Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ

Rachunek wektorowy

1

Zestaw 12. Rachunek wektorowy.

• Iloczyny wektorów

Niech ~

v

1

= [x

1

, y

1

, z

1

], ~

v

2

= [x

2

, y

2

, z

2

], ~

v

3

= [x

3

, y

3

, z

3

]

iloczyn skalarny:

~

v

1

· ~

v

2

= | ~

v

1

| · | ~

v

2

| · cos(∠( ~

v

1

, ~

v

2

)) = x

1

x

2

+ y

1

y

2

+ z

1

z

2

Przez iloczyn skalarny można wyrazić kosinus kąta między danymi wektorami. Dwa wektory są prosto-
padłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero.

iloczyn wektorowy: ~

v

1

× ~

v

2

=








i

j

k

x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2








=







y

1

z

1

y

2

z

2






, −






x

1

z

1

x

2

z

2






,






x

1

y

1

x

2

y

2








długość iloczynu wektorowego | ~

v

1

× ~

v

2

| = | ~

v

1

| · | ~

v

2

| · sin(∠( ~

v

1

, ~

v

2

)), tzn. długość ta jest równa polu równo-

ległoboku rozpiętego na wektorach ~

v

1

i ~

v

2

;

~

v

1

× ~

v

2

⊥ ~

v

1

, ~

v

2

; orientacja układu ( ~

v

1

, ~

v

2

, ~

v

1

× ~

v

2

) jest zgodna z orientacją układu (i, j, k) tzn. układu

jednostkowych wektorów na osiach współrzędnych

iloczyn mieszany:

[ ~

v

1

~

v

2

~

v

3

] = ~

v

1

· ( ~

v

2

× ~

v

3

) = ~

v

2

· ( ~

v

3

× ~

v

1

) = ~

v

3

· ( ~

v

1

× ~

v

2

) =








x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

x

3

y

3

z

3








• Dwa wektory są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współrzędne są proporcjonalne.

1.

Sprawdzić, czy punkty: A, B, C leżą na jednej prostej.

a) A(−1, 1, 1), B(2, 1, 0) i C(0, 1, 0)
b) A(0, 2, −1), B(−2, 4, 1) i C(1, 1, −2)

2.

Wykazać, że współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi współrzędnych jego końców.

3.

Dany jest trójkąt o wierzchołkach A(−1, 0), B(3, 0) i C(2,

√

3). Wyznaczyć kąty tego trójkąta.

4.

Znaleźć kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach: A(2, −1, 3), B(1, 1, 1) i C(0, 0, 5).

5.

Sprawdzić, czy trójkąt o wierzchołkach A(3, 2, 1), B(−1, 6, 5) i C(5, 3, 2) jest prostokątny.

6.

Obliczyć pole trójkąta ∆ABC, jeśli A(0, 0, 2), B(2, 1, 1) i C(−1, 1, 0).

7.

Znaleźć objętość czworościanu o wierzchołkach A(2, 0, 1), B(1, 3, 2), C(−1, 2, 0) i D(2, 3, 8).

8.

Obliczyć objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach:

−

−

→

AB = [0, 0, 1],

−→

AC = [−1, 2, 3] i

−

−

→

AD = [2, 5, −1].

9.

Znaleźć wektor ~

u, wiedząc, że jest on prostopadły do wektorów: ~

v = [1, 2, −3] i ~

w = [−1, 4, 2] oraz że

~

u · [4, 5, 1] = −150.

10.

Wektor ~a = [3, −2, 1] przedstawić w postaci sumy dwóch wektorów, z których jeden jest prostopadły, a

drugi równoległy do wektora ~b = [−1, 4, 5].

11.

Obliczyć długość rzutu prostokątnego wektora ~a = [

√

2,

√

3, −

√

5] na wektor ~b = [−

√

8, 0,

√

5].

12.

Sprawdzić, czy wektory

−

−

→

AB = [−1, 3, −5],

−→

AC = [1, −1, 1] i

−

−

→

AD = [4, −2, 0] są współpłaszczyznowe

13.

Wektory ~a i ~b tworzą dwa sąsiednie boki trójkąta. Wyrazić środkowe tego trójkąta przez wektory ~a i ~b.