Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej

Teoria sterowania

Transmitancja operatorowa

Mirosław Tomera

1. WPROWADZENIE

Pierwszym ważnym krokiem w analizowaniu i projektowaniu układów sterowania jest modelowanie
matematyczne sterowanych procesów. Najpierw powinien zostać zdefiniowany zbiór zmiennych,
które określają właściwości dynamiczne procesu. Dla przykładu można rozważyć silnik używany w
układach sterowania. Można przyjąć jako zmienne procesu zastosowane napięcie, prąd przepływający
przez uzwojenia, moment na wale, kąt obrotu i prędkość obrotową wału. Zmienne te powiązane są ze
sobą poprzez ustalone prawa fizyczne, które prowadzą do równań matematycznych opisujących
dynamikę silnika. Zależnie od warunków operacyjnych silnika jak również od tego na co podczas
modelowania kładzie się największy nacisk, równania opisujące układ mogą być liniowe lub
nieliniowe, stacjonarne lub niestacjonarne.

Prawa fizyczne określające zasady działania układu w rzeczywistości mogą okazać się bardzo

złożone i charakterystyki opisujące w sposób realistyczny zachowanie układu mogą wymagać
nieliniowych i niestacjonarnych równań, które później będzie bardzo trudno rozwiązać. W praktyce,
w celu zastosowania pewny narzędzi analizy i projektowania układów sterowania, czynione są dla
układów fizycznych, tam gdziekolwiek jest to możliwe, założenia i aproksymacje, tak aby układy te
mogły być analizowane przy użyciu teorii dotyczącej układów liniowych. Są dwa sposoby
linearyzowania układów. W pierwszym bierze się pod uwagę to, że w niektórych przypadkach układ
jest w zasadzie liniowy lub pracuje w obszarze liniowym tak, że większość warunków liniowości jest
spełniona. W drugim, układ jest w zasadzie nieliniowy lub pracuje w obszarze nieliniowym i aby
można było zastosować liniowe narzędzia projektowania i analizy, linearyzuje się układ w pobliżu
znamionowego punktu pracy. Oczywiście, taka analiza może być prowadzona tylko w takim zakresie
w którym linearyzacja zmiennych jest prawdziwa.

2. ODPOWIEDŹ IMPULSOWA I TRANSMITANCJA UKŁADÓW LINIOWYCH

Klasycznym sposobem modelowania układów liniowych jest zastosowanie transmitancji
operatorowej do opisu zależności pomiędzy zmiennymi wejściowymi i wyjściowymi. Jednym ze
sposobów definiowania transmitancji jest zastosowanie odpowiedzi impulsowej.

2.1. ODPOWIEDŹ IMPULSOWA
Układ liniowy, stacjonarny mający wejście u(t) i wyjście y(t) może być scharakteryzowany przez jego
odpowiedź impulsową g(t), która definiuje przebieg czasowy wyjścia, gdy na wejście podany zostanie
jednostkowy sygnał impulsowy

δ

(t). Odpowiedź impulsowa może również zostać wyznaczona na

podstawie transmitancji operatorowej poprzez zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a.

g(t) =

£

−

1

{G(s)}

(1)

Teoria sterowania

Transmitancja operatorowa

Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

2

2.2. TRANSMITANCJA OPERATOROWA
Transmitancja liniowego układu stacjonarnego definiowana jest jako transformata Laplace'a
odpowiedzi impulsowej ze wszystkimi warunkami początkowymi równymi zero. Niech G(s) oznacza
transmitancję układu z pojedynczym wejściem u(t) i wyjściem y(t), g(t) natomiast odpowiedź
impulsową, wówczas transmitancję G(s) definiuje się jako

G(s) =

£

( )

{ }

t

g

(2)

Transmitancja operatorowa G(s) najczęściej wyrażana jest przy użyciu transformaty Laplace'a wejścia
i wyjścia poprzez następującą zależność:

)

(s

G

=

)

(

)

(

s

U

s

Y

(3)

ze wszystkimi warunkami początkowymi równymi zero, Y(s) oraz U(s) są transformatami Laplace'a
odpowiednio y(t) oraz u(t).

Chociaż transmitancja operatorowa układów liniowych definiowana jest w zależności od

odpowiedzi impulsowej to w praktyce, zależność pomiędzy wejściem a wyjściem dla układów
liniowych stacjonarnych z wejściem ciągłym (analogowym) często opisywana jest przez równanie
różniczkowe, dlatego też bardziej wygodne jest wyprowadzanie transmitancji z równań
różniczkowych. Przyjmując, że zależność pomiędzy wejściem a wyjściem liniowych układów
stacjonarnych opisana jest przez następujące równanie różniczkowe n-tego rzędu o stałych
współczynnikach:

+

+

−

−

−

1

1

1

)

(

)

(

n

n

n

n

n

dt

t

y

d

a

dt

t

y

d

...

)

(

)

(

0

1

t

y

a

dt

t

dy

a

+

+

=

+

+

−

−

−

1

1

1

)

(

)

(

m

m

m

m

m

m

dt

t

u

d

b

dt

t

u

d

b

...

)

(

)

(

0

1

t

u

b

dt

t

du

b

+

+

(4)

gdzie współczynniki

0

a

,

1

a

,...,

1

−

n

a

oraz

0

b

,

1

b

,...,

m

b

są stałymi rzeczywistymi. Dla pewnego

sygnału wejściowego u(t) w czasie

0

t

t

≥

i pewnych warunków początkowych

(

)

0

t

t

y

=

oraz

warunków początkowych jej pochodnych określonych w czasie początkowym

0

t

t

=

; odpowiedź

wyjściowa y(t) w czasie

0

t

t

≥

wyznaczana jest przez rozwiązanie równania (4). Jednak z punktu

widzenia analizy i projektowania układów liniowych, metoda korzystająca z równań różniczkowych
jest dość niewygodna. Równania różniczkowe w postaci opisanej wzorem (4) są rzadko używane do
analizy i projektowania układów sterowania. Chociaż istnieje wydajne oprogramowanie komputerowe
do rozwiązywania równań różniczkowych wysokiego rzędu to jednak podstawowa filozofia stosowana
w teorii liniowych układach sterowania mówi, że należy rozwijać te narzędzia do analizy
i projektowania, które dają dokładne rozwiązania równań różniczkowych układu. Od zasady tej
odstępuje się wówczas gdy rozwiązania uzyskiwane są przy użyciu symulacji komputerowych, które
służą do ostatecznej prezentacji lub weryfikacji uzyskanego projektu układu sterowania. W klasycznej
teorii sterowania, nawet symulacje komputerowe są wykonywane częściej przy użyciu transmitancji,
niż równań różniczkowych.

Aby uzyskać transmitancję dla układu liniowego, który opisany jest przez równanie (4),

dokonuje się transformaty Laplace'a na obu stronach równania przy założeniu zerowych warunków
początkowych. W wyniku tego uzyskuje się

(

)

(

)

)

(

)

(

0

1

1

1

0

1

1

1

s

U

b

s

b

s

a

s

b

s

Y

a

s

a

s

a

s

m

m

m

m

n

n

n

⋅

+

+

+

+

=

⋅

+

+

+

+

−

−

−

−

!

!

(5)

Transmitancja pomiędzy u(t) oraz y(t) dana jest przez zależność

0

1

1

1

0

1

1

1

)

(

)

(

)

(

a

s

a

s

a

s

b

s

b

s

a

s

b

s

U

s

Y

s

G

n

n

n

m

m

m

m

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

−

−

−

−

!

!

(6)

Teoria sterowania

Transmitancja operatorowa

Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

3

Przykład 1

Rozważmy następujące równanie różniczkowe

2

2

dt

y

d

+ 6

dt

dy

+ 8y(t) =

−

dt

du

+ 5u

(1.1)

Dokonując transformacji operatorowej z zerowymi warunkami początkowymi

s

2

Y(s) + 6sY(s) + 8Y(s) =

−

sU(s) + 5U(s)

(1.2)

i przekształcając równanie (1.2), uzyskuje się

)

(s

G

=

)

(

)

(

s

U

s

Y

=

8

6

5

2

+

+

+

−

s

s

s

(1.3)

Własności transformaty streszczone mogą zostać następująco:

1. Transmitancja operatorowa definiowana jest tylko dla układów liniowych stacjonarnych. Nie

może zostać zdefiniowana dla układów nieliniowych.

2. Transmitancja pomiędzy zmienną wejściową i zmienną wyjściową układu, definiowana jest

jako transformata Laplace'a odpowiedzi impulsowej. Innym sposobem wyznaczania
transmitancji jest wyznaczenie ilorazu transformaty Laplace'a wyjścia do transformaty
Laplace'a wejścia.

3. Wszystkie warunki początkowe układu są zbiorem zerowym.
4. Transmitancja nie zależy od rodzaju sygnału wejściowego.
5. Transmitancja operatorowa układu ciągłego jest wyrażana tylko i wyłącznie jako funkcja

operatorowa zmiennej zespolonej s. Nie jest to funkcja zmiennej rzeczywistej, czasu ani
żadnej innej zmiennej, która używana byłaby jako zmienna niezależna

Transmitancja właściwa. Transmitancja opisana równaniem (6) nazywana jest ściśle właściwą jeśli
rząd wielomianu mianownika jest większy od rzędu wielomianu licznika (tzn. n > m). Jeśli n = m,
transmitancja nazywana jest właściwą. Transmitancja jest niewłaściwa jeśli n < m.

Równanie charakterystyczne. Równanie charakterystyczne układu liniowego jest definiowane jako
równanie uzyskane poprzez przyrównanie wielomianu mianownika transmitancji do zera. Z równania
(6), równanie charakterystyczne układu opisanego przez równanie (4) jest następujące

0

0

1

1

1

=

+

+

+

+

−

−

a

s

a

s

a

s

n

n

n

!

(7)

Stabilność układów z pojedynczym wejściem i wyjściem określona jest wystarczająco poprzez
pierwiastki równania charakterystycznego.

3. SKŁADNIKI ODPOWIEDZI IMPULSOWEJ UKŁADU

Poniżej przedstawiona została analiza wpływu położenia pierwiastków równania charakterystycznego
na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s, na przebieg odpowiedzi impulsowej. Rozważone zostały dwa
przypadki: z pojedynczym i podwójnymi biegunami znajdującymi się w dowolnym miejscu na
płaszczyźnie zmiennej zespolonej s.

3.1. ODPOWIEDZI IMPULSOWE Z POJEDYNCZYMI BIEGUNAMI

Ogólna postać transmitancji układu z pojedynczym biegunem

s

=

σ

+ j

ω

znajdującym się

w dowolnym miejscu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej opisana jest wzorem

Teoria sterowania

Transmitancja operatorowa

Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

4

)

(s

G

=

(

)

(

)

ω

σ

ω

σ

θ

θ

j

s

Ae

j

s

Ae

j

j

−

−

+

+

−

−

2

1

2

1

=

1

1

s

s

r

−

+

2

2

s

s

r

−

(8)

której odpowiada odpowiedź impulsowa postaci

)

(t

g

=

(

)

θ

ω

σ

+

t

Ae

t

cos

(9)

Amplituda odpowiedzi w chwili t = 0 oraz przesunięcie fazowe

θ

zależą od wartości residuów funkcji

(8). Zakładając, że residua

1

r

oraz

2

r

(wzór 8) są równe

1

r

=

2

r

= 1, wówczas funkcja ta upraszcza

się do postaci:

)

(s

G

=

(

)

2

2

ω

σ

σ

+

−

−

s

s

(10)

której to odpowiada odpowiedź impulsowa

)

(t

g

=

t

e

t

ω

σ

cos

(11)

3.1.1. Pojedynczy biegun znajdujący się na osi liczb rzeczywistych

Biegun znajduje się na osi liczb rzeczywistych czyli ma tylko składową rzeczywistą

σ

i wówczas

równania (10) oraz (11) upraszczają się do postaci

Funkcja operatorowa

Odpowiedź impulsowa

)

(s

G

=

σ

−

s

1

)

(t

g

=

t

e

σ

Na rysunku 1 znajdują się przykładowe wykresy czasowe odpowiedzi impulsowych pojedynczego
bieguna znajdującego się na osi liczb rzeczywistych.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t [s]

g(t)

Odpowiedzi impulsowe pojedynczego bieguna z osi liczb rzeczywistych

σ = 0.5

σ = 1

σ = 0

σ = −0.5

σ = −5

Rys. 1. Odpowiedzi impulsowe układu z pojedynczym biegunem znajdującym się na osi liczb rzeczywistych

Teoria sterowania

Transmitancja operatorowa

Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

5

3.1.2. Para pojedynczych biegunów znajdujących się na osi liczb urojonych

Para pojedynczych biegunów sprzężonych znajdująca się na osi liczb urojonych ma tylko składową
urojoną i wówczas równania (10) oraz (11) upraszczają się do postaci

Funkcja operatorowa

Odpowiedź impulsowa

)

(s

G

=

2

2

ω

−

s

s

)

(t

g

=

t

ω

cos

Na rysunku 2 znajdują się przykładowe wykresy czasowe odpowiedzi impulsowych pary
pojedynczych biegunów znajdujących się na osi liczb rzeczywistych.

0

5

10

15

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t [s]

g(t)

Odpowiedzi impulsowe pojedynczych biegunów z osi urojonych

2

π

ω

ω

=

0.5

ω

=

5

Rys. 2. Odpowiedzi impulsowe układu z pojedynczymi biegunami znajdującymi się na osi liczb urojonych

3.1.3. Para pojedynczych biegunów sprzężonych

Bieguny sprzężone znajdują się w dowolnym punkcie na płaszczyźnie (poza osiami)

Funkcja operatorowa

Odpowiedź impulsowa

)

(s

G

=

(

)

2

2

ω

σ

σ

+

−

−

s

s

)

(t

g

=

t

e

t

ω

σ

cos

Na rysunku 3 znajduje się przykładowa odpowiedź impulsowa bieguna znajdującegoi się w lewej
półpłaszczyźnie, natomiast na rysunku 4 w prawej półpłaszczyźnie.

Teoria sterowania

Transmitancja operatorowa

Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

6

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s]

g(t)

Odpowiedź impulsowa pojedynczego bieguna s = -1 + j5

exp

(

σ

t

)

cos

ω

t

Rys. 3. Przykładowa odpowiedź impulsowa układu z pojedynczymi biegunami sprzężonymi znajdującymi się

w lewej półpłaszczyźnie

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

-15

-10

-5

0

5

10

15

t [s]

g(t)

Odpowiedź impulsowa pojedynczego bieguna s = 0.5 + j5

exp

(

σ

t

)

cos

ω

t

Rys. 4. Przykładowa odpowiedź impulsowa układu z pojedynczymi biegunami sprzężonymi znajdującymi się

w prawej półpłaszczyźnie

3.2. ODPOWIEDZI IMPULSOWE Z PODWÓJNYMI BIEGUNAMI

Przy badaniu wpływu położenia podwójnych biegunów

s

= (

σ

+ j

ω

)

2

na odpowiedź impulsową

rozważona zostanie funkcja operatorowa (3) podniesiona do drugiej potęgi

Teoria sterowania

Transmitancja operatorowa

Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

7

)

(s

G

=

(

)

2

2

2

















+

−

−

ω

σ

σ

s

s

(12)

Postać ogólna odpowiedzi impulsowej funkcji operatorowej (12)

)

(t

g

=

t

te

t

e

t

t

ω

ω

ω

σ

σ

cos

2

1

sin

2

1

+

−

(13)

3.2.1. Podwójny biegun znajdujący się na osi liczb rzeczywistych

Podwójny biegun znajduje się na osi liczb rzeczywistych czyli ma tylko składową rzeczywistą

σ

Funkcja operatorowa

Odpowiedź impulsowa

)

(s

G

=

(

)

2

1

σ

−

s

)

(t

g

=

t

te

σ

Przykładowe odpowiedzi impulsowe podwójnych biegunów znajdujących się na osi liczb
rzeczywistych w lewej półpłaszczyźnie znajdują się na rysunku 5, natomiast z prawej półpłaszczyźny
na rysunku 6.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

t [s]

g(t)

Odpowiedzi impulsowe podwójnych biegunów

σ = −1

σ = − 5

σ = − 0.5

Rys. 5. Przykładowe odpowiedzi impulsowe układu z biegunami znajdującymi się na osi liczb rzeczywistych

w lewej półpłaszczyźnie

Teoria sterowania

Transmitancja operatorowa

Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

8

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

t [s]

g(t)

Odpowiedzi impulsowe podwójnych biegunów z osi liczb rzeczywistych

σ = 1

σ = 0.5

Rys. 6. Przykładowe odpowiedzi impulsowe układu z biegunami znajdującymi się na osi liczb rzeczywistych

w prawej półpłaszczyźnie

3.2.2. Podwójny biegun znajdujący się na osi liczb urojonych

Podwójne bieguny sprzężone znajdujące się na osi liczb urojonych mają tylko składową urojoną
i wówczas równania (12) oraz (13) upraszczają się do postaci

Funkcja operatorowa

Odpowiedź impulsowa

)

(s

G

=

(

)

2

2

2

2

ω

+

s

s

)

(t

g

=

t

t

t

ω

ω

ω

cos

2

1

sin

2

1

+

−

Odpowiedź impulsowa podwójnego bieguna znajdującego się w początku układu współrzędnych
znajduje się na rysunku 7.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t [s]

g(t)

Odpowiedź impulsowa podwójnych biegunów

Rys. 7. Odpowiedź impulsowa układu z podwójnym biegunem znajdującym się w punkcie zero

Teoria sterowania

Transmitancja operatorowa

Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

t [s]

g(t)

Odpowiedzi impulsowe podwójnych biegunów z osi liczb urojonych

ω

= 5

ω

= 0.5

Rys. 8. Przykładowe odpowiedzi impulsowe układu z podwójnymi biegunami znajdującymi się na osi urojonych

3.2.3. Podwójne bieguny znajdujące się w dowolnym punkcie na płaszczyźnie s

Podwójne bieguny sprzężone znajdują się w dowolnym punkcie na płaszczyźnie (poza osiami)

Funkcja operatorowa

Odpowiedź impulsowa

)

(s

G

=

(

)

2

2

2

















+

−

−

ω

σ

σ

s

s

)

(t

g

=

t

te

t

e

t

t

ω

ω

ω

σ

σ

cos

2

1

sin

2

1

+

−

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s]

g(t)

Odpowiedzi impulsowe podwójnych biegunów s = -0.5 + j5

Odpowiedź impulsowa

podwojnego bieguna

σ

= -5

Rys. 9. Przykładowe odpowiedzi impulsowe układu z podwójnymi biegunami sprzężonymi znajdującymi się

w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s

Teoria sterowania

Transmitancja operatorowa

Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1000

-500

0

500

1000

1500

t [s]

g(t)

Odpowiedzi impulsowe podwójnych biegunów s = 0.5 + j 5

Odpowiedź impulsowa

podwojnego bieguna

σ

= 0.5

(linią przerywaną zaznaczono odpowiedź impulsową podwójnego bieguna s = 0.5 podzieloną przez dwa)

Rys. 10. Przykładowe odpowiedzi impulsowe układu z podwójnymi biegunami sprzężonymi znajdującymi się

w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s

4. WYZNACZANIE ZER I BIEGUNÓW TRANSMITANCJI PRZY UŻYCIU MATLABA

Biblioteka M

ATLABA

zawiera funkcję umożliwiającą wyznaczanie zer i biegunów funkcji

operatorowej G(s)

[z, p, k] = tf2zp( num, den)

Przykład 2

Rozważona zostanie następująca transmitancja

s

s

s

s

s

s

s

M

s

L

s

G

48

44

12

12

16

4

)

(

)

(

)

(

2

3

4

2

+

+

+

+

+

=

=

=

den

num

Aby wyznaczyć zera (z) i bieguny (p) oraz wzmocnienie (K) należy wpisać następujące linie
programu M

ATLABA

>>

num = [0 0 4 16 12];

>>

den = [1 12 44 48 0];

>>

[z, p, k] = tf2zp( num, den)

wówczas uzyska się następujący wynik

z =
-3
-1

p =
0
-6.0000
-4.0000
-2.0000

Teoria sterowania

Transmitancja operatorowa

Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

11

k =
[]

W wyniku tych obliczeń uzyskane zostały następujące wartości:

(

)( )

(

)(

)(

)

2

4

6

1

3

4

48

44

12

12

16

4

)

(

)

(

)

(

2

3

4

2

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

=

=

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

M

s

L

s

G

den

num

Jeśli dane są wartości położeń zer i biegunów oraz wzmocnienia K, wówczas następujący zapis
w języku Matlaba daje wartości współczynników ilorazu wielomianów num/den.

>>

z = [-1; -3];

>>

p = [0; -2; -4; -6];

>>

K = 4;

>>

[num, den] = zp2tf( z, p, K)

>>

printsys( num, den, 's')

uzyskany wynik

num/den =

4 s^2 + 16 s + 12
----------------------------
s^4 + 12 s^3 + 44 s^2 + 48 s

ZAGADNIENIA KONTROLNE

1. Zdefiniuj transmitancję operatorową układu liniowego stacjonarnego w zależności od jego

odpowiedzi impulsowej.

2. Kiedy transmitancja operatorowa wyznaczana jest z równania różniczkowego to co się dzieje

z warunkami początkowymi ?

3. Na podstawie transmitancji zdefiniuj równanie charakterystyczne układu liniowego.

ĆWICZENIA

C1.

Dla poniższych równań różniczkowych opisujących układy liniowe stacjonarne, gdzie r(t)

oznacza wejście, a y(t) wyjście. Znajdź transmitancję Y(s)/R(s) dla każdego układu.

a)

)

(

6

)

(

3

)

(

6

)

(

5

)

(

2

)

(

2

2

3

3

t

r

dt

t

dr

t

y

dt

t

dy

dt

t

y

d

dt

t

y

d

+

=

+

+

+

b)

dt

t

dr

t

y

dt

t

dy

dt

t

y

d

dt

t

y

d

)

(

5

)

(

5

)

(

)

(

10

)

(

2

2

4

4

=

+

+

+

c)

( )

)

(

2

)

(

2

)

(

)

(

2

)

(

10

)

(

0

2

2

3

3

t

r

dt

t

dr

d

y

t

y

dt

t

dy

dt

t

y

d

dt

t

y

d

t

+

=

+

+

+

+

∫

τ

τ

d)

( )

1

2

)

(

)

(

5

)

(

)

(

2

2

2

−

+

=

+

+

t

r

t

r

t

y

dt

t

dy

dt

t

y

d

Teoria sterowania

Transmitancja operatorowa

Ostatnia aktualizacja: 03-10-23



M. Tomera

12

C2.

Dla transmitancji wyznaczonych w ćwiczeniu C1 znajdź zera i bieguny przy użyciu funkcji

M

ATLABA

ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ

C1.

a)

6

5

2

1

3

)

(

)

(

)

(

2

3

+

+

+

+

=

=

s

s

s

s

s

R

s

Y

s

G

d)

5

2

2

1

)

(

)

(

)

(

2

+

+

+

=

=

−

s

s

e

s

R

s

Y

s

G

τ

LITERATURA

1. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A. Feedback Control of Dynamic Systems.

Addison-Wesley Publishing Company, 1986

2. Hostetter G.H., Savant C.J., Stefani R.T. Design of Feedback Control Systems, Saunders

College Publishing, 1989