Zad 1. Zamie´n na całk˛e potrójn ˛

a:

a)

Z Z

S

x

2

dydz

+ y

2

dxdz

+ z

2

dxdy;

b)

Z Z

S

p

x

2

+ y

2

+ z

2

[cos(N, x)+cos(N, y)+cos(N, z)]ds, N-wektor normalny;

c)

Z Z

S

xzdxdy

+ xydydz + yzdxdz, S-zewn˛etrzna strona powierzchni ostrosłupa

ograniczonego płaszczyznami x

= y = z = 0 oraz x + y + z = 1.

Zad 2. Oblicz dwiema metodami:

a)

Z

K

(y

2

+ z

2

)dx + (z

2

+ x

2

)dy + (x

2

+ y

2

)dz, gdzie K jest brzegiem górnej

połowy sfery;

b)

Z

K

(y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz, gdzie K jest elips ˛

a powstał ˛

a z przeci˛ecia

walca x

2

+ y

2

= a

2

i płaszczyzny x

+ z = a.

Zad 3. Niech U ∈ C

2

. Wyka˙z, ˙ze strumie ´n gradientu funkcji U przez za-

mkni˛et ˛

a powierzchni˛e S kawałkami gładk ˛

a jest równy

Z Z Z

V

∆U dxdydz,

gdzie V jest brył ˛

a ograniczon ˛

a przez S.

Zad 4. Sprawd´z, które z pól wektorowych s ˛

a potencjalne, a które s ˛

a bez´zró-

dłowe:

a) P

=

x

2

−

2x + y

2

+ z

2

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

2

e

x+y+z

, Q

=

x

2

+ y

2

−

2y + z

2

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

2

e

x+y+z

,

R

=

x

2

+ y

2

+ z

2

−

2z

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

2

e

x+y+z

;

b) P

= x

2

(y sin z − z sin y), Q = P = y

2

(z sin x − x sin z),

R

= z

2

(x sin y − y sin x).

1