10

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

I.

Odczytywanie informacji z wykresu – co tak naprawd

ę

na nim si

ę

znajduje.

Chc

ą

c odczyta

ć

informacje z wykresu funkcji, musimy dokładnie wiedzie

ć

, jaka wielko

ść

fizyczna

została na nim przedstawiona. W przypadku wykresów wielko

ś

ci skalarnych nie ma

ż

adnych

w

ą

tpliwo

ś

ci (np. wykres szybko

ś

ci od czasu, wykres temperatury w zale

ż

no

ś

ci od gł

ę

boko

ś

ci itp.).

Sprawa komplikuje si

ę

jednak w przypadku wykresów zwi

ą

zanych z wielko

ś

ciami wektorowymi,

poniewa

ż

czasami informacja podana w zadaniu jest niejednoznaczna.

Nie mo

ż

na narysowa

ć

wykresu funkcji wektora (np. od czasu, odległo

ś

ci itd.). Mo

ż

na jedynie

narysowa

ć

wykres zale

ż

no

ś

ci warto

ś

ci wektora (np. od czasu, odległo

ś

ci itd.) lub wykresy

zale

ż

no

ś

ci poszczególnych współrz

ę

dnych wektora (np. od czasu, odległo

ś

ci itd.)

Cz

ę

sto – zarówno w zadaniach, jak i na wykładach - stosowany jest jednak skrót my

ś

lowy – mówi

si

ę

na przykład „na rysunku przedstawiono wykres pr

ę

dko

ś

ci od czasu”, co literalnie nie mo

ż

e by

ć

prawd

ą

. Nale

ż

y wówczas zada

ć

sobie pytanie, co tak naprawd

ę

zostało przedstawione na

wykresie.

►

Przykład 2.1: „Wykres pr

ę

dko

ś

ci ciała w ruchu

prostoliniowym przedstawiony został na rysunku:”

Analiza: Skoro rozwa

ż

any ruch jest prostoliniowy, to

znaczy,

ż

e odbywa si

ę

po linii prostej, z któr

ą

mo

ż

emy

zwi

ą

za

ć

jedn

ą

o

ś

układu współrz

ę

dnych, np. o

ś

OX.

Poniewa

ż

cz

ęść

wykresu

)

t

(

v

znajduje si

ę

poni

ż

ej osi

czasu, oznacza to,

ż

e

0

)

t

(

v

<

(w przedziale czasu,

2

t

∆

: (2 s; 3,5 s)). Nie mo

ż

e zatem by

ć

to wykres

warto

ś

ci pr

ę

dko

ś

ci ciała (warto

ść

wektora jest zawsze

wielko

ś

ci

ą

nieujemn

ą

). Zatem wykres przedstawia

zale

ż

no

ść

współrz

ę

dnej pr

ę

dko

ś

ci ciała od czasu.

►

Przykład 2.2: „Wykres pr

ę

dko

ś

ci ciała w ruchu

prostoliniowym przedstawiony został na rysunku:”

Analiza: Skoro rozwa

ż

any ruch jest prostoliniowy, to

znaczy,

ż

e odbywa si

ę

po linii prostej, z któr

ą

mo

ż

emy

zwi

ą

za

ć

jedn

ą

o

ś

układu współrz

ę

dnych, np. o

ś

OX.

Wykres

)

t

(

v

w cało

ś

ci le

ż

y powy

ż

ej osi czasu (co

oznacza,

ż

e

0

)

t

(

v

>

przez cały czas trwania ruchu),

dlatego z cał

ą

pewno

ś

ci

ą

mo

ż

na stwierdzi

ć

,

ż

e jest to

wykres warto

ś

ci pr

ę

dko

ś

ci tego ciała. Bez

dodatkowych informacji o zwrocie pr

ę

dko

ś

ci nie mo

ż

na

jednak stwierdzi

ć

jednoznacznie, czy jest to tak

ż

e

wykres współrz

ę

dnej pr

ę

dko

ś

ci tego ciała, czy te

ż

nie. Istniej

ą

bowiem przynajmniej dwie

mo

ż

liwo

ś

ci – odpowiadaj

ą

ce im wykresy współrz

ę

dnych pr

ę

dko

ś

ci przedstawiono poni

ż

ej:

Blok 2:

Zale

ż

no

ść

funkcyjna wielko

ś

ci fizycznych

11

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

gdy ciało porusza si

ę

przez cały czas

gdy ciało porusza si

ę

przez cały czas w stron

ę

zgodnie ze zwrotem wybranej osi OX

przeciwn

ą

do zwrotu wybranej osi OX

►

Przykład 2.3: „Wykres pr

ę

dko

ś

ci ciała

przedstawiony został na rysunku:”

Analiza: Poniewa

ż

nie posiadamy informacji, czy

ruch jest prostoliniowy, musimy zakłada

ć

,

ż

e jest on

krzywoliniowy.
Poniewa

ż

cz

ęść

wykresu

)

t

(

v

znajduje si

ę

poni

ż

ej

osi czasu, oznacza to,

ż

e

0

)

t

(

v

<

(w przedziale

czasu,

2

t

∆

: (2 s; 3,5 s)). Nie mo

ż

e zatem by

ć

to

wykres warto

ś

ci pr

ę

dko

ś

ci ciała (warto

ść

wektora

jest zawsze wielko

ś

ci

ą

nieujemn

ą

). Zatem wykres

przedstawia zale

ż

no

ść

jednej ze współrz

ę

dnych pr

ę

dko

ś

ci ciała od czasu.

►

Przykład 2.4: „Wykres pr

ę

dko

ś

ci ciała

przedstawiony został na rysunku:”

Analiza: Poniewa

ż

nie posiadamy informacji, czy

ruch jest prostoliniowy, musimy zakłada

ć

,

ż

e jest on

krzywoliniowy.
Wykres

)

t

(

v

w cało

ś

ci le

ż

y powy

ż

ej osi czasu (co

oznacza,

ż

e

0

)

t

(

v

>

przez cały czas trwania

ruchu), dlatego z cał

ą

pewno

ś

ci

ą

mo

ż

na stwierdzi

ć

,

ż

e jest to wykres warto

ś

ci pr

ę

dko

ś

ci tego ciała.

By

ć

mo

ż

e wykres przedstawia tak

ż

e zale

ż

no

ść

jednej ze współrz

ę

dnych pr

ę

dko

ś

ci ciała od czasu,

ale aby to stwierdzi

ć

, potrzebne s

ą

dodatkowe informacje (kierunek i zwrot pr

ę

dko

ś

ci).

Mo

ż

na dowiedzie

ć

si

ę

, jaka jest zale

ż

no

ść

całego wektora (od zmiennej niezale

ż

nej, np.

od czasu), ale tylko wtedy, gdy poznamy wykresy zale

ż

no

ś

ci wszystkich jego

współrz

ę

dnych (od tej samej zmiennej niezale

ż

nej, np. od czasu).

12

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

II.

Odczytywanie informacji z wykresu – analiza wykresu.

1. Z wykresów współrz

ę

dnych wektorów mo

ż

na odczyta

ć

, w któr

ą

stron

ę

zwrócona jest

odpowiednia składowa wektora.

►

Przykład 2.5:

Na wykresie zale

ż

no

ś

ci iksowej

współrz

ę

dnej pr

ę

dko

ś

ci od czasu, wida

ć

,

ż

e w

przedziale czasu

1

t

∆

:

(0 s; 2 s) współrz

ę

dna ta jest dodatnia (tzn.

)

0

)

t

(

v

x

>

,

sk

ą

d wnioskujemy,

ż

e w czasie

1

t

∆

iksowa składowa

pr

ę

dko

ś

ci jest zwrócona zgodnie ze zwrotem osi OX. Na

tym samym wykresie, w przedziale czasu

2

t

∆

: (2 s; 3,5

s) iksowa współrz

ę

dna pr

ę

dko

ś

ci jest ujemna

(

)

0

)

t

(

v

x

<

), sk

ą

d wiadomo,

ż

e w czasie

2

t

∆

iksowa

składowa pr

ę

dko

ś

ci jest zwrócona przeciwnie do zwrotu

osi OX.

2. Z wykresów zale

ż

no

ś

ci jednej wielko

ś

ci fizycznej od zmiennej niezale

ż

nej (np. czasu) mo

ż

na

cz

ę

sto obliczy

ć

inne wielko

ś

ci fizyczne.

•

Wykres przedstawia zale

ż

no

ść

wielko

ś

ci fizycznej

Γ

od zmiennej niezale

ż

nej

Ψ

, czyli

)

(

Ψ

Γ

, a my poszukujemy funkcji

)

(

Ψ

Θ

, przy czym wiemy,

ż

e

)

(

Ψ

Θ

jest pochodn

ą

funkcji

)

(

Ψ

Γ

po

Ψ

(czyli

Ψ

Ψ

Γ

=

Ψ

Γ

=

Ψ

Θ

d

)

(

d

)

(

'

)

(

). Wówczas szukana

)

(

Ψ

Θ

jest

funkcj

ą

tangens k

ą

ta nachylenia stycznej do wykresu

)

(

Ψ

Γ

do osi C, obliczan

ą

w

ka

ż

dym punkcie

Ψ

.

Wersja bez pochodnych: Wykres przedstawia zale

ż

no

ść

wielko

ś

ci fizycznej Z od zmiennej

niezale

ż

nej J, czyli Z(J), przy czym Z jest podawane w jednostkach fizycznych (z), a J w

jednostkach fizycznych (j). Je

ż

eli poszukujemy zale

ż

no

ś

ci wielko

ś

ci fizycznej W(J), której

jednostk

ą

jest

)

(

j

z

, to W(J) jest równe tangensowi k

ą

ta nachylenia stycznej do wykresu Z(J)

do osi J, obliczanej w ka

ż

dym punkcie J.

►

Przykład 2.6: Wykres współrz

ę

dnej pr

ę

dko

ś

ci ciała został

przedstawiony na rysunku. Narysuj zale

ż

no

ść

współrz

ę

dnej

przyspieszenia tego ciała od czasu.

Wiemy,

ż

e

( )

[

]

'

t

v

a

x

x

=

, czyli iksowa współrz

ę

dna

przyspieszenia ciała jest pochodn

ą

funkcji iksowej

współrz

ę

dnej pr

ę

dko

ś

ci tego ciała po czasie.

Albo mówi

ą

c inaczej:

0

t

x

x

t

v

a

→

∆













∆

∆

=

, co potwierdza równo

ść

jednostek po obu stronach równania:















=













s

s

m

s

m

2

.

13

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Zatem współrz

ę

dna przyspieszenia ciała jest równa tangensowi k

ą

ta nachylenia stycznej do

wykresu

)

t

(

v

x

. W podanym przykładzie:

2

s

m

2

s

m

2

4

x

2

)

t

(

a

−

=

−

=

(i jest akurat funkcj

ą

stał

ą

).

•

Wykres przedstawia zale

ż

no

ść

wielko

ś

ci fizycznej

Γ

od zmiennej niezale

ż

nej

Ψ

, czyli

)

(

Ψ

Γ

, a my poszukujemy funkcji

)

(

Ψ

Θ

, przy czym wiemy,

ż

e

)

(

Ψ

Θ

jest całk

ą

funkcji

)

(

Ψ

Γ

po

Ψ

d

(czyli

Ψ

Ψ

Γ

=

Ψ

Θ

∫

d

)

(

)

(

). Wówczas szukana

)

(

Ψ

Θ

jest równa sumie

pól figur zawartych pomi

ę

dzy wykresem

)

(

Ψ

Γ

a osi

ą

Ψ

; przy czym pola figur

znajduj

ą

cych si

ę

powy

ż

ej osi

Ψ

s

ą

w tej sumie uwzgl

ę

dniane ze znakiem „+”, a pola

figur znajduj

ą

cych si

ę

poni

ż

ej osi

Ψ

s

ą

w tej sumie uwzgl

ę

dniane ze znakiem „-”.

•

Wersja bez całek: Wykres przedstawia zale

ż

no

ść

wielko

ś

ci fizycznej Z od zmiennej

niezale

ż

nej J, czyli Z(J), przy czym Z jest podawane w jednostkach fizycznych (z), a J w

jednostkach fizycznych (j). Je

ż

eli poszukujemy zale

ż

no

ś

ci wielko

ś

ci fizycznej W(J),

której jednostk

ą

jest

( )

j

z

⋅

, to W(J) jest równe sumie pól figur zawartych pomi

ę

dzy

wykresem Z(J) a osi

ą

J; przy czym pola figur znajduj

ą

cych si

ę

powy

ż

ej osi J s

ą

w tej

sumie uwzgl

ę

dniane ze znakiem „+”, a pola figur znajduj

ą

cych si

ę

poni

ż

ej osi

Ψ

s

ą

w

tej sumie uwzgl

ę

dniane ze znakiem „-”.

►

Przykład 2.7: Wykres iksowej współrz

ę

dnej pr

ę

dko

ś

ci

ciała został przedstawiony na rysunku. Narysuj zale

ż

no

ść

współrz

ę

dnej przemieszczenia tego ciała od czasu.

Wiemy,

ż

e

dt

)

t

(

dx

)

t

(

v

x

=

, czyli funkcja iksowej

współrz

ę

dnej pr

ę

dko

ś

ci ciała jest pochodn

ą

funkcji iksowej

współrz

ę

dnej poło

ż

enia tego ciała po czasie. St

ą

d

zale

ż

no

ść

iksowej współrz

ę

dnej przemieszczenia od

czasu jest całk

ą

:

∫

⋅

=

∆

dt

)

t

(

v

)

t

(

x

x

.

Albo mówi

ą

c inaczej:

[

]

0

t

x

t

)

t

(

v

x

→

∆

∆

⋅

=

∆

, co potwierdza równo

ść

jednostek po obu stronach równania:

( )

)

s

(

)

m

(

s

m

⋅

=

.

Zatem współrz

ę

dna przemieszczenia ciała po czasie

s

5

,

3

t

1

=

∆

, licz

ą

c od pocz

ą

tku ruchu, jest

równa sumie pól

1

P

i

2

P

−

zawartych pomi

ę

dzy wykresem funkcji

)

t

(

v

x

, a osi

ą

czasu. Jak wida

ć

pole

1

P

wstawiamy do tej sumy ze znakiem „+” (bo ta figura le

ż

y powy

ż

ej osi czasu), a pole

2

P

-

ze znakiem „-” (bo ta figura le

ż

y poni

ż

ej osi czasu). W podanym przykładzie:

m

5

,

2

s

5

,

1

2

s

2

4

)

t

(

x

s

m

2

1

s

m

2

1

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

∆

14

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

III.

Matematyczny opis ruchu prostoliniowego.

W wielu zadaniach mamy do czynienia albo z ruchem jednostajnym, albo z ruchem jednostajnie
zmiennym.

•

Ruch jednostajny to taki ruch, w którym warto

ść

pr

ę

dko

ś

ci ciała pozostaje stała podczas

całego ruchu, czyli

const

|

v

|

=

.

Je

ś

li dodatkowo ruch ten odbywa si

ę

po linii prostej (ruch jednostajny prostoliniowy),

opisywany jest przez par

ę

równa

ń

:

○

t

v

x

x

0

⋅

+

=

- wektor poło

ż

enia tego ciała (

0

x

oznacza pocz

ą

tkowe poło

ż

enie ciała)

○

const

v

=

- wektor pr

ę

dko

ś

ci tego ciała

•

Ruch jednostajnie zmienny oznacza,

ż

e warto

ść

przyspieszenia ciała pozostaje stała

podczas całego ruchu, czyli

const

|

a

|

=

.

Je

ś

li dodatkowo ruch ten odbywa si

ę

po linii prostej (ruch prostoliniowy jednostajnie

zmienny), opisywany jest przez par

ę

równa

ń

:

○

2

x

2

1

x

0

0

t

a

t

v

x

x

⋅

+

⋅

+

=

- wektor poło

ż

enia tego ciała (

0

x

oznacza pocz

ą

tkowe

poło

ż

enie ciała,

0

v

oznacza pocz

ą

tkow

ą

pr

ę

dko

ść

ciała)

○

t

a

v

v

x

x

0

⋅

+

=

- wektor pr

ę

dko

ś

ci tego ciała

Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony to taki ruch, w którym pr

ę

dko

ść

ciała i

jego przyspieszenie maj

ą

ten sam zwrot (czyli ich współrz

ę

dne maj

ą

te same znaki).

Wówczas kinematyczne równania ruchu we współrz

ę

dnych maj

ą

posta

ć

:

○

2

x

2

1

x

0

0

t

|

a

|

t

|

v

|

x

x

⋅

+

⋅

+

=

- iksowa współrz

ę

dna poło

ż

enia tego ciała

○

t

|

a

|

|

v

|

v

x

x

0

x

⋅

+

=

- iksowa współrz

ę

dna pr

ę

dko

ś

ci tego ciała

Ruch prostoliniowy jednostajnie opó

ź

niony to taki ruch, w którym pr

ę

dko

ść

ciała i jego

przyspieszenie maj

ą

przeciwne zwroty (czyli ich współrz

ę

dne maj

ą

przeciwne znaki).

Wówczas kinematyczne równania ruchu we współrz

ę

dnych maj

ą

posta

ć

:

○

2

x

2

1

x

0

0

t

|

a

|

t

|

v

|

x

x

⋅

−

⋅

+

=

- iksowa współrz

ę

dna poło

ż

enia tego ciała

○

t

|

a

|

|

v

|

v

x

x

0

x

⋅

−

=

- iksowa współrz

ę

dna pr

ę

dko

ś

ci tego ciała

Stwierdzenie,

ż

e w ruchu przyspieszonym przyspieszenie jest dodatnie, a w ruchu

opó

ź

nionym – ujemne jest bł

ę

dne, gdy

ż

to nie wektor, ale jego składowe maj

ą

przypisane

znaki; sam wektor nie ma okre

ś

lonego znaku.

Niepoprawne jest równie

ż

stwierdzenie,

ż

e warto

ść

przyspieszenia w tych ruchach jest

odpowiednio: dodatnia lub ujemna, gdy

ż

warto

ść

dowolnego wektora jest liczb

ą

nieujemn

ą

.

Nie jest tak

ż

e w ogólno

ś

ci prawd

ą

,

ż

e w ruchu przyspieszonym prostoliniowym

współrz

ę

dna przyspieszenia jest dodatnia, a w ruchu prostoliniowym opó

ź

nionym –

ujemna, bo to zale

ż

y od wyboru zwrotu osi układu współrz

ę

dnych.

15

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

IV.

Składanie ruchów – rzuty.

Spadek swobodny, rzut pionowy, rzut poziomy i uko

ś

ny s

ą

przykładami ruchów odbywaj

ą

cych si

ę

ze stałym przyspieszeniem, w płaszczy

ź

nie pionowej.

Spadek swobodny i rzut pionowy s

ą

ruchami, które mo

ż

na opisa

ć

w jednym wymiarze

( w kierunku pionowym), natomiast rzut poziomy i rzut uko

ś

ny to ruchy, do których opisu

potrzebne s

ą

dwa wymiary.

We wszystkich przypadkach poni

ż

ej układy współrz

ę

dnych zostały tak wybrane, aby o

ś

pionowa była osi

ą

OY. Wówczas przyspieszenie ziemskie,

g

jest równoległe do tej osi.

Nale

ż

y jednak zwróci

ć

uwag

ę

na to,

ż

e zwrot osi OY jest dobierany w zale

ż

no

ś

ci od

rozwa

ż

anego przypadku.

1. Spadek swobodny i rzut pionowy s

ą

ruchami prostoliniowymi jednostajnie zmiennymi,

opisywanymi układem równa

ń

wektorowych:









⋅

+

=

⋅

+

⋅

+

=

t

g

v

v

t

g

t

v

y

y

y

0

y

2

2

1

y

0

0

,

gdzie

0

y

- pocz

ą

tkowe poło

ż

enie ciała na osi pionowej,

y

0

v

- pocz

ą

tkowa pr

ę

dko

ść

ciała,

g

-

przyspieszenie ciała. S

ą

to równania ogólne, z których wyprowadza si

ę

nast

ę

pnie równania

współrz

ę

dnych, uwzgl

ę

dniaj

ą

c szczegóły konkretnych ruchów oraz zwrot osi OY obranego

wcze

ś

niej przez nas układu współrz

ę

dnych. I tak:

Spadek swobodny - we współrz

ę

dnych:









⋅

=

⋅

+

=

t

|

g

|

v

t

|

g

|

|

y

|

y

y

2

2

1

0

- przy tak wybranym układzie współrz

ę

dnych:

Rzut pionowy - we współrz

ę

dnych:









⋅

−

=

⋅

−

⋅

+

=

t

|

g

|

|

v

|

v

t

|

g

|

t

|

v

|

|

y

|

y

y

0

y

2

2

1

y

0

0

- przy tak wybranym układzie współrz

ę

dnych:

2. Rzut poziomy i uko

ś

ny mo

ż

na rozpatrywa

ć

jako zło

ż

enie dwóch, odbywaj

ą

cych si

ę

równocze

ś

nie ruchów: jednostajnego wzdłu

ż

osi poziomej (osi OX) i jednostajnie zmiennego

wzdłu

ż

osi pionowej (osi OY).

Ruch jednostajny wzdłu

ż

osi OX odbywa si

ę

ze stał

ą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

x

0

v

i opisywany jest równaniami

wektorowymi:

t

v

x

x

x

0

0

⋅

+

=

i

x

0

x

v

v

=

.

16

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Ruch jednostajnie zmienny wzdłu

ż

osi OY odbywa si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

pocz

ą

tkow

ą

y

0

v

i

przyspieszeniem

g

, i opisywany równaniami wektorowymi:









⋅

+

=

⋅

+

⋅

+

=

t

g

v

v

t

g

t

v

y

y

y

0

y

2

2

1

y

0

0

Rzut poziomy - we współrz

ę

dnych:









⋅

=

⋅

+

=

t

|

g

|

v

t

|

g

|

|

y

|

y

y

2

2

1

0

t

v

x

x

x

0

0

⋅

+

=

i

x

0

x

v

v

=

- przy tak wybranym układzie współrz

ę

dnych:

Rzut uko

ś

ny – we współrz

ę

dnych:









⋅

−

=

⋅

−

⋅

+

=

t

|

g

|

|

v

|

v

t

|

g

|

t

|

v

|

|

y

|

y

y

0

y

2

2

1

y

0

0

t

v

x

x

x

0

0

⋅

+

=

i

x

0

x

v

v

=

,

gdzie

α

⋅

=

cos

|

v

|

|

v

|

0

x

0

α

⋅

=

sin

|

v

|

|

v

|

0

y

0

- przy tak wybranym układzie współrz

ę

dnych:

Je

ż

eli mo

ż

na pomin

ąć

opory ruchu, to czas wznoszenia ciała na maksymaln

ą

wysoko

ść

równy

jest czasowi opadania (w rzucie pionowym w gór

ę

, w rzucie uko

ś

nym).