Wykład 6

∗

Fizyka I (Informatyka 2005/06)

15 11 2005

Spis treści

1

Strumień wektora

2

2

Strumień wektora przez powierzchnię zamkniętą

2

2.1

Punktowa masa, powierzchnia sferyczna

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2

Dowolna powierzchnia, dowolny rozkład mas (materiał uzupełniający) . . . . . .

4

2.2.1

Etap I (dowolna powierzchnia zamknięta)

. . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2.2

Etap II (wiele mas i dowolna powierzchnia) . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3

Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3

Ogólna postać prawa Gaussa

6

3.1

Interpretacja fizyczna prawa Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.1.1

Co to jest strumień Φ ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.1.2

Co to jest dywergencja?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

4

Zastosowania prawa Gaussa

8

5

Dodatek - uzasadnienie ogólnej postaci prawa Gaussa.

8

5.1

Etap I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

5.2

Etap II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

6

Literatura

11

Prawo Gaussa

UWAGA!

Przedstawiony poniżej tekst zawiera niezbędne przekształcenia matematyczne oraz
pewną ilość komentarzy. Dotychczasowa praktyka pokazuje, że komentarze te nie
wystarczą aby zrozumieć ten tekst bez aktywnego wysłuchania wykładu.

∗

c

Mariusz Krasiński 2005

1

1

STRUMIEŃ WEKTORA

2

1

Strumień wektora

Punkt wyjścia

1. Pole wektorowe

2. W każdym punkcie określony jest pewien wektor ~

C

3. Dana jest powierzchnia S (właściwie powinniśmy napisać fragment powierzchni)

Strumieniem wektora ~

C przez powierzchnię S nazywamy wyrażenie

Φ = ~

C · ~

S

(1)

Zauważ, że powierzchni S został przyporządkowany wektor ~

S, który jest prostopadły do po-

wierzchni S i którego długość odpowiada polu powierzchni S. Nazwa strumień nie jest przy-
padkowa. Wyjaśnienie zostanie przedstawione na wykładzie.

2

Strumień wektora przez powierzchnię zamkniętą

Punkt wyjścia

1. Pole wektorowe

2. W każdym punkcie określony jest pewien wektor ~

C

3. Dana jest zamknięta powierzchnia S

2

STRUMIEŃ WEKTORA PRZEZ POWIERZCHNIĘ ZAMKNIĘTĄ

3

Strumień wektora ~

Cprzez element powierzchni dS wynosi

dΦ = ~

C · ~

dS

(2)

Aby otrzymać strumień przez całą powierzchnię zamkniętą S należy zsumować po całej po-
wierzchni S strumienie dΦ przez poszczególne elementy dS.

Φ =

I

S

~

C · ~

dS

(3)

2.1

Punktowa masa, powierzchnia sferyczna

Założenia

1. Pojedyncza masa M

2. Powierzchnia S ma kształt sfery, w której środku jest masa M

3. Liczymy strumień natężenia pola grawitacyjnego przez całą powierzchnię S będącą sferą

o promieniu r

Obserwacje

1. Siła grawitacji (a więc i natężenie pola grawitacyjnego) jest skierowana do masy M czyli

do środka sfery

2. Natężenie ~

γ jest więc skierowane zawsze prostopadle do powierzchni sfery i przeciwnie do

wektora powierzchni ~

dS

3. Wartość natężenia γ w każdym punkcie powierzchni sfery ma tę samą wartość (symetria

!!!)

Natężenie pola grawitacyjnego w dowolnym punkcie sfery wynosi

~

γ = −G

M

r

3

~

r

Strumień wektora natężenia pola grawitacyjnego przez całą powierzchnię sfery S

k

jest więc

równy

Φ =

I

S

k

~

γ · ~

dS =

I

S

k



−G

M

r

3

~

r



·

 ~

dS



= −

I

S

k

G

M

r

3

~

r · ~

dS

(4)

2

STRUMIEŃ WEKTORA PRZEZ POWIERZCHNIĘ ZAMKNIĘTĄ

4

ponieważ

~

r · ~

dS = rdS

(5)

więc po podstawieniu (5) do równania (4) otrzymamy

Φ = = −

I

S

k

G

M

r

3

rdS = −G

M

r

2

I

S

k

dS = −G

M

r

2

(4πr

2

) = −4πGM

(6)

Przeprowadziliśmy rozumowanie dla bardzo szczególnego przypadku ale okazuje się, że otrzy-
many wynik jest uniwersalny. Możemy się o tym przekonać analizując wyliczenia przedstawione
w punkcie (2.2)

2.2

Dowolna powierzchnia, dowolny rozkład mas (materiał uzupeł-
niający)

2.2.1

Etap I (dowolna powierzchnia zamknięta)

Φ =

I

S

~

γ · ~

dS =

I

S



−G

M

r

3

~

r



·

 ~

dS



= −

I

S

G

M

r

3

~

r · ~

dS

teraz jednak

~

r · ~

dS 6= rdS

gdyż wektory ~

r i ~

dS tworzą dowolny kąt. Mamy więc

~

r · ~

dS = r · dS cos Θ

Jeśli przez dS

n

oznaczymy powierzchnię prostopadłą do wektora wodzącego to można zauważyć,

że

dS

n

dS

= cos Θ

wprowadzając kąt bryłowy zdefiniowany jako

dΩ =

dS

n

r

2

otrzymujemy

Φ = −

I

S

G

M

r

3

~

r · ~

dS = −

I

S

G

M

r

3

rdS cos Θ = −GM

I

S

dS cos Θ

r

2

2

STRUMIEŃ WEKTORA PRZEZ POWIERZCHNIĘ ZAMKNIĘTĄ

5

= − GM

I

S

dS

n

r

2

= −GM

I

S

dΩ = −GM (4π)

a więc ostatecznie dla dowolnej powierzchni zawierającej masę

Φ =

I

S

~

γ · ~

dS = −4πGM

(7)

Mimo, że powierzchnia nie była sferą otrzymaliśmy identyczny wynik jak w równaniu (6)

2.2.2

Etap II (wiele mas i dowolna powierzchnia)

Jeżeli mamy do czynienia z wieloma masami wytwarzającymi pole, to sumaryczne natężenie
pola jest sumą natężeń pochodzących od poszczególnych mas

Strumień przez powierzchnię S wynosi wtedy

Φ =

I

S

~

γ· ~

dS =

I

S

n

X

i=1

~

γ

i

!

· ~

dS =

n

X

i=1

I

S

γ

i

· ~

dS



=

n

X

i=1

(−4πGM

i

) = −4πG

n

X

i=1

M

i

= −4πGM

Jeśli pole wytwarzane jest przez ciągły rozkład masy wtedy można zapisać

Φ =

I

S

~

γ · ~

dS = −4πGM = −4πG

Z

V

ρdV

(8)

gdzie ρ jest gęstością.

Czytaj powyższe rownanie tak:

Strumień Φ natężenia pola grawitacyjnego ~

γ zsumowany (zcałkowany) dla całej za-

mkniętej powierzchni S jest proporcjonalny do masy M zamkniętej wewnątrz tej
powierzchni S. Współczynnik proporcjonalności to oczywiście −4πG

2.3

Przykłady

Omówienie na wykładzie

3

OGÓLNA POSTAĆ PRAWA GAUSSA

6

3

Ogólna postać prawa Gaussa

Prawo Gaussa w przypadku dowolnego pola wektorowego, określonego przez wektor ~

C ma

postać

I

S

~

C · ~

dS =

Z

V

~

∇ · ~

C dV

(9)

Lewa strona równania (9) czyli prawa Gaussa Φ =

H

S

~

C · ~

dS oznacza strumień wektora ~

C

przez zamkniętą powierzchnię S. Po prawej stronie równania (9) mamy sumę (całkę) po całej
objętości V wyrażenia ~

∇ · ~

C określonego dla każdego elementu dV objętości zamkniętej przez

powierzchnię S.

Wyrażenie

 ∂C

x

∂x

+

∂C

y

∂y

+

∂C

z

∂z



= ~

∇ · ~

C

nazywamy dywergencją wektora ~

C. Z poprzednich wykładów wiemy już, że

~

∇ =

 ∂

∂x

~i +

∂

∂y

~j +

∂

∂z

~

z



jest tzw. operatorem nabla

3.1

Interpretacja fizyczna prawa Gaussa

3.1.1

Co to jest strumień Φ ?

Rój pszczół przelatuje przez kostkę (ul) jak na rysunku powyżej. Prędkość dowolnej pszczoły
jest ~

v

Ilość pszczół wlatujących do ula przez jedną ściankę wynosi

• gdyby wszystkie pszczoły leciały prostopadle do ścianki:

3

OGÓLNA POSTAĆ PRAWA GAUSSA

7

dN

wl

= nvdt dS

1

gdzie.........

• jeśli prędkości pszczół są dowolne

dN

wl

= −n~

v · ~

dS

1

dt

1. dlaczego iloczyn skalarny?.......

2. dlaczego minus?...........

Ilość pszczół wlatujących do ula w jednostce czasu wynosi więc

dN

wl

dt

= −n~

v · ~

dS

1

a ilość pszczół wlatujących do ula w jednostce czasu przez wszystkie ścianki kostki

dN

wl

dt

= −

I

S

n~

v · ~

dS = −nΦ

(10)

Tak więc strumień Φ “mówi” nam o ilości pszczół uciekających w jednostce czasu z objętości
zamkniętej powierzchnią S. Strumień zero oznacza, że tyle samo pszczół wlatuje co wylatuje.
Dodatni strumień oznacza, że ilość pszczół w objętości maleje

dN

wl

dt

< 0

.

Dla pola grawitacyjnego strumień ma bardziej abstrakcyjną interpretację ale w pewnym stopniu
może być utożsamiany z ubytkiem lub przyrostem pola grawitacyjego (UWAGA! To jest bardzo
nieścisła, nieoficjalna definicja)

3.1.2

Co to jest dywergencja?

Powróćmy do ogólnej postaci prawa Gaussa

I

S

~

C · ~

dS =

Z

V

~

∇ · ~

C dV

(11)

Biorąc pod uwagę równania (10) i (11) otrzymujemy

dN

wl

dt

= −

I

S

n~

v · ~

dS = −n

Z

V

~

∇ · ~v dV

4

ZASTOSOWANIA PRAWA GAUSSA

8

czyli

Z

V

~

∇ · ~v dV = −

1

n

dN

wl

dt

(12)

Wyrażenie po lewej stronie oznacza sumę wyrażeń ~

∇ · ~v dV dla wszystkich kostek, z których

zbudowana jest objętość V . Jeśli ul jest nieskończenie mały to znaczy, że składa się z jednej
kostki i równanie (12) można zapisać jako

~

∇ · ~v dV = −

1

n

dN

wl

dt

(13)

Ponieważ

n dV = N

kostka

gdzie N

kostka

oznacza ilość pszczół w objętości dV to możemy zapisać równanie (13) jako

~

∇ · ~v = −

1

N

kostka

dN

wl

dt

(14)

~

∇ · ~v = −

tempo wlatywania pszczół do ula

aktualna ilość pszczół

Jeśli dywergencja ~

∇ · ~v jest dodatnia to na podstawie równania (14) możemy stwierdzić, że

dN

wl

dt

< 0

czyli ilość pszczół (netto) wlatujących w jednostce czasu do ula jest ujemna (więcej wylatuje
niż wlatuje). Oznacza to, że w ulu coś “produkuje” pszczoły.

Jeśli natomiast dywergencja jest ujemna to znaczy, że więcej pszczół wlatuje do ula niż wylatuje
(gdzieś giną w ulu). Dywergencję nazywamy więc często miarą wydajności żródeł.

Ostateczna interpretacja wyrażenia

R

V

~

∇ · ~γ dV czyli dywergencji natężenia pola

grawitacyjnego zostanie podana na wykładzie

4

Zastosowania prawa Gaussa

Mimo, że prawo Gaussa jest zawsze prawdziwe to w praktyce bywa szczególnie użyteczne do
opisu pól o wysokiej symetrii. Przykłady takich zastosowań zostaną podane na wykładzie oraz
ćwiczeniach rachunkowych.

5

Dodatek - uzasadnienie ogólnej postaci prawa Gaussa.

Założenia

1. W każdym punkcie pola wektorowego określony jest pewien wektor ~

C

2. Chcemy obliczyć strumień Φ =

H

S

~

C· ~

dS przez pewną zamkniętą powierzchnię umieszczoną

w tym polu wektorowym

5

DODATEK - UZASADNIENIE OGÓLNEJ POSTACI PRAWA GAUSSA.

9

5.1

Etap I

Liczymy strumień wektorowej wielkości przez ścianki zamkniętej kostki prostopadłościennej.
Zakładamy, że kostka jest na tyle mała, że możemy założyć stałość wektora ~

C na każdej ze

ścianek sześcianu (Ale na różnych ściankach wektor może być różny)

Strumień przez ściankę 1 jest iloczynem powierzchni ścianki lewej ~

S

x

i składowej x wektora ~

C

na ściance lewej

Φ

1

= ~

C(1) · ~

S

x

= −C

x

(1)∆y∆z

Możemy więc zapisać dla obu ścianek: lewej i prawej (uwaga na znaki!), że

Φ

1

= −C

x

(1)∆y∆z

(15)

oraz

Φ

2

= C

x

(2)∆y∆z

(16)

Wektor ~

C

x

w punktach 1 i 2 jest różny. Jeśli kostka jest wystarczająco mała to długość wektora

~

C

x

można zapisać jako (dlaczego tak? )

C

x

(2) = C

x

(1) +

∂C

x

∂x

∆x

(17)

Strumień Φ

2

przez powierzchnię 2 można więc (na podstawie (16) oraz (17)) zapisać jako

Φ

2

=



C

x

(1) +

∂C

x

∂x

∆x



∆y∆z

(18)

a strumień przez obie powierzchnie (1 i 2), na podstawie (15) i (18) wynosi

Φ

1

+ Φ

2

= −C

x

(1)∆y∆z +



C

x

(1) +

∂C

x

∂x

∆x



∆y∆z =

∂C

x

∂x

∆x∆y∆z

(19)

Analogicznie dla górnej i dolnej ścianki

Φ

3

+ Φ

4

=

∂C

y

∂y

∆x∆y∆z

(20)

oraz przedniej i tylnej

5

DODATEK - UZASADNIENIE OGÓLNEJ POSTACI PRAWA GAUSSA.

10

Φ

5

+ Φ

6

=

∂C

z

∂z

∆x∆y∆z

(21)

Wykorzystując (19), (20) oraz (21) możemy pokazać, że całkowity strumień przez wszystkie
ściany kostki wynosi

Φ

c

= Φ

1

+ Φ

2

+ Φ

3

+ Φ

4

+ Φ

5

+ Φ

6

=

 ∂C

x

∂x

+

∂C

y

∂y

+

∂C

z

∂z



∆x∆y∆z

(22)

Korzystając z definicji operatora nabla

~

∇ =

 ∂

∂x

~i +

∂

∂y

~j +

∂

∂z

~

z



równanie (22) możemy zapisać (patrz własności iloczynu skalarnego) w prostszej postaci

Φ

c

=

 ∂C

x

∂x

+

∂C

y

∂y

+

∂C

z

∂z



∆x∆y∆z = ~

∇ · ~

C ∆V

gdzie

∆x∆y∆z = ∆V

Ostatecznie więc strumień przez powierzchnię kostki wynosi

Φ

c

= ~

∇ · ~

C ∆V

(23)

5.2

Etap II

Kostka jest szczególną powierzchnią. Liczymy teraz strumień przez dowolną powierzchnię S

Obserwacja 1

Rysunek pokazuje (w dwuwymiarowym przypadku), że strumień przez brzegi sześcianua jest
równy sumie strumieni dla każdego z dwóch składowych sześcianów. Strumienie przez wspólną
ścianę mają przeciwne znaki więc się wzajemnie zerują.

W takim razie można przedstawić obszar zamknięty powierzchnią S jako zbiór małych kostek
(klocki Lego? ) i wtedy strumień przez powierzchnię S będzie równy sumie strumieni przez
ścianki wszystkich kostek (strumienie na wspólnych bokach wyzerują się wzajemnie i zostaną
tylko strumienie przez ścianki zewnętrzne czyli te należące do powierzchni S).

6

LITERATURA

11

Oznaczając dΦ strumień przez ścianki pojedynczej kostki i pamiętając, że całka może być
traktowana jako suma oraz, że zgodnie z równaniem (23)

dΦ = ~

∇ · ~

C dV

otrzymamy

Φ =

Z

V

dΦ =

Z

V

~

∇ · ~

C dV

(24)

Wykorzystując (24) oraz definicję strumienia Φ otrzymujemy więc ostatecznie równość

I

S

~

C · ~

dS =

Z

V

~

∇ · ~

C dV

(25)

Lewa strona to właśnie definicja strumienia. Prawa to wynik naszych obliczeń. To jest właśnie
prawo Gaussa w ogólnej postaci.

Powróćmy do przypadku pola grawitacyjnego. Zapisując wzór (25) dla natężenia pola grawi-
tacyjnego ~

γ otrzymamy:

I

S

~

γ · ~

dS =

Z

V

~

∇ · ~γ∆V

(26)

Pamiętamy również, że zgodnie z równaniem (8)

Φ =

I

S

~

γ · ~

dS = −4πGM

(27)

Korzystając z (26) oraz (27) można więc zauważyć, że

Z

V

~

∇ · ~γ dV = −4πGM

Ponieważ dywergencję traktujemy jako wydajność źródła oznacza to, że masę możemy trakto-
wać jako źródło pola grawitacyjnego.

6

Literatura

1. R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands; Feynmana wykłady z fizyki (PWN Warszawa

2003) Tom II, część 1, rozdz. 3-3.

6

LITERATURA

12

2. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski; Wstęp do Fizyki (PWN Warszawa 1991) Tom 2, część

druga, rozdz. III.

3. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker; Podstawy Fizyki (PWN Warszawa 2003) Tom III,

rozdział 24 ´(Prawo Gaussa dla pola elektrycznego).