Sławomir Kulesza

[e-mail]

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów (5)

Wykład dla studentów I roku (N)SMU WMiI

Specjalność: Techniki multimedialne

1 (42)

Własności splotu sygnałów

W przypadku układów LTI, odpowiedź na pobudzenie będące kombinacją

przesuniętych impulsów jednostkowych:

x [n]=

∑

k =−∞

∞

x [k ]⋅[n−k ]

wyraża się w postaci splotu:

2 (42)

y [n]=T 

∑

k =−∞

∞

x [k ]⋅[n−k ]=

∑

k =−∞

∞

x [ k ]⋅h[n−k ]=x [n]∗h[n]

Obliczanie splotu metodą słupkową

Obliczenia splotu sygnałów można wykonać metodą słupkową podobną do

wykorzystywanej przy klasycznym mnożeniu dwóch liczb:

g[n]

g[0].

g[1]

g[2]

h[n]

h[-1]

h[0].

h[1]

g[0]h[1] g[1]h[1] g[2]h[1]

g[0]h[0] g[1]h[0] g[2]h[0]

g[0]h[-1] g[1]h[-1] g[2]h[-1]

y[n]

y[-1]

y[0].

y[1]

y[2]

y[3]

3 (42)

Przemienność splotu

Operacja splotu jest przemienna (komutatywna) w znaczeniu takim, że jej wynik

nie zależy od tego, który z ciągów wejściowych jest zawijany i przesuwany:

y [n]=

∑

k =−∞

∞

x [ k ]⋅h[n−k ]=x [n]∗h[n]

Dokonajmy zamiany indeksów: m = n – k:

y [n]=

∑

m=−∞

∞

x [n−m]⋅h[m]

Ale indeks m jest niemy, wiec możemy go zastąpić ponownie indeksem k:

y [n]=

∑

k =−∞

∞

x [ n−k ]⋅h[ k ]=h[n]∗x [n]

Otrzymaliśmy wyrażenie, w którym odpowiedź impulsowa jest niezmieniona,

natomiast zawijane i przesuwane jest pobudzenie układu, co dowodzi

przemienności splotu.

4 (42)

Konsekwencje przemienności splotu

Dowiedliśmy, że splot jest przemienny, tzn.:

x [n]∗h[n]=h[n]∗x [n]

Z punktu widzenia układów LTI, przemienność splotu oznacza, że możliwa jest

zamiana ról pobudzenia x[n] oraz odpowiedzi impulsowej h[n]:

5 (42)

Łączność splotu

Splot jest operacją łączną, co oznacza, że:



x [n]∗h

1

[

n]



∗

h

2

[

n]=x [ n]∗



h

1

[

n]∗h

2

[

n]



Z fizycznego punktu widzenia oznacza to, że odpowiedź układu h

1

[n] jest

pobudzeniem układu h

2

[n] dołączonego do niego w szereg lub – równoważnie –

pobudzenie x[n] jest doprowadzane do układu o odpowiedzi impulsowej

h[n] = h

1

[n] * h

2

[n]. Co więcej, z uwagi na przemienność splotu możliwa jest

zamiana kolejności układów w kaskadzie:

6 (42)

Rozdzielność splotu

Splot sygnałów jest operacją rozdzielną względem dodawania:

x [n]∗



h

1

[

n]h

2

[

n]



=

x [n]∗h

1

[

n]x [ n]∗h

2

[

n]

Oznacza to, że jeśli mamy dwa układy LTI o odpowiedziach impulsowych h

1

[n]

oraz h

2

[n] pobudzane tym samym sygnałem x[n], to suma ich odpowiedzi jest

równa odpowiedzi jednego układu o odpowiedzi impulsowej h[n] = h

1

[n] + h

2

[n].

Widać zatem, że wypadkowy układ powstaje przez równoległe połączenie dwóch

układów składowych.

7 (42)

Przyczynowe układy LTI

Układ jest przyczynowy, gdy jego odpowiedź y[n] zależy wyłącznie od bieżącej

i poprzednich próbek pobudzenia: y[n

0

] = f (x[n], n ≤ n

0

).

Niech dany jest układ, którego odpowiedź w chwili n = n

0

opisuje splot:

y [n

0

]=

∑

k =−∞

∞

x [k ]⋅h[n

0

−

k ]

Rozdzielmy splot na dwie części, z których jedna zawiera przeszłe i bieżące

próbki pobudzenia, natomiast druga – wyłącznie próbki przyszłe:

y [n

0

]=

∑

k=0

∞

x [ k ]⋅h[n

0

−

k ]

∑

k=−∞

−

1

x [k ]⋅h[ n

0

−

k ]=...



h0⋅x n

0



h1⋅x n

0

−

1...







h−1⋅x n

0



1h−2⋅x n

0



2...



8 (42)

Z uwagi na przyczynowość układu, wartość odpowiedzi dla n = n

0

musi zależeć

wyłącznie od bieżącej i przeszłych wartości próbek, skąd wynika, że wyrażenie

w drugim nawiasie musi być równe zero. Jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy:

∀

nn

0

hn=0

Ponieważ jednak h[n] jest odpowiedzią układu LTI na pobudzenie impulsem

jednostkowym dla n = 0, powyższy warunek jest koniecznym i wystarczającym dla

określenia przyczynowości układu.

Układ LTI jest przyczynowy wtedy i tylko wtedy, gdy jego odpowiedź

Układ LTI jest przyczynowy wtedy i tylko wtedy, gdy jego odpowiedź

impulsowa h[n] jest równa zero dla ujemnych wartości n.

impulsowa h[n] jest równa zero dla ujemnych wartości n.

9 (42)

Odpowiedź układu przyczynowego

Ponieważ dla układów przyczynowych h[n<0] = 0, granice sumowania splotu

ulegają jednostronnemu zawężeniu:

y [n]=

∑

k =0

∞

h[k ]⋅x [n−k ]=

∑

k =−∞

n

x [ k ]⋅h[n−k ]

Jeśli dodatkowo pobudzenie przyczynowego układu LTI będzie także ciągiem

przyczynowym (x[n<0] = 0), to granice obliczania splotu zostaną zawężone

obustronnie:

y [n]=

∑

k =0

n

h[k ]⋅x [n−k ]=

∑

k =0

n

x [k ]⋅h[n−k ]

Odpowiedź układu przyczynowego na przyczynowe pobudzenie jest również

ciągiem przyczynowym.

10 (42)

Stabilność układów LTI

Wprowadzona wcześniej definicja stabilności w sensie BIBO stwierdza, iż układ

jest stabilny, jeśli ograniczone (w sensie amplitudy) pobudzenie zawsze generuje

ograniczoną odpowiedź:

∀

n

∃

M

x

, M

y



∣

x [n]∣≤ M

x

∞



⇒



∣

y [n]∣≤ M

y

∞



Sprawdźmy, jakie konsekwencje dla charakterystyki układu LTI będzie miała

definicja stabilności. Obliczmy wartość bezwzględną splotu:

∣

y [n]∣=

∣

∑

k =−∞

∞

h[ k ]⋅x [n−k ]

∣

≤

∑

k =−∞

∞

∣

h[ k ]∣⋅∣x [n−k ]∣

Skoro pobudzenie jest ograniczone, to:

∣

y [n]∣≤ M

x

⋅

∑

k =−∞

∞

∣

h[ k ]∣

11 (42)

Kryterium stabilności układów LTI

Odpowiedź układu LTI na ograniczone pobudzenie jest ciągiem:

∣

y [n]∣≤ M

x

⋅

∑

k =−∞

∞

∣

h[ k ]∣

Aby układ był stabilny, odpowiedź również musi być ograniczona, co jest

prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy:

∑

k=−∞

∞

∣

h[k ]∣∞

Układ LTI jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego odpowiedź impulsowa

Układ LTI jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego odpowiedź impulsowa

jest ciągiem bezwzględnie sumowalnym.

jest ciągiem bezwzględnie sumowalnym.

12 (42)

Skończony czas odpowiedzi stabilnych układów LTI

Warunek, aby odpowiedź impulsowa h[n] była bezwzględnie sumowalna oznacza,

że jej wartości muszą w nieskończoności zbiegać do zera:

lim

n  ∞

h[ n]=0

Konsekwencją tego faktu jest zbieżność do zera także odpowiedzi y[n] układu

wtedy, gdy pobudzenie jest skończone (x[n>n

0

] = 0). Aby to sprawdzić załóżmy,

że:

∣

x [nn

0

]∣

M

x

x [n≥n

0

]=

0

13 (42)

Wówczas odpowiedź układu dla n = n

0

+ N:

y [n

0



N ]=

∑

k=−∞

N −1

h[k ]⋅x [n

0



N −k ]

∑

k= N

∞

h[k ]⋅x [n

0



N −k ]=...

...

∑

k= N

∞

h[k ]⋅x [n

0



N −k ]

Wartość bezwzględna odpowiedzi wynosi:

∣

y [n

0



N ]

∣

=

∣

∑

k= N

∞

h[ k ]⋅x [n

0



N −k ]

∣

≤

∑

k =N

∞

∣

h[ k ]∣⋅∣x [n

0



N −k ]∣≤...

...≤M

x

⋅

∑

k =N

∞

∣

h[ k ]∣

14 (42)

Skoro jednak odpowiedź impulsowa jest zbieżna do zera:

lim

N ∞

∑

k =N

∞

∣

h[k ]∣=0

Oznacza to, że i odpowiedź układu jest zbieżna do zera:

lim

N ∞

∣

y [n

0



N ]∣≤ lim

N  ∞

M

x

⋅

∑

k= N

∞

∣

h[ k ]∣=0

Powyższy wynik oznacza, że dowolne skończone (w sensie czasu trwania)

Powyższy wynik oznacza, że dowolne skończone (w sensie czasu trwania)

pobudzenie stabilnego układu LTI generuje odpowiedź z natury

pobudzenie stabilnego układu LTI generuje odpowiedź z natury

niestacjonarną, tzn. taką, której amplituda z czasem zbiega do zera.

niestacjonarną, tzn. taką, której amplituda z czasem zbiega do zera.

15 (42)

Ex.: Wyznaczyć obszar stabilności z uwagi na wartość parametru a układu LTI

o odpowiedzi impulsowej:

h[n]=a

n

⋅

u[n]

Zauważmy najpierw, iż układ jest przyczynowy, stąd też warunek bezwzględnej

sumowalności odpowiedzi impulsowej wyraża się następująco:

∑

k=0

∞

∣

a

k

∣=

∑

k =0

∞

∣

a∣

k

=

1∣a∣∣a∣

2



...

Powyższy szereg geometryczny jest zbieżny dla |a| < 1:

∑

k=0

∞

∣

a∣

k

=

1

1−∣a∣

W przypadku, gdy |a| ≥ 1, szereg jest rozbieżny. Stąd też, układ jest stabilny

wtedy, gdy |a| < 1, oraz jest niestabilny, gdy |a| ≥ 1.

16 (42)

Ex.: Wyznaczyć obszar stabilności z uwagi na wartość parametrów a oraz b

układu LTI o odpowiedzi impulsowej:

h[n]=a

n

⋅

u[n]b

n

⋅

u[−n−1]

Powyższy układ jest nieprzyczynowy, stąd warunek stabilności przyjmuje postać:

∑

k=−∞

∞

∣

h[k ]∣=

∑

k=−∞

−

1

∣

b

k

∣

∑

k=0

∞

∣

a

k

∣=

∑

k =−∞

−

1

∣

b∣

k



∑

k =0

∞

∣

a∣

k

=

...

Zajmijmy sie chwilowo zbieżnością pierwszego szeregu:

∑

k=−∞

−

1

∣

b∣

k

=

...∣b∣

−

2

∣

b∣

−

1

=

1

∣

b∣



1

∣

b∣

2



...=

1

∣

b∣

⋅



1

1

∣

b∣



...



=

...

...=

1

∣

b∣

⋅

1

1−

1

∣

b∣

Szereg pierwszy jest zbieżny, gdy |b| > 1, zaś drugi, gdy |a| < 1. Wynika stąd, że

układ jest stabilny, gdy jednocześnie |a| < 1 oraz |b| > 1.

17 (42)

Układy o skończonej i nieskończonej odpowiedzi impulsowej

Dotychczas układy LTI klasyfikowane były z uwagi na postać odpowiedzi

impulsowej h[n]. Wygodnie jest jednak wprowadzić sobie dodatkowy podział

układów LTI uwzględniający długość odpowiedzi impulsowej:

–

układy o skończonej odp. impulsowej (Finite Impulse Response – FIR),

–

układy o nieskończonej odp. impulsowej (Infinite Impulse Response – IIR).

18 (42)

Układy FIR

Układy FIR cechuje odpowiedź impulsowa o skończonym czasie trwania, tzn.

równa zero poza skończonym przedziałem czasu. Bez utraty ogólności rozważań

można analizować wyłącznie przyczynowe układy FIR, dla których:

h[n]=0 ⇔



n0∨n≥ M



W takim przypadku splot redukuje się do postaci:

y [n]=

∑

k=0

M −1

h[k ]⋅x [n−k ]

19 (42)

Pamięć układów FIR

Otrzymany wynik można zinterpretować zauważywszy, iż odpowiedź układu

w dowolnej chwili n jest kombinacją liniową M-ostatnich próbek pobudzenia:

y [n]=h[0]⋅x [n]h[1]⋅x [n−1]...h[ M −1]⋅x [n−M 1]

W efekcie układ pełni rolę okna czasowego, które do wygenerowania odpowiedzi

potrzebuje tylko M-ostatnich próbek pobudzenia i odrzuca wszystkie próbki

wcześniejsze (x [ n – M }, x [ n – M – 1 ], ...).

Z tego względu o układach FIR mówi się, że posiadają one M-próbkową pamięć.

20 (42)

Realizacja układów FIR

Ex.: Zaprojektować układ o odpowiedzi impulsowej:

h[n]=[1,2,3,2 ,1]

Jest to przyczynowy układ FIR, którego odpowiedź wynosi:

21 (42)

y [n]=

∑

k =0

4

h[k ] x [n−k ]=

h[0]⋅x [n]h[1]⋅x [n−1]h[2]⋅x [n−2]h[3]⋅x [n−3]h[4]⋅x [n−4]=

x [ n]2⋅x [n−1]3⋅x [n−2]2⋅x [n−3]x [n−4]

Układy IIR

Układy LTI o nieskończonej odpowiedzi impulsowej cechuje z kolei co najwyżej

jednostronne ograniczenie długości ciągu h[n]. Nie tracąc ogólności rozważań,

splot przyczynowych układów IIR ma postać:

y [n]=

∑

k =0

∞

h[k ]⋅x [n−k ]

W tym przypadku odpowiedź układu jest kombinacją liniową nieskończonej ilości

próbek wejściowych (bieżącej i przeszłych), stąd też układy IIR określa się

mianem układów z nieskończoną pamięcią.

22 (42)

Opis układów czasu dyskretnego równaniami różnicowymi

Jak dotąd, wszystkie układy LTI czasu dyskretnego analizowane były pod kątem

ich odpowiedzi impulsowej h[n], która spleciona z dowolnym pobudzeniem

generowała odpowiedź układu:

y [n]=

∑

k =−∞

∞

h[ k ]⋅x [n−k ]

Splot narzucał jednocześnie jeden z możliwych sposobów syntezy danego układu

LTI, wykorzystując do tego celu sumatory, wzmacniacze oraz elementy

opóźniające.

Powyższa metoda zawodzi w przypadku układów IIR, których odpowiedź

impulsowa jest nieskończona – wymaga nieskończonej liczby elementów

przesuwających (komórek pamięci). Z tego względu synteza układów IIR musi być

prowadzona w oparciu o inną metodę niż splot – równania różnicowe.

23 (42)

Rekursywne i nierekursywne układy czasu dyskretnego

Metoda splotowa jawnie wyraża odpowiedź układu LTI jako funkcję czystego

pobudzenia, jednak istnieją sytuacje, gdy niezbędne staje się wyrażenie

odpowiedzi układu także jako funkcji poprzednich próbek odpowiedzi. Z uwagi na

ten fakt układy czasu dyskretnego dzieli się na dwie zasadnicze grupy:

–

układy nierekursywne (nierekurencyjne), których odpowiedź jest funkcją

wyłącznie bieżącej i poprzednich próbek pobudzenia:

y [n]= f  x [n] , x [n−1] , x [n−2] , ... , x [n−M ]

–

układy rekursywne (rekurencyjne), których odpowiedź jest funkcją bieżącej

oraz poprzednich próbek pobudzenia oraz poprzednich próbek odpowiedzi

(układy ze sprzężeniem zwrotnym):

y [n]= f  y [n] , y [n−1] ,... , y [n− N ] , x [n] , x [n−1] ,... , x [n− M ]

24 (42)

Ex.: Układ liczący średnią skumulowaną:

y [n]=

1

n1

∑

k =0

n

x [k ]

Działanie układu w dotychczasowej formie wymaga zapamiętania całego

pobudzenia x[k], więc wielkość pamięci układu rośnie liniowo z wielkością n.

Przekształćmy powyższe wyrażenie:



n1⋅y [n]=



∑

k =0

n−1

x [k ]





x [n]=n⋅y [n−1] x [n]

Stąd otrzymujemy, że:

y [n]=

n

n1

y [ n−1]

1

n1

x [n]

Odpowiedź układu można zatem policzyć w sposób rekurencyjny (rekursywny)

znając wcześniejsze próbki odpowiedzi.

25 (42)

Schemat układu kumulatywnego uśredniania:

W tym przypadku, pomyślne kontynuowanie obliczeń od chwili k wymaga

przechowywania w pamięci ostatniej próbki odpowiedzi y[k-1] oraz bieżącej

i wszystkich przyszłych próbek pobudzenia x[n≥k].

Wartość y[k-1] nazywa się warunkiem początkowym – zawiera ona całą

dotychczasową historię układu, co pozwala pozbyć się wszystkich wcześniejszych

próbek pobudzenia.

26 (42)

Ex.: Nieliniowy układ rekursywny obliczający A

1/2

.

Algorytm iteracyjny ma postać:

s

n

=

1
2



s

n−1



A

s

n−1





n ∞



A , n=0,1 ,2 ,...

gdzie s

-1

jest zgrubnym oszacowaniem wartości A

1/2

.

Rozważmy układ rekursywny opisany równaniem:

y [n]=

1

2



y [n−1]

x [n]

y [ n−1]



Do zainicjowania układu wystarczy zgrubne oszacowanie wartości A

1/2

= y[-1]

(sprawdzić zbieżność układu dla A = 2 i y[-1] = 1 oraz y[-1] = 1.5) oraz podanie

pobudzenia w postaci: x[n] = A·u[n].

27 (42)

Odpowiedź układu i jego schemat dla A = 8

28 (42)

Sprzężenie zwrotne

Zasadnicza różnica pomiędzy układami rekursywnymi i nierekursywnymi zasadza

się na istnieniu pętli sprzężenia zwrotnego w układach rekursywnych,

zawierającej elementy opóźniające.

W układach czasu dyskretnego nie daje

się zrealizować sprzężenia zwrotnego bez opóźnienia.

29 (42)

Porządek odpowiedzi układów (nie-)rekursywnych

Kolejną istotną różnicą pomiędzy układami rekursywnymi i nierekursywnymi jest

kolejność wykonywania obliczeń odpowiedzi. W przypadku układów

nierekursywnych, w których odpowiedź jest funkcją wyłącznie próbek pobudzenia,

nie jest istotna kolejność obliczania próbek odpowiedzi, tzn. można liczyć np.:

y[10], y[1], y[5] itd.

W przypadku układów rekursywnych, których odpowiedź zależy od

wcześniejszych próbek odpowiedzi, prawidłowe działanie układu wymaga liczenia

próbek odpowiedzi w kolejności ich występowania, tzn.: y[0], y[1], y[2] itd.

30 (42)

Opis układów LTI przez równania różnicowe

o stałych współczynnikach

Załóżmy, że dany jest układ rekursywny opisany zależnością:

Jeśli współczynnik a = const., wówczas powyższe równanie opisuje układ LTI

(w przeciwieństwie np. do równania średniej skumulowanej opisującej układ LTV).

Doprowadźmy do układu w chwili n ≥ 0 pobudzenie x[n] – nie musimy znać

wcześniejszej historii x[n], o ile tylko znamy warunek początkowy y[-1].

31 (42)

y [n]=a⋅y [n−1] x [n]

Obliczmy jawną odpowiedź układu w dowolnej chwili n ≥ 0:

y [0]=a⋅y [−1] x [0]
y [1]=a⋅y [0]x [1]=a

2

⋅

y [−1]a⋅x [0] x [1]

⋮

y [n]=a

n1

⋅

y [−1]a

n

⋅

x [0]a

n−1

⋅

x [1]...x [ n]

W postaci zwięzłej:

y [n]=a

n1

⋅

y [−1]

∑

k =0

n

a

k

⋅

x [ n−k ] , n≥0

Otrzymana odpowiedź układu zawiera dwie części:

–

wyrażenie zawierające y[-1] przenosi warunek początkowy układu,

–

szereg zawierający odpowiedź układu na pobudzenie x[n].

32 (42)

Odpowiedź wymuszona układu rekursywnego

Jeśli układ jest w chwili n = 0 zrelaksowany, wówczas jego pamięć (wyjście

elementu opóźniającego) powinno być zerem. Mówimy wówczas, że układ jest

w stanie zerowym (spoczynkowym), zaś jego odpowiedź określana jest jako

odpowiedź spoczynkowa lub odpowiedź wymuszona y

zs

[n].

W przypadku analizowanego układu, jego odpowiedź wymuszona wynosi:

y

zs

[

n]=

∑

k =0

n

a

k

⋅

x [n−k ] , n≥0

Zauważmy, że powyższy wzór opisuje splot sygnału wejściowego z odpowiedzią

impulsową postaci:

h[n]=a

n

⋅

u[n]

Zrelaksowany, rekursywny układ opisany powyższym równaniem różnicowym jest

więc układem LTI typu IIR o odpowiedzi impulsowej h[n] = a

n

∙u[n].

33 (42)

Odpowiedź swobodna układu rekursywnego

Załóżmy obecnie, że analizowany układ nie jest zrelaksowany w chwili n = 0, tzn.,

że y[-1] ≠ 0 oraz, że pobudzenie jest równe zero (x[n] = 0 dla wszystkich n).

Odpowiedź układu na zerowe pobudzenie nazywana jest odpowiedzią zerową

lub odpowiedzią swobodną y

zi

[n]. W analizowanym przypadku:

y

zi

[

n]=a

n1

⋅

y [−1] , n≥0

Wynika stąd, że układ rekursywny nie jest zrelaksowany wówczas, gdy pomimo

braku pobudzenia, generuje niezerową odpowiedź. Odpowiedź swobodna układu

rekursywnego jest więc skutkiem istnienia pamięci układu.

34 (42)

Odpowiedź swobodna a wymuszona układu rekursywnego

Odpowiedź swobodna układu y

zi

[n] jest odpowiedzią na zerowe pobudzenie,

a więc wynika ona jedynie z charakterystyki układu oraz przyjętych warunków

początkowych. Z drugiej strony, odpowiedź wymuszona układu y

zs

[n] jest

odpowiedzią na jego konkretne pobudzenie przy braku wcześniejszej historii

(wyzerowana pamięć).

W ogólności, odpowiedź dowolnego układu rekursywnego można zawsze

przedstawić jako sumę odpowiedzi swobodnej i wymuszonej:

y [n]= y

zs

[

n] y

zi

[

n]

35 (42)

Ogólna postać równania różnicowego

Opisywany układ był najprostszym z całej klasy układów rekursywnych. Ogólna

postać liniowego równania różnicowego ze stałymi współczynnikami jest bowiem

następująca:

y [n]=−

∑

k=1

N

a

k

⋅

y [n−k ]

∑

k=0

M

b

k

⋅

x [n−k ]

Lub równoważnie:

∑

k=0

N

a

k

⋅

y [n−k ]=

∑

k =0

M

b

k

⋅

x [ n−k ]

gdzie: liczba N jest rzędem równania różnicowego lub też rzędem układu.

Odpowiedź układu rekursywnego w chwili n jest więc kombinacją liniową

wcześniejszych próbek odpowiedzi y[n-1], y[n-2], ..., y[n-N], jak też bieżącej

i wcześniejszych próbek pobudzenia x[n], x[n-1], ..., x[n-M].

36 (42)

Liniowość układów rekursywnych

Układ rekursywny jest liniowy, wtedy gdy jednocześnie spełnia nast. warunki:

(1) całkowita odpowiedź układu jest sumą odpowiedzi wymuszonej i swobodnej,

(2) odpowiedź wymuszona jest liniowa,

(3) odpowiedź swobodna jest liniowa.

Sprawdźmy liniowość układu opisanego równaniem:

y [n]=a⋅y [n−1] x [n]

Pokazaliśmy wcześniej, że:

y [n]=a

n1

⋅

y [−1]

∑

k =0

n

a

k

⋅

x [ n−k ]= y

zi

[

n] y

zs

[

n]

Co dowodzi własności (1).

37 (42)

Sprawdźmy teraz liniowość odpowiedzi wymuszonej. Niech:

x [n]=c

1

⋅

x

1

[

n]c

2

⋅

x

2

[

n]

Wówczas:

y

zs

[

n]=

∑

k =0

n

a

k

⋅



c

1

⋅

x

1

[

n−k ]c

2

⋅

x

2

[

n−k ]



=

...

...=c

1

∑

k =0

n

a

k

⋅

x

1

[

n−k ]c

2

∑

k =0

n

a

k

⋅

x

2

[

n−k ]=c

1

⋅

y

zs



1



c

2

⋅

y

zs



2

Co dowodzi liniowości odpowiedzi wymuszonej wymaganej przez (2).

38 (42)

W analogiczny sposób sprawdźmy liniowość odpowiedzi swobodnej. Niech:

y [−1]=c

1

⋅

y

1

[−

1]c

2

⋅

y

2

[−

1]

Wówczas odpowiedź swobodna wynosi:

y

zi

[

n]=a

n1



c

1

⋅

y

1

[−

1]c

2

⋅

y

2

[−

1]



=

c

1

⋅

a

n1

⋅

y

1

[−

1]c

2

⋅

a

n1

⋅

y

2

[−

1]=...

...=c

1

⋅

y

zi



1

[

n]c

2

⋅

y

zi



2[n]

Co dowodzi liniowości odpowiedzi swobodnej wyrażonej warunkiem (3).

Skoro analizowany układ spełnia wszystkie trzy warunki, jest on liniowy.

Otrzymany wynik można uogólnić na inne układy rekursywne opisywane liniowymi

równaniami różnicowymi, które spełniając wszystkie 3 podane warunki są liniowe.

39 (42)

Niezmienniczość w czasie układów rekursywnych

Powstaje kolejne pytanie: czy przyczynowy układ liniowy opisywany liniowym

równaniem różnicowym jest niezmienniczy w czasie?

Odpowiedź uzyskamy analizując jawną postać zależności wejściowo-wyjściowej

zdefiniowaną przez równanie różnicowe:

y [n]=−

∑

k=1

N

a

k

⋅

y [n−k ]

∑

k=0

M

b

k

⋅

x [n−k ]

Jeśli wszystkie współczynniki a

k

oraz b

k

są stałe, wówczas układ jest

niezmienniczy w czasie (TI), w przeciwnym wypadku układ nie jest niezmienniczy

w czasie (TV).

Układy rekursywne opisywane liniowymi równaniami różnicowymi o stałych

Układy rekursywne opisywane liniowymi równaniami różnicowymi o stałych

współczynnikach są więc układami LTI.

współczynnikach są więc układami LTI.

40 (42)

Stabilność układów rekursywnych

Dotychczasowa definicja stabilności w sensie BIBO wiązała ograniczoność

odpowiedzi z ograniczonością pobudzenia. W układach rekursywnych należy

jednak uwzględnić dodatkową stabilność związaną z pamięcią układu.

W przypadku rekursywnych układów LTI opisywanych liniowymi równaniami

różnicowymi o stałych współczynnikach wystarczającym warunkiem stabilności

w sensie BIBO jest, aby odpowiedź takiego układu była ograniczona dla

każdego ograniczonego pobudzenia oraz każdego ograniczonego warunku

początkowego.

41 (42)

Sprawdźmy stabilność układu analizowanego wcześniej. Niech:

∀

n≥0

x [n]≤ M

x

∞

Wówczas:

∣

y [n]∣≤∣a

n1

⋅

y [−1]∣∣

∑

k=0

n

a

k

⋅

x [n−k ]∣≤∣a∣

n1

⋅∣

y [−1]∣ M

x

∑

k =0

n

∣

a∣

k

≤

...

...≤∣a∣

n1

⋅∣

y [−1]∣M

x

1−∣a∣

n1

1−∣a∣

Wynika stąd, że układ jest stabilny tylko wówczas, gdy |a| < 1.

42 (42)