > 1

oraz

g(x) =

2x + 1 dla x < 0

x + 3

dla

x ­ 0

.

Utworzyć g ◦ f .

5. Granica ciągu liczbowego

Zadanie 5.1. Korzystając z definicji granicy ciągu, wykazać, że

(1) liczba −2 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a

n

=

2n−1

2−n

,

(2) liczba

1
3

jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a

n

=

7−2n
2−6n

,

(3) liczba 0 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a

n

=

n−1

2−5n

2

,

(4) liczba

4
7

jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a

n

=

8

√

n−1

3+14

√

n

,

(5) liczba −

2
3

jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a

n

=

8n

3

−3

1−12n

3

,

(6) liczba −1 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a

n

=

1−5n

2

5n

2

+2

.

Zadanie 5.2. Wykazać, że ciągi o wyrazach ogólnych
(1) a

n

= n

2

,

(2) b

n

= 2

n

,

(3) c

n

= log

1
2

1

n

są zbieżne do +∞.

Zadanie 5.3. Wykazać, że ciągi o wyrazach ogólnych
(1) a

n

= −n

3

,

(2) b

n

= 1 − 3

n

,

(3) log

10

n

są zbieżne do −∞.

Zadanie 5.4. Wykazać rozbieżność ciągów o wyrazach ogólnych
(1) a

n

= (−1)

3n+1

,

(2) b

n

= cos n

π

2

,

(3) c

n

= (cos π)

5n+2

,

(4) d

n

= n

(−1)

n

.

Zadanie 5.5. Obliczyć następujące granice:

(1) lim

n→∞

10n − 31

2n + 1

,

5

(2) lim

n→∞

10 − 7n

3n − 1

,

−

7
3

(3) lim

n→∞

2n

2

+ 6

n

3

− 4n

2

+ 1

,

0

(4) lim

n→∞

n

2

− 1

3n − 2

,

+∞

(5) lim

n→∞

(n

2

− 1)

99

(n

2

− n + 2)

100

,

0

(6) lim

n→∞

(n

2

− 1)

50

(n − 1)

51

(n + 1)

49

,

1

(7) lim

n→∞

(n

2

− 1)(n

4

− 2)(n

5

+ 1)

(n

6

+ 7)(n

2

+ 2)(n

3

+ 7)

,

1

(8) lim

n→∞

(−n

2

+ 6n + 12).

−∞

Zadanie 5.6. Obliczyć następujące granice:

(1) lim

n→∞

(

√

n + 4 −

√

n),

0

(2) lim

n→∞

(

p

n

2

− n + 4 −

p

n

2

+ 8n − 2),

−

9
2

(3) lim

n→∞

(

p

4n

2

− 5n + 4 − 2n),

−

5
4

(4) lim

n→∞

(

3

p

n

3

− n − n),

0

(5) lim

n→∞

(

3

p

n

2

− n

3

+ n),

1
3

(6) lim

n→∞

1

4

√

n

4

+ n

3

− n

,

4

(7) lim

n→∞

3

√

n

3

+ 2n

2

−

3

√

n

3

− 1

√

n

2

+ 7n −

√

n

2

+ 5

,

4

21

Zadanie 5.7. Obliczyć następujące granice:

(1) lim

n→∞

5

n

− 100

100 − 5

n+1

,

−

1
5

5. GRANICA CIĄGU LICZBOWEGO

8

(2) lim

n→∞

2

n

+ 3

n+1

3

n

+ 4

n−1

,

0

(3) lim

n→∞

1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1)

(n + 1)

2

,

1

(4) lim

n→∞

1 +

1
2

+

1
4

+ · · · +

1

2

n

1 +

1
3

+

1
9

+ · · · +

1

3

n

,

4
3

(5) lim

n→∞

1 +

1
4

+

1

16

+ · · · +

1

4

n

1 −

1
5

+

1

25

− · · · +

(−1)

n−1

5

n−1

,

8
5

(6) lim

n→∞

(n + 1)! − n!

(n + 2)! + n!

·

n

2



.

+∞

Zadanie 5.8. Obliczyć następujące granice:

(1) lim

n→∞



1 +

2

n



3n

,

e

6

(2) lim

n→∞



1 −

4

n

2



n

,

1

(3) lim

n→∞



2n + 1

2n + 3



3n+2

,

e

−3

(4) lim

n→∞



n

2

+ n + 1

n

2

− n + 1



2n−1

,

e

4

(5) lim

n→∞



n

2

+ n + 1

n

2

− n + 1



2n

2

−1

,

+∞

(6) lim

n→∞



n

2

+ n + 1

n

2

− n + 1



−n

3

+2

,

0

(7) lim

n→∞

 5n

2

+ 7n + 13

5n

2

+ n + 3



n

2

+n

,

+∞

(8) lim

n→∞

 2n

2

+ 6n + 3

2n

2

+ 3n + 6



n+5

.

e

3
2

Zadanie 5.9. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, obliczyć granice następujących ciągów:

(1) a

n

=

n

p

n

3

+ sin n,

1

(2) b

n

=

n

√

3

n

+ 5

n

+ 7

n

,

7

(3) c

n

=

n + 1

n

2

− 2

sin(2n − 3),

0

(4) d

n

=

n

2

+ 2n cos n

π

2

1 − n

2

,

−1

(5) e

n

=

1

√

n

2

+ 1

+

1

√

n

2

+ 2

+ · · · +

1

√

n

2

+ n

,

1

(6) f

n

=

1

n

2

+ 1

+

2

n

2

+ 2

+ · · · +

n

n

2

+ n

,

1
2

Zadanie 5.10. Obliczyć (o ile istnieją) następujące granice:

(1) lim

n→∞

log(2

−n

+ 3

−n

+ 6

−n

)

n

,

− log 2

(2) lim

n→∞



4

p

n

4

+ 2n

3

− n



,

1
2

(3) lim

n→∞

√

n

2

+ 1 −

√

n

2

+ n

√

n

4

+ n − n

2

,

−∞

(4) lim

n→∞



3

p

8n

3

− 5n

2

−

3

p

8n

3

+ 2n

2

− 4



,

−

7

12

(5) lim

n→∞



3n

2

+ 4

3n

2

+ 1



2n

2

+3

,

e

2

(6) lim

n→∞

n

p

n

2

+ n + 1,

1

(7) lim

n→∞



5n + 2

5n + 6



3n−1

,

e

−

12

5

(8) lim

n→∞

√

n

2

+ 2n + 3 −

√

n

2

− n

√

n

2

+ n + 6 − n

,

3

(9) lim

n→∞

√

3n − 2 −

√

5n + 1

√

12n + 1 −

√

20n − 2

,

1
2

(10) lim

n→∞

n ln

 n + 1

n



,

1

6. GRANICA FUNKCJI

9

(11) lim

n→∞

3

n+1

− 2 · 5

n−2

2

2n

+ 7 · 3

n

,

−∞

(12) lim

n→∞

p

n

2

+

√

n + 1 −

p

n

2

−

√

n − 1

√

n + 1 −

√

n

,

2

(13) lim

n→∞

1 + 2 − 3 + 4 + 5 − 6 + 7 + 8 − 9 + · · · − 3n

n

2

+ n + 1

,

3
2

(14) lim

n→∞



1 +

n

n + 1

cos

nπ

2



,

nie istnieje

(15) lim

n→∞

√

2 ·

4

√

2 · · · · ·

2n

√

2,

2

(16) lim

n→∞



2 + (−1)

n−1

+ 3 · (−1)

n(n+1)

2



,

nie istnieje

(17) lim

n→∞

2

n

+ (−2)

n

5

n

,

0

(18) lim

n→∞

 n

2

+ n + 2

n

2

+ n + 1



n2 +2

3

,

e

1
3

(19) lim

n→∞

n

r

1 +

(−1)

n

n

,

1

(20) lim

n→∞

√

1 + 2 + 3 + · · · + n

n

,

√

2

2

(21) lim

n→∞

 2

√

n − 3

2

√

n + 7



n

,

0

(22) lim

n→∞

3

n

+ (−3)

n

3

n

,

nie istnieje

(23) lim

n→∞

n

2

[ln(n + 3) − ln(n + 2)].

+∞

6. Granica funkcji

Zadanie 6.1. Naszkicować przykładowe wykresy funkcji spełniających warunek:

(1)

lim

x→−1

f (x) = 7,

(2) lim

x→∞

f (x) = 3,

(3)

lim

x→−∞

f (x) = −2,

(4) lim

x→1

f (x) = +∞,

(5)

lim

x→0

−

f (x) = −∞,

(6)

lim

x→2

+

f (x) = +∞,

(7) lim

x→∞

f (x) = 4,

(8)

lim

x→−∞

f (x) = 0,

(9) lim

x→0

f (x) = +∞,

(10)

lim

x→−1

f (x) = −∞,

(11)

lim

x→0

+

f (x) = +∞,

(12)

lim

x→1

−

f (x) = +∞,

(13)

lim

x→−1

+

f (x) = −∞,

(14)

lim

x→+∞

f (x) = −∞.

Zadanie 6.2. Obliczyć następujące granice:

(1)

lim

x→

√

3

x

2

− 3

x

4

+ x

2

+ 2

,

0

(2) lim

x→1

(x − 1)

√

2 − x

x

2

− 1

,

1
2

(3) lim

x→

1
2

8x

3

− 1

6x

2

− 5x + 1

,

6

(4) lim

x→0

(x + 1)e

x

cos x

,

1

(5) lim

x→3



1

x − 3

−

27

x

3

− 27



,

1
3

(6)

lim

x→−1



1

x + 1

−

3

x

3

+ 1



,

−1

(7) lim

x→1

x

4

− 3x + 2

x

5

− 4x + 3

,

1

(8)

lim

x→−1

x

4

+ 3x

2

− 4

x + 1

.

−10

Zadanie 6.3. Obliczyć następujące granice:

6. GRANICA FUNKCJI

10

(1) lim

x→5

√

x −

√

5

x − 5

,

1
2

(2) lim

x→0

√

2 + x −

√

2 − x

3x

,

√

2

6

(3) lim

x→4

3 −

√

1 + 2x

2 −

√

x

,

4
3

(4) lim

x→1

3

√

x − 1

5

√

x − 1

,

5
3

(5) lim

x→8

√

9 + 2x − 5

3

√

x − 2

,

12

5

(6) lim

x→0

√

1 + x −

4

√

1 + x

x

,

1
4

(7) lim

x→16

p

x

√

x − 8

4

√

x − 2

.

12

(8)

lim

x→−∞

1

2

x(

p

4x

2

+ 1 + 2x),

+∞

Zadanie 6.4. Sprawdzić, czy istnieją następujące granice:

(1) lim

x→1

1

x − 1

,

nie istnieje

(2) lim

x→1

1

(x − 1)

2

,

+∞

(3) lim

x→1

1

1 − x

2

,

nie istnieje

(4) lim

x→1

2

1

(x−1)2

,

+∞

(5) lim

x→1

2

1

1−x2

,

nie istnieje

(6) lim

x→2



1

x − 2

−

1

x

2

− 3x + 2



,

1

(7) lim

x→0

e

−

1

x

,

nie istnieje

(8) lim

x→0

2

|x|

x

,

nie istnieje

(9) lim

x→3



1

x − 3

−

9

x

3

− 27



,

nie istnieje

(10) lim

x→0

√

cos x − 1

sin x

,

nie istnieje

(11) lim

x→2

√

x

3

− 3x

2

+ 4 − x + 2

x

2

− 4

,

nie istnieje

(12) lim

x→0

x

1 + e

1

x

,

0

(13)

lim

x→0

+

cos x

ln x

.

0

Zadanie 6.5. Obliczyć następujące granice:

(1) lim

x→

π

6

2 sin

2

x + sin x − 1

2 sin

2

x − 3 sin x + 1

,

−3

(2) lim

x→

π

4

cos x − sin x

cos 2x

,

√

2

2

(3) lim

x→0

√

2 −

√

1 + cos x

sin

2

x

,

√

2

8

(4) lim

x→0

sin 7x

2x

,

7
2

(5) lim

x→0

tg 5x

tg 2x

,

5
2

(6) lim

x→1

(x − 1) tg

πx

2

,

2

π

(7)

lim

x+→∞

√

x · sin

√

x + 1 −

√

x

,

1
2

(8) lim

x→0

√

cos x − 1

x

2

,

−

1
4

(9) lim

x→

π

3

tg(x −

π

3

)

1 − 2 cos x

,

√

3

3

(10) lim

x→1

sin(1 − x)

√

x − 1

.

−2

Zadanie 6.6. Obliczyć następujące granice:

(1) lim

x→0

ln(1 + x)

x

,

1

(2)

lim

x→+∞

 2x + 3

2x + 1



x+1

,

e

(3) lim

x→0

(1 − sin x)

1

x

,

e

(4) lim

x→0

(cos x)

1

sin x

,

1

(5) lim

x→0

x

√

1 − 2x,

e

−2

7. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

11

(6)

lim

x+→∞

x sin

1

x

,

1

(7)

lim

x+→0

x sin

1

x

,

0

(8) lim

x→0

sin(sin x)

x

,

1

(9) lim

x→α

sin x − sin α

x − α

.

cos α

Zadanie 6.7. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej wzorem:

(1) f (x) =

2x−1

(x−1)

2

,

(2) f (x) =

3x

4

+1

x

3

,

(3) f (x) =

x

2

−3x

x

2

−4

,

(4) f (x) =

x

√

x+2

,

(5) f (x) = x −

√

x + 2,

(6) f (x) =

sin x

x

2

,

(7) f (x) = |x| + sin x.

Naszkicować przykładowe wykresy funkcji mających takie asymptoty.

7. Ciągłość funkcji

Zadanie 7.1. Zbadać ciągłość funkcji określonych poniższymi wzorami:

(1) f (x) =

(

x

2

+ 2x + 3

dla x ¬ 0

x

2

− 2x + 3

dla x > 0

(2) f (x) =

(

x−1

x

2

+x−2

dla x ∈ R \ {−2, 1}

1
3

dla x ∈ {−2, 1}

(3) f (x) =











x

2

+ 1

dla x ¬ 0

1

x

dla 0 < x ¬ 1

x − 1

dla x > 1

(4) f (x) =











x

dla x ¬ 0

x

x−1

dla 0 < x < 1

x

2

− 2

dla x ­ 1

(5) f (x) =

(

x+3

x

2

+x−6

dla x ∈ R \ {−3, 2}

−

1
5

dla x ∈ {−3, 2}

(6) f (x) =

(

x

x

2

−9

dla x < 0 i x 6= −3

x

x

2

+1

dla x ­ 0 lub x = −3

(7) f (x) =

(

cos

πx

2

dla |x| ¬ 1

|x − 1|

dla |x| > 1

(8) f (x) =











2

x

− 1

dla x ¬ 1

log x + 1

dla 1 < x < 10

5

x

dla x ­ 10

(9) f (x) =











x cos x

e

x+1

dla x ¬ 0

1

2x

−

1

√

2x

dla 0 < x ¬ 2

sin(x−2)

4−x

2

dla x > 2

(10) f (x) =































−25 sin(x+2)

x

2

−x−6

dla

x < −2,

−5

dla

x = −2,

1
2

x

+ 1

dla

− 2 < x ¬ 0,





log

1
2

x +

1
2

2





dla

0 < x ¬

3
2

,

arc ctg

2x+1
4x−6

dla

x >

3
2

Zadanie 7.2. Dla jakich wartości parametrów a, b, c poniższe funkcje są ciągłe na całym zbiorze liczb
rzeczywistych:

(1) f (x) =

(

|x|

dla x ¬ 1

x

2

− a

dla x ­ 1

(2) f (x) =

(

sin ax

3x

dla x 6= 0

a

dla x = 0

(3) f (x) =











√

x

2

+5−3

x

2

−4

dla x ∈ R \ {−2, 2}

1
2

ln

2

a −

1
3

ln a

dla x = 2

1
3

sin b

dla x = −2

(4) f (x) =



















sin ax

x

dla x < 0

x

3

−1

x

2

+x−2

dla 0 ¬ x < 1

c

dla x = 1

x

2

+(b−1)x−b

x−1

dla x > 1

Zadanie 7.3. Wykazać, że poniższe równania mają rozwiązania:

8. POCHODNA FUNKCJI

12

(1) x

3

+ 2x − 2 = 0,

(2) x

5

− 2x

2

+ 2 = 0,

(3) x2

x

= 1,

(4) log(x + 1) = x − 1,
(5) sin x + 1 = x,

(6) e

x

=

1

x

,

(7) arc tg

1

(x−1)(x−3)

+ arc cos (2 − x) = 0.

Zadanie 7.4. Wykazać, że dla a > 0 i b > 0 równanie

a

x − 1

+

b

x − 3

= 0 ma przynajmniej jeden

pierwiastek w przedziale (1, 3).

Zadanie 7.5. Wykazać, że funkcja określona wzorem f (x) = x

2

+

1

(3 − x)

3

ma miejsce zerowe w prze-

dziale (3, +∞).

Zadanie 7.6. Uzasadnić, że funkcja o równaniu f (x) = ln x + x

2

− 1 w przedziale h1, ei przyjmuje

wartość π.

Zadanie 7.7. Wykazać, że funkcje f oraz g określone przy pomocy równości f (x) = e

x

oraz g(x) =

x

2

− 1 mają punkt wspólny.

Zadanie 7.8. Wykazać, że funkcje f oraz g określone przy pomocy równości f (x) = ln x oraz g(x) =
−x

2

mają punkt wspólny.

8. Pochodna funkcji

Zadanie 8.1. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefi-
niowanej równością

(1) f (x) = sin 2x −

√

x,

(2) f (x) = ln x + x

3

,

(3) f (x) =

1

x

− cos(3x − 1),

(4) f (x) = 1 +

3

√

x.

w dowolnym punkcie należącym do jej dziedziny.

Zadanie 8.2. Obliczyć f

0

(x), jeśli

(1) f (x) =

3

√

x

x

√

x

,

(2) f (x) = x arc cos x −

√

1 − x

2

,

(3) f (x) =

x

3

+2x

e

2x

,

(4) f (x) = arc tg

2 1

x

,

(5) f (x) = 3

sin 2x

,

(6) f (x) =

p

tg x + x

2

+

pctg

π

4

,

(7) f (x) = cos

2 1−

√

x

1+

√

x

,

(8) f (x) =

e

2x

−1

e

2x

+1

,

(9) f (x) = ln

2

e

x

,

(10) f (x) = ln

√

x −

1

x

3

,

(11) f (x) =

√

x + 4 − ln

1

x

,

(12) f (x) = cos (3x + 1) −

√

x + 1,

(13) f (x) =

√

x + 8 − ctg (2x + 1),

(14) f (x) =

√

x

2

+ 2 cos(2x + 1)

3

x+1

,

(15) f (x) =

√

x arc tg(2x − 1)

ln x

,

(16) f (x) = arc cos

4



3x + 2

4

√

x + 1



,

(17) f (x) = arc ctg

3

 3 ln x + 2

4x + 1



,

(18) f (x) = x

sin x

,

(19) f (x) = (sin x)

cos x

,

(20) f (x) = (ln x)

1

x

.

Zadanie 8.3. Napisać równania stycznych do wykresu funkcji f w punkcie x

0

, gdy

(1) f (x) =

√

2 − x

2

, x

0

= 0,

(2) f (x) = x

3

√

x − 1, x

0

= 2,

(3) f (x) =

1
2

tg 2x, x

0

=

π

8

,

(4) f (x) = tg

2 πx

2

, x

0

=

1
2

,

(5) f (x) = ln(1 + 4x

2

), x

0

= 0,

(6) f (x) = xe

2x

, x

0

= 0,

(7) f (x) = arc tg(1 − x

2

), x

0

= 1.

10. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO

13

Zadanie 8.4. Zbadać różniczkowalność funkcji f określonej równością

(1) f (x) =











e

x+1

− 1

dla

x < −1,

x

2

+ x

dla

− 1 ¬ x < 0,

| sin x|

dla

0 ¬ x < 2π.

(2) f (x) =











√

sin

2

x

dla

− 2π < x < 0,

x

2

− x

dla

0 ¬ x < 1,

2

x−1

− 1

dla

x ­ 1.

(3) f (x) =















1 −

1
3

x+1

dla

x ¬ −1,

x

3

− x

dla

− 1 < x ¬ 0,

q

cos

2

x +

π

2

dla

0 < x < 2π.

Zadanie 8.5. Dobrać wartości parametrów a oraz b tak, aby funkcja f : R → R określona warunkiem

f (x) =











ax + 1

dla

x < −2,

3 − x

dla

− 2 ¬ x < 3,

x

2

+ x + b

dla

x ­ 3

była ciągła w całym zbiorze R. Czy f może być różniczkowalna w R ?

9. Reguła de l’Hospitala

Zadanie 9.1. Obliczyć następujące granice:

(1) lim

x→1



x

x − 1

−

1

ln x



,

1
2

(2)

lim

x→1

+

ctg πx

x−1

,

1

(3) lim

x→0

1

x

−

1

sin x

,

0

(4) lim

x→1

(3 − 2x)

tg

πx

2

,

e

−

4

π

(5) lim

x→0

x ctg x,

1

(6) lim

x→0

x ln x,

0

(7) lim

x→0

arc tg x

tg x

,

1

(8) lim

x→

π

4

(tg x)

tg 2x

,

e

−1

(9) lim

x→

π

2

(x −

π

2

) tg x,

−1

(10) lim

x→0

(e

x

+ 2 sin x)

1

x

,

e

3

(11)

lim

x→+∞

e

x

x

2

,

+∞

(12)

lim

x→0

+

√

x ln x,

0

(13)

lim

x→2

+

ln(x − 1) ln(x − 2).

0

Zadanie 9.2. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej równością:

(1) f (x) = (x − 1)e

1

(x−1)2

,

(2) f (x) = x ln

2x

x − 2

,

(3) f (x) = x ln

 1

x

+ e



,

(4) f (x) = xe

1

x−2

.

10. Zastosowania rachunku różniczkowego

Zadanie 10.1. Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji f zdefiniowanej równością

(1) f (x) =

1
3

x

3

+

9

x

na przedziale h1, 3i,

(2) f (x) = sin (2x) − x na przedziale h−

π

2

,

π

2

i,

(3) f (x) = x + cos

2

x na przedziale h−π,

π

2

i,

(4) f (x) = e

1

x2 (x+1)

na przedziale h−2, −

1
2

i,

(5) f (x) =

q

e

2x−1

x2 −1

− 1 na przedziale (1, 2i,

(6) f (x) =

q

e

x

x2 −1

− 1 na przedziale (1, 2i ,

(7) f (x) = x

x

2

na przedziale h1, 2i,

10. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO

14

(8) f (x) = x

ln x

na przedziale h1, ei,

(9) f (x) =

1

x

2x

na przedziale h1, 2i.

Zadanie 10.2. Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji f określonej wzorem

f (x) =







−x

2

+ 2x

,

x < 3,

−1

,

x = 3,

x

2

− 7x + 12

,

x > 3

na przedziale h1, 4i.

Zadanie 10.3. Zbadać monotoniczność funkcji f zdefiniowanej równością:

(1) f (x) = ln (x + 2) −

1

x

,

(2) f (x) = 2 ln (x + 2) − ln (2x + 3),

(3) f (x) = log

(2x

2

+2x+1)

3,

(4) f (x) = log

(3x

2

−3x+1)

2.

Zadanie 10.4. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:

(1) f (x) =

4x

x

2

+ 1

,

(2) f (x) =

3

p

(1 − x

2

)

2

,

(3) f (x) = x

√

1 − x,

(4) f (x) = x − 2 sin x,
(5) f (x) = 2x(x − 1)

2

,

(6) f (x) = |4x − x

2

|,

(7) f (x) = |3 − 2x − x

2

|,

(8) f (x) = x

2

+ 2|x| − 3,

(9) f (x) = x ln

2

x,

(10) f (x) = xe

−x

,

(11) f (x) = ln(1 + x

2

),

(12) f (x) = e

x

1−x2

,

(13) f (x) =

ln x

x

,

(14) f (x) = ln

2

x − 2 ln x.

Zadanie 10.5. Funkcja f określona wzorem f (x) =

ax+b

(x−1)(x−4)

osiąga w punkcie o odciętej x = 2

ekstremum lokalne równe −1. Wyznaczyć a i b oraz rozstrzygnąć, czy jest to minimum, czy maksimum
lokalne.

Zadanie 10.6. Wyznaczyć ekstrema funkcji f określonej wzorem f (x) = log

(3x

2

−3x+1)

2.

Zadanie 10.7. Napisać równanie stycznej do krzywej y = 2x

3

− 3x

2

+ 5 wiedząc, że współczynnik

kierunkowy tej stycznej jest równy 12.

Zadanie 10.8. W którym punkcie prosta styczna do paraboli y =

x

2

2

jest równoległa do prostej

y = 2x + 3 ?

Zadanie 10.9. Pod jakim kątem przecinają się krzywe o równaniach f (x) = x

2

+x−2 oraz g(x) = x

2

−x

?

Zadanie 10.10. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f danej wzorem f (x) =

(x+1)

2

x−2

, dla

x ∈ R \ {2}.
Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej x

0

= 1.

Zadanie 10.11. Na wykresie funkcji

(a) f (x) = x

3

,

(b) f (x) = sin x wyznaczyć punkty, w których

styczna jest równoległa do prostej y = x.

Zadanie 10.12. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej
wzorem

f (x) =

(

3

p

x

3

(x − 1)

2

dla

x < 3,

(x − 2)

x−2

dla

x ­ 3

na przedziale h0, 4i.

10. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO

15

Zadanie 10.13. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej
wzorem

f (x) =

(

ln

x

x+2

dla

x < −2,

3

p(x

2

− 2x)

2

dla

x ­ −2

na przedziale h−3, 3i.

Zadanie 10.14. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej
wzorem

f (x) =

(

ln

x+1

x

dla

x < −1,

3

p(x

2

− 4x)

2

dla

x ­ −1

na przedziale h−2, 4i.

Zadanie 10.15. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej
wzorem

f (x) =

(

3

p(x

2

+ 4x)

2

dla

x ¬ 1,

(x − 1)

x−1

dla

x > 1

na przedziale h−4, 3i.

Zadanie 10.16. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej
wzorem

f (x) =

(

3

p(x

2

+ 3x)

2

dla

x ¬ 0,

x

x

dla

x > 0

na przedziale h−4, 2i.

Zadanie 10.17. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji:

(1) f (x) =

(x + 1)

2

x

2

+ 1

,

(2) f (x) =

x

√

x

2

− 4

,

(3) f (x) = x

p

8 − x

2

,

(4) f (x) =

x

2

− 2x + 2

x − 1

,

(5) f (x) = x −

√

x + 2,

(6) f (x) = 2x − 3

3

√

x

2

,

(7) f (x) = (x

2

− 1)

2
3

− (x

2

+ 1)

2
3

,

(8) f (x) =

3

p

(x − 1)

2

−

3

p

(x + 1)

2

,

(9) f (x) =

1 − x

2

x + 2

,

(10) f (x) =

x

2

|x| − 1

,

(11) f (x) = x ln

2

x,

(12) f (x) = xe

−x

,

(13) f (x) = ln(1 + x

2

),

(14) f (x) = e

x

1−x2

,

(15) f (x) =

ln x

x

,

(16) f (x) = ln

2

x − 2 ln x.

Zadanie 10.18. Walec o promieniu x i wysokości h oraz półkula o promieniu x złączone podstawami
tworzą bryłę o objętości V . Dla jakiego x pole powierzchni tej bryły jest najmniejsze?

Zadanie 10.19. Koszt eksploatacji statku pełnomorskiego w ciągu godziny pływania wyraża się wzo-
rem k(v) = a+bv

3

, gdzie a i b są pewnymi stałymi dodatnimi obliczonymi dla każdego statku oddzielnie,

natomiast v jest prędkością statku wyrażoną w kilometrach na godzinę. Dla jakiej prędkości v statek
przepłynie dowolną drogę s przy najmniejszych kosztach?

Zadanie 10.20. Znaleźć wysokość stożka obrotowego o najmniejszej objętości, opisanego na kuli o
promieniu R.

Zadanie 10.21. Jaka powinna być wysokość stożka wpisanego w kulę o promieniu R, żeby jego po-
wierzchnia boczna była największa?

Zadanie 10.22. Należy wykonać ogrodzenie prostokątnego skweru o powierzchni 100 m

2

, którego jeden

bok przylega do granicy posiadłości. Koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia na granicy posiadłości
wynosi 30 zł, a koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia z pozostałych trzech boków jest równy 120
zł za metr bieżący. Jakie powinny być wymiary skweru, by koszt ogrodzenia był najmniejszy?

11. LICZBY ZESPOLONE

16

11. Liczby zespolone

Zadanie 11.1. Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych:

z

1

= (3 − 2i)(−2 + 3i) + (5 − i)(−1 − 2i), z

2

=

2

2 − 5i

, z

3

=

4 − 3i

1 − 2i

, z

4

=

2 − i

3 + 2i

−

3 + i

3 − 2i

.

Zadanie 11.2. Dla jakich liczb x, y ∈ R zachodzą równości:

(1) (2 + yi)(x − 3i) = 13 − i;

(x =

3
2

∧ y =

10

3

) ∨ (x = 5 ∧ y = 1)

(2)

1 + yi

x − 2i

= 3i − 1 ?

x = 5 ∧ y = 17

Zadanie 11.3. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania:

(1)

2 + i

z − 1 + 4i

=

1 − i

2z + i

;

z =

7
6

−

1
2

i

(2) z

2

− 4z + 13 = 0;

z = 2 − 3i ∨ z = 2 + 3i

(3) z

2

+ z + 1 = 0;

z =

−1−

√

3i

2

∨ z =

−1+

√

3i

2

(4) 4

z = z

2

+ 4;

z = 2

(5) z

z + (1 − i)z = zi;

z = −1 ∨ z = 0

(6) (1 + i)z + |z|

2

= z + 1 + i.

z = −1 ∨ z = −1 − i

11.1. Miejsca geometryczne.

Zadanie 11.4. Wyznaczyć miejsca geometryczne liczb zespolonych z spełniających warunki:

(1)

z − ¯

z

2i

= 5

z + ¯

z

2

− 3;

(2) Re (iz + 2) ­ 0;
(3) Im (z

2

) < 0;

(4) z − i = z − 1;

(5)

4

z

= ¯

z;

(6) z ¯

z + (5 + i)¯

z + 1 = 0;

(7) Im

1 + iz

1 − iz

= 1;

(8) Re

1

z + zi

> 1;

(9) |z + 1 − 2i| = 3;

(10) 2 ¬ |z + i| < 4;

(11)






z + 3

z − 2i






­ 1;

(12)

π

6

< Arg z ¬

2π

3

;

(13) Arg(z + 2 − i) = π;

(14)

π

2

¬ Arg[(−1 + i)z] ¬ π;

(15) Arg

 i

z



=

3π

4

;

(16) Arg(−

√

3 + i) ¬ Arg z ¬ Arg(3 − i).

Zadanie 11.5. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór

A =

n

z ∈ C : Arg z ¬ Arg (2 − 2i

√

3) ∧ Im[(1 − z)

2

] ¬ 2

o

.

Zadanie 11.6. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór

A =

n

z ∈ C : Arg z ¬ Arg(2

√

3 − 2i) ∧ Im[(z + 1)

2

] ¬ 2

o

.

Zadanie 11.7. Przedstawić interpretację geometryczną zbioru:

A =

z ∈ C : Re(z

2

) = 2 ∧ [Im(z + i)]

2

= 1

.

Zadanie 11.8. Przedstawić interpretację geometryczną zbioru:

B =

n

z ∈ C : |z − 2i| ­ 3 ∧ Arg(z + 3) ­

π

3

o

Zadanie 11.9. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór

A =

n

z ∈ C : Re[(¯

z + 1)(z − 1)] ¬ 8 ∧ |z − 1 − i| ­ 1 ∧

π

2

¬ Arg (2zi) ¬ π

o

.

Zadanie 11.10. Podać interpretację geometryczną zbioru liczb zespolonych o module równym 1, dla
których z

2

+ (2 + 2i)z jest liczbą czysto urojoną.

Zadanie 11.11. Naszkicować zbiór A złożony z tych liczb zespolonych z, dla których liczba ω =

z+3

z−4i

jest czysto urojona.

11. LICZBY ZESPOLONE

17

Zadanie 11.12. Podać interpretację geometryczną zbioru

B = {z ∈ C : |z| + Re z < 1} .

Zadanie 11.13. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór

A =

 |z − 1 + i|

|z + 2i|

­ 1 ∧

π

2

¬ Arg

z

i

¬ π



.

Zadanie 11.14. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór

B =



|z − 2i|

|z − 2 + i|

¬ 1 ∧ 0 ¬ Arg

z

−2

¬

π

2



.

Zadanie 11.15. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór

A =

n

z ∈ C : Im z ¬ [Re(z + 3)]

2

∧ Arg z ¬

π

4

+ Arg(1 − i)

o

.

11.2. Potęgowanie i pierwiastkowanie.

Zadanie 11.16. Obliczyć

(1)



−

√

2

2

− i

√

2

2



−16

(2)



−

1
2

− i

√

3

2



−11

(3)

(−1−i

√

3)

15

(1+i)

20

(4)

1 + cos

π

2

+ i sin

π

2

6

(5)

4

p√

3 + i

(6)

6

q

√

3−i

i−1

(7)

3

q

√

3−i

−2+2i

Zadanie 11.17.
(a) Obliczyć w = (2 − 2i)

10

.

(b) Wyznaczyć

3

√

w.

Zadanie 11.18. Liczba 1 − i

√

3 jest jednym z pierwiastków stopnia 3 z liczby zespolonej z. Znaleźć

pozostałe pierwiastki i wyznaczyć z. Sporządzić rysunek.

11.3. Równania i wielomiany.

Zadanie 11.19. W zbiorze liczb zespolonych C rozłożyć na czynniki liniowe wielomian

(1) w(z) = z

3

− 2z

2

+ 2z − 1

(2) w(z) = z

8

− 1

(3) w(z) = z

4

− 4z

3

+ 4z

2

+ 4z − 5

(4) w(z) = z

4

+ 16

(5) w(z) = z

3

+ 2z

2

+ 2z + 1

Zadanie 11.20. W zbiorze C rozwiązać równania:

(1) z

4

+ z

2

+ 1 = 0

(2) z

4

− 2z

2

+ 4 = 0

(3) z

4

− z

2

+ 1 = 0

(4) (z

2

− 1 + i

√

3)(z

3

+ 27) = 0

(5) z

2

− (1 + i)z + 6 + 3i = 0

(6) z

2

− 5z + 4 + 10i = 0

(7) 2z

3

+ 3z

2

+ 2z − 2 = 0

(8) 3z

3

+ 2z

2

+ 2z − 1 = 0

(9) z

4

+ 8 − 8i

√

3 = 0

(10) z

3

+ 1 − i

√

3 = 0

Zadanie 11.21. W zbiorze liczb zespolonych C wyznaczyć pierwiastki wielomianu:

(1) w(z) = (z

3

− 8)(z

6

− 1)

(2) w(z) = (z

3

− 27)(z

6

+ 1)

(3) w(z) = (z

4

− 16)(z

3

+ 1)

(4) w(z) = 2z

5

+ z

4

+ 6z + 3

(5) w(z) = 2z

5

− z

4

+ 4z − 2

Zadanie 11.22. W zbiorze C rozwiązać równanie:

11. LICZBY ZESPOLONE

18

(1) z

4

− z

3

+ z − 1 = 0,

(2) z

4

+ z

3

+ z + 1 = 0,

(3) z

6

− z

3

+ 1 = 0,

(4) z

6

+ z

3

+ 1 = 0,

a następnie każdy z pierwiastków tego równania przedstawić w postaci trygonometrycznej.

Zadanie 11.23. Dane jest równanie: (∗) : 3|z| − 2z = 2 + i

√

3.

a) Znaleźć liczbę (z

1

)

98

, gdzie z

1

jest pierwiastkiem równania (∗) takim, że Rez

1

< 1.

b) Korzystając z definicji pierwiastka, znaleźć

√

z

2

, gdzie z

2

jest tym pierwiastkiem (∗), że Rez

2

> 1.

Zadanie 11.24. Znaleźć liczbę z

15

0

, gdy z

0

jest pierwiastkiem równania: |z| − 2z = 1 + i

√

3.

Zadanie 11.25. Znaleźć liczbę



a

z

0



11

, gdzie a = −

1
2

+ i

√

3

2

, zaś z

0

jest tym z pierwiastków równania

z

3

+ 27 = 0, którego argument główny jest najmniejszy.

Zadanie 11.26. Rozwiązać równanie:

(1) 2x

3

− 3x

2

− 3x + 2 = 0,

x ∈ {−1,

1
2

, 2}

(2) 27x

3

− 9x

2

− 3x + 1 = 0,

x ∈ {−

1
3

,

1
3

}

(3) 5x

3

− 19x

2

− 38x + 40 = 0,

x ∈ {−2,

4
5

, 5}

(4) 3x

4

− 10x

3

+ 10x − 3 = 0,

x ∈ {−1,

1
3

, 1, 3}

(5) 6x

4

+ 7x

3

− 12x

2

− 3x + 2 = 0,

x ∈ {−2, −

1
2

,

1
3

, 1}

(6) x

4

− 3x

3

− 8x

2

+ 12x + 16 = 0,

x ∈ {−2, −1, 2, 4}

(7) x

5

− 2x

4

− 13x

3

+ 26x

2

+ 36x − 72 = 0,

x ∈ {−3, −2, 2, 3}

(8) 12x

5

− 8x

4

− 45x

3

+ 45x

2

+ 8x − 12 = 0,

x ∈

−2, −

1
2

,

2
3

, 1,

3
2

(9) x

5

− x

4

− 3x

3

+ 5x

2

− 2x = 0,

x ∈ {−2, 0, 1}

(10) x

6

− 2x

4

+ 4x

2

− 8 = 0,

x ∈



√

2, −

√

2, 1 + i, 1 − i, −1 + i, −1 − i

(11) x

4

− x

3

− 2x

2

+ 6x − 4 = 0,

x ∈ {1, −2, 1 + i, 1 − i}

(12) 2x

3

− 5x

2

+ 12x − 5 = 0,

x ∈



1
2

, 1 − 2i, 1 + 2i

Zadanie 11.27. Wiedząc, że z

1

jest pierwiastkiem wielomianu w(z), obliczyć pozostałe pierwiastki

tego wielomianu:

(1) w(z) = z

4

+ 2z

3

+ 9z

2

+ 8z + 20, z

1

= −1 − 2i,

(2) w(z) = z

4

− z

3

+ z

2

+ 9z − 10, z

1

= 1 + 2i,

(3) w(z) = z

4

+ z

3

+ 2z

2

+ z + 1, z

1

= i,

(4) w(z) = z

4

− 5z

3

+ 10z

2

− 10z + 4, z

1

= 1 + i,

(5) w(z) = z

4

− 6z

3

+ 15z

2

− 18z + 10, z

1

= 2 + i,

(6) w(z) = z

4

− 2z

3

+ 8z

2

− 6z + 15, z

1

= −

√

3i.

Zadanie 11.28. Obliczyć pierwiastki wielomianu w(z):

(1) w(z) = z

3

+ 7z

2

+ 7z + 6,

(2) w(z) = z

3

+ 9z

2

+ 9z − 10,

(3) w(z) = z

6

+ z

4

+ 2z

2

− 4,

(4) w(z) = z

4

− 6z

3

+ 15z

2

− 18z + 10,

(5) w(z) = z

3

− z + 6,

(6) w(z) = z

5

− z

4

+ z

3

− z

2

+ z − 1.

Powyższe wielomiany rozłożyć na:
(a) nierozkładalne czynniki rzeczywiste,
(b) czynniki liniowe.