W

W

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

6

6

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

I

I

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

A

A

E

E

U

U

L

L

E

E

R

R

A

A

–

–

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

B

B

E

E

R

R

N

N

O

O

U

U

L

L

L

L

I

I

E

E

G

G

O

O

,

,

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

C

C

A

A

U

U

C

C

H

H

Y

Y

–

–

L

L

A

A

G

G

R

R

A

A

N

N

G

G

E

E

’

’

A

A

“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

I

I

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

A

A

E

E

U

U

L

L

E

E

R

R

A

A

Założenia podstawowe:



Potencjalność pola sił zewnętrznych

F



 



Barotropowość płynu – zależność masy właściwej

ρ

wyłącznie

od ciśnienia

ρ = ρ(p)

↔ znamy przemianę termodynamiczną

Wprowadzamy funkcję ciśnienia

P(p)

taką, że

0

p

p

dp

P(p)

(p)







1

P(p)

p

(p)









wtedy

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

I

I

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

A

A

E

E

U

U

L

L

E

E

R

R

A

A

(

(

I

I

)

)

Równanie Eulera:

Na podstawie tego równania, zakładając, że

ruch ośrodka jest

ustalony

otrzymujemy:

dv

1

F

p

dt



  

dv

1

F

p

dt



  

Przekształcamy

do postaci





dv

P

dt



  

dv

1

F

p

dt



  

2

linii pradu

v

P

const

2



  

dv

1

F

p

dt



  

Jest to CAŁKA

RÓWNANIA EULERA

zwana

RÓWNANIEM

BERNOULLIEGO

Zauważmy,

że gdy entropia jest stała

-

s = const

,

czyli przemianą

termodynamiczną jest izentropa

to

prawdziwa jest równość:

i

P(p) const





W tym przypadku równanie Bernoulliego jest z

dokładnością do stałej identyczne z całką energii !

2

2

linii pradu

linii pradu

v

v

P

const1

i

const2

2

2





  



  

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

I

I

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

A

A

E

E

U

U

L

L

E

E

R

R

A

A

(

(

I

I

I

I

)

)

Z

akładając potencjalność pola prędkości -

rot v 0



z równania

Eulera otrzymujemy (ruch może być nieustalony)

v



 

k

k

v

k

1, 2,3

x











potencjał

prędkości

2

v

P(p)

f (t)

t

2











 



dv

1

F

p

dt



  

Jest to CAŁKA

RÓWNANIA EULERA

zwana

CAŁKĄ

CAUCHY’EGO –

LAGRANGE’A

Gdy ruch potencjalny nie zależy bezpośrednio od czasu to:

0 i f

const

t











wtedy

2

v

P

const

2



  

dv

1

F

p

dt



  

Wniosek

: dla ruchu potencjalnego, niezależnego od

czasu, równanie Bernoulliego i całka Cauchy’ego –

Lagrange’a są tożsame, a stała w równaniu Bernoulliego

ma taką sama wartość na wszystkich liniach prądu.

Stała

const

jest

taka sama w

całym

obszarze

ruchu.

P

P

R

R

Z

Z

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

W pewnym ruchu gazu temperatura nie ulega zmianie.

Zachodzą

okoliczności prowadzące do równania Bernoulliego. Podaj to
równanie.

Musimy wyznaczyć P(p)!

T = const

– zatem mamy przemianę izotermiczną .

Możemy skorzystać z równania Clapeyrona -

p

RT





Stąd równanie Bernoulliego ma postać

0

0

p

p

0

p

p

dp

dp

p

P(p)

RT

RT ln

(p)

p

p













2

l.p.

0

v

p

RT ln

const

2

p





 