ELEKTROSTATYKA

Oddzia

ływania elektromagnetyczne:

o

zjawiska elektryczne,

o

promieniowanie elektromagnetyczne i optyka,

o

powi

ązane z mechaniką kwantową.

Ładunek elektryczny

Si

ła oddziaływania między elektronem a protonem znajdującymi się w odległości równej promieniowi

atomu wodoru:

o

grawitacyjne:

2

r

/

m

Gm

F

e

p

=

= 3.61

×

10

–47

N

(

e

m

= 9.11

×

10

–31

kg,

p

m

= 1.67

×

10

–27

kg),

o

elektrostatyczne: 8.19

×

10

–8

N, si

ła 2,27

×

10

39

razy wi

ększa.

W du

żych obiektach ilość elektronów i protonów jest jednakowa i dlatego ogromne siły przyciągania i

odpychania elektrostatycznego wzajemnie kompensuj

ą się i pozostaje jedynie słaba siła

grawitacyjna.

Oddzia

ływanie grawitacyjne dużych obiektów może okazać się silniejsze od oddziaływania

elektrostatycznego (przyk

ładem są czarne dziury we Wszechświecie).

Źródłem siły grawitacyjnej jest masa grawitacyjna.
Si

ła elektrostatyczna wywołana jest ładunkiem elektrycznym

.

Ładunek elektryczny może być dodatni lub ujemny.

o

Ładunek elementarny e = 1.60

×

10

–19

C

o

Niektóre cz

ąstki elementarne (np. neutron, foton i neutrino) charakteryzują się zerowym

ładunkiem elektrycznym.

o

Na

ładowana cząstka ma ładunek skwantowany, tzn. równy całkowitej wielokrotności e.

Prawo zachowania

ładunku sformułowane przez Franklina w 1747 r.

W uk

ładzie zamkniętym całkowity ładunek pozostaje stały

.

Prawo to jest spe

łnione nawet przy anihilacji naładowanych cząstek.

Prawo Coulomba

Si

ła działająca pomiędzy dwoma naładowanymi cząstkami jest proporcjonalna do iloczynu

ładunków q

1

i q

2

i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odleg

łości między nimi

2

2

1

r

q

q

k

F

o

=

(4.1)

gdzie

o

k

jest wspó

łczynnikiem proporcjonalności.

Jednostka

ładunku jest C. Stała

o

k

w uk

ładzie SI wynosi

o

/

πε

4

1

. Wówczas

2

2

1

4

1

r

q

q

F

o

⋅

=

ε

π

(4.2)

gdzie

=

=

o

o

k

π

ε

4

1

8.854

×

10

–12

C

2

/(Nm

2

). Wielko

ść tę nazywamy

przenikalno

ścią elektryczną

pró

żni

.

q

1

q

2

q

q

3

1

F

1

F

2

F

2

F

3

F

3

F

F

(a) (b)

Rys. 4.1. (a) Si

ły działające na ładunek q za strony ładunków q

1

, q

2

, q

3

. (b) Wypadkowa si

ła

otrzymana w wyniku dodania wektorowego si

ł działających na ładunek q.

Zasada superpozycji

si

ł elektrostatycznych potwierdzona jest eksperymentalnie.

Pole elektryczne

Definicja pola

q

F

E

r

v

=

(4.3)

Wielko

ść E mierzona jest w N/C lub V/m.

Pole elektryczne

ładunku punktowego Q w odległości r:

(

)

z

,

y

,

x

E

r

r

r

q

Q

q

E

2

o

r

r

r

=









=

ε

π

4

1

1

czyli

'

r

r

Q

E

o

r

r

2

4

1

ε

π

=

(4.4)

gdzie

'

r

r

jest wektorem jednostkowym skierowanym od

ładunku Q do punktu P(x, y, z).

Pole elektryczne pochodz

ące od n ładunków punktowych

(

)

∑

∑

=

=

=

=

n

j

n

j

j

,

j

j

j

o

z

,

y

,

x

E

r

r

Q

E

1

1

2

4

1

r

r

r

ε

π

(4.5)

W przypadku

ładunku rozłożonego o gęstości ładunku

ρ = dQ/dV = ρ(x,y,z) [jednostka C/m

3

]

(

)

'

dz

'

dy

'

dx

r

'

z

,

'

y

,

'

x

E

V

r

o

∫

=

2

4

1

ρ

ε

ε

π

(4.6)

r

ε

okre

śla względną przenikalność elektryczną ośrodka.

W skali mikro (np. w atomie) g

ęstość ładunku zmienia się silnie od punktu do punktu i wtedy takie

poj

ęcie traci sens.

Dipol

r

r

+

-

+Q

-Q

Dipol

q

1

F

2

F

F

l

Rys. 4.2. Si

ły działające na ładunek q ze

strony dipola o momencie p = Ql.

Dipol elektryczny charakteryzujemy momentem
dipolowym p = Ql. Zauwa

żmy, że

r

/

l

F

/

F

=

1

,

czyli

( )

3

1

r

p

o

r

Qq

o

r

l

r

l

k

q

k

F

F

2

=

=

=

(4.7)

Pole elektryczne dipola

3

4

1

r

p

E

o

ε

π

=

(4.8)

Strumie

ń pola

Rys. 4.3. Strumie

ń pola elektrycznego.

Ka

żdemu elementowi dS przypisujemy

wektor

j

S

d

r

normalny do powierzchni i

okre

ślający orientację elementu dS

n

dS

S

d

;

dS

S

d

j

j

j

r

r

r

=

=

Strumie

ń natężenia pola elektrycznego przez

powierzchni

ę

j

S

d

r

j

j

E

S

d

E

d

r

r

⋅

=

Φ

(4.9)

Ca

łkowity strumień przez powierzchnię S:

∫

=

∑

⋅

⋅

=

S

j

j

j

E

S

d

E

S

d

E

r

r

r

r

Φ

(4.10)

Jednostka strumienia ma wymiar Vm.

Prawo Gaussa

Dla

ładunku punktowego q otoczonego kulą o promieniu r i środku pokrywającym się z położeniem

ładunku, strumień

E

Φ

przechodz

ący przez sferę

r

o

r

o

q

r

r

q

r

E

S

d

E

E

ε

ε

π

ε

ε

π

π

Φ

=

=

=

⋅

=

∫

2

2

2

4

4

1

4

r

r

(4.11)

Strumie

ń pola nie zależy od wielkości powierzchni.

r

R

A

a

θ

Rys. 4.4 Strumie

ń przez dowolną

zamkni

ętą powierzchnię zawierającą

ładunek q.

Rozpatrzymy dowoln

ą powierzchnię, która zawiera

kul

ę wraz z ładunkiem i udowodnimy, że całkowity

strumie

ń przez tę powierzchnię jest identyczny jak

strumie

ń przez powierzchnię kulistą.

Powierzchnia elementu

A

r

jest wi

ększa od powierzchni

elementu

a

r

( )

θ

cos

r

R

a

A

1

2

=

ze wzgl

ędu na ten sam kąt bryłowy

θ

Ω

cos

R

A

r

a

d

2

2

=

=

oraz ze wzgl

ędu na nachylenie elementu do kierunku

radialnego.

K

ąt

θ jest kątem zawartym zewnętrzną normalną a

kierunkiem radialnym.

Strumie

ń natężenia pola przez oba elementy jest równy

a

E

a

E

d

r

r

a

,

E

=

⋅

=

r

r

Φ

oraz

θ

Φ

cos

A

E

A

E

d

R

R

A

E,

=

⋅

=

r

r

Wstawiaj

ąc do równania na strumień wartości

R

q

E

r

o

R

2

4

1

ε

πε

=

i

( )

θ

cos

r

R

a

=

A

1

2

dostajemy

a

E

a

q

d

r

r

o

A

E,

=

=

ε

πε

Φ

4

(4.12)

Strumienie przez oba elementy s

ą równe. Również całkowity strumień przez obie powierzchnie

b

ędzie jednakowy, a więc

strumie

ń natężenia pola przez dowolną zamkniętą powierzchnię

otaczaj

ącą ładunek q będzie równy

o

q

εε

.

Je

żeli ładunek leży na zewnątrz zamkniętej dowolnej powierzchni, to strumień przez tę powierzchnię

znika.

Je

żeli mamy n ładunków punktowych objętych powierzchnią, to strumień przez tę powierzchnię

wynosi:

∑

=

n

1

=

i

r

o

E

i

q

ε

ε

Φ

(4.13)

W przypadku

ładunku o gęstości objętościowej

ρ(x,y,z)

∫

∫

=

⋅

V

r

o

S

dV

S

d

E

ρ

ε

ε

1

r

r

(4.14)

Prawo Gaussa brzmi:

strumie

ń natężenia pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię

zamkni

ętą równa się iloczynowi całkowitego ładunku zamkniętego w tej powierzchni przez

.

Powierzchniowy rozk

ład ładunku

S

o

a

a

Fig. 4.6. Niesko

ńczona powierzchnia

metalowa o g

ęstości powierzchniowej

ładunku

σ.

Ca

łkowity strumień natężenia pola elektrycznego

∫

=

⋅

o

ES

S

d

E

2

r

r

Zgodnie z twierdzeniem Gaussa

r

o

o

o

S

ES

ε

ε

σ

=

2

czyli pole elektryczne na

ładowanej płaszczyzny

jest równe

r

o

E

ε

ε

σ

2

=

(4.17)

Kondensator p

łaski

I II III

a b

Fig. 4.7. Pole elektryczne mi

ędzy dwoma

p

łaszczyznami o równych gęstościach

ładunku

powierzchniowego

σ lecz

przeciwnych znakach.

Pole wytworzone przez p

łaszczyznę b wynosi

r

o

b

/

E

ε

ε

σ 2

=

i jest skierowane od tej

p

łaszczyzny.

W obszarze I:

0

2

2

=

−

=

+

=

r

o

r

o

bI

aI

I

E

E

E

ε

ε

σ

ε

ε

σ

W obszarze II:

r

o

r

o

r

o

II

b

II

a

II

E

E

E

ε

ε

σ

ε

ε

σ

ε

ε

σ

−

=

−

−

=

+

=

2

2

(4.18)

W obszarze III:

0

2

2

=

+

−

=

+

=

r

o

r

o

III

b

III

a

III

E

E

E

ε

ε

σ

ε

ε

σ

Na zewn

ątrz płaszczyzn pole elektryczne

znika, natomiast mi

ędzy płaszczyznami wynosi

r

o

/

ε

ε

σ

.

Powierzchnia przewodnika

Wi

ększość ciał stałych dzielimy na przewodniki i izolatory (dielektryki)

.

Dodatkowy

ładunek umieszczony na powierzchni lub wewnątrz dielektryka pozostaje nieruchomy.

Powierzchnia S

∆

Przewodnik

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ + +

Rys. 4.9 Wewn

ątrz prostopadłościanu

o podstawie

∆S znajduje się ładunek σ∆S.

W przewodniku pole elektryczne mo

że istnieć jedynie

w ci

ągu krótkiego okresu czasu dopóki swobodne

elektrony

nie

zgromadz

ą się na powierzchni

przewodnika pod wp

ływem działania zewnętrznego

pola i nie utworz

ą przeciwnie skierowanego pola.

Zgodnie z twierdzeniem Gaussa

∫

=

⋅

S

r

o

w

Q

S

d

E

ε

ε

r

r

o

W stanie równowagi

ładunkowej przewodnika E

w

= 0,

ładunek wewnętrzny przewodnika Qw = 0.

o

Linie si

ł pola elektrycznego na powierzchni

przewodnika s

ą skierowane prostopadle do

powierzchni.

r

o

S

S

E

ε

ε

∆

σ

∆

=

czyli nat

ężenie pola na powierzchni przewodnika

r

o

E

ε

ε

σ

=

(4.20)

Potencja

ł elektryczny

Poka

żemy, że całka z pola elektrycznego

E

r

po krzywej

łączącej punkty A i B

∫

=

⋅

B

A

const

s

d

E

r

r

przybiera t

ę samą wartość dla wszystkich dróg łączących punkty A i B.

Dla

ładunku punktowego praca sił pola elektrostatycznego wynosi

B

A

B

A

B

A

B

A

AB

U

U

s

d

E

q

s

d

E

q

s

d

F

W

−

=

⋅

−

=

⋅

=

⋅

=

∫

∫

∫

r

r

r

r

r

r

(4.21)

i jest równa zmianie energii potencjalnej pola elektrostatycznego.

Przyjmujemy U = 0, gdy

ładunek znajduje się w nieskończoności. Wówczas

∫

∞

⋅

−

=

A

A

s

d

E

q

U

r

r

(4.22)

Je

żeli przesuniemy ładunek q z nieskończoności do punktu położonego w odległości r od ładunku

punktowego Q, to energia potencjalna b

ędzie równa pracy przeciwko sile elektrostatycznej

[ ]

r

r

o

r

r

o

r

1

qQ

dr

r

Q

q

U

∞

∞

−

−

=

−

=

∫

ε

πε

ε

πε

4

1

4

1

2

Wobec tego, energia potencjalna

ładunku punktowego q umieszczonego w polu ładunku Q wynosi

r

qQ

U

r

o

ε

ε

π

4

1

=

(4.23)

Potencja

ł elektryczny określamy jako energię potencjalną jednostkowego ładunku

q

U

V

=

(4.24)

Jednostk

ą potencjału elektrycznego jest wolt V = J/C.

Potencja

ł ładunku punktowego Q

r

Q

V

r

o

ε

πε

4

1

=

(4.25)

Potencja

ł elektryczny jest pracą jaką należy wykonać aby przesunąć ładunek jednostkowy z

niesko

ńczoności na odległość r od ładunku punktowego Q.

Ró

żnica potencjałów (napięcie elektryczne) pomiędzy dwoma punktami stanowi pracę jaką

nale

ży wykonać w celu przesunięcia jednostkowego ładunku z jednego punktu pola do

drugiego.

s

d

E

V

V

A

B

B

A

r

r

⋅

−

=

−

∫

(4.26)

Z ostatniego wyra

żenia wynika

s

d

E

dV

r

r

⋅

−

=

(4.27)

dz

z

V

dy

y

V

dx

x

V

dV

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

+

=

(4.28)

Z kolei wektor przesuni

ęcia

s

d

r

dz

k

dy

j

dx

i

s

d

r

r

r

r

+

+

=

Przyjmuj

ąc teraz, że

V

grad

E

−

=

r













+

+

−

=

z

V

k

y

V

j

x

V

i

E

∂

∂

∂

∂

∂

∂

r

r

r

r

(4.29)

widzimy,

że iloczyn skalarny

dV

dz

z

V

dy

y

V

dx

x

V

s

d

E

−

=













+

+

−

=

⋅

∂

∂

∂

∂

∂

∂

r

r

co potwierdza relacj

ę (4.27). Pokazaliśmy zatem, że

V

grad

E

−

=

r

(4.30)

Znak minus oznacza,

że wektor natężenia pola elektrycznego skierowany jest od większego do

mniejszego potencja

łu. Wektor grad V pokrywa się z kierunkiem wzrostu funkcji V.

Przyk

ład:

ró

żnica potencjałów pomiędzy dwiema przeciwnie naładowanymi równoległymi płytkami

x

o

σ

_

σ

+

Rys. 4.11. Dwie równoleg

łe płytki naładowane

równymi co do warto

ści lecz przeciwnymi

ładunkami.

Zgodnie z (4.27)

o

Ex

V

−

=

Poniewa

ż

linie

si

ł

pola

elektrycznego

skierowane s

ą od ładunków dodatnich do

ujemnych, to znak minus wskazuje,

że dodatnia

p

łytka charakteryzuje się wyższym potencjałem.

Ró

żnica potencjałów między płytkami wynosi

S

Q

x

x

V

r

o

o

r

o

o

ε

ε

ε

ε

σ

∆

=

=

(4.31)

Je

żeli kilka naładowanych ciał położonych jest w odległościach odpowiednio

n

2

r

,

...

,

r

,

r

1

od punktu P,

to potencja

ł elektryczny w tym punkcie jest równy sumie potencjałów od poszczególnych ciał.

(

)

n

n

V

V

V

s

d

E

E

E

s

d

E

V

+

+

+

=

+

+

+

−

=

⋅

−

=

∫

∫

K

r

r

K

r

r

r

r

2

1

2

1

Si

ły elektrostatyczne są zachowawcze.

∫

=

⋅

0

s

d

E

r

r

(4.32)

Powy

ższa

ca

łka po konturze zamkniętym nazywana jest cyrkulacją wektora natężenia pola

elektrycznego

.

Wzór (4.32) nie jest s

łuszny w przypadku zmiennych w czasie pól elektrycznych. Pola takie nie są

potencjalne.

Pojemno

ść elektryczna

Stosunek nagromadzonego

ładunku do różnicy potencjałów V nazywamy pojemnością C:

V

Q

C

∆

=

(4.33)

Jednostka pojemno

ści: C/V = F (farad). Stosuje się mniejsze jednostki jak mikrofarad (

µ

F), nanofarad

(nF), pikofarad (pF).

Ró

żnica potencjałów pomiędzy dwoma płytkami wynosi

S

Q/

x

V

r

o

o

ε

ε

∆

=

. St

ąd wynika, że

pojemno

ść kondensatora płaskiego wynosi

o

r

o

x

S

V

Q

C

ε

ε

∆

=

=

(4.34)

G

ęstość energii pola elektrycznego

Za

łóżmy, że początkowo nienaładowany kondensator stopniowo ładowano, przy czym różnica

potencja

łów wzrastała od 0 do V

o

.

Ładunek na okładkach kondensatora będzie wzrastał od 0 do Q

o

,

gdzie Q

o

= CV

o

. Praca wykonana przy przemieszczaniu

ładunku dq od ujemnie naładowanej płytki do

na

ładowanej dodatnio wynosi

Vdq

dW

=

Energia zmagazynowana w kondensatorze

C

Q

dq

C

q

dq

V

W

o

V

0

Q

o

o

2

0

2

1

=

=

=

∫

∫

(4.35)

Zauwa

żmy, że

S

Q

x

V

E

r

o

o

o

ε

ε

∆

=

=

czyli

SE

Q

r

o

o

ε

ε

=

Podstawiaj

ąc to do (4.35) otrzymamy

(

)

C

SE

W

r

o

2

2

1

ε

ε

=

Uwzgl

ędniając z kolei (4.34) mamy

o

r

o

Sx

E

W

2

2

ε

ε

=

Teraz dziel

ąc obie części przez objętość kondensatora Sx

o

, otrzymujemy g

ęstość energii pola

elektrycznego

2

2

1

E

w

r

o

ε

ε

=

(4.36)

Z bardziej ogólnych ale zarazem bardziej z

łożonych rozważań wynika, że całkowita energia

konieczna do uformowania dowolnego rozk

ładu ładunków, jest równa dokładnie całce po

2

2

/

E

r

o

ε

ε

liczonej po ca

łej przestrzeni V, gdzie E jest polem utworzonym przez taki rozkład ładunku

dV

E

W

r

o

∫

=

2

2

ε

ε

(4.37)

Dielektryki

Je

żeli między okładkami umieścimy substancję, to pojemność kondensatora wzrasta od C do C’.

Mo

żemy wówczas określić względną przenikalność dielektryczną substancji

C

'

C

r

=

ε

(4.38)

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

_

_

_
_

_

_
_
_

_
_

_
_
_

_

_

_

_

_

σ

0

σ

’

−σ

’

−σ

0

Rys. 4.12. Powstanie

ładunku indukowanego

σ' na powierzchni dielektryka umieszczonego
mi

ędzy okładkami kondensatora.

W dielektrykach

ładunki nie mają możliwości

swobodnego przemieszczania

Polaryzacja dielektryka to indukcja

ładunku

na powierzchni dielektryka pod wp

ływem

zewn

ętrznego pola elektrycznego.

Wskutek zjawiska polaryzacji zmienia si

ę

warto

ść

nat

ężenia

pola

w

o

środku

dielektrycznym; wp

ływ pola wewnętrznego.

Cz

ąsteczki niespolaryzowane

(np. H

2

, Cl

2

,

CCl

4

, w

ęglowodory): środki ciężkości ładunków

dodatnich i ujemnych pokrywaj

ą się.

Pod wp

ływem zewnętrznego pola elektrycznego w cząstkach niespolaryzowanych indukuje się

moment dipolowy

E

p

o

e

r

r

α

ε

=

(4.39)

gdzie

α jest współczynnikiem polaryzowalności atomu.

Cz

ąsteczki spolaryzowane

o samoistnym momencie dipolowym

e

p

r

(H

2

O, NH

3

, HCl, CH

3

Cl)

Rodzaje polaryzacj

Polaryzacja skierowana

: pod wp

ływem zewnętrznego pola elektrycznego cząsteczki dielektryka

d

ążą do zajęcia takiego położenia, aby kierunek wektorów ich momentów dipolowych

e

p

r

by

ł

zgodny z kierunkiem wektora

E

r

.

Polaryzacja elektronowa

: cz

ąsteczki niespolaryzowane uzyskują w polu elektrycznym momenty

dipolowe indukowane w wyniku odkszta

łcenia orbit elektronowych.

Polaryzacja jonowa

(NaCl, CsCl): rozsuni

ęcie jonów pod wpływem pola elektrycznego.

Wska

źnik ilościowy polaryzacji –

wektor polaryzacji

∑

→

=

N

1

=

i

ei

V

e

p

V

lim

P

r

r

1

0

(4.40)

N oznacza liczb

ę dipoli zawartych w objętości V dielektryka, a

ei

p

r

moment elektryczny i-tego dipola.

W przypadku dielektryka jednorodnego o cz

ąsteczkach niespolaryzowanych

e

o

e

p

N

P

r

r

=

(4.41)

gdzie

o

N

oznacza liczb

ę cząsteczek w jednostce objętości. Stosując wzór (4.39) otrzymujemy

E

E

N

P

o

o

o

e

r

r

r

χ

ε

α

ε

=

=

(4.42)

Wspó

łczynnik

α

χ

o

e

N

=

– podatno

ść dielektryczna substancji.

Twierdzenie Gaussa w przypadku obecno

ści dielektryków.

Wektor indukcji elektrycznej

Warto

ść liczbowa

E

r

jest zawsze odwrotnie proporcjonalna do sta

łej dielektrycznej

ε ośrodka. Z tego

wzgl

ędu wprowadzono wielkość

D

r

niezale

żną od stałej dielektrycznej danej substancji

E

D

o

r

r

εε

=

(4.43)

D

r

nazywamy wektorem indukcji elektrycznej i mierzymy w C/m

2

:

D

r

charakteryzuje zatem to pole elektryczne, które wytwarzaj

ą w danej substancji same tylko ładunki

swobodne.

Ładunki związane powstające w dielektryku wywołują zmianę rozkładu w przestrzeni

ładunków swobodnych wytwarzających pole

.

Strumie

ń indukcji elektrycznej

j

j

D

S

d

D

d

r

r

⋅

=

Φ

Ca

łkowity strumień

∑

∫

=

⋅

=

swob

S

D

q

S

d

D

r

r

Φ

(4.45)

gdzie zgodnie z definicj

ą wektora indukcji elektrycznej uwzględniono tylko ładunki swobodne.

W pró

żni

E

D

o

ε

=

, a zatem równanie (4.45) przybiera posta

ć

∑

∫

=

⋅

swob

S

o

q

S

d

E

r

r

ε

(4.46)

Pole w dowolnym

środowisku różni się od pola w próżni tym, że wytwarzają je ładunki zarówno

swobodne, jak i zwi

ązane. W ogólnym przypadku

∑

∑

∫

+

=

⋅

zwi

ą

swob

S

o

q

q

S

d

E

r

r

ε

(4.47)

Ładunki swobodne wytwarzają zewnętrzne pole elektryczne, natomiast ładunki związane
wytwarzaj

ą pole wewnętrzne spolaryzowanego dielektryka.

l

α

α

(a) (b)

∆

S

∆

S

l/2

l/2

E

E

e

P

e

P

n

n

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

A B

A’ B’

+

σ

-

σ

-

σ

p

+

σ

p

E

E

o

p

Rys. 4.13. Powstawanie

ładunku związanego.

Pole elektryczne

p

E

r

ładunków związanych jest skierowane przeciwnie względem pola zewnętrznego

o

E

r

, wytworzonego przez

ładunki swobodne. Natężenie pola wypadkowego

p

o

E

E

E

r

r

r

+

=

Znajdziemy teraz sum

ę ładunków związanych, które powstały w wyniku polaryzacji dielektryka,

obj

ętego zamkniętą powierzchnią S.

Suma algebraiczna wszystkich

ładunków dipoli całkowicie objętych powierzchnią, równa się zeru.

Przy obliczaniu

zwi

ą

q

∑

uwzgl

ędnia się zatem tylko te dipole, które przecinają powierzchnię S. Warunek ten spełniają

wszystkie dipole, których

środki leżą wewnątrz objętości l

∆Scos

α

.

Liczba dipoli przeci

ętych przez element

∆S wynosi

o

N

l

∆Scosα.

Ca

łkowity ładunek związany

ą

zwi

q

∆

, powierzchni

∆

S

S

cos

p

N

S

cos

ql

N

q

e

o

o

zwi

ą

∆

α

∆

α

∆

−

=

−

=

Iloczyn

e

o

p

N

równy jest modu

łowi wektora polaryzacji. A zatem

S

d

P

S

n

P

S

cos

P

q

e

e

e

zwi

ą

r

r

r

r

r

⋅

−

=

⋅

−

=

−

=

∆

∆

α

∆

(4.48)

Sumy

ładunków związanych, znajdujących się wewnątrz zamkniętej powierzchni S

S

d

P

q

S

e

zwi

ą

r

r

⋅

−

=

∫

∑

(4.49)

Twierdzenie Gaussa

S

d

P

q

S

d

E

S

e

swob

S

o

r

r

r

r

⋅

−

=

⋅

∫

∑

∫

ε

st

ąd

(

)

∑

∫

=

+

swob

S

e

o

q

S

d

P

E

r

r

r

ε

(4.50)

Wstawiaj

ąc tu

∑

swob

q

z równania (4.45) otrzymujemy

(

)

∫

∫

⋅

=

+

S

S

e

o

S

d

D

S

d

P

E

r

r

r

r

r

ε

Przeto

e

o

P

E

D

r

r

r

+

=

ε

(4.51)

Uwzgl

ędniając (4.42) mamy

(

)

E

E

E

D

e

o

e

o

o

r

r

r

r

χ

ε

χ

ε

ε

+

=

+

=

1

(4.52)

Z drugiej strony, w my

śl definicji (4.43), wektor

D

r

równy jest

E

D

r

o

r

r

ε

ε

=

Zatem

e

r

χ

ε

+

=

1

(4.53)

Sta

ła dielektryczna równa się podatności dielektrycznej zwiększonej o 1

. Dla pró

żni

1

=

r

ε

, a

0

=

e

χ

.