05 Logika predykatow jako narz! Nieznany (2)

V. Logika predykatów jako narz ˛edzie
wnioskowania dedukcyjnego

Tło historyczne

. Idea logiki jako narz˛edzia jest dawna

jak sama logika. Wprawdzie tytuł Organon (gr. narz˛edzie)
został nadany dziełom logicznym Arystotelesa (384–322
przed Chr.) dopiero w czasach bizantyjskich, ale odpo-
wiadał on trafnie intencjom autora. To samo słowo orga-
non oznacza narz ˛

ad biologiczny. I tak powstaje pouczaj ˛

aca,

nawet gdy nieumy´slna, gra słów w pytaniu: czy logika sto-
sowana w rozumowaniach jest jak narz˛edzie wyproduko-
wane przez ludzi, czy raczej jak narz ˛

ad dany przez natur˛e?

Na pierwsz ˛

a składaj ˛

a si˛e teorie logiczne, mi˛edzy innymi

te zawarte w Organonie, druga — to wrodzona ludzkim
umysłom sprawno´s´c rozumowania.

Owa logika wrodzona, b˛ed ˛

aca jakby narz ˛

adem umysłu,

dobrze si˛e sprawia i my´sleniu naukowym i w sprawach
dnia powszedniego.

Przychodzi jednak czas, gdy staje

si˛e przed zadaniem, do którego naturalne organy prze-
staj ˛

a wystarcza´c i trzeba ich zasi˛eg przedłu˙zy´c za pomoc ˛

narz˛edzi. Wtedy uzbrajamy oko w lunet˛e, głos przeno-
simy po kablach, itd. Dla intuicji logicznej, owego znako-
mitego narz ˛

adu umysłu, moment taki pojawił si˛e w ko´ncu

ubiegłego stulecia, a stało si˛e to w matematyce, dyscypli-
nie celuj ˛

acej w sztuce rozumowania. Powodów było kilka.

Zło˙zono´s´c formuł wymagała coraz bardziej precyzyjnego
j˛ezyka symbolicznego, ale nie mogła by´c nim sylogistyka
ignoruj ˛

aca np. formy zdaniowe potrzebne do opisu rela-

cji (równo´s´c, wi˛ekszo´s´c itp.). Aby sprosta´c tym potrze-
bom, Gottlob Frege stworzył j˛ezyk symboliczny logiki pre-
dykatów (1879). Inni za´s koryfeusze matematyki postawili
wtedy historyczne zadania, wymagaj ˛

ace teorii logicznej,

mianowicie: unifikacja całej matematyki na fundamencie
teorii zbiorów (Georg Cantor) oraz dowód niesprzeczno´sci
matematyki tak niezale˙zny od naszych intuicji, by mógł go
wykona´c nawet komputer (David Hilbert, 1900; techniki
komputerowej jeszcze nie było, ale sama idea komputera

˙zywa była w logice od czasów Leibniza).

Niespodziewanym i dramatycznym impulsem w roz-

woju logiki jako narz˛edzia teoretycznego było wykrycie
sprzeczno´sci w samym fundamencie matematyki — w teo-
rii zbiorów (zwanej te˙z teori ˛

a mnogo´sci). Pewne intuicyjne

konstrukcje, zdaj ˛

ace si˛e w oczywisty sposób prawdzi-

wymi, okazały si˛e antynomialne czyli wewn˛etrznie sprze-
czne. Był to z jednej strony powód do gruntownej refleksji

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

nad j˛ezykiem logiki, który nale˙zało tak zaprojektowa´c, by
nie dopuszczał formuł rodz ˛

acych antynomie, z drugiej za´s

strony bodziec do precyzyjnego operowania metod ˛

a aksjo-

matyczn ˛

a — tak, by antynomiom zapobiegał dobór aksjo-

matów. Obie metody przyczymiły si˛e znacz ˛

aco do zrozu-

mienia mo˙zliwo´sci, ale i ogranicze´n, naszego umysłu.

Konstrukcja rozdziału

Metoda aksjomatyczna, klu-

czowa dla zrozumienia natury zarówno wnioskowania jak
i konceptualizacji, jest omawiana w pierwszym podroz-
dziale, ktory przedstawia logik˛e predykatów w wersji po-
chodz ˛

acej od mistrza aksjomatyzacji Davida Hilberta. In-

nego przykładu dostarcza podrozdział 2 omawiaj ˛

acy roz-

szerzenie logiki predykatów o teori˛e identyczno´sci, które
otwiera nowe pola zastosowa´n; ta cz˛e´s´c rozdziału stanowi
dogodny kontekst do wprowadzenia pewnych elementów
teorii relacji, niezb˛ednych w dalszej dyskusji (w obszerniej-
szych wykładach logiki po´swi˛eca si˛e teorii relacji osobny
rozdział; por. np.

ELF, IX

Podrozdziały 2 i 3 dotycz ˛

a logiki jako narz˛edzia w

skromniejszym i bardziej codziennym wymiarze.

Nie

chodzi ju˙z o budowanie całych teorii i badanie ich po-
prawno´sci, ale o umiej˛etne wykonywanie pojedynczych ro-
zumowa´n. Do tego celu najlepiej si˛e nadaje metoda do-
wodów zało˙zeniowych. B˛ed ˛

a przedstawione dwa typy sys-

temów zało˙zeniowych. Dla jednego jest charakterystyczne
u˙zycie reguły odrywania i innych do niej podobnych (tech-
nicznie nazywaj ˛

a si˛e one odmianami tzw. reguły ci˛ecia,

zob. Pogorzelski [1992]). Drugi z nich nie zawiera tego
rodzaju reguł, a jedyn ˛

a metod ˛

a rozumowania jest dowód

nie wprost za pomoc ˛

a szukania kontrprzykładów do twier-

dzenia, które ma by´c dowiedzione; je´sli w systematycz-
nym poszukiwaniu ˙zadnego kontrprzykładu nie daje si˛e
znale´z´c, ´swiadczy to o prawdziwo´sci twierdzenia. Ta me-
toda, niejako okr˛e˙zna, jest procedur ˛

a prawie mechaniczn ˛

1. Uj˛ecie aksjomatyczne

najmniej wymagaj ˛

ac ˛

a pomysłowo´sci, st ˛

ad jest szczególnie

u˙zyteczna dla tych, którzy interesuj ˛

a si˛e logik ˛

a głównie

jako narz˛edziem do kontroli poprawno´sci wnioskowa´n.

1. Uj˛ecie aksjomatyczne

1.1.Poj ˛ecie aksjomatu.

Aksjomaty systemu HA

Ten sposób uj˛ecia dyscypliny naukowej, który nazy-
wamy

systemem aksjomatycznym

stanowi pewien ideał

porz ˛

adku w dowodzeniu twierdze´n.

Polega to na tym,

˙ze wyodr˛ebnia si˛e w danej dyscyplinie czy teorii pewn ˛

liczb˛e

twierdze ´n pierwotnych

, których si˛e nie dowodzi.

Zwykle awansuje si˛e do tej roli niewielk ˛

a grup˛e zda´n tak

oczywi´scie prawdziwych, ˙ze daje to bezpiecze´nstwo co
do prawdziwo´sci zda´n udowodnionych na ich podstawie.
Ka˙zde twierdzenie w systemie dedukcyjnym jest albo pier-
wotne albo jest udowodnione na podstawie pierwotnych.

Owe zdania pierwotne czyli nie maj ˛

ace dowodu nazy-

waj ˛

a si˛e

aksjomatami

, za´s

dowód

jakiego´s zdania w da-

nej teorii polega na wyprowadzeniu go z aksjomatów za
pomoc ˛

a reguł inferencyjnych czyli

reguł wnioskowania

Reguła inferencyjna

podaje taki sposób przekształcania

zda´n zwanych

przesłankami

, ˙ze wynik przekształcenia,

zwany

wnioskiem

, wynika logicznie z przesłanek. Jak ro-

zumie´c wynikanie logiczne? Definicja formułowana w kon-
tek´scie logiki zda´n wystarcza do wst˛epnej charakterystyki
dowodzenia. Wst˛epnej, bo prawa logiki s ˛

a tam egzempli-

fikowane tylko rachunkiem zda´n, podczas gdy kompletny
zbiór praw logiki obejmuje nadto twierdzenia logiki predy-
katów.

Teoria mo˙ze by´c aksjomatyzowana na wiele sposobów,

w zale˙zno´sci od tego, którym twierdzeniom przydzielimy
rol˛e aksjomatów i od tego jakie dobierzemy reguły inferen-
cyjne. Podamy obecnie jedn ˛

a z klasycznych aksjomatyzacji

logiki predykatów pierwszego rz˛edu. Od inicjałów autorów

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

systemu, Hilberta i Ackermanna [1928], nazwiemy go sys-
temem

W´sród aksjomatów

znajduj ˛

a si˛e wszystkie twierdze-

nia logiki zda´n. Mo˙zna z nich otrzymywa´c przez podsta-
wianie formuły logiki

. Na przykład, podstawiaj ˛

ac w

twierdzeniu

((p

⇒ q)∧ ∼ q) ⇒∼ p

formuł˛e

P x

za zmienn ˛

i formuł˛e

, otrzymamy twierdzenie logiki

((P x

⇒ Qx)∧ ∼ Qx) ⇒∼ P x.

Aksjomaty

s ˛

a podane w postaci schematycznej, w

tym sensie, ˙ze nie okre´sla si˛e, jaka jest struktura formuł
podpadaj ˛

acych pod dany schemat, reprezentowany liter ˛

etc. Na przykład, wyra˙zenie

ϕ(x)

reprezentuje, jako

swe podstawienia, wszelkie formuły logiki

zawieraj ˛

ace

zmienn ˛

a indywiduow ˛

a, np. formuły:

P x

Rxv

∼ Qx

∀

P x

⇒ Qx

itp., gdzie litery ‘

’, ‘

’ s ˛

a stałymi predy-

katowymi. Tak wi˛ec w´sród podstawie´n schematu A

s ˛

formuły:

∀

⇒ Qy

∀

P y

⇒ P x

∀

∼ Rxy ⇒∼ Rxz

∀

(Ruy

⇒ ∃

Ryz)

⇒ (Rux ⇒ ∃

Rxz)

itd.

Przy podstawianiu nale˙zy uwa˙za´c, aby ˙zadna zmienna

wolna w

nie stała si˛e zmienn ˛

a zwi ˛

azan ˛

a w wyniku pod-

stawienia. Warunek ten nie jest spełniony np. przy podsta-
wieniu litery ‘

’ za liter˛e ‘

’ w formule

∃

(y < x)

∀

ϕ(x)

⇒ ϕ(y)

;

ϕ(y)

⇒ ∃xϕ(x)

Przyst˛epny przykład innej aksjomatyzacji logiki predykatów podaje Grze-

gorczyk [1974].

W stosowanym obecnie j˛ezyku, w którym formuły wyst˛epuj ˛

a b ˛

ad´z w po-

staci schematycznej (wkazywanej przez litery greckie) b ˛

ad´z zawieraj ˛

a predy-

katy jak ‘

’, ‘

’ etc., nadaj ˛

ace formule konkretn ˛

a struktur˛e, dla podkre´slenia

tej ró˙znicy zmienne po literze greckiej s ˛

a ujmowane w nawias, podczas gdy ar-

gumenty okre´slonego predykatu nast˛epuj ˛

a po nim bezpo´srednio, bez ujmowa-

nia ich w nawias i bez oddzielania ich przecinkami (inaczej ni˙z w poprzednio
definiowanym j˛ezyku

1. Uj˛ecie aksjomatyczne

Zdanie

1 powiada, ˙ze gdy co´s (

) jest prawdziwe o

ka˙zdym indywiduum (z rozwa˙zanej dziedziny), to jest to
prawdziwe o dowolnym konkretnym indywiduum; sens ten
bierze si˛e z faktu, ˙ze w nast˛epniku wyst˛epuje zmienna
wolna, czyli taka za któr ˛

a wolno podstawi´c nazw˛e dowol-

nego indywiduum. Sens zdania

2 jest taki, ˙ze je´sli co´s

jest prawd ˛

a o jakim´s konkretnym indywiduum, to istnieje

indywiduum, o którym to jest prawd ˛

a; wida´c z tego, ˙ze

aby dowie´s´c istnienia przedmiotu o danej charakterystyce
(symbolizowanej tu przez

), wystarczy wskaza´c jeden kon-

kretny przedmiot odpowiadaj ˛

acy owej charakterystyce. Z

tych zda´n pierwotnych, maj ˛

ac odpowiedni zestaw reguł,

mo˙zna wywie´s´c wszystkie twierdzenia logiki predykatów.

1.2. Reguły inferencyjne i przykłady dowodów w
systemie HA

Reguły inferencyjne

systemu

obej-

muj ˛

a reguł˛e odrywania [Odr], która słu˙zy tak˙ze do dowo-

dzenia twierdze´n logiki zda´n, oraz reguły specyficzne dla
logiki predykatów, mianowicie

[DON]

, tj. reguł˛e

doł ˛

aczania

kwantyfikatora ogólnego do nast˛epnika implikacji

, oraz

[DEP]

, tj.

doł ˛

aczania kwantyfikatora egzystencjalnego do

poprzednika implikacji

. Oto reguła

odrywania

[Odr]

Z ψ

⇒ φ

ψ wnioskujemy φ

Niech

φ(x)

oznacza dowoln ˛

a formuł˛e, w której

jest

zmienn ˛

a woln ˛

a, i niech

oznacza dowoln ˛

a formuł˛e, w

której

nie jest zmienn ˛

a woln ˛

a. Maj ˛

ac na uwadze ów wa-

runek, formułujemy jak nast˛epuje reguły specyficzne logiki
predykatów

[DON]

Z ψ

⇒ φ(x) wnioskujemy ψ ⇒ ∀

φ(x)

;

[DEP]

Z φ(x)

⇒ ψ wnioskujemy ∃

φ(x)

⇒ ψ

Nieodzowno´s´c podanego wy˙zej zastrze˙zenia, by zmienna
wolna w

nie była wolna w

, wida´c z nast˛epuj ˛

acego

przykładu. Gdyby´smy zastosowali

[DON]

do prawdziwej

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

formuły arytmetycznej:

(x < 5)

⇒ (x < 6)

, gdzie

jest

zmienn ˛

a woln ˛

a nie tylko w nast˛epniku

, lecz tak˙ze (wbrew

powy˙zszemu zastrze˙zeniu) w poprzedniku

, to by´smy

otrzymali formuł˛e:

(x < 5)

⇒ ∀

(x < 6)

. Z kolei, przez

podstawienie, otrzymałoby si˛e formuł˛e

(4 < 5)

⇒ ∀

(x < 6)

która jest fałszywa, gdy˙z jej poprzednik jest prawdziwy,
a nast˛epnik fałszywy. Podobnie, stosuj ˛

[DEP]

oraz pod-

stawienie do formuły

(x < 5)

⇒ (x < 6)

, otrzymaliby´smy

fałszywe zdanie

∃

(x < 5)

⇒ (7 < 6)

By uchwyci´c intuicyjny sens operacji

[DON]

, trzeba mie´c

na uwadze, ˙ze zdanie

⇒ φ(x)

powiada, i˙z z

wyni-

kaj ˛

a kolejne podstawienia za

φ(x)

; je´sli ta druga formuła

dotyczy, powiedzmy, liczb naturalnych (np. powiada, ˙ze
ka˙zda z nich ma nast˛epnik), to musi by´c ona prawdziwa
dla ka˙zdej liczby naturalnej, a to wła´snie jest tre´sci ˛

a reguły

[DON]

. Rozwa˙zmy z kolei reguł˛e

[DEP]

. Je˙zeli

jest impli-

kowane przez

φ(x)

, to albo

jest prawdziwe, albo

φ(x)

jest

fałszywe. Je˙zeli

jest prawdziwe, to implikacja jest zawsze

prawdziwa, niezale˙znie od warto´sci logicznej poprzednika.
Je˙zeli wyra˙zenie

φ(x)

jest fałszywe, to nie istnieje przed-

miot spełniaj ˛

acy

φ(x)

, a st ˛

∃

φ(x)

jest równie˙z fałszywe;

tak wi˛ec implikacja zachowuje sw ˛

a prawdziwo´s´c.

Z reguły pierwotnej

[DON]

mo˙zna otrzyma´c reguł˛e wtór-

n ˛

a, zwan ˛

reguł ˛

a uogólniania

czyli

generalizacji

[Gen]

φ(x)

wnioskujemy

∀

φ(x)

Oto jej dowód uzyskany z praw rachunku zda´n (które w
cało´sci wł ˛

aczyli´smy do naszej aksjomatyki) za pomoc ˛

reguły

[DON]

. Przyjmujemy, ˙ze

φ(x)

jest udowodnionym

twierdzeniem lub aksjomatem rozwa˙zanej teorii. W prawie
rachunku zda´n

⇒ ((p ⇒ p) ⇒ q)

podstawimy

φ(x)

tak otrzymujemy, kolejno:

φ(x)

⇒ ((p ⇒ p) ⇒ φ(x))

prawo rach. zda´n

φ(x)

przyj˛ete twierdzenie

1. Uj˛ecie aksjomatyczne

⇒ p) ⇒ φ(x)

[Odr]: 1, 2

⇒ p) ⇒ ∀

φ(x)

[DON]

: 3

Poniewa˙z poprzednik w wierszu 4 jest prawdziwy (jako pra-
wo logiki), reguła [Odr] pozwala na uznanie nast˛epnika,
którym jest wyj´sciowe twierdzenie poprzedzone kwantyfi-
katorem ogólnym.

Oprócz operacji okre´slonych powy˙zszymi regułami, sto-

sowana jest operacja

podstawiania

za zmienne zdaniowe;

ma ona zastosowanie w takim systemie jak obecny, gdzie
przyjmuje si˛e za aksjomaty wszystkie prawa logiki zda´n
(por. ni˙zej, dowód T1). Oto sformułowanie odpowiedniej
reguły.

[Pod] Na podstawie uznanego twierdzenia ze zmiennymi
wolnymi wolno uzna´c zdanie powstaj ˛

ace z tego twierdzenia

przez zast ˛

apienie zmiennych wolnych innymi wyra˙zeniami

z tej samej kategorii składniowej, za te same zmienne pod-
stawiaj ˛

ac wsz˛edzie te same wyra˙zenia — pod warunkiem,

˙ze ˙zadna zmienna, która w tym twierdzeniu była wolna nie

stanie si˛e w wyniku zast ˛

apienia zwi ˛

azana.

Zastrze˙zenie zabraniaj ˛

ace zwi ˛

azania zmiennych uprzednio

wolnych nie dotyczy, oczywi´scie, rachunku zda´n, w którym
nie ma zmiennych innych ni˙z wolne.

Przykłady dowodów.
Niech symbole T1, T2 itd. oznaczaj ˛

a twierdzenia systemu

. Udowodnimy przykładowo dwa twierdzenia, ilustruj ˛

tym metody dowodzenia wła´sciwe systemom aksjomatycz-
nym.

Dowód twierdzenia T1:

∀

(φ(x)

∨ ∼ φ(x))

Por. Łukasiewicz [1929], Mostowski [1948]. Jest to raczej swobodne

sformułowanie reguły podstawiania; precyzyjne technicznie sformułowanie
mo˙zna znale´z´c w Słowniku Pogorzelskiego [1992]; zob. tak˙ze Grzegorczyk
[1971, s.9].

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

∨ ∼ p

logika zda´n

φ(x)

∨ ∼ φ(x)

[Pod]: 1

∀

(φ(x)

∨ ∼ φ(x))

[Gen]: 2

Dowód twierdzenia T2:

∀

(φ

∨ ψ(x)) ⇒ (φ ∨ ∀

ψ(x))

∀

(φ

∨ ψ(x)) ⇒ (φ ∨ ψ(x))

[Pod]: A1

∀

(φ

∨ ψ(x)) ⇒ (∼∼ φ ∨ ψ(x))

rach zda´n: 1

∀

(φ

∨ ψ(x)) ⇒ (∼ φ ⇒ ψ(x))

rach. zda´n: 2

∀

(φ

∨ ψ(x))∧ ∼ φ) ⇒ ψ(x)

rach. zda´n: 3

∀

(φ

∨ ψ(x))∧ ∼ φ) ⇒ ∀

ψ(x)

[DON]

: 4

(φ

∨ ψ(x)) ⇒ (∼ φ ⇒ ∀

ψ(x))

rach. zda´n: 5

(φ

∨ ψ(x)) ⇒ (φ ∨ ∀

ψ(x))

rach. zda´n: 6

Odwołanie si˛e do rachunku zda´n w niektórych wierszach
dowodu oznacza, ˙ze aby uzyska´c formuł˛e wyst˛epuj ˛

ac ˛

a w

danym wierszu, trzeba skorzysta´c z odpowiedniego prawa
rachunku, stosuj ˛

ac do niego operacj˛e podstawiania.

Wiele przykładów dowodów opartych na powy˙zszych

aksjomatach i regułach znajduje si˛e w dziele Hilberta i A-
ckermanna [1928]. Dowody oparte na odmiennym zbiorze
aksjomatów i reguł znajduj ˛

a si˛e u Grzegorczyka [1974]. W

nast˛epnym odcinku zostan ˛

a podane, ju˙z bez dowodów, inne

twierdzenia daj ˛

ace si˛e stosunkowo łatwo dowie´s´c w syste-

mie

. Byłyby to jednak dowody bardziej ˙zmudne ni˙z te,

które s ˛

a dost˛epne w systemach dedukcji naturalnej (oma-

wianych w nast˛epnych partiach tego rozdziału), tote˙z po-
przestaniemy na dwóch podanych wy˙zej przykładach.

1.3. Wybrane twierdzenia logiki predykatów, ich
stosunek do j ˛ezyka naturalnego

. Zanim b˛edzie si˛e

rozwa˙za´c inne ni˙z aksjomatyczna metody dowodzenia (zob.
podrozdziały 4 i 5), jest miejsce na pytanie, jak maj ˛

a si˛e

1. Uj˛ecie aksjomatyczne

prawa logiki predykatów do sposobów wnioskowania w
j˛ezyku naturalnym. Twierdzenia T1 i T2 z poprzedniego
odcinka mog ˛

a by´c o tyle zniech˛ecaj ˛

ace, ˙ze opisuj ˛

a jakie´s

przestawianie symboli, w którym trudno dopatrze´c si˛e po-
dobie´nstwa do naszych rzeczywistych rozumowa´n. O ich
wyborze zadecydowała łatwo´s´c i krótko´s´c dowodzenia, a
faktem jest, ˙ze z kolosalnego zbioru twierdze´n logiki pre-
dykatów tylko ograniczona ich liczba znajduje zastosowa-
nie w praktyce, dzi˛eki czemu ma wyra´zne odpowiedniki w
strukturach j˛ezyka naturalnego.

Podane dalej twierdzenia s ˛

a sformułowane nie w całej

ogólno´sci, która przysługuje wyra˙zeniom zapisywanym
wy˙zej za pomoc ˛

a liter greckich (wprowadzonych po to, by

reprezentowa´c formuły zdaniowe o dowolnej zło˙zono´sci).

Zeby upro´sci´c wizualnie i przez to uczytelni´c zapisy,
b˛edziemy u˙zywali predykatów, jedno- lub dwuargumento-
wych, symbolizowanych literami

P, Q, R

, rezygnuj ˛

ac te˙z,

dla krótko´sci, z brania argumentów w nawias i oddzielania
ich przecinkami. B˛ed ˛

a to wi˛ec przykładowe podstawienia

praw logiki, wystarczaj ˛

ace jednak, by odda´c to, co istotne

w strukturze owych praw.

Oto wybrane twierdzenia, które zostan ˛

a nast˛epnie sko-

mentowane.

T3:

∀

P x

≡∼ ∃

∼ P x

T4:

∃

P x

≡∼ ∀

∼ P x

T5:

∀

(P x

∧ Qx) ≡ (∀

P x

∧ ∀

Qx)

T6:

∃

(P x

∧ Qx) ⇒ (∃

P x

∧ ∃

Qx)

W gruncie rzeczy, zbiór twierdze´n logiki jest niesko´nczony przeliczal-

nie, tzn. t ˛

a niesko´nczono´sci ˛

a, która jest wła´sciwa zbiorowi liczb naturalnych

(u˙zywanych do numerowania twierdze´n). Jest to oczywiste, gdy si˛e zwa˙zy,

˙ze ka˙zde dwa prawa logiki poł ˛

aczone np. symbolem koniunkcji daj ˛

a nowe

prawo (dotyczy to tak˙ze innych funktorów), co powoduje wzrost ich liczby do
niesko´nczono´sci.

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

T7:

∃

(P x

∨ Qx) ≡ (∃

P x

∨ ∃Qx)

T8:

(

∀

P x

∨ ∀

Qx)

⇒ ∀

(P x

∨ Qx)

T9:

∀

(P x

⇒ Qx) ⇒ (∀

P x

⇒ ∀

Qx)

T10:

∀

(P x

⇒ Qx) ≡∼ ∃

(P x

∧ ∼ Qx)

T11:

∀

Rxy

≡ ∀

∀

Rxy

T12:

∃

Rxy

≡ ∃

∃

Rxy

T13:

∃

∀

Rxy

⇒ ∀

∃

Rxy.

Zdanie T3 mo˙zna wykorzysta´c jako definicj˛e kwanty-

fikatora ogólnego za pomoc ˛

a egzystencjalnego i negacji,

a T4 jako definicj˛e egzystencjalnego przez ogólny z ne-
gacj ˛

a. W systemie

˙zadna z takich definicji nie jest

potrzebna, poniewa˙z oba, a nie tylko jeden, kwantyfika-
tory s ˛

a wprowadzone za pomoc ˛

a stosownych aksjomatów i

reguł. Mo˙zna jednak skonstruowa´c system, w którym tylko
kwantyfikator egzystencjalny byłby terminem pierwotnym,
to jest wyst˛epuj ˛

acym w aksjomatach, za´s kwantyfikator

ogólny zostałby wprowadzony definicyjnie. Mo˙zna by te˙z
zacz ˛

a´c od kwantyfikatora ogólnego i negacji jako pierwot-

nych, a nast˛epnie wprowadzi´c definicyjnie egzystencjalny.
Te stosunki mi˛edzy kwantyfikatorami maj ˛

a odpowiedniki w

j˛ezyku naturalnym. Dla T3 jest to fakt, ˙ze zdanie ka˙zdy jest
przekupny mo˙zna zast ˛

api´c zdaniem nie ma takich, co by nie

byli przekupni. Dla T4 jest to zamienno´s´c mi˛edzy zdaniami
istniej ˛

a dobrzy ludzie oraz nieprawda, ˙ze nikt (z ludzi) nie

jest dobry.

Zwró´cmy te˙z uwag˛e,

˙ze neguj ˛

ac obie strony w

równowa˙zno´sciach T3 i T4 (co prowadzi znowu do zda´n
prawdziwych), otrzyma si˛e dalsze prawa dotycz ˛

ace sto-

sunków pomi˛edzy kwantyfikatorami i negacj ˛

a, zwane pra-

wami de Morgana dla kwantyfikatorów – od nazwiska an-
gielskiego algebraika z XIX w.; analogiczne prawa za-
chodz ˛

a w rachunku zda´n dla relacji pomi˛edzy negacj ˛

a oraz

1. Uj˛ecie aksjomatyczne

koniunkcj ˛

a (odpowiednik kwantyfikatora ogólnego) i alter-

natyw ˛

a (odpowiednik kwantyfikatora egzystencjalnego).

Nast˛epne pi˛e´c praw dotyczy rozdzielania kwantyfika-

torów pomi˛edzy człony ró˙znych funkcji prawdziwo´sciowych
lub te˙z wyprowadzania ich przed cało´s´c danej funkcji.
Prze´sledziwszy te zale˙zno´sci, mo˙zna zauwa˙zy´c ich po-
dobie´nstwo do zale˙zno´sci mi˛edzy spójnikami i kwanty-
fikatorami j˛ezyka polskiego.

Na przykład, T5 oddaje

równowa˙zno´s´c mi˛edzy zdaniem ka˙zdy jest młody i bogaty
oraz zdaniem ka˙zdy jest młody i ka˙zdy jest bogaty.

Co si˛e tyczy T6, zale˙zno´s´c zachodzi tylko w jedn ˛

stron˛e. Implikacja odwrotna, mianowicie:

(

∃

P x&

∃

Qx)

⇒ ∃

(P x&Qx)

nie jest prawem logiki. Mo˙zna to wykaza´c przez dobór od-
powiedniego

kontrprzykładu

, tj. takiego stanu rzeczy, w

którym — w przypadku implikacji — poprzednik b˛edzie
prawdziwy, a nast˛epnik fałszywy. Oto prosty kontrprzykład
do powy˙zszej formuły. Niech rozwa˙zan ˛

a dziedzin ˛

a b˛edzie

zbiór liczb całkowitych, co znaczy ˙ze zmienn ˛

a ‘

’ nale˙zy

odczytywa´c zwrotem ‘liczba całkowita’. Dalej, odczytajmy
‘

’ jako predykat ‘jest liczb ˛

a parzyst ˛

a’, a ‘

’ jako predy-

kat ‘jest liczb ˛

a nieparzyst ˛

a’. Wtedy poprzednik powy˙zszej

implikacji jest prawdziwy, bo istniej ˛

a liczby parzyste oraz

istniej ˛

a nieparzyste, za´s nast˛epnik jest fałszywy, bo nie jest

prawd ˛

a, ˙ze istnieje liczba zarazem parzysta i nieparzysta.

Zdanie T7 okre´sla pewien stosunek mi˛edzy alternatyw ˛

i kwantyfikatorem egzystencjalnym. Mo˙zna, mianowicie,
ten kwantyfikator rozdzieli´c mi˛edzy człony alternatywy
(implikacja od lewej do prawej) i mo˙zna go te˙z wył ˛

aczy´c

przed alternatyw˛e (implikacja od prawej do lewej).

si˛e tyczy stosunku mi˛edzy alternatyw ˛

a i kwantyfikatorem

ogólnym, okre´sla go implikacja T8. Implikacja odwrotna

Prawa de Morgana s ˛

a obszerniej omówione poni˙zej, przy sposobno´sci wy-

korzystania ich jako przykładów dowodzenia, w odcinku 4.5.

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

nie zachodzi, nie ma wi˛ec równowa˙zno´sci, co mo˙zna znowu
wykaza´c kontrprzykładem. Ma on obali´c formuł˛e:

∀

(P x

∨ Qx) ⇒ (∀

P x

∨ ∀

Qx)

Niech rozwa˙zan ˛

a dziedzin ˛

a b˛edzie zbiór ciał niebieskich,

jednym z predykatów ‘jest gwiazd ˛

a’, a drugim ‘jest nie-

gwiazd ˛

a’ (a wi˛ec planet ˛

a, komet ˛

a etc.).

W tej dziedzi-

nie poprzednik powy˙zszej implikacji jest prawdziwy (ka˙zde
ciało niebieskie jest gwiazd ˛

a lub nie-gwiazd ˛

a), nast˛epnik

za´s fałszywy, bo nie jest prawd ˛

a ˙zaden z członów alterna-

tywy, ani ten, ˙ze ka˙zdy obiekt na niebie jest gwiazd ˛

a, ani

ten, ˙ze ka˙zdy jest nie-gwiazd ˛

a (co oczywi´scie, mo˙zna wy-

razi´c płynniej, ˙ze nie jest gwiazd ˛

a).

Zdanie T9 stwierdza rozdzielno´s´c kwantyfikatora ogóln-

ego wzgl˛edem implikacji. Implikacja odwrotna (tj. wypro-
wadzanie kwantyfikatora przed implikacj˛e) nie zachodzi, a
po kontrprzykład si˛egnijmy (cho´cby dla rozmaito´sci) do re-
pertuaru predykatów pustych, tzn. takich, które o ˙zadnym
przedmiocie nie dadz ˛

a si˛e prawdziwie orzec. Niech ‘

’

b˛edzie predykatem ‘jest dobr ˛

a wró˙zk ˛

a’ a ‘

’ predykatem

‘jest blondynk ˛

a’, a dziedzin ˛

a, w której rozgrywa si˛e akcja

niech b˛edzie zbiór wszystkich pa´n (one s ˛

a wi˛ec teraz „ik-

sami”, o których opowiada nasza formuła). Zbadajmy, czy
da si˛e obroni´c prawdziwo´s´c implikacji:

(

∀

⇒ ∀

W x)

⇒ ∀

(Bx

⇒ Qx)

Jej nast˛epnik jest fałszywy, bo skoro nie ma w ogóle
wró˙zek, to ˙zadna blondynka nie jest wró˙zk ˛

Poprzed-

nik natomiast jest (sam b˛ed ˛

ac implikacj ˛

a) prawdziwy z ra-

cji fałszywo´sci swego własnego poprzednika, który twier-
dzi wbrew faktom, ˙ze ka˙zda pani jest blondynk ˛

a; w tej

sytuacji mo˙zemy nawet darowa´c sobie dociekanie praw-
dziwo´sci nast˛epnika (czy ka˙zda pani jest dobr ˛

a wró˙zk ˛

a?),

bo niezale˙znie od wyniku poprzednik (całej implikacji) po-
zostanie prawdziwy. A to przy fałszywym nast˛epniku fal-
syfikuje (czyli czyni fałszyw ˛

a) rozwa˙zan ˛

a implikacj˛e.

1. Uj˛ecie aksjomatyczne

Do tego wniosku dojd ˛

a nie tylko pesymi´sci, którzy nie

wierz ˛

a w dobre wró˙zki. Mog ˛

a da´c własny kontrprzykład

tak˙ze optymi´sci, uznaj ˛

acy ich istnienie. Trzeba jedynie,

by si˛e zgodzili, ˙ze nie wszystkie blondynki s ˛

a dobrymi

wró˙zkami (a tylko, powiedzmy, niektóre), co sfalsyfikuje
nast˛epnik całej implikacji, oraz by zadbali o prawdziwo´s´c
jej poprzednika, który sam b˛ed ˛

ac implikacj ˛

a nab˛edzie praw-

dziwo´sci dzi˛eki swemu fałszywemu poprzednikowi; a ˙zeby
ten ostatni był fałszywy, wystarczy (jak w poprzednim
kontrprzykładzie, autorstwa pesymistów), ˙ze nie ka˙zda pani
jest blondynk ˛

Zdania od T5 do T9 dotycz ˛

a rozdzielania kwantyfika-

torów, opisuj ˛

ac tym wa˙zne fakty logiczne. Pierwsze jed-

nak miejsce gdy idzie o zastosowania nale˙zy przyzna´c na-
st˛epuj ˛

acemu po nich prawu T10. Wyra˙za ono jedn ˛

a z naj-

praktyczniejszych prawd logiki: uczy jak obala´c implikacj˛e
z kawntyfikatorem ogólnym, co wobec zalewu bł˛ednych
uogólnie´n jest szczególnie cenn ˛

a umiej˛etno´sci ˛

a. Wida´c z

tej równowa˙zno´sci, ˙ze aby obali´c ogólne zdanie warun-
kowe trzeba udowodni´c istnienie takiego przedmiotu, o
którym prawd ˛

a jest poprzednik tego zdania, a nieprawd ˛

nast˛epnik. A z kolei, jak dowodzi´c istnienia uczy to prawo,
które poznali´smy jako aksjomat systemu

: wystarczy

wskaza´c (bodaj jeden) przedmiot o pewnej własno´sci, by
by´c uprawnionym do stwierdzenia, ˙ze istniej ˛

a przedmioty o

tej własno´sci.

Jest to wyborna bro´n przeciw nie licz ˛

acym si˛e z faktami

stereotypom. Pogl ˛

ad, ˙ze wszyscy jedynacy s ˛

a egoistami

obalamy przez wskazanie na jedynaka altruist˛e (w dialek-
cie logiki predykatów odpowiada temu zdanie: istnieje taki

Zdanie T9 jest dowodzone dalej dwukrotnie, za ka˙zdym razem inn ˛

a metod ˛

w odcinku 4.3 (przykład

P.5

) metod ˛

a dowodu wprost wedle reguł jednego

z systemów dedukcji naturalnej, a w odcinku 5.3 metod ˛

a dowodu nie wprost,

w wersji dostarczaj ˛

acej kontrprzykładu. Te przykładowe dowody s ˛

a pomy´slane

jako wzorce dowodzenia, które mog ˛

a by´c zastosowane równie˙z do ka˙zdego in-

nego z twierdze´n z listy T1 – T13.

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

x, ˙ze x jest jedynakiem i nie jest egoist ˛

a). Opinia, ˙ze (wszy-

scy) Szkoci s ˛

a sk ˛

api okazuje si˛e mylna, gdy wska˙ze si˛e na

szczodrego przedstawiciela tej nacji. Temu, ˙ze ka˙zdy arty-
sta stroni od techniki zaprzecza casus Leonarda da Vinci. I
tak dalej.

Ostatnie trzy prawa dotycz ˛

a predykatów dwuargumen-

towych. Dwa pierwsze z nich, tj. T11 i T12 s ˛

a na tyle

oczywiste, ˙ze nie potrzebuj ˛

a komentarza. S ˛

a one u˙zyteczne

jako tło dla trzeciego, w którym mamy do czynienia nie z
równowa˙zno´sci ˛

a lecz z implikacj ˛

a. Powstaje pytanie, czy

zachodzi implikacja odwrotna, to jest:

∀

∃

Rxy

⇒ ∃

∀

Rxy

Okazuje si˛e, ˙ze nie zachodzi, co mo˙zna wykaza´c kontr-
przykładem.

Niech

b˛edzie stosunkiem wi˛ekszo´sci

mi˛edzy liczbami całkowitymi. Przy tej interpretacji po-
przednik jest prawd ˛

a, bo istotnie dla ka˙zdej liczby istnieje

liczba od niej wi˛eksza, co daje niesko´nczony zbiór liczb;
ta za´s niesko´nczono´s´c sprawia, ˙ze fałszywy jest nast˛epnik,
który powiada, ˙ze istnieje liczba wi˛eksza od ka˙zdej liczby.
Tak˙ze w dziedzinach mniej abstrakcyjnych łatwo o kontr-
przykłady. Niech b˛edzie to jaki´s kr ˛

ag boja´zliwych, gdzie

ka˙zdy kogo´s si˛e boi; z tego jednak nie wynika, ˙ze istnieje
kto´s, kogo boj ˛

a si˛e wszyscy.

Taka ró˙znorodno´s´c przykładów pokazuje, jak wiele

mo˙zna wysłowi´c w j˛ezyku logiki predykatów. Nie zawsze
jednak ten schemat syntaktyczny, nakazuj ˛

acy trzyma´c si˛e

układu predykat-argumenty, jest tak operatywny, jak by´smy
potrzebowali dla sprawnego rozumowania. Istotnym ulep-
szeniem j˛ezyka jest wprowadzenie do´n jeszcze jednej stałej
logicznej, mianowicie symbolu identyczno´sci. Czyni si˛e to

Dowód zdania T13 podany jest dalej dwukrotnie: w odcinku 4.3 jako

przykład

P.1

, gdzie jest dowodzony metod ˛

a wprost, i w odcinku 5.3, gdzie

jest dowodzony metod ˛

a nie wprost; w tym drugim znajduje si˛e tak˙ze argumen-

tacja, ˙ze implikacja odwrotna do T13 nie jest prawem logiki.

2. Teoria identyczno´sci

na drodze aksjomatycznej, kontynuuj ˛

ac podej´scie metodo-

logiczne do logiki przedstawione wy˙zej na przykładzie sys-
temu

2. Teoria identyczno´sci

2.1.

Dlaczego jeszcze

jedna

stała

logiczna?

Uzbierały si˛e nam do tej pory dwa komplety stałych logicz-
nych: jeden z logiki zda´n, w którym mamy do dyspozycji
funktory negacji, koniunkcji, alternatywy i równowa˙zno´sci
(a je´sli zechcemy, to i wi˛ecej), drugi za´s z logiki predy-
katów, zawieraj ˛

acy kwantyfikatory ogólny i egzystencjalny.

Pytanie, czy mog ˛

a by´c jeszcze inne stałe logiczne skłania do

zastanowienia, jak zdefiniowa´c poj˛ecie stałej logicznej, je´sli
nie chcemy poprzesta´c na okre´sleniu zbioru takich stałych
przez proste wyliczenie. Wymaga to pewnej refleksji nad
natur ˛

a logiki.

Refleksja taka pochodzi od Gottfrieda Wilhelma Le-

ibniza (1646–1716), prekursora matematyzacji i mecha-
nizacji wnioskowania, który był tyle˙z genialnym filozo-
fem, co matematykiem. Jako filozof ˙zywił on my´sl o nie-
sko´nczonej liczbie ´swiatów mo˙zliwych, tak˙ze tych niezre-
alizowanych, z których jedne mogłyby by´c podobne do na-
szego, a ró˙zni´c si˛e tylko pewnymi faktami historii, inne
za´s miałyby całkiem inn ˛

a histori˛e, jeszcze inne byłyby za-

ludniane z gruntu odmiennymi gatunkami istot, a niektóre
podlegałyby prawom całkiem innej fizyki. We wszystkich
jednak musiałaby obowi ˛

azywa´c ta sama logika. Prawa lo-

giki bowiem s ˛

a zbudowane z takich poj˛e´c, które zachowuj ˛

wa˙zno´s´c niezale˙znie od tego, jakie fakty i jakie prawa fizy-
kalne zachodz ˛

a w danym ´swiecie. Je´sli w którym´s ˙zyłyby,

powiedzmy, ogniste smoki, to pozostanie zawsze prawd ˛

˙ze smok jest smokiem, niezale˙znie od tego, jakim pod-

lega prawom biologii czy fizyki. Prawdy obowi ˛

azuj ˛

ace w

ka˙zdym z mo˙zliwych ´swiatów s ˛

a prawami logiki.

100

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

Istnieje klasa prawd w taki wła´snie sposób uniwersal-

nych, a nie daj ˛

acych si˛e wysłowi´c w dotychczas opisanym

j˛ezyku logiki predykatów. S ˛

a to zdania zbudowane z sa-

mych zmiennych oraz symbolu

identyczno´sci

, zwanej te˙z

to˙zsamo´sci ˛

a, a niekiedy równo´sci ˛

a. Symbol ten, jak do-

brze wiemy z praktyki matematycznej, odgrywa w naszych
rozumowaniach rol˛e nie do zast ˛

apienia, tote˙z ten wzgl ˛

na rozległo´s´c zastosowa´n, jak i ów charakter uniwersalny
symbolu identyczno´sci przemawiaj ˛

a za przyj˛eciem go do

rodziny stałych logicznych.

Do zapoznania si˛e z teori ˛

a identyczno´sci trzeba si˛e przy-

gotowa´c na dwa sposoby. Jednym z nich jest rozwa˙zenie
ró˙znych własno´sci relacji, by spo´sród nich dobra´c te, które
b˛ed ˛

a charakteryzowa´c stosunek identyczno´sci. Drugie za´s

przygotowanie polega na wyja´snieniu procedury aksjoma-
tyzacji, niezwykle doniosłej dla procesów konceptualizacji;
b˛edzie sposobno´s´c zapozna´c si˛e z t ˛

a procedur ˛

a przy wpro-

wadzaniu poj˛ecia identyczno´sci, poniewa˙z jego tre´s´c jest
charakteryzowana przez pewien układ aksjomatów.

2.2. Rodzaje relacji

. Własno´sci relacji musz ˛

a by´c re-

latywizowane do okre´slonych zbiorów. Na przykład, re-
lacja podzielno´sci (bez reszty) zachodzi dla ka˙zdej pary
obiektów w zbiorze liczb ułamkowych (do którego nale˙z ˛

liczby b˛ed ˛

ace wynikami dzielenia), lecz nie dla ka˙zdej pary

w zbiorze liczb całkowitych. Tego rodzaju relatywizacja
dotyczy tak˙ze własno´sci, o których b˛edzie dalej mowa; zna-
czy to, ˙ze rozpatruje si˛e zawsze relacj˛e w jakim´s zbiorze.

Relacja nazywa si˛e

zwrotna

, gdy dla ka˙zdego elementu

z danego zbioru, spełniony jest warunek:

xRx

Relacj ˛

a zwrotn ˛

a w zbiorze ludzi jest np.

podobie´nstwo

(ka˙zdy jest podobny do samego siebie), a nie jest, je´sli wie-
rzy´c przysłowiu, stosunek os ˛

adzania („nikt nie jest s˛edzi ˛

we własnej sprawie”).

2. Teoria identyczno´sci

101

Relacja nazywa si˛e

symetryczna

, gdy dla wszelkich ele-

mentów

x, y

z danego zbioru zachodzi warunek:

jeeli xRy, to yRx

Symetrycznym stosunkiem jest np. s ˛

asiedztwo na osi liczb,

a nie jest nim w zbiorze liczb mniejszo´s´c.

Relacja nazywa si˛e

przechodnia

, gdy dla wszelkich ele-

mentów

x, y, z

z danego zbioru zachodzi warunek:

jeeli xRy i yRz, to xRz

Przechodnim stosunkiem w zbiorze przedmiotów material-
nych jest np. równobarwno´s´c, a nie jest przechodnim podo-
bie´nstwo barwy (o czym ´swiadczy naocznie t˛ecza).

Te trzy cechy przysługuj ˛

a identyczno´sci, jak to dalej zo-

stanie zapisane w sposób formalny. Nale˙zy w tym kon-
tek´scie wspomnie´c o innych jeszcze cechach, które przy-
darzaj ˛

a si˛e relacjom, pomo˙ze to bowiem uwydatni´c to, co

dla identyczno´sci jest specyficzne.

Relacja nazywa si˛e

antysymetryczna

, gdy dla wszel-

kich elementów

x, y

z danego zbioru zachodzi warunek:

jeeli xRy, to nie jest prawd, e yRx

Antysymetryczne s ˛

a wszelkie postacie mniejszo´sci i

wi˛ekszo´sci, np., w zbiorze brył, posiadanie wi˛ekszej masy.

Relacja nazywa si˛e

spójna

, gdy dla wszelkich przed-

miotów

x, y

z danego zbioru, o ile

jest ró˙zne od

zachodzi

warunek:

xRy lub yRx

Stosunek mniejszo´sci jest spójny w zbiorze liczb całkowitych,
bo dla ka˙zdych dwóch liczb ró˙znych od siebie jest prawd ˛

˙ze która´s z nich jest mniejsza od drugiej. Natomiast rela-

cja wyra˙zana słowem ‘kocha´c’ nie wydaje si˛e by´c spójna w
zbiorze ludzi, podczas gdy spójna ma by´c, wedle pewnego
zgry´zliwego satyryka, relacja bania si˛e kogo´s: gdyby tak
było, to dla ka˙zdych dwóch ró˙znych ludzi który´s z nich boi
si˛e drugiego.

102

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

Ka˙zda z wymienionych cech jest niezale˙zna od pozo-

stałych, to znaczy mo˙ze przysługiwa´c relacji nie poci ˛

agaj ˛

przysługiwania pozostałych.

Ł ˛

acz ˛

ac z kolei te cechy

w pewne układy, otrzymamy zło˙zone własno´sci relacji.
W´sród nich s ˛

a dwie szczególnie wa˙zne z logicznego punktu

widzenia. Oto ich definicje.

Relacja nazywa si˛e

równo´sciowa

w pewnym zbiorze,

gdy jest w tym zbiorze zwrotna, symetryczna i prze-
chodnia.

Relacja równo´sciowa nazywa si˛e te˙z krótko

równo´sci ˛

(spotyka si˛e te˙z w ich miejscu terminy ‘relacja

równowa˙zno´sciowa’ i ‘równowa˙zno´s´c’).

Relacja nazywa si˛e

porz ˛

adkuj ˛

aca liniowo

pewien zbiór,

gdy jest w nim spójna, antysymetryczna i przechodnia.

O pewnej własno´sci stosunków była ju˙z mowa

wcze´sniej, poniewa˙z było to konieczne dla wyja´snienia, co
to jest funkcja, by móc z kolei wprowadzi´c poj˛ecie funk-
cji prawdziwo´sciowej. Powtórzymy to okre´slenie, ale w
spo´sob bardziej systematyczny i w najbardziej odpowied-
nim dla´n kontek´scie, którym s ˛

a obecne rozwa˙zania.

Relacja

nazywa si˛e

funkcj ˛

, inaczej

relacj ˛

a jedno-

znaczn ˛

, okre´slon ˛

a na elementach zbioru

i o warto´sciach

ze zbioru

, gdy

(

) dla ka˙zdego elementu x zbioru X istnieje taki element y

nale˙z ˛

acy do zbioru Y, ˙ze xRy;

(

) dla ka˙zdego elementu x zbioru X istnieje tylko jeden

element y nale˙z ˛

acy do Y taki, ˙ze xRy.

Przykładów takich relacji dostarczaj ˛

a funkcje praw-

dziwo´sciowe rozpatrywane w rozdziale trzecim.

Inny

przykład:

funkcja

= 2x

mo˙ze by´c traktowana jako

okre´slona na zbiorze liczb naturalnych i przyjmuj ˛

aca

warto´sci ze zbioru liczb parzystych; innymi słowy, ka˙zdej
liczbie naturalnej funkcja ta przyporz ˛

adkowuje jedn ˛

a i tylko

jedn ˛

a liczb˛e parzyst ˛

2. Teoria identyczno´sci

103

Gdy relacja jednoznaczna zachodzi w obu kierunkach,

jak np. relacja mał˙ze´nstwa w społecze´nstwie monogamicz-
nym, to nazywa si˛e ona

wzajemnie jednoznaczna

Istotna cz˛e´s´c wprowadzonych wy˙zej poj˛e´c dotycz ˛

acych

rodzajów relacji b˛edzie przydatna w rozpatrywaniu iden-
tyczno´sci, inne znalazły zastosowanie w rozdziale trzecim,
jeszcze inne zostan ˛

a wykorzystane w rozdziale szóstym.

2.3. Aksjomatyczna charakterystyka identyczno ´sci

Identyczno´s´c nale˙zy do szerszej klasy relacji zwanych
równo´sciami, to znaczy relacji przechodnich, zwrotnych i
symetrycznych. Ale nie ka˙zda równo´s´c jest identyczno´sci ˛

Na przykład stosunek rówie´snictwa jest równo´sci ˛

a, ale

rówie´snicy nie s ˛

a identyczni, nawet gdy s ˛

a bli´zniakami.

Identyczno´s´c posiada jeszcze własno´s´c, która j ˛

a odróznia

od innych równo´sci, mianowicie t˛e, ˙ze gdy dwa przedmioty
s ˛

a identyczne, to cokolwiek da si˛e orzec prawdziwie o jed-

nym, jest te˙z prawdziwe o drugim; nie tak ma si˛e sprawa
z bli˙zniakami czy sobowtórami, dlatego nie s ˛

a one iden-

tyczne, nawet gdy pod wieloma wzgl˛edami s ˛

a równe czyli

takie same.

Znaczy to, oczywi´scie, ˙ze dwa przedmioty

identyczne s ˛

a w gruncie rzeczy jednym przedmiotem.

Własno´s´c ta ma równie˙z sw ˛

a nazw˛e, mianowicie

eksten-

sjonalno´s´c

. Tak wi˛ec cztery twierdzenia, ka˙zde dotycz ˛

ace

innej cechy, całkowicie charakteryzuj ˛

a identyczno´s´c.

W pewnym sensie, wystarczaj ˛

a do charakterystyki dwa

z tych czterech, mianowicie zwrotno´s´c i ekstensjonalno´s´c.
Pozostałe dadz ˛

a si˛e udowodni´c przez wyprowadzenie z tych

dwóch podstawowych, przyjmowanych jako aksjomaty teo-
rii identyczno´sci. Oczywi´scie, da si˛e wyprowadzi´c z tych
aksjomatów o wiele wi˛ecej twierdze´n, ale te dwa, syme-
tryczno´s´c i przechodnio´s´c s ˛

a szczególnie wa˙zne poniewa˙z

´swiadcz ˛

a o tym, ˙ze identyczno´s´c nale˙zy do klasy relacji

zwanych równo´sciami.

Oto zdania przyj˛ete jako aksjomaty.

104

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

x = x

zwrotno´s´c;

(x = y)

⇒ (φ(x) ⇒ φ(y))

ekstensjonalno´s´c.

A oto własno´sci wyprowadzalne z aksjomatów.

(x = y)

⇒ (y = x)

symetryczno´s´c;

((x = y)

∧ (y = z)) ⇒ (x = z)

przechodnio´s´c.

Symetryczno´s´c wynika natychmiast ze zwrotno´sci, gdy na
podstawie ekstensjonalno´sci przyjmie si˛e reguł˛e WZ (wnio-
skowania przez zast˛epowanie), któr ˛

a w swobodny sposób

mo˙zna wyrazi´c, jak nast˛epuje.

WZ Gdy

s ˛

a identyczne, to z formuły

mówi ˛

acej

co´s o

mo˙zna wywnioskowa´c formuł˛e, która ró˙zni si˛e od

tylko tym, ˙ze ‘

’ zast ˛

apiono przez ‘

’ (pod warunkiem, ˙ze

nie zast˛epuje si˛e zmiennych zwi ˛

azanych i ˙ze ˙zadna zmienna

wolna nie staje si˛e w miejscu zast ˛

apienia zwi ˛

azan ˛

a).

Na tej podstawie, gdy

x = y

, wolno w ka˙zdym zdaniu

mówi ˛

acym co´s o

zast ˛

api´c ‘

’ przez ‘

’.

Takim zda-

niem jest aksjomat ‘

x = x

’; zast˛epujemy wi˛ec pierwsze

wyst ˛

apienie symbolu ‘

’ symbolem ‘

’, otrzymuj ˛

ac ‘

y = x

’.

Skoro za´s z ‘

x = y

’ daje si˛e poprawnie wywnioskowa´c

‘

y = x

’, to nie mo˙ze by´c tak, by drugie było fałszywe, gdy

pierwsze jest prawdziwe, a zatem prawd ˛

a jest implikacja

‘

x = y

⇒ y = x

’, czyli prawo symetryczno´sci. Analogicznie

mo˙zemy dowie´s´c przechodnio´sci identyczno´sci.

3. Co to jest reguła wnioskowania

3.1. Twierdzenia, normy, reguły

. Opis logiki skonstru-

owanej jako system reguł nale˙zy poprzedzi´c obja´snieniem
poj˛ecia reguły. Pomocnym do tego kontekstem s ˛

a terminy

‘twierdzenie’ i ‘norma’. Funkcjonuj ˛

a one w mowie ludzi

wykształconych, ale nie zawsze w taki sposób, który by nie
wymagał uzupełnie´n czy ulepsze´n.

3. Co to jest reguła wnioskowania

105

Pierwszy krok w tym przedsi˛ewzi˛eciu zawdzi˛eczamy

gramatyce. Odró˙znia si˛e w niej

zdania oznajmuj ˛

ace

roz-

kazuj ˛

ace

. Te pierwsze słu˙z ˛

a do opisywania ´swiata za po-

moc ˛

a twierdze´n, te drugie do zmieniania go poprzez od-

działywanie na ludzkie zachowania. ‘Niektórzy nie kradn ˛

a’

to twierdzenie opisowe w formie zdania oznajmuj ˛

acego,

za´s ‘nie kradnij’ to zdanie rozkazuj ˛

ace, maj ˛

ace wpłyn ˛

a´c

na post˛epowanie. Twierdzenia opisuj ˛

a ´swiat prawdziwie

lub fałszywie, czyli przysługuje im

warto´s´c logiczna

(por.

rozdz. trzeci, odc. 1.2). Rozkazom nie przysługuje warto´s´c
logiczna, bo nie s ˛

a one opisami, które mogłyby by´c zgodne

lub niezgodne z opisywan ˛

a rzeczywisto´sci ˛

Gdy zdanie rozkazuj ˛

ace dotyczy nie aktu jednorazo-

wego (‘zamknij to okno’) lecz ustanawia jaki´s powszechny
sposób post˛epowania, mówimy, ˙ze wyra˙za ono pewn ˛

norm˛e

. Takimi normami s ˛

a np. przykazania Dekalogu.

Odró˙znia si˛e normy prawne, ustanowione przez kompe-
tentn ˛

a do tego władz˛e, od norm moralnych, których pocho-

dzenie jest mniej oczywiste i ró˙znie bywa tłumaczone (w
zale˙zno´sci np. od pogl ˛

adów filozoficznych). Norma nie

musi by´c wyra˙zana w formie zdania rozkazuj ˛

acego; mamy

do tego specjalny zasób słów, takich jak ‘powinno si˛e’,
‘nale˙zy’, ‘obowi ˛

azuje’, ‘jest nakazane’ itp. Ich koniecznym

uzupełnieniem w ka˙zdym systemie normatywnym s ˛

a słowa

wyra˙zaj ˛

ace przyzwolenie, jak ‘wolno’ czy ‘jest dozwolone’

oraz słowa do okre´slania uprawnie´n. Normy, podobnie jak
rozkazy, nie s ˛

a ani prawdziwe ani fałszywe, co nie znaczy

jednak, ˙ze nie przysługuje im pewien swoisty sposób uza-
sadniania ich słuszno´sci.

Nie tylko normy s ˛

a wysławiane za pomoc ˛

a zda´n rozka-

zuj ˛

acych albo ich odpowiedników w rodzaju ‘powinno si˛e’

czy ‘nale˙zy’. Ta sama forma słu˙zy do wysłowienia tego, co
okre´slamy mianem reguł, poniewa˙z i normy i reguły zale-
caj ˛

a jakie´s sposoby post˛epowania; st ˛

ad, nie trudno jest po-

myli´c jedne z drugimi. W ich tre´sci jednak zachodzi istotna

106

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

ró˙znica. Za norm ˛

a stoi jaka´s władza czy autorytet; nie musi

ona liczy´c si˛e z wol ˛

a tego, który tej normie ma by´c pod-

dany.

Reguła

natomiast odwołuje si˛e do woli działaj ˛

acego,

okre´slaj ˛

ac zale˙zno´s´c mi˛edzy celem, przez niego samego

postawionym, a ´srodkami do jego osi ˛

agni˛ecia.

Typo-

wym przykładem reguł s ˛

a przepisy kulinarne. Nie mówi ˛

one, ˙ze ktokolwiek ma obowi ˛

azek przyrz ˛

adza´c barszczyk z

uszkami, ale je´sli tak sobie postanowi, to musi si˛e zachowa´c
w okre´slony sposób (tu ju˙z reguła nie zostawia dowolno´sci),
mianowicie zaopatrzy´c si˛e w buraki, m ˛

ak˛e etc., zetrze´c bu-

raki, rozrobi´c ciasto itd.

Krótko mówi ˛

ac, normy wyra˙zaj ˛

a powinno´sci, a reguły

dotycz ˛

a umiej˛etno´sci.

Gdy idzie o reguły logiczne, o

których b˛edzie dalej mowa, dotycz ˛

a one umiej˛etno´sci wnio-

skowania.

Umiej˛etno´s´c jest ´sci´sle zwi ˛

azana z wiedz ˛

a o ´swiecie,

nawet gdy ta wiedza nie jest wyra˙zona w słowach, a sta-
nowi jedynie jaki´s zapis, powiedzmy, w komórkach neuro-
nowych. Cho´c wi˛ec reguły, podobnie jak rozkazy i normy,
nie s ˛

a same w sobie prawdziwe ani fałszywe, to jednak

ich

trafno´s´c

— to znaczy to, na ile daj ˛

a one skuteczno´s´c

działaniom — zale˙zy od prawdziwo´sci zakładanej przez nie
wiedzy. Tak jest z przepisami kulinarnymi, tak z regułami
treningu sportowego (wspartymi na do´swiadczeniu i na
wiedzy biologicznej), tak z regułami dyplomacji itd. I nie
inaczej z regułami wnioskowania. O wiedzy, której reguła
zawdzi˛ecza sw ˛

a trafno´s´c, powiemy, ˙ze uzasadnia ona t˛e

reguł˛e.

3.2. Wnioskowanie jako transformacja zdaniowa
zachowuj ˛

aca prawd ˛e

. Zdanie opisowe, które uzasad-

nia reguł˛e wnioskowania nazywa si˛e

prawem logiki

lub,

twierdzeniem logiki

. Mówimy wi˛ec o takim prawie, ˙ze jest

prawdziwe, nie mówimy za´s tego o regule, któr ˛

a ono uza-

sadnia czyli, mówi ˛

ac swobodniej, wspiera. Prawdziwo´s´c

3. Co to jest reguła wnioskowania

107

praw logiki jest szczególnego rodzaju. Ta osobliwo´s´c po-
lega, by tak rzec, na ich absolutnej uniwersalno´sci: abso-
lutnej w tym sensie, ˙ze obejmuje ona nie tylko cały realny

´swiat, lecz tak˙ze wszystkie mo˙zliwe ´swiaty; mo˙zliwe, to

znaczy niesprzeczne.

Zilustrujmy to aksjomatem

1 systemu

(por. wy˙zej

odc. 1.1). Jak rozumie´c powiedzenie, ˙ze jest on prawd ˛

a w

ka˙zdym mo˙zliwym ´swiecie? Prawo to twierdzi, ˙ze

ϕ(y)

⇒

∃xϕ(x)

; to znaczy, ˙ze gdy jaki´s obiekt jest taki a taki, to ist-

nieje obiekt taki a taki. Niech nazw ˛

a obiektu b˛edzie imi˛e bi-

blijnego Moj˙zesza. ˙

Zeby uzna´c

1 za prawd˛e, nie trzeba si˛e

zastanawia´c, czy Moj˙zesz nale˙zał do ´swiata realnego, jak
s ˛

adz ˛

a osoby literalnie wierz ˛

ace w Bibli˛e, czy do jakiego´s

´swiata mitologicznego.

W ka˙zdym z nich jest prawd ˛

˙ze je´sli Moj˙zesz ogłosił Dekalog, to (istnieje) kto´s (kto)

ogłosił Dekalog.

Albowiem jest to prawda warunkowa,

która mówi, ˙ze z pierwszego wynika drugie, czyli drugie
jest prawd ˛

a pod warunkiem, ˙ze pierwsze jest prawd ˛

a; nie

mówi si˛e za´s tutaj wcale, ˙ze jest prawd ˛

a pierwsze czy dru-

gie samo w sobie. Dzi˛eki temu

1 jest prawd ˛

a w ka˙zdym

mo˙zliwym ´swiecie.

Reguła wnioskowania, która znajduje uzasadnienie w

jest nast˛epuj ˛

aca:

ϕ(y)

∃xϕ(x)

(spotkamy si˛e z ni ˛

a potem pod nazw ˛

a reguły doł ˛

aczania

kwantyfikatora egzystencjalnego).

Niektórzy autorzy nie nazywaj ˛

a takiego zapisu reguł ˛

a wnioskowania, lecz

schematem wnioskowania; w tym uj˛eciu reguł ˛

a jest wypowied´z, która stwier-

dza o danym schemacie, ˙ze jest on poprawny czyli niezawodny (por. Bor-
kowski [1972]). Takie post˛epowanie terminologiczne ma dobre racje, lecz ma
swe zalety tak˙ze krótko´s´c, któr ˛

a uzyskamy dzi˛eki umowie, ˙ze owo orzeczenie

„jest schematem niezawodnym” jest wyra˙zane przez poziom ˛

akresk˛e (imituj ˛

ac ˛

kresk˛e ułamkow ˛

a); wtedy, oczywi´scie, nie wolno pisa´c tej kreski w przypadku

schematów nie b˛ed ˛

acych niezawodnymi.

108

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

Pozioma kreska jest umownym symbolem wskazuj ˛

acym

na to, ˙ze wyra˙zenia nad kresk ˛

a s ˛

a przesłankami (mo˙ze by´c

wi˛ecej ni˙z jedna), za´s wyra˙zenia pod kresk ˛

a s ˛

a wnioskami.

Przesłanka

jest to zdanie, które w danym wnioskowaniu

uznajemy za prawdziwe, a

wniosek

jest to zdanie, które

uznajemy za prawdziwe dlatego, ˙ze wynika logicznie z
przesłanki. Powiedzenie za´s, ˙ze

wynika logicznie

znaczy

tyle, ˙ze zdanie równe co do kształtu przesłance stanowi
poprzednik, a zdanie równokształtne z wnioskien stanowi
nast˛epnik w jakim´s prawie logiki.

To przej´scie od twierdzenia, czyli prawa, do opartej na

nim reguły ma analogie poza logik ˛

a, tak˙ze gdy idzie o

reguły kieruj ˛

ace naszymi działaniami na codzie´n, o ile wpi-

szemy w nie odpowiednie odniesienie do celu działania.
Jest np. prawo fizyki, ˙ze je´sli pociera si˛e dostatecznie długo
i mocno dwa drewka, to powstaje ogie´n. To prawo jest uza-
sadnieniem dla przepisu na rozpalanie ognia: chcesz (tj.
masz na celu) uzyska´c ogie´n, to pocieraj drewka. Przykład
ten ilustruje, jak reguła wi ˛

a˙ze cel ze ´srodkiem na podstawie

jakiej´s wiedzy o ´swiecie.

Mamy reguły dotycz ˛

ace takiego przekształcania obiektów,

˙zeby przy wprowadzanych do´n zmianach obiekt zachował

pewn ˛

a zamierzon ˛

a własno´s´c. Tak jest z rzutowaniem ja-

kiej´s płaszczyzny na o´s współrz˛ednych, z kopiowaniem tek-
stu czy rysunku (mog ˛

a uby´c barwy, ale zostaj ˛

a kształty), z

przekładem z j˛ezyka na j˛ezyk (zmiana brzmienia przy za-
chowaniu sensu), i tak dalej. Do tej klasy nale˙z ˛

a reguły

wnioskowania współczesnej logiki. Okre´slaj ˛

a one dopusz-

czalne zmiany struktury wyra˙ze´n b˛ed ˛

acych przesłankami

— tak, by przy tych przekształceniach strukturalnych za-
chowała si˛e prawdziwo´s´c przesłanek.

Tak wi˛ec, reguła

Poniewa˙z odwołuj ˛

a si˛e one do kształtu, a nie do sensu, mog ˛

a by´c

z powodzeniem stosowane przez komputer.

Tak rozwój logiki doprowa-

dził do mo˙zliwo´sci współdziałania człowieka z komputerem równie˙z we
wnioskowaniach.

4. System zało˙zeniowy SB

109

wnioskowania powiada: gdy mamy zdanie lub zdania o
strukturze (czyli formie)

, to ich przekształcenie (czyli

transformacja) na zdanie o strukturze

zapewnia temu dru-

giemu prawdziwo´s´c, o ile zdania podpadaj ˛

ace pod

s ˛

prawdziwe. Taka struktura (np.

φ&ψ

) reprezentuje nie-

sko´nczenie wiele podstawie´n (np. wszystkie koniunkcje
wyra˙zalne w danym j˛ezyku); a ˙ze reguła wnioskowania
(np. ta, która pozwala z powy˙zszej formuły wywnioskowa´c

) dotyczy wszystkich mo˙zliwych podstawie´n, ka˙zdemu z

nich gwarantuj ˛

ac zachowanie prawdy przy danej transfor-

macji, słusznie nosi ona miano niezawodnej (por. Borkow-
ski [1972]).

Czemu słu˙zy taka działalno´s´c transformacyjna? Uzy-

skiwaniu nowych informacji, czyli powi˛ekszaniu naszej
wiedzy.

Cho´c ten przyrost wiedzy nie jest zauwa˙zalny

przy ka˙zdym z osobna przekształceniu, to na ko´ncu ich
dłu˙zszego ła´ncucha wyłania si˛e zdanie, którego nie dałoby
si˛e uzyska´c na innej drodze.

Tak matematyk dochodzi

do nowych, nieraz rewelacyjnych twierdze´n, tak detektyw
znajduje zaskakuj ˛

ace rozwi ˛

azanie zagadki kryminalnej.

4. System zało˙zeniowy SB

4.1. O systemach zało˙zeniowych

. T˛e cz˛e´s´c rozdziału

trzeba zacz ˛

a´c od pewnych uzupełnie´n rysu historycznego

danego na wst˛epie. Była tam mowa o pierwszej fazie roz-
woju współczesnej logiki, fazie ´sci´sle powi ˛

azanej z budo-

waniem podstaw matematyki. Konstruowane wtedy sys-
temy logiczne miały dostarcza´c aksjomatów matematyce,
a wi˛ec same musiały by´c zaksjomatyzowane. Zauwa˙zono
jednak (pod koniec lat 30tych), ˙ze ludzie stosuj ˛

acy logik˛e

w swych rozumowaniach, w tym matematycy, korzystaj ˛

jedynie z tych narz˛edzi, którymi s ˛

a reguły wnioskowania,

ignoruj ˛

ac w praktyce aksjomaty logiczne oraz wywiedzione

z nich prawa.

110

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

Przypomnijmy, ka˙zdy system aksjomatyczny ma ile´s

aksjomatów i niezb˛edne do dowodzenia minimum reguł,
np. dwa asjomaty i trzy reguły w logice predykatów

Praktyka jednak nie ogranicza si˛e do takiego minimum
reguł, stosuj ˛

ac reguły tam, gdzie teoria logiczna oferowała

aksjomaty.

Na przykład, jak to było omówione wy˙zej

(odc. 3.2), zamiast aksjomatu

1 z systemu

stosuje

si˛e reguł˛e doł ˛

aczania kwantyfikatora egzystenjalnego, oma-

wian ˛

a ni˙zej pod nazw ˛

∃]

. Takie post˛epowanie jest nie-

pomiernie prostsze technicznie i niejako naturalne, st ˛

zacz˛eto je nazywa´c

dedukcj ˛

a naturaln ˛

. Inna nazwa, mia-

nowicie

metoda systemów zało˙zeniowych

zawiera w swej

tre´sci odniesienie do metody dowodowej, które zostanie
wyja´snione dalej.

Gdy u´swiadomiono sobie ów stan rzeczy, stało si˛e to dla

logików wyzwaniem, by skonstruowa´c precyzyjny system
logiczny, który by t˛e naturaln ˛

a praktyk˛e uj ˛

ał teoretycznie,

a tym samym umo˙zliwił jej systematyczne badanie i lepsze
zrozumienie. Wyzwanie to podj˛eli niezale˙znie od siebie i
w tym samym czasie dwaj logicy: Stanisław Ja´skowski, ze
szkoły Jana Łukasiewicza, w Polsce oraz Gerhard Gentzen,
ze szkoły Davida Hilberta, w Niemczech. Ich badania zo-
stały uwie´nczone pracami wydanymi w tym samym roku
(Ja´skowski [1934], Gentzen [1934]). Prace Ja´skowskiego
kontynuowali w Polsce Słupecki i Borkowski [1962, 1969],
a wyniki Gentzena dały pocz ˛

atek wielkiemu nurtowi, który

przyniósł, rzec mo˙zna, nowe spojrzenie na metody wnio-
skowania.

Tym dwóm kierunkom dedukcji naturalnej odpowiadaj ˛

dwie partie tego rozdziału, obecna systemowi Słupeckiego
i Borkowskiego, a nast˛epna i ostatnia pewnemu syste-
mowi pochodnemu od Gentzena, zwi ˛

azanemu z nazwi-

skiem współczesnego logika R. M. Smullyana. St ˛

ad ozna-

czenie pierwszego z nich literami

a drugiego literami

4. System zało˙zeniowy SB

111

Obu typom systemów, przy wszystkich, daleko id ˛

acych

ró˙znicach, wspólna jest konstrukcja reguły wnioskowania
jako pary zło˙zonej ze zbioru przesłanek i zbioru wniosków
(w systemach typu Ja´skowskiego zbiór wniosków jest jed-
noelementowy). Przesłanki oddziela si˛e od wniosków po-
ziom ˛

a kresk ˛

a na kształt ułamkowej. Ta kreska jest symbo-

licznym zapisem faktu, ˙ze gdy wyra˙zenia wyst˛epuj ˛

ace nad

ni ˛

a s ˛

a prawdziwe, to wyra˙zenia pod ni ˛

a musz ˛

a by´c praw-

dziwe; odpowiada wi˛ec on zgrubsza temu, co po polsku
wyra˙za si˛e słowami ‘wi˛ec’, ‘zatem’ itp., po łacinie słowem
‘ergo’, po angielsku ‘hence’, itd.

Reguły dziel ˛

a si˛e na takie, w których transformacja po-

lega na doł ˛

aczeniu stałej logicznej i takie, w których trans-

formacja polega na opuszczeniu stałej; w logice zda´n tymi
stałymi s ˛

a funktory prawdziwo´sciowe, a w logice predy-

katów kwantyfikatory.

Nast˛epuj ˛

ace oznaczenia pozwol ˛

powoływa´c si˛e zwi˛e´zle na poszczególne reguły. Reguły
doł ˛

aczania oznaczone s ˛

a znakiem ‘

’, a reguły opuszczania

znakiem ‘

−

’. Po jednym lub drugim z tych znaków napi-

sana jest stała, której dotyczy cała reguła; taka para sym-
boli, uj˛eta w nawias, stanowi nazw˛e nast˛epuj ˛

acej po niej

reguły. Wyj ˛

atek od tej metody oznaczania stanowi reguła

odrywania; mo˙zna by j ˛

a potraktowa´c jednolicie oznaczyw-

szy symbolem opuszczania implikacji, tj. ‘

[

− ⇒]

’, ale ter-

min ‘reguła odrywania’ jest w logice zda´n tak zakorzeniony,
a sama reguła pojawia si˛e w tak wielu systemach, ˙ze słuszne
b˛edzie respektowanie tej tradycyjnej nazwy, któr ˛

a skrócimy

w oznaczeniach do trzech liter ‘

Odr

’.

4.2. Reguły wnioskowania w SB

. Zostanie najpierw

podana lista reguł rachunku zda´n, zawieraj ˛

aca w ka˙zdej po-

zycji nazw˛e reguły i jej tre´s´c, a po skomentowaniu tych
reguł nast˛epna lista, odnosz ˛

aca si˛e do logiki predykatów.

Oto wykaz dla rachunku zda´n

112

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

[Odr]

⇒ ψ, φ

[+ &]

φ, ψ

φ&ψ

[

−&]

φ&ψ

∨ ]

∨ ψ

[

− ∨ ]

∨ ψ, ∼ φ

∨ ψ, ∼ ψ

⇔ ]

⇒ ψ, ψ ⇒ φ

⇔ ψ

[

− ⇔ ]

⇔ ψ

⇒ ψ

⇔ ψ

⇒ φ

Ka˙zda z powy˙zszych reguł „ma pokrycie” w odpowiednim
prawie rachunku zda´n. By si˛e o tym przekona´c, wystar-
czy przeformułowa´c reguł˛e na implikacj˛e w ten sposób,

˙ze przesłanka reguły staje si˛e poprzednikiem implikacji, a

wniosek nast˛epnikiem; tak otrzyman ˛

a formuł˛e sprawdzamy

metod ˛

a zerojedynkow ˛

a, co prowadzi do stwierdzenia, ˙ze

jest ona prawem logiki.

Reguły doł ˛

aczania i opuszczania kwantyfikatorów s ˛

bardziej skomplikowane ni˙z reguły dotycz ˛

ace funktorów

prawdziwo´sciowych, gdy˙z trzeba poda´c dokładnie wa-
runki podstawiania zmiennych indywiduowych za zmienne
wyst˛epuj ˛

ace w tej formule, która zawiera opuszczany

kwantyfikator. Bez tych ´srodków ostro˙zno´sci mo˙ze si˛e zda-
rzy´c, ˙ze ze zdania prawdziwego otrzymamy fałszywe. Na
przykład, wyra˙zenie

∃

jest dziadkiem

4. System zało˙zeniowy SB

113

jest prawd ˛

a w odniesieniu do zbioru ludzi, bo w tym

zbiorze istnieje przynajmniej jeden element taki, ˙ze gdy
jego imi˛e podstawimy za zmienn ˛

a ‘

’, to powstanie zda-

nie prawdziwe. Je´sli opuszczaj ˛

ac kwantyfikator w tej for-

mule zast ˛

apiłoby si˛e ‘

’ przez ‘

’, powstałoby zdanie ‘

jest dziadkiem

’, które jest fałszywe, skoro nie ma osoby

b˛ed ˛

acej swoim dziadkiem.

B˛edziemy mieli do dyspozycji nast˛epuj ˛

ace reguły doty-

cz ˛

ace kwantyfikatorów.

[

−∀]

∀

φ(x)

φ(a)

∀]

φ(x)

∀

φ(x)

Drug ˛

a z tych reguł stosujemy bezpiecznie do formuł zda-

niowych b˛ed ˛

acych tezami jakiego´s systemu. Na przykład,

pierwszy aksjomat teorii identyczno´sci, maj ˛

acy posta´c ‘

x =

’, przechodzi w zdanie ‘

∀

(x = x)

’. W przypadku innego

rodzaju formuł, reguła przybiera posta´c bardziej zło˙zon ˛

(zob. Borkowski [1970] i [1972]).

∃]

φ(a)

∃

φ(x)

[

−∃]

∃

φ(x)

φ(a)

Przy stosowaniu tej ostatniej reguły musimy prze-

strzega´c nast˛epuj ˛

acego warunku: za ka˙zdym razem, gdy

w toku dowodzenia opuszczamy kwantyfikator egzysten-
cjalny, to wprowadzamy now ˛

a stał ˛

a indywiduow ˛

a, która po-

winna si˛e ró˙zni´c od wszystkich tego rodzaju stałych uprzed-
nio wprowadzonych do dowodu za pomoc ˛

a tej reguły.

Niechaj wyja´sni to zastrze˙zenie nast˛epuj ˛

acy przykład.

Przypu´s´cmy, ˙ze w jakiej´s teorii lub w narracji, odnosz ˛

acej

114

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

si˛e do okre´slonego zbioru ludzi, stwierdza si˛e istnienie osób
b˛ed ˛

acych finansistami (np. dyrektorami banków), w skrócie

, oraz osób b˛ed ˛

acych socjalistami (np. w sensie opo-

wiadania si˛e za totaln ˛

a kontrol ˛

a gospodarki przez pa´nstwo

w imi˛e racji społecznych), w skrócie

. W celu wykaza-

nia jakiej´s tezy, wprowadzamy postacie reprezentuj ˛

ace obie

klasy, którym nadajemy umowne imiona (pełni tak ˛

a rol˛e np.

słowo ‘Kowalski’ jako nazwisko dowolnego Polaka). Je´sli
w roli takiego imienia posłu˙zymy si˛e za ka˙zdym razem tym
samym symbolem, powiedzmy ‘

’, to z twierdzenia ‘

∃

F x

’

otrzymamy ‘

F a

’ i z twierdzenia ‘

∃

’ otrzymamy ‘

’. Z

tych dwóch wniosków wynika dalej, ˙ze istnieje kto´s b˛ed ˛

acy

zarazem finansist ˛

a i socjalist ˛

a (zob. ni˙zej, przykład

P.1

w odc. 4.3). Takie twierdzenie wymagałoby uzasadnienia
przez powołanie si˛e na odpowiednie fakty, nie mo˙ze ono
pojawi´c si˛e wył ˛

acznie w wyniku manipulacji literami. St ˛

zakaz wprowadzania wi˛ecej ni˙z raz tej samej stałej indywi-
duowej przy opuszczaniu kwantyfikatora egzystencjalnego.

4.3. Przykłady dowodzenia wprost

. Oto przykład do-

wodu, b˛ed ˛

acy zarazem kontynuacj ˛

a komentarza z ko´nca po-

przedniego odcinka.

P.1

P a&Qa

⇒ ∃

(P x&Qx)

Zało˙zenia dowodu

P a

Wnioski z zało˙ze´n

P a&Qa

[+&]

: 1, 2

∃

(P x&Qx)

∃]

: 3

Ten prosty przykład dobrze si˛e nadaje do zilustrowania me-
tody dowodzenia zało˙zeniowego (wspomnianej wst˛epnie w
odc. 4.1 tego rozdziału).

4. System zało˙zeniowy SB

115

Zdanie dowodzone ma posta´c implikacji.

Jest zatem

wtedy prawdziwe, gdy nie jest tak, ˙ze ma prawdziwy
poprzednik i fałszywy nast˛epnik.

Kiedy potraktujemy

nast˛epnik jako układ przesłanek i uda si˛e wywnioskowa´c
ze´n nast˛epnik za pomoc ˛

a odpowiednich reguł, ´swiadczy to,

˙ze nie mo˙ze on by´c fałszywy przy prawdziwym nast˛epniku;

nie mo˙ze, poniewa˙z reguły wnioskowania s ˛

a tak dobrane,

by gwarantowały prawdziwo´s´c wniosku (tu pokrywaj ˛

acego

si˛e z nast˛epnikiem) przy prawdziwo´sci przesłanek (pokry-
waj ˛

acych si˛e z poprzednikiem).

Przesłanki nazywaj ˛

a si˛e w takim dowodzie

zało˙zeniami

poniewa˙z w tre´sci słowa ‘przesłanka’ zawiera si˛e uznanie
za prawd˛e w sposób kategoryczny, podczas gdy tre´s´c słowa
‘zało˙zenie’ dopuszcza uznawanie w sposób hipotetyczny.
Dowód nazywa si˛e

zało˙zeniowym

, gdy uznawanie zda´n po-

krywaj ˛

acych si˛e z poprzednikiem jest w nim hipotetyczne,

czyli warunkowe, co znaczy, ˙ze badamy, co by wolno na
podstawie tych zda´n uzna´c za prawd˛e, przy zało˙zeniu, ˙ze
s ˛

a one prawdziwe.

Czy s ˛

a naprawd˛e, nie musimy tego

dla celów dowodu rozstrzyga´c, bo interesuje nas tylko ów
zwi ˛

azek: ˙ze o ile s ˛

a prawdziwe, to takie to a takie inne

zdanie jest równie˙z prawdziwe. Dzi˛eki stwierdzeniu tego
zwi ˛

azku mamy podstaw˛e do uznania prawdziwo´sci odpo-

wiedniej implikacji (nie przes ˛

adzaj ˛

ac, czy prawdziwy jest

jej nast˛epnik potraktowany w dowodzie jako przesłanka).

Po wypisaniu zało˙ze´n przyst˛epujemy do wyprowadza-

nia z nich konsekwencji za pomoc ˛

a reguł wnioskowania.

Reguła u˙zyta w celu uzyskania wniosku zapisanego w da-
nym wierszu jest wymieniona na ko´ncu wiersza wraz ze
wskazaniem wcze´sniejszych formuł, do których j ˛

a zastoso-

wano, by otrzyma´c dany wniosek. By móc powoływa´c si˛e
na wcze´sniejsze formuły bez ich cytowania, numeruje si˛e
wiersze dowodu, a odniesienia do formuł czyni si˛e za po-
moc ˛

a tych numerów. Ostatni wiersz nie jest numerowany,

116

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

bo nie ma potrzeby powoływania si˛e na´n, co zarazem wska-
zuje, i˙z wyst˛epuj ˛

ac ˛

a w nim formuł˛e traktujemy jako wnio-

sek całego dowodu.

Opisane post˛epowanie nazywa si˛e

dowodzeniem wprost

w odró˙znieniu od dowodzenia nie wprost, które omówimy
przy sposobno´sci odpowiedniego przykładu, a porównanie
obu sposobów wyja´sni sens nadanych im nazw.

W powy˙zszym dowodzie, jak i w nast˛epnych, ilu-

struj ˛

acych metody dowodzenia posługujemy si˛e,

dla

uproszczenia wizualnego, predykatami jednoargumento-
wymi reprezentowanymi przez litery ‘

’, ‘

’ etc., a nie

fomułami o nieokre´slonej strukturze, reprezentowanymi
przez litery greckie. Znaczy to, ˙ze zamiast dowodzi´c da-
nego prawa w całej ogólno´sci, dowodzimy tylko jednego z
jego konkretnych przypadków, czyli podstawie´n, mianowi-
cie takiego, w którym wyst˛epuj ˛

a konkretne predykaty jed-

noargumentowe. Dzi˛eki zdolno´sci naszego umysłu do wi-
dzenia tego, co ogólne w tym, co konkretne, na co mo˙zemy
liczy´c w tym przypadku, nie tracimy na tej konkretyzacji
poznawczo, a zyskujemy wi˛eksz ˛

a czytelno´s´c zapisu.

Kolejnym przykładem niech b˛edzie prawo rozdziela-

nia kwantyfikatora ogólnego mi˛edzy człony implikacji, z
zamian ˛

a na kwantyfikator egzystencjalny. Zało˙zenia s ˛

a za-

znaczone skrótem ‘zał.’

P.2

∀

(P x

⇒ Qx) ⇒ (∃

P x

⇒ ∃

Qx)

∀

(P x

⇒ Qx)

zał.

∃

P x

zał.

P a

[

−∃]

: 2

P a

⇒ Qa

[

−∀]

: 1

[Odr]

: 4, 3

∃

∃]

: 5

4. System zało˙zeniowy SB

117

W ten sposób z tego, ˙ze ka˙zdy filozof jest omylny wy-
nika logicznie, ˙ze je´sli istniej ˛

a filozofowie, to istniej ˛

a istoty

omylne. Zauwa˙zmy, ˙ze zdanie ‘ka˙zdy filozof jest omylny’
jest zwi˛ezł ˛

a parafraz ˛

a (tj. mówi to samo innymi słowami)

zdania ‘o ka˙zdym człowieku jest prawd ˛

a, ˙ze je´sli jest on

filozofem to jest omylny’. W tej drugiej wersji symbo-
lowi ‘

’ pod kwantyfikatorem odpowiada słowo ‘człowiek’,

przy zało˙zeniu, ˙ze nasze zmienne indywiduowe odnosz ˛

a si˛e

do elementów zbioru ludzi, za´s wyst ˛

apieniom zmiennej ‘

’

w zasi˛egu kwantyfikatora odpowiadaj ˛

a wyst ˛

apienia zaimka

‘on’.

Zasługuje w tym dowodzie na zauwa˙zenie kolejno´s´c

formuł przy opuszczaniu kwantyfikatora.

Najpierw sto-

sujemy opuszczenie do formuły zawieraj ˛

acej kwantyfika-

tor ogólny, a potem do formuły zawieraj ˛

acej kwantyfika-

tor egzystencjalny, cho´c jako zało˙zenia wyst˛epowały one
w kolejno´sci odwrotnej (której nie warto by zmienia´c bez
powodu). Powodem jest to, ˙ze obowi ˛

azuje nas warunek

towarzysz ˛

acy regule

[

−∃]

, mianowicie by nie zast˛epowa´c

zmiennej stał ˛

a, która cho´c raz była ju˙z u˙zyta w danym

dowodzie. Natomiast reguła opuszczania kwantyfikatora
ogólnego nie jest zwi ˛

azana takim zastrze˙zeniem, bo skoro

wszystkie przedmioty (z rozwa˙zanej dziedziny) spełniaj ˛

dan ˛

a formuł˛e (tzn. dla wszystkich jest ona prawdziwa), to

mo˙zemy wykorzysta´c tak˙ze ten obiekt, którego nazw˛e pod-
stawili´smy za zmienn ˛

a przy opuszczaniu wcze´sniej kwan-

tyfikatora egzystencjalnego.

Rozwa˙zmy obecnie prawo rozdzielania kwantyfikatora

ogólnego mi˛edzy człony implikacji, tym si˛e ró˙zni ˛

ace od

poprzedniego, ˙ze przy rozdzielaniu zachowujemy kwanty-
fikator ogólny. Tym razem, z pogl ˛

adu, ˙ze ka˙zdy filozof

jest omylny mo˙zemy dedukowa´c, ˙ze je´sli wszyscy s ˛

a fi-

lozofami, to wszyscy s ˛

a omylni. Warto zauwa˙zy´c, ˙ze ta

konsekwencja zostanie lepiej sformułowana w j˛ezyku na-
turalnym, je´sli u˙zyjemy trybu warunkowego nierzeczywi-

118

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

stego, wyra˙zanego przez ‘gdyby’, jest on bowiem na miej-
scu wtedy, gdy jest wiadome, i˙z poprzednik jest fałszywy
(na pewno nie wszyscy s ˛

a filozofami). Nale˙zy wi˛ec raczej

wyrazi´c wniosek zdaniem: ‘gdyby wszyscy byli filozofami,
to wszyscy byliby omylni’. Oto dowód.

P.3

∀

(P x

⇒ Qx) ⇒ (∀

P x

⇒ ∀

Qx)

∀

(P x

⇒ Qx)

zał.

∀

P x

zał.

P x

⇒ Qx

[

−∀]

: 1

P x

[

−∀]

: 2

[Odr]

: 3, 4

∀

∀]

: 5

W odró˙znieniu od poprzedniego dowodu, po opuszcze-
niu kwantyfikatora pozostaj ˛

a w formule te same symbole

zmienne, podczas gdy w poprzednim były podstawiane w
ich miejsce stałe indywiduowe. Bierze si˛e to st ˛

ad, ˙ze dowód

ma si˛e zako´nczy´c doł ˛

aczeniem kwantyfikatora ogólnego, a

ten mo˙ze by´c doł ˛

aczony tylko do formuły ze zmiennymi

(które po doł ˛

aczeniu b˛edzie wi ˛

azał).

Takie pozostawienie zmiennych jest prawidłowe pod wa-

runkiem, ˙ze zmienna podlegaj ˛

aca zwi ˛

azaniu we wniosku

nie była wolna w zało˙zeniach dowodu. W naszym dowo-
dzie warunek ten jest spełniony. A uzasadnia si˛e on tym,

˙ze obecno´s´c zmiennych wolnych w zało˙zeniach dowodu

mo˙ze dopuszcza´c podstawienia, przy których zało˙zenie sta-
nie si˛e prawd ˛

a dla pewnych przedmiotów, nie b˛ed ˛

ac jednak

prawdziwe dla wszystkich przedmiotów z rozwa˙zanej dzie-
dziny (co jest warunkiem poprawnego uogólnienia). Intu-
icyjn ˛

a trafno´s´c owego warunku mo˙zna zobaczy´c próbuj ˛

dowie´s´c np. wyra˙zenia ‘

∀

(P x

⇒ Qx) ⇒ (P y ⇒ Qy)

’,

gdzie w nast˛epniku wyst˛epuje dwa razy zmienna wolna.
Zało˙zeniem w tej próbie dowodu byłby poprzednik całej

4. System zało˙zeniowy SB

119

implikacji oraz poprzednik tej implikacji, która stanowi
nast˛epnik; to drugie naruszałoby warunek nie posiada-
nia zmiennych wolnych.

Niech ‘

’ znaczy ‘jest szew-

cem’, a ‘

’ znaczy ‘jest ˙zołnierzem’.

Przy tej inter-

pretacji nast˛epnik jest spełniany tylko przez niektóre ele-
menty zbioru ludzi, np. przez słynnego szewca Kili´nskiego,
powsta´nca w insurekcji Ko´sciuszkowskiej.

Dlatego wy-

chodz ˛

ace z tych zało˙ze´n wnioskowanie nie powinno do-

prowadzi´c do zdania mówi ˛

acego o całej dziedzinie, mia-

nowicie, ˙ze wszyscy s ˛

a ˙zołnierzami.

Natomiast gdy

taka ogólno´s´c jest zawarta ju˙z w zało˙zeniach (przez fakt
zwi ˛

azania zmiennych kwantyfikatorem ogólnym), ma ona

prawo udzieli´c si˛e wnioskowi.

Przykład ten na równi z poprzednim ilustruje jeszcze je-

den rys metody zało˙zeniowej. W przypadku, gdy dowo-
dzi si˛e implikacji, której nast˛epnik jest tak˙ze implikacj ˛

a, to

dowód ma dwa zało˙zenia: jednym jest implikacja b˛ed ˛

aca

poprzednikiem, a drugim poprzednik implikacji b˛ed ˛

acej

nast˛epnikiem. Zilustrujmy to jescze jednym przykładem,
tak dobranym, by uwydatni´c omawiany rys.

B˛edzie to

twierdzenie rachunku zda´n zwane prawem sylogizmu.

P.4

⇒ q)&(q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)

⇒ q)&(q ⇒ r)

zał.

⇒ q)

[

−&]

: 1

⇒ r)

[

−&]

: 1

[Odr]

: 3, 2

[Odr]

: 4, 5

Gdy predykat jest dwuargumentowy, formuła mo˙ze by´c

poprzedzona dwoma kwantyfikatorami i wtedy pojawia si˛e
pytanie, czy z tej formuły wynika inna, w której kwantyfi-
katory byłyby przestawione. Jako przykład praw z tej grupy
niech posłu˙zy nast˛epuj ˛

ace.

120

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

P.5

∃

∀

Rxy

⇒ ∀

∃

Rxy

∃

∀

Rxy

zał.

∀

Ray

[

−∃]

: 1

Ray

[

−∀]

: 2

∃

Rxy

∃]

: 3

∀

∃

Rxy

∀]

: 4

Te kilka przykładów, cho´c dalekie jest od wyczerpa-

nia najcz˛e´sciej stosowanych praw logiki oraz rodzajów
dowodzenia, daje poj˛ecie o istocie metody dowodów
zało˙zeniowych z kategorii dowodów wprost.

Zajmiemy

si˛e obecnie inn ˛

a kategori ˛

a, interesuj ˛

ac ˛

a nie tylko jako me-

toda rozumowania, lecz tak˙ze jako szczególnie skuteczna
metoda dyskusji.

4.4. Przykłady dowodzenia nie wprost

Dowód

nie wprost

któremu z kolei po´swi˛ecimy uwag˛e, nosi te˙z

nazw˛e

sprowadzenia do niedorzeczno´sci

lub sprowadze-

nia do absurdu, po łacinie reductio ad absurdum.

niedorzeczno´s´c czyli absurd, to jest, dokładniej mówi ˛

ac,

sprzeczno´s´c

na tym polegaj ˛

aca, ˙ze z zało˙ze´n dowodu wy-

wnioskowuje si˛e par˛e zda´n mi˛edzy sob ˛

a sprzecznych, a taka

para, gdy jej człony poł ˛

aczymy koniunkcj ˛

a, jest zdaniem

fałszywym. Zdanie fałszywe nie mo˙ze wynika´c ze zda´n
prawdziwych, a wi˛ec jego wyprowadzenie ´swiadczy o tym,
i˙z przynajmniej jedno z zało˙ze´n jest fałszywe.

T ˛

a metod ˛

a mo˙zemy atakowa´c w dyskusji partnera po-

kazuj ˛

ac, ˙ze jego stanowisko prowadzi do wewn˛etrznej

sprzeczno´sci. A je´sli nasz własny pogl ˛

ad stanowi zaprze-

czenie pogl ˛

adu partnera, to obaliwszy jego pogl ˛

ad, uza-

sadniamy tym samym własny. Z dwóch bowiem zda´n, z

Wi˛ecej przykładów mo˙zna znale´z´c u Borkowskiego [1972], a jeszcze

wi˛ecej, wraz z precyzyjnym wyja´snieniem reguł wnioskowania u Słupeckiego i
Borkowskiego [1984] oraz Borkowskiego [1970].

4. System zało˙zeniowy SB

121

których jedno stanowi zaprzeczenie drugiego (czyli mi˛edzy
sob ˛

a wzajem sprzecznych) dokładnie jedno jest prawdziwe

i dokładnie jedno fałszywe. Je´sli zatem przecz ˛

ace naszemu

zdanie partnera okazuje si˛e fałszywe w wyniku sprowadze-
nia do niedorzeczno´sci, to nasz pogl ˛

ad okazuje si˛e tym sa-

mym prawdziwy. Mistrzem tej metody był Sokrates (469–
399 przed Chr.), jakim go znamy z dialogów jego ucznia
Platona (ok. 427–347).

Ta okr˛e˙zna (nie wprost) metoda dochodzenia do prawdy

przez odrzucenie jej zaprzeczenia znajduje szerokie za-
stosowanie w matematyce i w logice.

Mi˛edzy innymi

słu˙zy ona udowodnieniu pewnej pary praw logiki predy-
katów, która ukazuje wa˙zn ˛

a zale˙zno´s´c mi˛edzy kwantyfi-

katorem ogólnym, egzystencjalnym i negacj ˛

a. Nazywaj ˛

si˛e one

prawami de Morgana

od nazwiska logika an-

gielskiego Augusta de Morgana (1806–1871).

Jedno z

nich bywa te˙z nazywane prawem negowania kwantyfikatora
ogólnego, w skrócie NKO, drugie za´s prawem negowania
kwantyfikatora egzystencjalnego, w skrócie NKE. Oto ich
sformułowania.

NKO

∼ ∀

P x

⇔ ∃

∼ P x

NKE

∼ ∃

P x

⇔ ∀

∼ P x

Aby udowodni´c równowa˙zno´s´c, post˛epujemy zwykle w

ten sposób, ˙ze rozdzielamy j ˛

a na dwie implikacje (por.

wy˙zej

[

− ⇔ ]

) i dowodzimy ka˙zdej z nich osobno, a potem je

składamy otrzymuj ˛

ac znowu równowa˙zno´s´c (por.

⇔ ]

Dla ka˙zdego z praw de Morgana udowodnimy po jednym
z takich składników implikacyjnych jako ilustracj˛e metody
dowodzenia nie wprost.

Najwa˙zniejsze prawa logiki s ˛

a wyró˙znione nazwami odnosz ˛

acymi si˛e do ich

struktury, a niekiedy nazw ˛

a pochodz ˛

ac ˛

a od imienia autora, któremu si˛e przypi-

suje odkrycie lub pierwsze sformułowanie danego prawa.

Drugi składnik wymaga w obu wypadkach wprowadzenia tzw. zało˙ze´n do-

datkowych, które nale˙z ˛

a do nieco bardziej zaawansowanej techniki dowodów

zało˙zeniowych; (zob. Borkowski [1970, s. 52]).

122

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

P.6

∃

∼ P x ⇒∼ ∀

P x

∃

∼ P x

zał.

∀

P x

zał. dow. nie wprost

∼ P a

[

−∃]

: 1

P (a)

[

−∀]

: 2

sprzeczno´s´c

3, 4

P.7

∀

∼ P x ⇒∼ ∃

P x

∀

∼ P x

zał.

∃

P x

zał. dow. nie wprost

P a

[

−∃]

: 2

∼ P (a)

[

−∀]

: 1

sprzeczno´s´c

3, 4

Zało˙zeniem, które podaje si˛e w pierwszym wierszu jest, jak
w poprzednich przykładach, poprzednik dowodzonej impli-
kacji. Zało˙zeniem dowodu nie wprost, podawanym w dru-
gim wierszu, jest negacja nast˛epnika. Te dwa zało˙zenia
razem wzi˛ete równowa˙zne s ˛

a zaprzeczeniu dowodzonej

implikacji, poniewa˙z zaprzeczenie implikacji polega na
przyj˛eciu jej poprzednika przy zanegowaniu nast˛epnika. Z
tego zaprzeczenia tezy dowodzonej wynika pewna formuła
(w obu przykładach jest to ‘

P a

’) oraz jej negacja; a skoro z

zaprzeczenia tezy dowodzonej wynika sprzeczno´s´c, to musi
ono by´c fałszem, prawd ˛

a jest zatem zaprzeczenie tego za-

przeczenia, czyli teza dowodzona.

4.5. Uwagi do praw de Morgana

. Prawa de Morgana

zasługuj ˛

a na uwag˛e nie tylko jako sposobno´s´c do podania

prostego przykładu dowodu nie wprost. S ˛

a one wa˙zne z

tego powodu, ˙ze z ka˙zdego z nich mo˙zna otrzyma´c formuł˛e

4. System zało˙zeniowy SB

123

nadaj ˛

ac ˛

a si˛e do tego, by u˙zy´c jej jako definicji jednego z

kwantyfikatorów przez drugi (przy współwyst˛epowaniu ne-
gacji); a to z kolei, ilustruje pewn ˛

a doniosł ˛

a zasad˛e tycz ˛

ac ˛

si˛e definiowania.

Z prawa NKO mo˙zemy otrzyma´c równowa˙zno´s´c, która

uczy, jak mo˙zna si˛e obej´s´c bez kwantyfikatora ogólnego,
nic nie trac ˛

ac na mo˙zliwo´sci wysłowienia, a płac ˛

ac za to

jedynie wydłu˙zeniem si˛e wypowiedzi. Gdy zanegujemy
obie strony równowa˙zno´sci NKO, otrzymamy wyra˙zenie
równie˙z prawdziwe, dzi˛eki prawu, ˙ze

⇔ q

implikuje

∼

⇔ ∼ q

. Wtedy po lewej stronie, tj. przed kwantyfikatorem

ogólnym wyst ˛

api podwójna negacja, co pozwala opu´sci´c

oba symbole negacji, w my´sl prawa, ˙ze

∼∼ p

równowa˙zne

jest

(przywołane tu prawa mo˙zna sprawdzi´c metod ˛

a ze-

rojedynkow ˛

a). Tak dostajemy twierdzenie o mo˙zliwo´sci

Eliminacji Kwantyfikatora Ogólnego przez zast ˛

apienie go

kwantyfikatorem egzystencjalnym w pewnej konfiguracji z
negacj ˛

EKO

∀

P x

⇔ ∼ ∃

∼ P x

Ta równowa˙zno´sc pozwala na to, by w dowolnym kon-
tek´scie zast ˛

api´c jej lew ˛

a stron˛e przez praw ˛

a, a wi˛ec obej´s´c

si˛e bez symbolu kwantyfikatora ogólnego, którego sens zo-
staje oddany przez kwantyfikator egzystencjalny otoczony
symbolami negacji. Z tej mo˙zliwo´sci eliminacji korzystamy
nieraz bezwiednie w j˛ezyku polskim, w którym istniej ˛

wyra´zne odpowiedniki praw de Morgana. I tak zamiast po-
wiedzie´c ‘

ka˙zdy jest omylny

’ mo˙zemy posłu˙zy´c si˛e zdaniem

‘nie ma nieomylnych’, w którym ‘nie ma’ odpowiada zesta-
wieniu symboli ‘

∼ ∃

’, a negacja po kwantyfikatorze mie´sci

si˛e w słowie ‘

nie

omylny’.

Je´sli zamiast formuł ˛

a z predykatem jednoargumentowym ‘

P x

’ posłu˙zymy

si˛e schematem ‘

ϕ(x)

’ reprezentuj ˛

acym formuły o dowolnej zło˙zono´sci, w tym

formuły z predykatami wieloargumentowymi, to otrzymamy zapis tak ogólny,
jak tego wymaga ogólno´s´c naszej teorii; praktycznie, mo˙zemy poprzesta´c na
sformułowaniu takim jak tu podane.

124

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

Analogicznie jak

EKO

powstaje z prawa negowania

kwantyfikatora ogólnego, tak z prawa negowania kwanty-
fikatora egzystencjalnego powstaje równowa˙zno´s´c daj ˛

aca

mo˙zliwo´s´c Eliminacji Kwantyfikatora Egzystencjalnego,
mianowicie

EKE

∃

P x

⇔ ∼ ∀

∼ P x

Odpowiedniki takiej eliminacji mamy te˙z w j˛ezyku pol-
skim.

Zamiast powiedzie´c ‘istniej ˛

a geniusze’ mo˙zemy

posłu˙zy´c si˛e dłu˙zszym lecz identycznym co do tre´sci zda-
niem ‘nie jest prawd ˛

a, ˙ze wszyscy s ˛

a pozbawieni geniuszu’

(zwrot ‘s ˛

a pozbawieni geniuszu’ jest zgrabnym sposobem

wyra˙zenia negacji, zamiast niezdarnego ‘s ˛

a nie-genialni’).

4.6. Przy okazji praw de Morgana: ogólniejsze
uwagi o stosunkach mi ˛edzy poj ˛eciami

. Je´sli mo˙zna

si˛e obej´s´c bez jednego lub bez drugiego kwantyfikatora, to
dlaczego u˙zywamy obu? A czynimy to zarówno w j˛ezykach
etnicznych jak i w logice predykatów. Czynimy tak, mi˛edzy
innmi, ze wzgl˛edu na ekonomi˛e wysiłku umysłowego. To
czy wyst ˛

api jeden symbol czy trzy ma znaczenie ju˙z na-

wet w krótkiej formule, a gdy tych wyst ˛

apie´n jest wi˛ecej

odpowiednio wzrasta przejrzysto´s´c wypowiedzi uzyskana
dzi˛eki takim skrótom; oszcz˛edzona w ten sposób energia
umysłowa mo˙ze zosta´c skierowana do innych zada´n po-
znawczych. St ˛

ad ogromna rola definicji jako ´srodków skra-

cania wypowiedzi i czynienia ich bardziej przejrzystymi.
Potrzeba jednak zna´c niezb˛edne minimum, bez którego
zasób słownikowy danej teorii nie sprostałby stawianym
jej zadaniom. Dzi˛eki prawom de Morgana dowiadujemy
si˛e, ˙ze w tym minimum nie musz ˛

a si˛e mie´sci´c oba naraz

kwantyfikatory. Który z dwóch stanie si˛e podstawowym,
to sprawa wolnego wyboru. Z bada´n za´s nad rachunkiem
zda´n wiadomo, ˙ze w´sród funktorów prawdziwo´sciowych

4. System zało˙zeniowy SB

125

s ˛

a takie pary, mianowicie koniunkcja z negacj ˛

a, alterna-

tywa z negacj ˛

a i implikacja z negacj ˛

a, ˙ze dana para wystar-

cza do zdefiniowania wszystkich pozostałych funktorów (s ˛

jeszcze dwa funktory, które wystarczaj ˛

a w pojedynk˛e, po-

niewa˙z zawieraj ˛

a w sobie negacj˛e, np. ‘ani ... ani ...’). Po-

wiedzmy, ˙ze wybieramy do tego celu koniunkcj˛e z negacj ˛

a ponadto kwantyfikator ogólny. Wtedy za pomoc ˛

a tych

trzech terminów mo˙zemy wyrazi´c wszystkie prawa logiki.
Co wi˛ecej, je´sli dodamy do takiej trójcy symbol nale˙zenia
do zbioru ‘

∈

’ (b˛edzie o nim wiele w nast˛epnym rozdziale)

doł ˛

aczaj ˛

ac tym samym do systemu poj˛ecie zbioru, a za po-

moc ˛

a tego ostatniego zdefiniujemy poj˛ecie liczby (co, istot-

nie, uczyniono), to w tych czterech terminach mo˙zna wy-
razi´c cał ˛

a matematyk˛e. Łatwo sobie przedstawi´c, ˙ze tak

zbudowany j˛ezyk byłby dla ludzi skrajnie skomplikowany
i nieczytelny, dlatego wła´snie si˛egamy po definicje, które
daj ˛

a kolosalne zyski gdy idzie o zwi˛ezło´s´c i przejrzysto´s´c.

Nie jest to jednak jedyny powód, dla którego u˙zywamy

dwóch a nie jednego kwantyfikatorów, ani jedyny powód,
dla którego do zapisywania zda´n warunkowych u˙zywamy
strzałki, (

⇒ q

) a nie symbolów koniunkcji i negacji

(w formule

∼ (p& ∼ q)

). Co innego teoria logiczna, w

której staramy si˛e ustali´c niezb˛edne minimum termino-
logiczne dla zaprowadzenia definicyjnego porz ˛

adku i dla

pewnego wgl ˛

adu w struktury poj˛eciowe, a co innego owa

naturalna logika, któr ˛

a zawdzi˛eczamy zapewne dziedzic-

twu biologicznemu jak i kulturowemu; w tym drugim
najwi˛eksz ˛

a dla logiki rol˛e ma przyswojony w dzieci´nstwie

system j˛ezykowy.

W owej logice naturalnej funkcjo-

nuj ˛

a niezale˙znie od siebie kwantyfikator ogólny i egzy-

stencjalny, koniunkcja i alternatywa, itd., a dowodem i˙z
s ˛

a niezale˙zne mo˙ze by´c cho´cby fakt, ˙ze wiadomo´s´c o

owych zale˙zno´sciach przyjmujemy jako co´s nowego (za-
wdzi˛eczaj ˛

ac te rewelacje teorii logicznej).

126

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

Tak wi˛ec ewolucja biologiczna i kulturowa wyposa˙zyła

nas w taki a nie inny układ poj˛e´c logicznych, daj ˛

ac z jed-

nej strony pewien nadmiar, gdy mie´c na uwadze wzajemn ˛

definiowalno´s´c (redukuj ˛

ac ˛

a wszystkie terminy logiczne do

trzech lub dwóch), a z drugiej strony pewien niedomiar,
gdy mie´c na uwadze, ˙ze spo´sród dwudziestu funktorów
najch˛etniej korzystamy z jakich´s pi˛eciu (odczuwaj ˛

ac je jako

najbardziej „naturalne”), do czego dodajemy dwa kwanty-
fikatory. Znaczy to, ˙ze pomimo wzajemnej definiowalno´sci
na poziomie teorii, w naszym naturalnym systemie ka˙zde
z tych poj˛e´c zostało zdefiniowane, czyli wyposa˙zone w
znaczenie, niezale˙znie od pozostałych za spraw ˛

a jakiego´s

zbioru kontekstów u˙zycia. Małe dziecko osobno, tj. w
innych kontekstach, uczy si˛e sensu słowa ‘wszyscy’ (gdy
słyszy np.

„wszyscy ci˛e lubi ˛

a”), a w innych kontek-

stach słowa ‘istnieje’ („istnieje ´sw.

Mikołaj”).

Zwykle

trzeba dopiero kursu logiki, by zaktualizowa´c (potencjal-
nie w ka˙zdym drzemi ˛

ace) zrozumienie, i˙z terminy ‘wszy-

scy’ i ‘istnieje’ pozostaj ˛

a w stosunku okre´slonym prawami

de Morgana (to, ˙ze wszyscy s ˛

a zdolni zrozumie´c prawa de

Morgana znaczy, ˙ze nie istniej ˛

a tacy, co nie s ˛

a zdolni ich

zrozumie´c).

Tego rodzaju obserwacje ´swiadcz ˛

a o roli teorii logicz-

nej dla lepszego zrozumienia, jak funkcjonuje nasz umysł
i nasz j˛ezyk. Tego powinni´smy od niej oczekiwa´c i po to
j ˛

a rozwija´c, jak to czyni ˛

a jedni, oraz studiowa´c, jak czyni ˛

inni.

A wraz ze zrozumieniem, jak funkcjonuje pewna

sprawno´s´c podnosi si˛e ta sprawno´s´c na wy˙zszy poziom. Tak
jest w w ka˙zdym treningu, gdzie warunkiem sukcesu jest
poł ˛

aczenie wrodzonych zdolno´sci z ´cwiczeniem i z wiedz ˛

o danym układzie (wiedz ˛

a biologiczn ˛

a w treningu sporto-

wym, wiedz ˛

a o maszynie przy obsłudze maszyny itd.). Tak

wi˛ec, sukces w sztuce rozumowania zale˙zy od zdolno´sci do
niego, ´cwiczenia si˛e w nim, i od wiedzy logicznej.

5. System zało˙zeniowy GS: tabele analityczne

127

5. System zało˙zeniowy GS: tabele anali-
tyczne

5.1. Uwagi wst ˛epne.

Metoda dowodzenia, któr ˛

a si˛e

obecnie zajmiemy nale˙zy do ostatnich etapów rozwoju jed-
nego z dwóch pochodz ˛

acych od Gentzena [1934] systemów

dedukcji naturalnej. W tej przetworzonej postaci, podanej
przez Smullyana [1968], nosi on nazw˛e tabel analitycznych,
która si˛e tłumaczy nast˛epuj ˛

ac ˛

a jego własno´sci ˛

Reguły wnioskowania w tym systemie s ˛

a to wył ˛

acznie

reguły opuszczania stałych logicznych. Opuszczanie pro-
wadzi do coraz prostszych formuł b˛ed ˛

acych składnikami

formuły wyj´sciowej, a wi˛ec post˛epuje niejako za tokiem
analizy syntaktycznej danej formuły; st ˛

ad okre´slenie

tabele

analityczne

. Analiza syntaktyczna dokonuje si˛e wedle za-

sady znanej z teorii kategorii składniowych (por. rozdz. 2).
Zaczyna si˛e mianowicie od znalezienia głównego funktora.
Do danej formuły stosuje si˛e t˛e reguł˛e opuszczania, która
dotyczy głównego funktora, a je´sli cała formuła poprze-
dzona jest kwantyfikatorami, to odnosi si˛e do pierwszego
z tych kwantyfikatorów; w przypadku zda´n przecz ˛

acych,

opuszczeniu podlega negacja oraz symbol b˛ed ˛

acy główn ˛

stał ˛

a logiczn ˛

a w zasi˛egu funktora negacji (por. ni˙zej, reguły

w prawej kolumnie).

Metoda tabel analitycznych, cho´c nie jest algorytmem

w takim pełnym sensie, jak metoda zerojedynkowa ra-
chunku zda´n, przybli˙za si˛e jednak w pewien sposób do al-
gorytmu. W wy˙zszym wi˛ec stopniu ni˙z inne systemy logiki
predykatów system

realizuje my´sl, która przy´swiecała

próbom Leibniza: stworzy´c taki rachunek dla rozumowa´n
(calculus ratiocinator), ˙zeby w sposób automatyczny pro-
wadził on do wyniku, na wzór nici Ariadny wyprowa-
dzaj ˛

acej niezawodnie z Labiryntu; st ˛

ad u˙zywany przez Le-

ibniza łaci´nski termin filum cogitationis (ni´c my´slenia).

Ow ˛

a nici ˛

a my´slenia jest w metodzie tabel analitycz-

nych rozkład syntaktyczny formuły wyj´sciowej na coraz

128

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

prostsze składniki, a˙z do zda´n atomowych, traktowanych
jako składniki formuł typu:

∀

∃

Dowód jest

zako´nczony, gdy rozło˙zyło si˛e formuł˛e wyj´sciow ˛

a, któr ˛

jest zaprzeczenie tezy dowodzonej, na wszystkie jej naj-
prostsze składniki (Teilformeln — w terminologii Gent-
zena). W niektórych miejscach, np. gdy rozkładan ˛

a formuł ˛

jest alternatywa, dowód ulega rozgał˛ezieniu, co symboli-
zuje pionowa kreska mi˛edzy gał˛eziami dowodu. Je´sli na
ka˙zdej gał˛ezi pojawi si˛e para składników sprzecznych, np.

B(a)

∼ B(a)

, to mówimy. ˙ze tabela jest

zamkni˛eta

, w prze-

ciwnym wypadku, gdy nie we wszystkich gał˛eziach poja-
wia si˛e sprzeczno´s´c, mówi si˛e o tabeli

otwartej

. Tak wi˛ec,

dowody w systemie tabel analitycznych s ˛

a zawsze dowo-

dami nie wprost, co zwalnia nas od zastanawiania si˛e, któr ˛

metod˛e wybra´c dla danego twierdzenia.

Gdy tabela jest zamkni˛eta, znaczy to, ˙ze formuła

wyj´sciowa

∼ A

, jako prowadz ˛

aca do sprzeczno´sci, nie jest

spełnialna; za´s

∼ A

nie jest spełnialna wtedy i tylko wtedy,

gdy jej negacja, tj.

, jest tautologi ˛

a. Tym sposobem docho-

dzimy do stwierdzenia tautologiczno´sci formuły

podda-

nej owemu testowi zaprzeczenia i wysnuwania st ˛

ad wszyst-

kich mo˙zliwych konsekwencji, rozumianych jako najprost-
sze składniki formuły. Je´sli natomiast która´s z gał˛ezi po-
zostaje otwarta, ujawnia ona przypadek, w którym formuła
wyj´sciowa

∼ A

jest spełniona, co ´swiadczy, ˙ze

nie jest tau-

tologi ˛

a. Tak wi˛ec, metoda ta pozwala znajdowa´c nie tylko

rozstrzygni˛ecia pozytywne (co jest wynikiem pomy´slnie
zako´nczonego dowodu), lecz tak˙ze rozstrzygni˛ecia nega-
tywne, co stanowi o jej wy˙zszo´sci nad innymi technikami
dowodowymi rachunku predykatów.

Du˙ze litery z pocz ˛

atku alfabetu s ˛

a w tej cz˛e´sci rozdziału u˙zywane do repre-

zentowania dowolnych formuł logiki predykatów, a wi˛ec w tej samej funkcji,
która wcze´sniej była pełniona przez litery greckie, jak

i in. Ta zmiana ozna-

cze´n słu˙zy lepszemu odró˙znieniu wizualnemu obu rodzajów reguł. Tak˙ze na-
zwy reguł s ˛

a skonstruowane inaczej: w nawiasie okr ˛

agłym wskazana jest stała

lub dwie stałe podlegaj ˛

ace opuszczeniu.

5. System zało˙zeniowy GS: tabele analityczne

129

5.2. Reguły wnioskowania systemu GS

. Oto li-

sta reguł wnioskowania systemu tabel analitycznych czyli
GS.

[

∼ ∼]

∼ ∼ A

[

∧]

∧B

A, B

[

∼ ∧]

∼(A∧B)

∼A|∼B

[

∨]

∨B

[

∼ ∨]

∼(A∨B)
∼A, ∼B

[

⇒]

⇒ B

∼A|B

[

∼ ⇒]

∼(A ⇒ B)

∼B

[

∃]

∃

A(x)

A(c)

[

∼ ∃]

∼∃

A(x)

∼A(c)

[

∀]

∀

A(x)

A(c)

[

∼ ∀]

∼∀

A(x)

∼A(c)

Do reguł

(

∃)

(

∼ ∀)

doł ˛

aczone jest nast˛epuj ˛

ace zastrze˙zenie:

mog ˛

a one by´c stosowane tylko w ten sposób, ˙ze stała

indywiduowa

(któr ˛

a, po opuszczeniu kwantyfikatora,

zast˛epujemy zmienn ˛

wsz˛edzie tam, gdzie wyst˛epuje ona

), nie pojawiła si˛e we wcze´sniejszym wierszu dowodu

w jakiej´s formule ró˙znej od

; je´sli za´s

pojawia si˛e

wcze´sniej, to nale˙zy u˙zy´c w charakterze stałej innej litery,
nie wyst˛epuj ˛

acej dot ˛

ad w dowodzie.

Powód tego zastrze˙zenia jest nast˛epuj ˛

acy. Przypu´s´cmy,

˙ze w danym dowodzie zostało ju˙z wykazane istnienie przed-

miotu spełniaj ˛

acego

, tzn. stwierdzone

∃

A(x)

. Mo˙zemy

wtedy wprowadzi´c indywiduum, które oznaczymy symbo-
lem ‘

’, powiadaj ˛

ac: „niech

b˛edzie owym

spełniaj ˛

acym

”. Gdyby okazało si˛e, w dalszym toku dowodu, ˙ze ist-

nieje przedmiot spełniaj ˛

acy warunek

, to nie nale˙zy na-

Przypomnijmy pochodzenie tego skrótu: G – od Gentzena jako twórcy

całego nurtu, S – od Smullyana jako autora omawianego systemu.

Gdy idzie o reguł˛e

(

∃)

, i reguła i zastrze˙zenie s ˛

a identyczne jak w systemie

Słupeckiego i Borkowskiego. Analogicznym warunkiem nale˙zy opatrze´c reguł˛e

(

∼ ∀)

; jak wida´c z praw de Morgana, dotyczy ona formuł egzystencjalnych,

skoro

∼ ∀

to tyle, co

∃

∼ A

130

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

zywa´c go znowu ‘

’, bo to by przes ˛

adzało, ˙ze ów przed-

miot spełnia oba warunki, tj.

, co nie zostało udowod-

nione; u˙zywaj ˛

ac za´s innej litery, np. ‘

’, niczego takiego

nie przes ˛

adzamy. Analogiczne uzasadnienie odnosi si˛e do

zastrze˙zenia przy regule

∼ ∀

, która równie˙z odnosi si˛e do

zda´n egzystencjalnych (to, ˙ze nie ka˙zdy przedmiot spełnia

znaczy, ˙ze istniej ˛

a przedmioty nie spełniaj ˛

ace

5.3. Przykłady dowodzenia

. Oto przykład dowodu w

formie tabeli analitycznej z u˙zyciem predykatów jednoar-
gumentowych ‘

’ i ‘

’ (podobnie jak w przedstawianiu

systemu

; por. wyja´snienie w odc. 4.3) Dowodzi si˛e

twierdzenia:

∀

(P x

⇒ Bx) ⇒ (∀

P x

⇒ ∀

Bx),

a wi˛ec jego negacj˛e przyjmuje si˛e jako zało˙zenie dowodu
nie wprost, co – zgodnie z

(

∼ ⇒)

– prowadzi do przyj˛ecia

poprzednika implikacji oraz zaprzeczenia jej nast˛epnika;
daje to dwa zało˙zenia naszego dowodu, oznaczone poni˙zej
numerami 1 i 2.

∀

(P x

⇒ Qx)

;

∼ (∀

P x

⇒ ∀

Qx)

;

∀

P x

∼ ∀

P a

∼ Qa

P a

⇒ Qa

∼ P a|Qa

(podwójna kreska oznacza zamkni˛ecie tabeli po wyst ˛

apieniu

sprzeczno´sci). A oto dowód formuły:

∃

∀

Rxy

⇒ ∀

∃

Rxy

5. System zało˙zeniowy GS: tabele analityczne

131

gdzie, dla ustalenia uwagi, mo˙zemy interpretowa´c

Rxy

jako

predykat:

jest liczb ˛

a naturaln ˛

a wi˛eksz ˛

a od

∃

∀

Rxy

;

∼ ∀

∃

Rxy

;

∀

Ray

∼ ∃

Rxb

Rab

∼ Rab

Zbadajmy dowodliwo´s´c formuły b˛ed ˛

acej implikacj ˛

a odwrot-

n ˛

a w stosunku do poprzedniej, mianowicie:

∀

∃

Rxy

⇒ ∃

∀

Rxy.

∀

∃

Rxy

;

∼ ∃

∀

Rxy

;

∃

Rxa

Rba

∼ ∀

Rby

∼ Rbc

Tabela si˛e nie zamyka, bo ˙zeby uzyska´c sprzeczno´s´c (wier-
sza 5 z 4), trzeba by

w 5 zast ˛

api´c przez

, ale, wobec

wyst ˛

apienia

w 4, nie pozwala na to zastrze˙zenie nale˙z ˛

ace

do reguły

(

∼ ∀)

. A zatem formuła okazuje si˛e niedowo-

dliwa. Wida´c to tak˙ze z interpretacji predykatu

jako rela-

cji wi˛ekszo´sci: prawd ˛

a jest, ˙ze w zbiorze liczb naturalnych

dla ka˙zdej liczby istnieje liczba od niej wi˛eksza (poprzed-
nik naszej formuły), nie jest za´s prawd ˛

a, ˙ze istnieje liczba

wi˛eksza od ka˙zdej liczby (nast˛epnik formuły).

Dowód tej samej formuły metod ˛

a wprost podany jest wcze´sniej, w odcinku

4.3 jako przykład

P.5

. Gdy idzie natomiast o wykazanie, ˙ze implikacja od-

wrotna nie jest prawem logiki, metody systemu

nie s ˛

a wystarczaj ˛

ace; tam-

ten system słu˙zy tylko do dowodzenia praw logiki, nie za´s do wykazywania, ˙ze
badana formuła nie jest prawem. Ta mo˙zliwo´s´c rozstrzygania tak˙ze negatyw-
nego stanowi istotny walor tabel analitycznych.

132

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

Metoda tabel analitycznych, maj ˛

aca charakter w pew-

nym sensie syntaktyczny, wzorowany na podej´sciu Hintikki
[1955], dzieli te˙z pewne rysy z metod ˛

a tabel semantycz-

nych Betha [1955]. Tym, co jest im wspólne, jest poszu-
kiwanie

kontrprzykładu

dla dowodzonej formuły: znajdu-

jemy go, gdy si˛e oka˙ze, ˙ze zaprzeczenie danej formuły jest
spełnialne, to znaczy nie prowadzi do sprzeczno´sci. Ró˙zni
je natomiast to, ˙ze reguły tabel analitycznych dotycz ˛

a jedy-

nie opuszczania (stałych logicznych), a tak˙ze to, ˙ze formuły,
które w tabeli analitycznej s ˛

a negacjami, w tabeli seman-

tycznej pisane s ˛

a bez znaku negacji, a za to w osobnej ko-

lumnie zatytułowanej ‘fałsz’; pozostałe formuły wpisuje si˛e
w kolumnie zatytułowanej ‘prawda’. Z faktu posłu˙zenia si˛e
tymi dwoma podstawowymi poj˛eciami semantyki bierze si˛e
termin ‘tabele semantyczne’. Tabela semantyczna si˛e za-
myka, gdy dla ka˙zdej formuły atomowej z jednej kolumny
istnieje równokształtna z ni ˛

a formuła w drugiej kolumnie.

Tabele Betha staj ˛

a si˛e tabelami logiki dialogowej (zob.

ELF,

VII

), gdy terminy semantyczne ‘prawda’ i ‘fałsz’ zast ˛

api si˛e,

odpowiednio, terminami pragmatycznymi ‘teza broniona’,
‘teza zwalczana’; zmiana taka poci ˛

aga za sob ˛

a odpowiedni ˛

modyfikacj˛e reguł, polegaj ˛

ac ˛

a m.in. na doł ˛

aczeniu reguł

okre´slaj ˛

acych struktur˛e dialogu.

5.4. Wnioskowanie a rozumowanie

. Termin ‘wnio-

skowanie’ jest wzi˛ety z potocznego j˛ezyka, co stwarza
pewne problemy znaczeniowe, bo nawet po technicznych
u´sci´sleniach nie da si˛e unikn ˛

a´c wzajemnych oddziaływa´n

sensu technicznego z potocznym.

Do tego dochodzi

obecno´s´c takich terminów jak ‘rozumowanie’, ‘dowodze-
nie’ itp., o których trudno powiedzie´c, czy s ˛

a w polskim

równoznaczne, czy tylko bliskoznaczne, czy pozostaj ˛

a w

jeszcze innym stosunku. A kiedy logicy próbuj ˛

a je u´sci´sli´c

5. System zało˙zeniowy GS: tabele analityczne

133

to pomna˙za to jeszcze ilo´s´c znacze´n, bo przybywa nowych
definicji, a dawne znaczenia nie przestaj ˛

a funkcjonowa´c.

Obecny rozdział swoim tytułem wskazuje na istnienie

pewnego podziału wnioskowa´n, mianowicie podziału na
dedukcyjne i jakie´s inne; w swej za´s tr˛e´sci zajmuje si˛e
wył ˛

acznie wnioskowaniami dedukcyjnymi, co zwalnia od

powtarzania tego przymiotnika za ka˙zdym razem.

Po-

prawnym

wnioskowaniem dedukcyjnym

nazywamy ta-

kie, w którym wniosek wynika logicznie z przesłanek. Do
głównych zada´n logiki predykatów nale˙zy okre´slenie kry-
teriów wynikania logicznego. Jedno z kryteriów posługuje
si˛e poj˛eciem tautologii czyli prawa logiki, drugie poj˛eciem
reguł wnioskowania. Podanie zbioru reguł wnioskowania
wtedy si˛e nadaje na takie kryterium, gdy zostało o danym
zbiorze udowodnione, i˙z jest on

pełny

, co znaczy, ˙ze ka˙zde

zdanie b˛ed ˛

ace prawd ˛

a logiki predykatów da si˛e udowodni´c

przy u˙zyciu reguł z tego zbioru. Dla dyskutowanych tu
zbiorów istniej ˛

a takie dowody.

Istniej ˛

a działy logiki zajmuj ˛

ace si˛e wnioskowaniem in-

nym ni˙z dedukcyjne. Wiele uwagi po´swi˛eca si˛e metodom
wnioskowania, które czyni ˛

a wniosek prawdopodobnym na

podstawie danych przesłanek; nie gwarantuj ˛

a one jednak,

˙ze b˛edzie on napewno prawdziwy, nawet gdy taka pewno´s´c

przysługuje przesłankom. Typowym tego przykładem jest

wnioskowanie indukcyjne

polegaj ˛

ace na tym, ˙ze ze zda´n o

faktach, a wi˛ec odznaczaj ˛

acych si˛e pewno´sci ˛

a, dochodzimy

do hipotez, które s ˛

a tylko prawdopodobne; np. na podsta-

wie wielu obserwacji, ˙ze spo˙zyciu masła towarzyszy wzrost
ilo´sci cholesterolu w organizmie, jaki´s badacz przyjmuje hi-

O próbach takich u´sci´sle´n, podejmowanych przez logików polskich, infor-

muje zwi˛e´zle artykuł ‘Klasyfikacja rozumowa´n’ w MEL.

W sprawie poj˛ecia pełno´sci zob. ELF, XIV. Literatur˛e na temat dowodów

pełno´sci logiki pierwszego rz˛edu podaje ELF, II, odc. 5, a w odniesieniu do
systemu tabel analitycznych ELF, VI, odc. 4.5.

134

V. Logika predykatów jako narz˛edzie wnioskowania dedukcyjnego

potez˛e, ˙ze spo˙zywanie masła jest przyczyn ˛

a wzrostu chole-

sterolu.

Wnioskowanie nazywamy

dowodzeniem

, gdy słu˙zy ono

do wykazania, ˙ze jakie´s zdanie jest twierdzeniem danej teo-
rii, tj. wynika z jej aksjomatów. Kiedy ten sam wniosek
nasunie si˛e spontanicznie, to znaczy jego autor nie stawiał
sobie zadania by znale´z´c dla´n przesłanki i z tych przesłanek
go wywie´s´c, takiemu wnioskowaniu nie przysługuje miano
dowodzenia.

Termin ‘rozumowanie’ jest czasem u˙zywany zamien-

nie ze słowem ‘wnioskowanie’. Znajduje to pokrycie w
fakcie, i˙z zdarza si˛e, ˙ze proces dochodzenia do wniosku
sprowadza si˛e bez reszty do wnioskowania w sensie tego
rozdziału, a wi˛ec do przetwarzania przesłanek we wnio-
sek wedle reguł gwarantuj ˛

acych zachowanie prawdziwo´sci

(o ile przysługuje ona przesłankom). Nie zawsze jednak
przesłanki mamy gotowe, czasem wyst˛epuj ˛

a one jedynie

w postaci niezwerbalizowanej intuicji, i wtedy integraln ˛

cz˛e´sci ˛

a w procesie poszukiwania wniosku staje si˛e tworze-

nie nowych poj˛e´c, lub dopracowanie ju˙z posiadanych, w
celu j˛ezykowego wysłowienia owych intuicji. Takie two-
rzenie lub przetwarzanie poj˛e´c zostało tu nazwane

koncep-

tualizacj ˛

Przygl ˛

adanie si˛e realnie stosowanym argumentom po-

zwala zauwa˙zy´c, ˙ze bł˛edy w dochodzeniu do konkluzji
cz˛e´sciej bior ˛

a si˛e z wadliwej konceptualizacji ni˙z z wadli-

wego wnioskowania. ˙

Zeby móc po´swi˛eci´c konceptualiza-

cji nale˙zyt ˛

a uwag˛e, potrzebujemy takiego terminu, który

obj ˛

ałby swym zakresem zarówno czyste wnioskowania, nie

maj ˛

ace w sobie elementu konceptualizacji, jak i takie pro-

cesy my´slowe, w których wnioskowanie splata si˛e nieroz-
dzielnie z konceptualizacj ˛

a, tak ˙ze opis dochodzenia do

Podstawowe wiadomo´sci o wnioskowaniu indukcyjnym mo˙zna znale´z´c

w ELF, XLV (“Prawdopodobie´nstwo”) i w MEL, art.

“Wnioskowanie

statystyczne”.

5. System zało˙zeniowy GS: tabele analityczne

135

wniosku nie jest mo˙zliwy bez uwzgl˛ednienia czynnika kon-
ceptualizacji. Dla tej klasy nadrz˛ednej został zapropono-
wany w obecnej ksi ˛

a˙zce termin

rozumowanie

. Ostatni jej

rozdział dopełni poprzednich przez analiz˛e tych sposobów
konceptualizacji, które polegaj ˛

a na stosowaniu ró˙znego ro-

dzaju definicji. Niezb˛ednym do tego narz˛edziem b˛edzie
znowu logika predykatów.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
LOGIKA wyklad 5 id 272234 Nieznany
2014 Matura 05 04 2014 odpid 28 Nieznany (2)
Pionowe ogrody jako potencjalna Nieznany
713[05] Z1 03 Wykonywanie izola Nieznany (2)
05 Zas i koszty [tryb zgodnosci Nieznany
05 Culture and cognitionid 5665 Nieznany
BIELACTWO NABYTE JAKO PROBLEM E Nieznany (2)
Cw 05 Pomiar punktu Curie ferro Nieznany
7a Organizowanie jako funkcja z Nieznany (2)
Pomylki sadowe jako przyczyna b Nieznany
05 metoda dobrego startu cwicz Nieznany
logika egzamin id 272077 Nieznany
05 med dosw 4 2013id 5960 Nieznany (2)
predyk id 389034 Nieznany
logika notatki 1 id 272149 Nieznany
05 Dobor nastaw regulatora w ko Nieznany (2)
07 2 Klasyczna logika predykatów cd

więcej podobnych podstron