Algebra wektorów

Definicja 1.
Kartezjańskim układem współrze¸dnych prostokątnych (układem ortonor-
malnym lub ortokartezjańskim) nazywamy uporządkowaną trójkę półosi
regularnych wzajemnie do siebie prostopadłych o wspólnym początku i
wspólnej jednostce długości. Stosujemy ozn. OXY Z.

Definicja 2.
Położenie dowolnego punktu P w przestrzeni można określić za pomocą
uporządkowanej trójki liczb nazywanych współrzędnymi punktu P co
zapisujemy

P(x

P

, y

P

, z

P

)

gdzie

x

P

oznacza współrzędną prostokątną rzutu punktu P na oś OX

y

P

współrzędną prostokątną rzutu punktu P na oś OY

z

P

współrzędną prostokątną rzutu punktu P na oś OZ

Wniosek 1.
Weźmy punkty A(x

1

, y

1

, z

1

) i B(x

2

, y

2

, z

2

).

Punkty te wyznaczają w układzie OXY Z odcinek AB, którego długość
wyraża się wzorem

|

AB|

=

q

(x

2

−

x

1

)

2

+ (y

2

−

y

1

)

2

+ (z

2

−

z

1

)

2

Definicja 3 (wektora).
Parę uporządkowaną punktów A i B w przestrzeni nazywamy wektorem

i oznaczamy symbolem

−

−

→

AB lub

−

→

a .

Zapisujemy

−

−

→

AB

= [a

x

, a

y

, a

z

], gdzie a

x

, a

y

, a

z

nazywamy współrzędnymi

wektora

−

−

→

AB w układzie OXY Z i obliczamy z zależności

a

x

= x

2

−

x

1

,

a

y

= y

2

−

y

1

,

a

z

= z

2

−

z

1

Wniosek 2.
Długość wektora

−

−

→

AB, ozn. |

−

−

→

AB| lub |

−

→

a |, wyraża się wzorem

|

−

−

→

AB|

=

q

a

2

x

+ a

2

y

+ a

2

z

lub

|

−

−

→

AB|

=

q

(x

2

−

x

1

)

2

+ (y

2

−

y

1

)

2

+ (z

2

−

z

1

)

2

Definicja 4 (sumy wektorów).

Sumą wektorów

−

→

a

= [a

x

, a

y

, a

z

] i

−

→

b

= [b

x

, b

y

, b

z

] nazywamy wektor, któ-

rego współrzędne tworzymy dodając odpowiednie współrzędne składowe

wektorów

−

→

a i

−

→

b , tj. wektor postaci

−

→

a

+

−

→

b

= [a

x

+ b

x

, a

y

+ b

y

, a

z

+ b

z

]

Własności sumy wektorów

1.

−

→

a

+

−

→

b

=

−

→

b

+ −

→

a (przemienność)

2. (

−

→

a

+

−

→

b )

+ −

→

c

= −

→

a

+ (

−

→

b

+ −

→

c ) (łączność )

3.

−

→

a

+

−

→

0

=

−

→

0

+ −

→

a

= −

→

a (element neutralny dodawania wektorów )

4.

−

→

a

+ (−−

→

a )

=

−

→

0 (wektor przeciwny)

Definicja 5 (iloczynu wektora przez liczbę).
Iloczynem wektora (niezerowego)

−

→

a przez liczbę λ ∈ R, λ , 0, nazywamy

wektor λ

−

→

a skierowany zgodnie ze skierowaniem wektora

−

→

a , jeśli λ > 0,

a przeciwnie jeśli λ < 0, o długości równej |λ||

−

→

a |, w postaci

λ−

→

a

= [λa

x

, λa

y

, λa

z

]

Jeśli λ

= 0 lub −

→

a

= 0 to iloczyn ten jest wektorem zerowym.

Własności iloczynu wektora przez liczbę

1. (λ

+ α)−

→

a

= λ−

→

a

+ α−

→

a ,

2. λ(α

−

→

a )

= (λα)−

→

a ,

dla λ, α ∈ R.

Definicja 6 (kombinacji liniowej n wektorów).
Weźmy n wektorów

−

→

a

1

,

−

→

a

2

, ... ,

−

→

a

n

oraz n liczb λ

1

, λ

2

, ... , λ

n

∈ R.

Kombinacją liniową wektorów

−

→

a

1

,

−

→

a

2

, ... ,

−

→

a

n

nazywamy wektor postaci

λ

1

−

→

a

1

+ λ

2

−

→

a

2

+ ... + λ

n

−

→

a

n

=

n

X

i

=1

λ

i

−

→

a

i

Definicja 7 (liniowej zależności i niezależności wektorów).

Wektory

−

→

a

1

,

−

→

a

2

, ... ,

−

→

a

n

nazywamy liniowo zależnymi, jeśli istnieją

liczby λ

1

, λ

2

, ... , λ

n

, nie wszystkie jednocześnie równe zero (tj.

n

P

i

=1

λ

2
i

>

0), takie że

n

X

i

=1

λ

i

−

→

a

i

=

−

→

0

Jeżeli wektory

−

→

a

1

,

−

→

a

2

, ... ,

−

→

a

n

nie są liniowo zależne to są one liniowo

niezależne.

Definicja 8.

Mówimy, że dwa wektory

−

→

a i

−

→

b są kolinearne jeżeli są liniowo zależne,

natomiast trzy wektory

−

→

a ,

−

→

b i

−

→

c są koplanarne jeśli są one liniowo

zależne.

Wartości i wektory własne

Niech A będzie macierzą nieosobliwą (det A , 0) stopnia n.
Dla danej macierzy A szukamy takich wektorów niezerowych X wymia-
ru n × 1, które są kolinearne z A · X, tj. takich że

A · X

= λ · X, gdzie λ ∈ R

Stąd

(A − λI)X

= 0

Wektor niezerowy X spełniający powyższe równanie istnieje, gdy

det(A − λI)

= 0

Definicja 9.
Równanie

det(A − λI)

= 0

nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A, liczby λ speł-
niające to równanie wartościami własnymi macierzy A, a wektory nie-
zerowe X spełniające równanie

(A − λI)X

= 0

nazywamy wektorami własnymi tej macierzy odpowiadającymi ich war-
tościom własnym.

Definicja 10 (rzutu prostokątnego punktu).
Rzutem prostokątnym punktu A na oś (skierowaną) S nazywamy punkt

A

0

, w którym prostopadła poprowadzona przez punkt A do osi S przecina

ją.

Definicja 11 (rzutu prostokątnego wektora).

Rzutem prostokątnym wektora

−

→

a

=

−

−

→

AB na oś (skierowaną) S nazywamy

wektor

−

→

a

s

=

−−−→

A

0

B

0

, którego początek A

0

jest rzutem początku wektora

−

→

a , tj. punktu A, natomiast koniec B

0

jest rzutem końca wektora

−

→

a , tj.

punktu B.

Oznaczmy przez |

−

→

a

s

| długość rzutu wektora

−

→

a na oś S.

Twierdzenie 1.
Długość wektora

−

→

a

s

będącego rzutem wektora

−

→

a na oś S jest równa

iloczynowi długości wektora

−

→

a i kosinusa kąta nachylenia wektora

−

→

a i

osi S, tj.

|

−

→

a

s

|

= |−

→

a | cos ∠(

−

→

a , S)

Definicja 12 (wersora).
Wersorem (lub wektorem jednostkowym) nazywamy wektor o długości
jeden.

Definicja 13 (wersorów układu współrzędnych).
Wektory

~i = [1, 0, 0], ~j = [0, 1, 0], ~k = [0, 0, 1]

nazywamy wersorami odpowiednio osi OX, OY , OZ w układzie kartez-
jańskim OXY Z.

Definicja 14.
Współrzędnymi kartezjańskimi prostokątnymi wektora ~

a w przyjętym

układzie OXY Z, oznaczanymi przez a

x

, a

y

i a

z

, nazywamy współrzędne

tego wektora na kolejnych osiach układu.

Wniosek 3.
Dla dowolnego niezerowego wektora ~

a w układzie kartezjańskim zacho-

dzi zależność

~a = [a

x

, a

y

, a

z

]

gdzie a

x

, a

y

, a

z

oznaczają współrzędne prostokątne wektora w rozważa-

nym układzie.
Piszemy również

~a = a

x

~i + a

y

~j + a

z

~k

lub

~a = a

x

[1, 0, 0]

+ a

y

[0, 1, 0]

+ a

z

[0, 0, 1]

Definicja 15 (kątów kierunkowych).
Kątami kierunkowymi wektora ~

a w układzie kartezjańskim OXY Z nazy-

wamy kąty α, β, γ, jakie ten wektor tworzy z kolejnymi osiami układu,
tj.

α = ∠(~a, OX), β = ∠(~a, OY), γ = ∠(~a, OZ)

Kosinusy kątów kierunkowych nazywamy kosinusami kierunkowymi wek-
tora ~

a, przy czym

cos α

=

a

x

|

~a|

,

cos β

=

a

y

|

~a|

,

cos γ

=

a

z

|

~a|

Wniosek 4.
Dla dowolnego wektora niezerowego ~

a kosinusy kierunkowe spełniają

zależność

cos

2

α + cos

2

β + cos

2

γ = 1

Iloczyn skalarny wektorów

Niech dane będą wektory niezerowe ~

a

= [a

x

, a

y

, a

z

] i ~

b

= [b

x

, b

y

, b

z

].

Definicja 16 (iloczynu skalarnego).
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów niezerowych ~

a i ~

b nazywamy licz-

bę równą iloczynowi długości tych wektorów przez kosinus kąta między
tymi wektorami, co zapisujemy

~a ◦ ~b = |~a| · |~b| · cos ∠(~a, ~b)

Wniosek 5.
Iloczyn skalarny wektorów ~

a i ~

b równy jest sumie iloczynów odpowied-

nich współrzędnych, co zapisujemy

~a ◦ ~b = a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

Własności iloczynu skalarnego

1. ~

a ◦ ~

b

= ~b ◦ ~a

(przemienność)

2. ~

a ◦ (~

b

+ ~c) = ~a ◦ ~b + ~a ◦ ~c (rozdzielność względem dodawania)

3. (α~

a) ◦ ~

b

= ~a ◦ (α~b) = α(~a ◦ ~b), α ∈ R

4. ~

a ◦ ~

a > 0 dla ~

a , ~0, ~

a ◦ ~

a

= 0 dla ~a = ~0

Definicja 17.
Mówimy, że dwa wektory niezerowe ~

a i ~

b są ortogonalne (prostopadłe),

jeśli ~

a ◦ ~

b

= 0.

Wniosek 1.
Dwa wektory niezerowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy

a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

= 0 warunek prostopadłości

natomiast są równoległe, gdy istnieje taka liczba λ ∈ R, λ , 0, że

a

x

b

x

=

a

y

b

y

=

a

z

b

z

= λ warunek równoległości

Definicja 18.
Przyjmujemy oznaczenie ~

a ◦ ~

a

= ~a

2

. Liczbę ~

a

2

nazywamy kwadratem

skalarnym wektora. Ponadto ~

a

2

= |~a|

2

.

Orientacja układu współrzędnych

Definicja 19 (orientacji układu OXY ).
Mówimy, że układ ortokartezjański OXY ma orientację dodatnią (orien-
tację w prawo), jeśli przy obrocie przeciwnym do ruchu wskazówek ze-
gara następuje pokrycie osi OY osią OX, natomiast orientację ujemną
(orientację w lewo), jeśli pokrycie to następuje przy obrocie zgodnym z
ruchem wskazówek zegara.

Definicja 20 (orientacji układu OXY Z).
Mówimy, że układ ortokartezjański OXY Z jest zorientowany dodatnio
(ma orientację w prawo), jeśli dla patrzącego z dodatniego kierunku osi
OZ układ OXY jest zorientowany dodatnio, a ujemnie (ma orientację w
lewo), jeśli patrzący z osi OZ widzi układ OXY zorientowany ujemnie.

Definicja 21.
Układ o orientacji dodatniej nazywamy układem prawym, natomiast
układ o orientacji ujemnej nazywamy układem lewym.

Definicja 22.
Przestrzeń mającą orientację nazywamy przestrzenią zorientowaną.

Definicja 23.
Mówimy, że trójka wektorów ~

a, ~

b, ~

c (niekoplanarnych) zaczepionych

w jednym punkcie jest zorientowana zgodnie z orientacją przestrzeni
(układu ortokartezjańskiego), jeżeli patrząc z końca wektora ~

c obrót

wektora ~

a do pokrycia z wektorem ~

b następuje w tym samym kierunku

jak obrót osi OX do pokrycia z osią OY .

Wniosek 6.
Niech ~

a

= [a

x

, a

y

, a

z

], ~

b

= [b

x

, b

y

, b

z

], ~

c

= [c

x

, c

y

, c

z

] będą wektorami w

przestrzeni. Wektory te tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją
układu współrzędnych, jeśli



















a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

c

x

c

y

c

z



















> 0

W przypadku, kiedy podany wyznacznik jest ujemny mówimy, że orien-
tacja układu wektorów ~

a, ~

b i ~

c jest przeciwna do orientacji układu

współrzędnych.

Iloczyn wektorowy wektorów

Definicja 24 (iloczynu wektorowego).
Iloczynem wektorowym pary niezerowych i nierównoległych wektorów ~

a

i ~

b nazywamy wektor, ozn. ~

a × ~

b, o następujących własnościach

1. długość wektora ~

a × ~

b, ozn. |~

a × ~

b|, jest równa iloczynowi długości

wektorów ~

a i ~

b oraz sinusa kąta między tymi wektorami, tj.

|

~a × ~b| = |~a| · |~b| · sin ∠(~a, ~b)

2. wektor ~

a × ~

b jest prostopadły do wektorów ~

a i ~

b, tj. ~

a × ~

b ⊥ ~

a i

~a × ~b ⊥ ~b, skierowany w ten sposób, że orientacja trójki wektorów ~a,

~b i ~a × ~b jest zgodna z orientacją przestrzeni, w której się znajdują.

Jeżeli wektory ~

a i ~

b są równoległe lub przynajmniej jeden z nich jest

wektorem zerowym to ich iloczyn wektorowy określamy jako wektor ze-
rowy.

Własności iloczynu wektorowego

1. ~

a × ~

b

= −(~b × ~a)

(antyprzemienność)

2. ~

a × (~

b

+ ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c (rozdzielność względem dodawania)

3. (α~

a) × ~

b

= ~a × (α~b) = α(~a × ~b), α ∈ R

4. Jeśli ~

a , ~0 i ~

b , ~0, to ~

a × ~

b

= 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ~a k ~b.

Wniosek 7.
W układzie ortokartezjańskim OXY Z iloczyn wektorowy wektorów ~

a

=

[a

x

, a

y

, a

z

] i ~

b

= [b

x

, b

y

, b

z

] wyraża się wzorem

~a × ~b =



















~i ~j ~k

a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z



















lub

~a × ~b = [a

y

b

z

−

a

z

b

y

, a

z

b

x

−

a

x

b

z

, a

x

b

y

−

a

y

b

x

]

Wniosek 8 (pole równoległoboku).
Pole równoległoboku zbudowanego na wektorach ~

a i ~

b jest równe dłu-

gości ich iloczynu wektorowego, tj.

P

rown

= |~a × ~b|

Wniosek 9 (pole trójkąta).
Pole trójkąta zbudowanego na wektorach ~

a i ~

b jest równe połowie dłu-

gości ich iloczynu wektorowego, tj.

P

4

=

1

2

|

~a × ~b|

Iloczyn mieszany wektorów

Definicja 25 (iloczynu mieszanego).
Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów ~

a, ~

b i ~

c, ozn.

symbolem abc, nazywamy liczbę równą iloczynowi skalarnemu wektora

~a przez wektor równy iloczynowi wektorowemu ~b × ~c, tj.

~a ◦ (~b × ~c)

Wniosek 10.
W ustalonym układzie ortokartezjańskim OXY Z iloczyn mieszany wekto-
rów ~

a

= [a

x

, a

y

, a

z

], ~

b

= [b

x

, b

y

, b

z

] i ~

c

= [c

x

, c

y

, c

z

] wyraża się wzorem

~a ◦ (~b × ~c) =



















a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

c

x

c

y

c

z



















Własności iloczynu mieszanego

1. ~

a ◦ (~

b × ~

c)

= ~b ◦ (~c × ~a) = ~c ◦ (~a × ~b)

(przemienność cykliczna)

2. ~

a ◦ (~

b × ~

c)

= −~c ◦ (~b × ~a)

Twierdzenie 2.
Trzy wektory niezerowe ~

a, ~

b i ~

c są koplanarne wtedy i tylko wtedy, gdy

ich iloczyn mieszany jest równy zero, tj. ~

a ◦ (~

b × ~

c)

= 0, co zapisujemy

za pomocą warunku



















a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

c

x

c

y

c

z



















= 0

Wniosek 11 (objętość równoległościanu).
Objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach ~

a, ~

b i ~

c jest równa

wartości bezwzględnej z iloczynu mieszanego tych wektorów, tj.

V

rown

= |abc|

Wniosek 12 (objętość czworościanu).
Objętość czworościanu rozpiętego na wektorach ~

a, ~

b i ~

c jest równa jednej

szóstej wartości bezwzględnej z iloczynu mieszanego tych wektorów, tj.

V

czwor

=

1

6

|

abc|