‚WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ  ZADANIA

SZEREGI LICZBOWE

1. Zbada¢ zbie»no±¢ nast¦puj¡cych szeregów:

I (bez stosowania kryteriów zbie»no±ci)

a)

P

+∞
n=1

q

n

, b)

P

+∞
n=1

1

n(n+1)

, c)

P

+∞
n=1

1

√

n

.

II (z denicji)

a)

1

1·4

+

1

4·7

+ . . . +

1

(3n−2)(3n+1)

+ . . . , b)

P

+∞
n=1

(

√

n + 2 − 2

√

n + 1 +

√

n).

III (szereg harmoniczny uogólniony)

a)

P

+∞
n=1

1

2n−1

, b)

P

+∞
n=1

1

n

√

n+1

, c)

P

+∞
n=1

1

√

(2n−1)(2n+1)

.

IV (tw. Cauchy'ego)

a)

P

+∞
n=1

cos nx−cos(n+1)x

n

, b)

P

+∞
n=1

cos x

n

n

2

,

c)

P

+∞
n=1

1

n

,

d)

P

+∞
n=1

(−1)

n 1

n

,

e)

P

+∞
n=1

1

√

n(n+1)

.

V (kryteria zbie»no±ci)

a)

P

+∞
n=1

1+(−1)

n

2

n

,

b)

P

+∞
n=1

2+(−1)

n

2

n

,

c)

P

+∞
n=1

n

3

(

√

2+(−1)

n

)

n

3

n

,

d)

P

+∞
n=1

(n!)

2

2

n2

,

e)

P

+∞
n=1

nx

(1+x

2

)

n

,

f )

P

+∞
n=1

n

n+ 1

n

(n+

1

n

)

n

,

g)

P

+∞
n=1

sin

1

n

tg

1

n

, h)

P

+∞
n=1

(

2n+1
3n+1

)

1
2

n

, i)

P

+∞
n=1

1

n

(

3
5

)

n

,

j)

P

+∞
n=1

ln(

n

2

+1

n

2

),

k)

P

+∞
n=1

a

n

,

gdzie a

n

=

1

n

dla n = m

2

i a

n

=

1

n

2

dla n 6= m

2

.

VI (zbie»no±¢ warunkowa i bezwzgl¦dna)

a)

P

+∞
n=1

(−1)

n+1

1

2n−1

, b)

P

+∞
n=1

(−1)

n

1

(2n−1)

2

,

c)

P

+∞
n=1

(−1)

n+1

1

ln(n+1)

,

d)

P

+∞
n=1

(−1)

n+1 2

n2

n!

,

e)

P

+∞
n=1

(−1)

n+1

2

n

(

n−1

n

)

n2

.

2. Wykaza¢, »e je±li szeregi P

+∞
n=1

a

n

i P

+∞
n=1

b

n

s¡ zbie»ne, to dla α, β ∈ R

zbie»ny jest szereg P

+∞
n=1

(αa

n

+ βb

n

)

oraz

+∞

X

n=1

(αa

n

+ βb

n

) = α

+∞

X

n=1

a

n

+ β

+∞

X

n=1

b

n

).

Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?

3. Wykaza¢, »e je±li szereg P

+∞
n=1

|a

n

|

jest zbie»ny, to zbie»ny jest te» szereg

P

+∞
n=1

a

n

.

1

4. Pokaza¢, »e je±li szeregi P

+∞
n=1

a

2
n

i P

+∞
n=1

b

2
n

s¡ zbie»ne, to zbie»ne s¡ te»

szeregi:
a) P

+∞
n=1

|a

n

b

n

|

, b) P

+∞
n=1

(a

n

+ b

n

)

2

, c) P

+∞
n=1

|a

n

|

n

.

5. Pokaza¢, »e:

∞

X

n=0

x

n

n!

·

∞

X

n=0

y

n

n!

=

∞

X

n=0

(x + y)

n

n!

.

6. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów:

a) 1 +

1
2

+

1
3

−

1
4

−

1
5

−

1
6

+

1
7

+

1
8

+

1
9

− . . . ,

b)

P

+∞
n=1

(−1)

n(n−1)

2

2

n

c)

P

+∞
n=1

ln

100

n

n

sin

πn

4

,

d)

P

+∞
n=1

cos

πn2
n+1

ln

2

n

,

e)

P

+∞
n=1

sin(π

√

n

2

+ k

2

).

7. Znale¹¢ kwadrat szeregu P

+∞
n=1

(−1)

n+1

√

n

. Czy jest to szereg zbie»ny?

8. Pokaza¢, »e:

a) P

+∞
n=0

q

n

2

=

P

+∞
n=0

(n + 1)q

n

b) P

+∞
n=0

1

n!

P

+∞
n=0

(−1)

n

n!

= 1

.

CIGI I SZEREGI FUNKCYJNE

9. Zbada¢ jednostajn¡ zbie»no±¢ ci¡gu:

a) f

n

(x) = x

n

(1 − x

n

)

, 0 ≤ x ≤ 1

b) f

n

(x) =

1

nx

, 0 < x ≤ 1

c) g

n

(x) =

1

x

2

, 0 < x < 1

d) h

n

(x) = x(1 −

1

n

)

, 0 < x < 1

e) g

n

h

n

, g

n

jak w c), h

n

jak w d).

10. Dany jest ci¡g f

n

: [a; b] −→ R zbie»ny jednostajnie do f . Pokaza¢, »e

ci¡g {|f

n

|}

zbiega jednostajnie do |f|.

11. Czy je±li ci¡g {|f

n

|}

jest zbie»ny jednostajnie to ci¡g {f

n

}

jest zbie»ny

jednostajnie lub punktowo?

12. Dany jest ci¡g f

n

: [a; b] −→ R funkcji ci¡gªych zbie»ny jednostajnie do

f

. Pokaza¢, »e

∀

x

0

∈[a;b]

∀

{x

n

}⊂[a;b]

lim

n→+∞

x

n

= x

0

⇒ lim

n→+∞

(f

n

(x

n

)) = f (x

0

).

13. Poda¢ przykªad ci¡gu funkcyjnego funkcji ci¡gªych zbie»nego punktowo

do f i ci¡gu x

n

→ x

0

takiego, »e lim

n→+∞

(f

n

(x

n

)) 6= f (x

0

)

.

2

14. Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych:

a) f

n

(x) = n(

q

x +

1

n

−

√

x)

, x ∈ (0; +∞)

b) f

n

(x) =

arctan nx, x ∈ R

c) f

n

(x) =

n

√

1 + x

n

, x ∈ [0; +∞)

d) f

n

(x) = nx(1 − x)

n

, x ∈ [0; 1]

e) f

n

(x) =

√

x + n + 1 −

√

x + n

, x ∈ R

+

f) f

n

(x) = x

n

(1 − x

n

)

, x ∈ [0; 1]

15. Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów:

a) P

+∞
n=1

1

x

2

+n

2

, x ∈ R

b) P

+∞
n=1

(−1)

n

x+2

n

, x ∈ (−2; +∞)

c) P

+∞
n=1

sin(nx)

n

√

n

, x ∈ R

d) P

+∞
n=0

(1 − x)x

n

, x ∈ [0; 1]

e) P

+∞
n=1

x

2

n

4

+x

4

, x ∈ R

f) P

+∞
n=1

x

n

n

, x ∈ [0; 1)

g) P

+∞
n=1

1

x

2

−n

2

, x ∈ R

16. Pokaza¢, »e je±li f

n

: (a; b) −→ R,

P

+∞
n=1

|f

n

(x)|

jest zbie»ny jednostajnie,

to P

+∞
n=1

f

n

(x)

jest zbie»ny jednostajnie.

17. Wyznaczy¢ promie« zbie»no±ci szeregu pot¦gowego, zbada¢ zbie»no±¢ na

ko«cach przedziaªu:
a) P

+∞
n=1

x

n

n

b) P

+∞
n=1

(2 + (−1)

n

)

n

x

n

c) P

+∞
n=1

x

n

n

2

d) P

+∞
n=1

(n − 1)3

n−1

x

n−1

3