Płaszczyzna zorientowana. Każda płaszczyzna rozcina przestr

z

eń na dwie pół

p

rzestrzenie

otwarte, zwane stronami tej płaszczyzny

.

Jeśli jedną stronę płaszczyzny (S) wyróżnimy jako

dodatnią (a drugą jako ujemną)

,

to mówimy

,

że płaszczyzna (S) została

z

orientowana. Jeśli oś

(n) prostopadła do zorientowanej płaszczyzny (S) jest skierowana od strony ujemnej do
strony dodatniej tej płaszczyzny, to mówimy

,

że oś (n) jest skierowana dodatnio względem

zorientowanej płaszczyzny (S)

Powierzchnia zorientowana

.

Niech będzie dana powierzchnia gładka (S) nie zawierająca

punktów osobliwych, a więc mająca w każdym swoim punkcie P płaszczyznę styczną i oś
normalną. Mówimy, że powierzchnia (S) jest zorientowana, jeśli każdemu punktowi P tej
powierzchni jest przyporządkowany jednostkowy wektor normalny

e (P)

w taki sposób, że jest on jednoznaczną funkcją wektorową punktu P ciągłą na całej

powierzchni S.

Jeśli istnieje funkcja e

(

P) o takich własnościach, to funkcja -e (P) ma również te własności i

jedna z tych funkcji określa pewną orientację powierzchni (S), a druga określa na (S) orientację
przeciwną do poprzedniej. Mówimy, że funkcja e (P) wyróżnia dodatnią stronę powierzchni (S),
a funkcja

-

e (P) ujemną stronę tej powierzchni

.

Powierzchnia, na której jest możliwe takie

rozróżnienie dwóch stron, nazywa się powierzchnią dwustronną. Istnieją powierzchnie
jednostronne, na których rozróżnienie dwóch stron nie jest mo

ż

liwe

.

Wektor unormowany normalny płaszczyzny

Wektor unormowany normalny płata gładkiego

Rzuty elementu na ściany układu.

Liczby

są to pola trzech rzutów elementu

na ściany układu współrzędnych), z tym że pole każdego

rzutu jest brane ze znakiem odpowiedniego kosinusa kierunkowego osi (n) normalnej do

i

skierowanej dodatnio względem

.

Liczby te nazywamy rzutami elementu

na ścian

y

układu

Oxyz i oznaczamy symbolami

Przedstawienie elementu za pomocą wektora. Niech będzie dany w przestrzeni Oxyz
element

. Utwórzmy wektor o module równym polu

tego elementu i o kierunku i

zwrocie osi (n) normalnej do tego elementu i skierowanej dodatnio

względem niego

. W

e

kt

o

r

t

en

o

kreśla wie

l

k

ość

i

o

ri

e

ntac

ję

e

l

e

m

e

n

t

u

w przes

trz

e

n

i

,

j

est wi

ęc

repr

ez

entantem tego

element

u

. Ozna

c

zm

y te

n

w

ekt

o

r symbolem

.

M

am

y

r

ó

w

n

o

ść

Strumień wektora F przez element jest iloczynem skalarnym wektorów F i .

Strumień wektora przez powier

z

chn

i

ę

.

Ni

e

ch będą dane w przestrzeni O

x

yz

: p

ł

a

t (S) o

ró

w

naniu z=z(x, y) zoriento

w

any

(

ku

g

ór

z

e lub

k

u dołowi) oraz fun

kcja

we

k

torowa

ograniczona na S, która każdemu punktowi P=(x, y, z) przyporządkowuje
wektor

Strumień wektora F przez powier

z

chn

i

ę S oznaczamy

Oblic

z

enie strum

i

enia p

rze

z p

ł

a

t d

an

y j

awnie. Jeśl

i

zor

ie

nto

w

any płat

(

S)

j

e

st d

any jawnie

równanie

m

a funkcj

a we

ktorowa

F

(P)

je

s

t

na pła

c

ie

(S

) c

i

ąg

ł

a

i

o

g

ran

iczo

n

a,

t

o s

t

rumie

ń

wekt

o

ra F

p

r

z

e

z

płat

(S) w

yra

ż

a

s

i

ę

wz

o

r

e

m