17

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

I.

Ś

rodek masy układu ciał

Poło

ż

enie

ś

rodka masy opisane jest wektorem:

kˆ

z

jˆ

y

iˆ

x

R

SM

SM

SM

SM

+

+

=

. Dla danego,

nieruchomego układu ciał,

ś

rodek masy znajduje si

ę

zawsze w tym samym miejscu, ale

współrz

ę

dne poło

ż

enia

ś

rodka masy mog

ą

si

ę

zmienia

ć

w zale

ż

no

ś

ci od wybranego układu

współrz

ę

dnych.

W danym układzie współrz

ę

dnych współrz

ę

dne poło

ż

enia

ś

rodka masy oblicza si

ę

w

nast

ę

puj

ą

cy sposób:

...

m

x

m

x

m

x

M

x

3

3

2

2

1

1

SM

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⋅

...

m

y

m

y

m

y

M

y

3

3

2

2

1

1

SM

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⋅

...

m

z

m

z

m

z

M

z

3

3

2

2

1

1

SM

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⋅

gdzie

]

z

,

y

,

x

[

1

1

1

to wektor poło

ż

enia ciała o masie

1

m

,

]

z

,

y

,

x

[

2

2

2

to wektor poło

ż

enia

ciała o masie

2

m

, a

]

z

,

y

,

x

[

3

3

3

to wektor poło

ż

enia ciała o masie

3

m

, natomiast

M

jest

całkowit

ą

mas

ą

układu ciał i

...

m

m

m

M

3

2

1

+

+

+

=

.

Gdy mamy do czynienia nie z ciałami punktowymi, lecz z ciałami o wi

ę

kszych wymiarach,

mo

ż

emy oblicza

ć

współrz

ę

dne

ś

rodka masy tych ciał, je

ś

li tylko znamy współrz

ę

dne

ś

rodków

masy ich elementów.
Np. Wektor poło

ż

enia

ś

rodka masy koła pokazanego na rysunku mo

ż

na

obliczy

ć

ze wzorów:

2

2

SM

1

1

SM

SM

m

x

m

x

M

x

⋅

+

⋅

=

⋅

2

2

SM

1

1

SM

SM

m

y

m

y

M

y

⋅

+

⋅

=

⋅

2

2

SM

1

1

SM

SM

m

z

m

z

M

z

⋅

+

⋅

=

⋅

gdzie

]

z

,

y

,

x

[

1

SM

1

SM

1

SM

oznacza wektor poło

ż

enia

ć

wiartki koła o

masie

1

m

, a

]

z

,

y

,

x

[

2

SM

2

SM

2

SM

oznacza wektor poło

ż

enia

ś

rodka masy pozostałej cz

ęś

ci

koła o masie

2

m

, natomiast M jest mas

ą

całkowit

ą

. Maj

ą

c to na uwadze, mo

ż

na w prosty

sposób oblicza

ć

współrz

ę

dne

ś

rodka masy figur z wyci

ę

ciami.

II.

Zasady dynamiki Newtona. Układ inercjalny.

Siła wypadkowa działaj

ą

ca na ciało jest zawsze wektorow

ą

sum

ą

wszystkich sił działaj

ą

cych na

to ciało:

...

F

F

F

2

1

wyp

+

+

=

Zwykle ró

ż

ne siły działaj

ą

ce na ciało s

ą

przyło

ż

one do ró

ż

nych punktów tego ciała. Pomimo tego

mo

ż

emy je sumowa

ć

, aby w ten sposób otrzyma

ć

sił

ę

wypadkow

ą

działaj

ą

c

ą

na ciało.

Siła jest przyczyn

ą

zmian ruchu, a nie jest przyczyn

ą

samego ruchu, tzn. ciało mo

ż

e si

ę

porusza

ć

nawet, gdy nie działaj

ą

na nie

ż

adne siły.

Blok 3:

Zasady dynamiki Newtona. Siły.

18

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

I zasada dynamiki Newtona

Je

ż

eli na ciało nie działa

ż

adna siła lub działaj

ą

ce siły równowa

żą

si

ę

(czyli ich wypadkowa jest

równa zeru,

0

F

wyp

=

), to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza si

ę

ruchem jednostajnym

prostoliniowym.

Inercjalny układ odniesienia to taki układ, w którym spełniona jest I zasada dynamiki Newtona.
Ka

ż

dy układ inercjalny wzgl

ę

dem ka

ż

dego innego układu inercjalnego porusza si

ę

ruchem

jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku.

II zasada dynamiki Newtona

Je

ż

eli na ciało o masie

m

działa niezrównowa

ż

ona siła zewn

ę

trzna

wyp

F

, to nadaje ona temu

ciału przyspieszenie

a

, zgodnie ze wzorem:

m

F

a

wyp

=

Wypadkowa siła i przyspieszenie ciała maj

ą

ten sam kierunek i zwrot.

Bezpo

ś

rednio z równania wektorowego, nie mo

ż

emy obliczy

ć

ż

adnych wielko

ś

ci algebraicznych.

Dlatego niezb

ę

dna jest zamiana równania wektorowego na równania algebraiczne.

Z jednego równania wektorowego otrzymujemy tyle równa

ń

algebraicznych, ile współrz

ę

dnych

przestrzennych zostało zaanga

ż

owane w zadaniu (czyli najwy

ż

ej trzy).

Aby okre

ś

li

ć

II zasad

ę

dynamiki Newtona dla konkretnego zagadnienia w zadaniu, nie wystarczy

zapisa

ć

:

m

a

F

wyp

⋅

=

; trzeba jawnie wymieni

ć

wszystkie siły składaj

ą

ce si

ę

na sił

ę

wypadkow

ą

.

III zasada dynamiki Newtona

Je

ż

eli ciało A działa na ciało B sił

ą

AB

F

, to ciało B działa na ciało A sił

ą

BA

F

, tak

ą

,

ż

e

BA

AB

F

F

−

=

,

czyli równ

ą

co do warto

ś

ci i maj

ą

c

ą

ten sam kierunek, ale przeciwne zwroty.

Siły

AB

F

i

BA

F

nazywane s

ą

czasem siłami akcji-reakcji i zawsze wyst

ę

puj

ą

parami.

Siły te jednak nigdy nie równowa

żą

si

ę

, poniewa

ż

przyło

ż

one s

ą

do ró

ż

nych ciał.

III.

Trygonometria k

ą

tów ostrych.

Bardzo cz

ę

sto w zadaniach z dynamiki, siły działaj

ą

ce na ciało nie le

żą

na jednej prostej. Aby

zapisa

ć

te równania w postaci algebraicznej, musimy rozło

ż

y

ć

wszystkie siły na składowe (lub

mówi

ą

c inaczej – w wybranym przez nas układzie współrz

ę

dnych obliczy

ć

wszystkie współrz

ę

dne

wszystkich sił). Niezb

ę

dna do tego celu staje si

ę

znajomo

ść

funkcji trygonometrycznych i warto

ś

ci

tych funkcji dla podstawowych (najcz

ęś

ciej wyst

ę

puj

ą

cych w zadaniach) k

ą

tów ostrych.

Funkcje trygonometryczne k

ą

ta ostrego to ilorazy par boków w trójk

ą

cie prostok

ą

tnym. Mo

ż

na

skutecznie nauczy

ć

si

ę

rozró

ż

niania definicji poszczególnych funkcji trygonometrycznych, bez

uczenia si

ę

ich na pami

ęć

, a jedynie zapami

ę

tuj

ą

c trzy reguły dotycz

ą

ce tych ilorazów.

19

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

1. Tylko w definicji funkcji sinus i cosinus w mianowniku pojawia si

ę

długo

ść

przeciwprostok

ą

tnej.

W definicji funkcji tangens i cotangens w mianowniku pojawia si

ę

długo

ść

drugiej

przyprostok

ą

tnej.

2. W liczniku ka

ż

dej funkcji trygonometrycznej znajduje si

ę

długo

ść

jednej z przyprostok

ą

tnych.

3. W licznikach dwóch funkcji co- znajduj

ą

si

ę

długo

ś

ci przyprostok

ą

tnych poło

ż

onych przy k

ą

cie

W licznikach pozostałych dwóch funkcji (sinus i tangens) znajduj

ą

si

ę

długo

ś

ci

przyprostok

ą

tnych poło

ż

onych daleko od k

ą

ta.

T

ę

ostatni

ą

reguł

ą

mo

ż

na zapami

ę

ta

ć

tak

ż

e mnemotechnicznie: litera c znajduje si

ę

blisko

pocz

ą

tku alfabetu, dlatego funkcje cosinus i cotangens maj

ą

w licznikach długo

ś

ci

przyprostok

ą

tnych poło

ż

onych przy k

ą

cie; natomiast litery s i t znajduj

ą

si

ę

daleko od pocz

ą

tku

alfabetu, dlatego funkcje sinus i tangens maj

ą

w licznikach długo

ś

ci przyprostok

ą

tnych

poło

ż

onych z dala od k

ą

ta.

Stosuj

ą

c powy

ż

sze reguły, mo

ż

emy obliczy

ć

funkcje trygonometryczne dwóch k

ą

tów ostrych w

trójk

ą

cie prostok

ą

tnym, w którym długo

ś

ci boków oznaczono symbolami (

przeciwprostok

ą

tna w

kolorze czerwonym

, przyprostok

ą

tne w kolorze czarnym):

k

ą

t

α

k

ą

t

β

20

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

►

Przykład 3.1: Rozkład na składowe siły ci

ęż

ko

ś

ci klocka

znajduj

ą

cego si

ę

na równi.

Zwykle w zadaniu z równi

ą

dany jest k

ą

t nachylenia zbocza równi do

poziomu, jak pokazano na rysunku. Wówczas, chc

ą

c rozpisa

ć

sił

ę

ci

ęż

ko

ś

ci na składowe, musimy znale

źć

ten sam k

ą

t w trójk

ą

cie sił, w

którym

c

F

jest przeciwprostok

ą

tn

ą

, a przyprostok

ą

tnymi s

ą

dwie

składowe siły ci

ęż

ko

ś

ci.

K

ą

t

α

w trójk

ą

cie sił znajdujemy tak, jak pokazano na rysunku. Wektor

czerwony, to składowa siły ci

ęż

ko

ś

ci prostopadła do czerwonej linii

(zbocza równi), a wektor niebieski (siła ci

ęż

ko

ś

ci) to wektor prostopadły do niebieskiej linii

(podstawy równi). Poniewa

ż

k

ą

t

α

znajduje si

ę

pomi

ę

dzy czerwon

ą

a niebiesk

ą

lini

ą

na równi, to

ten sam k

ą

t

α

znajduje si

ę

pomi

ę

dzy czerwonym a niebieskim wektorem w trójk

ą

cie sił.

Składowa oznaczona kolorem czerwonym ma długo

ść

α

=

⊥

cos

mg

F

, a składowa oznaczona

kolorem czarnym – ma długo

ść

α

=

sin

mg

F

||

.

Warto

ś

ci funkcji trygonometrycznych dla podstawowych k

ą

tów nierozwartych mo

ż

na

odtworzy

ć

w tabeli. Wystarczy tylko pami

ę

ta

ć

,

ż

e

0

0

sin

o

=

.

Wypełniamy tabel

ę

dla funkcji sinus, zaczynaj

ą

c od k

ą

ta

o

0

, dla którego wpisujemy

2

0

o

0

sin

=

.

Dla kolejnych k

ą

tów warto

ś

ci funkcji sinus to połówki pierwiastków kolejnych liczb naturalnych:

α

o

0

o

30

o

45

o

60

o

90

sin

α

2

0

2

1

2

2

2

3

2

4

Podobnie zaczynaj

ą

c od k

ą

ta

o

90

wypełniamy tabel

ę

dla wiersza odpowiadaj

ą

cego funkcji

cosinus (bo

2

0

o

90

cos

=

).Kolejne warto

ś

ci połówek pierwiastków kolejnych liczb naturalnych

wpisujemy w lew

ą

stron

ę

.

Korzystaj

ą

c z zale

ż

no

ś

ci:

α

α

=

α

cos

sin

tg

oraz

α

α

=

α

sin

cos

ctg

, wypełniamy cał

ą

tabel

ę

:

α

o

0

o

30

o

45

o

60

o

90

cos

α

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

sin

α

2

0

2

1

2

2

2

3

2

4

tg

α

0

3

3

1

3

-

ctg

α

-

3

1

3

3

0

Czasami pomocne staj

ą

si

ę

wzory to

ż

samo

ś

ci trygonometrycznych, zwanych jedynkami

trygonometrycznymi:

•

1

cos

sin

2

2

=

α

+

α

, dla ka

ż

dego k

ą

ta

α

•

α

=

α

ctg

1

tg

, dla ka

ż

dego k

ą

ta

2

k

π

≠

α

, gdzie

C

k

∈

21

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

IV.

Szczególne siły.

Siła ci

ęż

ko

ś

ci, siła grawitacji oraz ci

ęż

ar

Siły ci

ęż

ko

ś

ci i grawitacji oraz ci

ęż

ar maj

ą

takie same kierunki, zwroty i warto

ś

ci jedynie w

szczególnych przypadkach. Ogólnie nale

ż

y przyj

ąć

,

ż

e nie oznaczaj

ą

tego samego.

Siła grawitacji

)

F

(

g

– jest sił

ą

wyst

ę

puj

ą

c

ą

w prawie powszechnego ci

ąż

enia:

2

g

r

m

M

G

F

⋅

=

.

Siła ci

ęż

ko

ś

ci

)

F

(

c

jest sum

ą

siły grawitacji i siły od

ś

rodkowej (bezwładno

ś

ci) wynikaj

ą

cej z ruchu

Ziemi:

odś

g

c

F

F

F

+

=

; siła ci

ęż

ko

ś

ci równa

g

m

F

c

⋅

=

, gdzie

|

g

|

zale

ż

y od tego, w którym miejscu

na kuli ziemskiej si

ę

znajdujemy.

Ci

ęż

ar ciała

)

Q

(

jest wskazaniem wagi spr

ęż

ynowej, je

ż

eli ciało znajduje si

ę

na podło

ż

u lub

wskazaniem siłomierza, je

ż

eli ciało jest na nim zawieszone. Dla ciała znajduj

ą

cego si

ę

na

podło

ż

u, ci

ęż

ar jest zatem zawsze równy sile nacisku ciała na podło

ż

e (a warto

ść

ci

ęż

aru jest

równa warto

ś

ci siły spr

ęż

ysto

ś

ci podło

ż

a):

N

Q

=

oraz

R

N

−

=

, z czego wynika,

ż

e

|

R

|

|

N

|

|

Q

|

=

=

.

Nazwy tych trzech sił s

ą

cz

ę

sto (nieprawidłowo) stosowane wymiennie, wi

ę

c za ka

ż

dym razem

nale

ż

y zada

ć

pytanie, o któr

ą

sił

ę

tak naprawd

ę

chodzi w danym zagadnieniu.

Siła nacisku


Siła nacisku ciała znajduj

ą

cego si

ę

na podło

ż

u jest sił

ą

przyło

ż

on

ą

do podło

ż

a, a nie do ciała; z

tego wzgl

ę

du nie pojawia si

ę

w równaniach ruchu dla ciał.

Siła nacisku jest skierowana prostopadle do podło

ż

a i zwrócona w stron

ę

podło

ż

a, a jej warto

ść

mo

ż

na obliczy

ć

z równo

ś

ci:

|

R

|

|

N

|

=

, gdzie

R

jest sił

ą

spr

ęż

ysto

ś

ci podło

ż

a, przyło

ż

on

ą

do ciała.

Siły: nacisku ciała na podło

ż

e i spr

ęż

ysto

ś

ci podło

ż

a s

ą

siłami akcji-reakcji, czyli siłami

wzajemnego oddziaływania, wynikaj

ą

cego z III zasady dynamiki Newtona.

Siła tarcia

Tarcie jest sił

ą

wyst

ę

puj

ą

c

ą

pomi

ę

dzy dwoma stykaj

ą

cymi si

ę

ciałami, b

ę

d

ą

c

ą

skutkiem

oddziaływania mi

ę

dzy cz

ą

steczkami dwóch materiałów, z których te ciała s

ą

wykonane.

Tarcie jest sił

ą

równoległ

ą

do granicz

ą

cych ze sob

ą

powierzchni obu ciał.

W przybli

ż

eniu mo

ż

emy traktowa

ć

tarcie jako sił

ę

o warto

ś

ci niezale

ż

nej od pola powierzchni

tr

ą

cych ciał.

Siły tarcia zawsze wyst

ę

puj

ą

parami jako siły akcji i reakcji: je

ż

eli np. podło

ż

e działa sił

ą

tarcia na

ciało na nim si

ę

znajduj

ą

ce, to tak

ż

e ciało działa na podło

ż

e sił

ą

tarcia o takiej samej warto

ś

ci i

kierunku, ale przeciwnym zwrocie.
W zadaniach jednak bardzo rzadko korzystamy z tej własno

ś

ci, poniewa

ż

bardzo rzadko pojawiaj

ą

si

ę

zagadnienia, w których nale

ż

y rozwa

ż

y

ć

jednocze

ś

nie ruch obu tr

ą

cych o siebie ciał.

Dlatego w dalszej cz

ęś

ci b

ę

dziemy mówi

ć

wył

ą

cznie o tarciu, jako sile przyło

ż

onej do ciała

przyci

ś

ni

ę

tego do jakiej

ś

powierzchni.

22

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Rozró

ż

niamy dwa rodzaje tarcie: tarcie statyczne i tarcie kinetyczne.

Tarcie statyczne istnieje mi

ę

dzy ciałem a powierzchni

ą

, z któr

ą

si

ę

ono styka (ciało spoczywa na

tym podło

ż

u lub jest przyci

ś

ni

ę

te do powierzchni), ale tylko wtedy, gdy do ciała zostanie

przyło

ż

ona siła, która mogłaby je wprawi

ć

w ruch (gdyby tarcia statycznego nie było). Mo

ż

na

powiedzie

ć

,

ż

e tarcie statyczne pojawia si

ę

jako odpowied

ź

na przyło

ż

on

ą

sił

ę

zewn

ę

trzn

ą

, która

nie jest prostopadła do podło

ż

a.

Tarcia statycznego prawie nigdy nie mo

ż

na obliczy

ć

ze wzoru, bowiem jego warto

ść

za ka

ż

dym

razem dostosowuje si

ę

do warto

ś

ci składowej siły zewn

ę

trznej równoległej do powierzchni styku.

Istnieje jednak pewna warto

ść

graniczna tego tarcia – tzw. maksymalne tarcie statyczne. Je

ś

li

warto

ść

składowej siły zewn

ę

trznej równoległej do powierzchni tr

ą

cych ciał przekroczy

maksymaln

ą

warto

ść

siły tarcia statycznego, ciało zostanie wprawione w ruch.

Maksymaln

ą

warto

ść

siły tarcia statycznego obliczamy ze wzoru:

N

T

s

max

s

µ

=

, gdzie

s

µ

jest

współczynnikiem tarcia statycznego, charakterystycznym dla pary materiałów, z których wykonane
s

ą

tr

ą

ce o siebie ciała;

N

- jest warto

ś

ci

ą

siły nacisku ciała na powierzchni

ę

, z któr

ą

si

ę

styka.

Z praktycznych wzgl

ę

dów wzór ten jest jednak bezu

ż

yteczny, poniewa

ż

w równaniach ruchu ciała

pró

ż

no by szuka

ć

warto

ś

ci siły nacisku (przyło

ż

onej do podło

ż

a). Dlatego bardziej praktyczny jest

wzór:

R

T

s

max

s

µ

=

, gdzie

R

jest warto

ś

ci

ą

siły reakcji (spr

ęż

ysto

ś

ci) podło

ż

a (powierzchni, do

której ciało jest przyciskane).

Tarcie kinetyczne istnieje mi

ę

dzy ciałem a powierzchni

ą

, z któr

ą

si

ę

ono styka wtedy, gdy ciało

porusza si

ę

wzgl

ę

dem tej powierzchni.

Tarcie kinetyczne mo

ż

na zawsze obliczy

ć

ze wzoru:

N

T

k

k

µ

=

, gdzie

k

µ

jest współczynnikiem

tarcia kinetycznego, charakterystycznym dla pary materiałów, z których wykonane s

ą

tr

ą

ce o

siebie ciała;

N

- jest warto

ś

ci

ą

siły nacisku ciała na powierzchni

ę

, z któr

ą

si

ę

styka.

Jednak z powodów praktycznych wyja

ś

nionych powy

ż

ej dla tarcia statycznego, warto

ść

tarcia

kinetycznego obliczamy ze wzoru:

R

T

k

k

µ

=

, gdzie

R

jest warto

ś

ci

ą

siły reakcji (spr

ęż

ysto

ś

ci)

podło

ż

a (powierzchni, do której ciało jest przyciskane).

Dla małych szybko

ś

ci ciał warto

ść

współczynnika tarcia kinetycznego ( a tym samym warto

ść

samego tarcia) jest niezale

ż

na od szybko

ś

ci, z jak

ą

ciało porusza si

ę

wzgl

ę

dem powierzchni

tr

ą

cej.

Naci

ą

g nici

Siła naci

ą

gu nici niespr

ęż

ystej to siła, z jak

ą

ni

ć

jest napinana. Siła ta co do warto

ś

ci jest równa

sile spr

ęż

ysto

ś

ci, z jak

ą

ni

ć

działa na przyczepione do niej ciało.

Naci

ą

g nici jest jednakowy wzdłu

ż

całej nici. Jest on liczbowo równy sile, któr

ą

wskazałby

siłomierz, gdyby

ś

my ni

ć

rozci

ę

li i wstawili go w miejscu rozci

ę

cia.

Je

ż

eli rozpatrujemy układ ciał poł

ą

czonych niewa

ż

k

ą

i nierozci

ą

gliw

ą

nici

ą

, to siła spr

ęż

ysto

ś

ci nici

jest jedn

ą

z sił składowych siły wypadkowej działaj

ą

cej na pojedyncze ciało, czyli wchodzi do II

zasady dynamiki Newtona dla pojedynczego ciała. Nie uwzgl

ę

dnia si

ę

jej jednak, je

ś

li

rozpatrujemy układ jako cało

ść

i wypisujemy II zasad

ę

dynamiki Newtona dla całego układu,

poniewa

ż

wówczas wyst

ę

puje ona jako siła wewn

ę

trzna w tym układzie.

23

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

V.

Kinematyka i dynamika ruchu po okr

ę

gu.

Ruch po okr

ę

gu jest ruchem post

ę

powym, krzywoliniowym.

W ruchu tym oprócz pr

ę

dko

ś

ci chwilowej

v

, przemieszczenia

r

∆

, drogi

s

i szybko

ś

ci

u

,

definiuje si

ę

tak

ż

e wielko

ś

ci zwi

ą

zane z periodyczno

ś

ci

ą

tego ruchu:

•

okres ruchu

T

jest to czas, w jakim ciało przeb

ę

dzie drog

ę

równ

ą

długo

ś

ci całego okr

ę

gu

i wróci do punktu startu

•

cz

ę

stotliwo

ść

f

jest to liczba

n

pełnych obiegów okr

ę

gu wykonanych w pewnym

czasie

t

:

t

n

f

=

; cz

ę

stotliwo

ść

wyra

ż

a si

ę

w hercach:

s

1

1

Hz

1

=

; cz

ę

stotliwo

ść

mo

ż

na

wyrazi

ć

za pomoc

ą

okresu:

T

1

f

=

Mo

ż

na tak

ż

e zdefiniowa

ć

wielko

ś

ci k

ą

towe:

•

k

ą

t zakre

ś

lony

α

∆

przez ciało, wyra

ż

ony w mierze łukowej

(w radianach)

•

szybko

ść

k

ą

tow

ą

,

ω

jako

t

∆

α

∆

=

ω

, gdzie

α

∆

jest k

ą

tem

wyra

ż

onym w mierze łukowej (w radianach), zakre

ś

lonym

przez ciało w czasie

t

∆

•

przyspieszenie k

ą

towe

ε

, wyra

ż

one jako

t

∆

ω

∆

=

ε

W ruchu tym ciało uzyskuje przyspieszenie

a

o dwóch prostopadłych do siebie składowych:

•

przyspieszenie do

ś

rodkowe:

d

a

zwrócone stale wzdłu

ż

promienia do

ś

rodka okr

ę

gu;

przyspieszenie to ma warto

ść

r

v

a

2

d

=

, gdzie

v

jest warto

ś

ci

ą

chwilowej pr

ę

dko

ś

ci ciała, a

r

- promieniem okr

ę

gu; przyspieszenie

do

ś

rodkowe wyst

ę

puje zawsze wtedy, gdy ruch jest krzywoliniowy,

nawet, je

ś

li jest jednostajny (czyli warto

ść

pr

ę

dko

ś

ci ciała pozostaje

stała)

•

przyspieszenie styczne:

s

a

, stale styczne do okr

ę

gu;

przyspieszenie to ma warto

ść

t

v

a

s

∆

∆

=

, gdzie v jest warto

ś

ci

ą

pr

ę

dko

ś

ci ciała; przyspieszenie styczne wyst

ę

puje tylko wtedy, gdy

szybko

ść

ciała w ruchu po okr

ę

gu zmienia si

ę

(czyli zmienia si

ę

warto

ść

pr

ę

dko

ś

ci ciała).

Pomi

ę

dzy wielko

ś

ciami k

ą

towymi i liniowymi wyst

ę

puj

ą

zwi

ą

zki:

wielko

ść

liniowa

wielko

ść

k

ą

towa zwi

ą

zek

s

α

∆

r

s

⋅

α

∆

=

v

ω

r

v

⋅

ω

=

s

a

ε

r

a

s

⋅

ε

=

24

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Siła do

ś

rodkowa nie jest jedn

ą

z sił działaj

ą

cych na ciało. Siła do

ś

rodkowa jest prostopadł

ą

do

toru składow

ą

siły wypadkowej działaj

ą

cej na ciało poruszaj

ą

ce si

ę

po okr

ę

gu. Siła do

ś

rodkowa

jest zatem równoległa do linii ł

ą

cz

ą

cej

ś

rodek okr

ę

gu i punkt, w którym znajduje si

ę

ciało i

zawsze jest zwrócona do

ś

rodka okr

ę

gu, a jej warto

ść

wyra

ż

a si

ę

wzorem:

r

v

m

a

m

F

2

d

d

=

⋅

=

.

W ruchu jednostajnym po okr

ę

gu siła do

ś

rodkowa jest dokładnie równa sile wypadkowej

działaj

ą

cej na ciało.