Transformatory

Transformator trójfazowy ma następujące dane znamionowe:

S

N

= MVA

f

N

= 50 Hz

U

1N

/U

2N

= ±% / kV

P

kN

= kW

poł. -

u

k%N

= %

Ponadto wiadomo, że:
napięcie zwojowe wynosi u

phN

≈ e’ ≈ V/zwój lub liczba zwojów N

XN

= zwojów

przekrój kolumny netto wynosi A

1

η

1

= m

2

Przykładowe zadania:

1. Obliczyć znamionowe napięcie fazowe i przewodowe strony GN (HV) lub DN (LV)
2. Obliczyć znamionowy prąd fazowy i przewodowy strony GN (HV) lub DN (LV)
3. Obliczyć znamionową liczbę zwojów strony GN (HV) lub DN (LV)
4. Obliczyć znamionowe napięcie zwojowe
5. Obliczyć znamionową indukcję w kolumnie rdzenia
6. Obliczyć napięcie przy zmianie przekładni
7. Wyznaczyć zaczep na który należy przełączyć transformator aby uzyskać napięcie
8. Obliczyć spadek napięcia pod obciążeniem

Rozwiązania:

Podpowiedź: przed przystąpieniem do zadań z obliczaniem wartości przewodowych

i fazowych polecam wykonanie szkicu skojarzenia uzwojenia z zaznaczeniem
napięć i prądów (przewodowych i fazowych)

1. Napięcia znamionowe są napięciami PRZEWODOWYMI

Napięcia fazowe zależą od skojarzenia uzwojeń !!!

dla połączenia w GWIAZDĘ – Y - y napięcie fazowe

3

U

U

XN

XphN

=

gdzie X oznacza stronę GN (1) lub DN (2)

dla połączenia w TRÓJKĄT – Δ - D - d napięcie fazowe

XN

XphN

U

U

=

gdzie X oznacza stronę GN (1) lub DN (2)

2. Prądy znamionowe są prądami PRZEWODOWYMI

Znamionowy prąd transformatora

XN

N

XN

U

3

S

I

⋅

=

gdzie X oznacza stronę GN (1) lub DN (2)

Prądy fazowe zależą od skojarzenia uzwojeń !!!

dla połączenia w GWIAZDĘ – Y - y prąd fazowy

XN

XphN

I

I

=

gdzie X oznacza stronę GN (1) lub DN (2)

dla połączenia w TRÓJKĄT – Δ - D - d prąd fazowy

3

I

I

XN

XphN

=

gdzie X oznacza stronę GN (1) lub DN (2)

3. Znamionowa liczba zwojów

phN

XphN

XN

u

U

N

=

gdzie X oznacza stronę GN (1) lub DN (2)
UWAGA: do obliczeń używa się wartości fazowych (ph)

4. Znamionowe napięcie zwojowe

XN

XphN

phN

N

U

u

=

gdzie X oznacza stronę GN (1) lub DN (2)
UWAGA: do obliczeń używa się wartości fazowych (ph)

5. Znamionowa indukcja w kolumnie rdzenia transformatora

N

1

1

phN

XN

N

1

1

XphN

mN

f

A

44

,

4

u

N

f

A

44

,

4

U

B

⋅

η

⋅

=

⋅

⋅

η

⋅

=

gdzie X oznacza stronę GN (1) lub DN (2)
UWAGA: do obliczeń używa się wartości fazowych (ph)

6. UWAGA: regulacja napięcia (zaczepy) po stronie GN (HV)

Zasilanie od strony GN (HV) napięciem U

1

np. zaczep +10% to przekładnia transformatora

N

2

N

1

N

2

N

1

2

1

U

1

,

1

U

U

%

100

%

10

1

U

U

U

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⋅

=

stąd napięcie przewodowe po stronie DN (LV)

1

,

1

U

U

U

U

N

1

1

N

2

2

⋅

⋅

=

Zasilanie od strony GN (HV) napięciem U

1

np. zaczep -10% to przekładnia transformatora

N

2

N

1

N

2

N

1

2

1

U

9

,

0

U

U

%

100

%

10

1

U

U

U

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⋅

=

stąd napięcie przewodowe po stronie DN (LV)

9

,

0

U

U

U

U

N

1

1

N

2

2

⋅

⋅

=

Zasilanie od strony DN (LV) napięciem U

2

np. zaczep +10% to przekładnia transformatora

N

2

N

1

N

2

N

1

2

1

U

1

,

1

U

U

%

100

%

10

1

U

U

U

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⋅

=

stąd napięcie przewodowe po stronie GN (HV)

N

2

2

N

1

1

U

1

,

1

U

U

U

⋅

⋅

=

Zasilanie od strony DN (LV) napięciem U

2

np. zaczep -10% to przekładnia transformatora

N

2

N

1

N

2

N

1

2

1

U

9

,

0

U

U

%

100

%

10

1

U

U

U

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⋅

=

stąd napięcie przewodowe po stronie GN (HV)

N

2

2

N

1

1

U

9

,

0

U

U

U

⋅

⋅

=

7. UWAGA: regulacja napięcia (zaczepy) po stronie GN (HV)

Np. maksymalne napięcie po stronie DN (LV) przy zasilaniu od strony GN (HV)
odpowiedź: zaczep –XX% bo

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⋅

⋅

=

%

100

%

XX

1

U

U

U

U

N

1

1

N

2

2

Np. minimalne napięcie po stronie DN (LV) przy zasilaniu od strony GN (HV)
odpowiedź: zaczep +XX% bo

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⋅

⋅

=

%

100

%

XX

1

U

U

U

U

N

1

1

N

2

2

Np. maksymalne napięcie po stronie GN (HV) przy zasilaniu od strony DN (LV)
odpowiedź: zaczep +XX% bo

N

2

2

N

1

1

U

%

100

%

XX

1

U

U

U

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⋅

⋅

=

Np. minimalne napięcie po stronie GN (HV) przy zasilaniu od strony DN (LV
odpowiedź: zaczep -XX% bo

N

2

2

N

1

1

U

%

100

%

XX

1

U

U

U

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⋅

⋅

=

8. Należy najpierw wyznaczyć znamionowe, względne, procentowe spadki napięć na

rezystancji (R

kN

) i reaktancji (X

kN

) zwarcia

Znamionowy, względny, procentowy czynny spadek napięcia (składowa czynna
napięcia zwarcia)

%

100

S

P

%

100

U

3

S

3

U

P

%

100

U

I

3

P

%

100

U

U

u

N

kN

XN

N

XN

kN

XN

XN

kN

XN

kRN

N

%

kR

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

bo:

XN

kN

XN

kN

kRN

I

3

P

I

R

U

⋅

=

⋅

=

gdzie X oznacza stronę GN (1) lub DN (2)

UWAGA: do obliczeń używa się wartości przewodowych

Znamionowy, względny, procentowy bierny spadek napięcia (składowa bierna
napięcia zwarcia)

2

N

%

kR

2

N

%

k

N

%

kX

u

u

u

−

=

Procentowa zmiana napięcia przy obciążeniu indukcyjnym,
przyjmujemy wzór uproszczony

(

)

.

obc

N

%

kX

.

obc

N

%

kR

%

sin

u

cos

u

u

ϕ

⋅

+

ϕ

⋅

⋅

β

=

Δ

gdzie:

XN

X

I

I

=

β

(stosunek prądu obciążenia do prądu znamionowego danej strony)

Procentowa zmiana napięcia przy obciążeniu pojemnościowym,
przyjmujemy wzór uproszczony

(

)

.

obc

N

%

kX

.

obc

N

%

kR

%

sin

u

cos

u

u

ϕ

⋅

−

ϕ

⋅

⋅

β

=

Δ

gdzie:

XN

X

I

I

=

β

(stosunek prądu obciążenia do prądu znamionowego danej strony)

Napięcie po stronie obciążenia (założenie, że zasilanie znamionowe)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Δ

−

⋅

=

%

100

u

1

U

U

%

XN

X

UWAGA: do obliczeń używa się wartości przewodowych
UWAGA: należy uwzględnić znak przy Δu

%

Maszyny Prądu Stałego

Prądnica bocznikowa prądu stałego o znamionach:

P

N

= kW

n

N

= obr/min

U

N

= V

jest wyposażona w uzwojenie kompensacyjne i można przyjąć, że reakcja poprzeczna
twornika jest w pełni skompensowana.
Dana jest charakterystyka biegu jałowego E

0

= f(I

f

) zmierzona dla n = n

N

. W związku

z pełną kompensacją charakterystyka obciążeniowa E

a(I

a

=I

aN

)

= E’

(I

a

=I

aN

)

= E

0

= f(I

f

) (przy

prądzie twornika I

a

=I

aN

oraz n = n

N

)

Wartości rezystancji obwodu twornika

ΣR

a

= 0,006

Ω

i

uzwojenia

wzbudzenia

R

E1E2

= 13

Ω

.

Przykładowe zadania:

1. Obliczyć znamionowy prąd twornika i znamionowy prąd wzbudzenia
2. Obliczyć wartość dodatkowego opornika w obwodzie wzbudzenia dla znamionowych

warunków pracy prądnicy

3. Obliczyć rezystancję krytyczną obwodu wzbudzenia
4. Obliczyć prędkość krytyczną przy R

f

= R

E1E2

5. Obliczyć napięcie na zaciskach prądnicy przy danym prądzie wzbudzenia I

f

6. Wyznaczyć napięcie na zaciskach prądnicy w stanie jałowym przy danej rezystancji

wzbudzenia R

f

7. Wyznaczyć prąd wzbudzenia dla uzyskania na zaciskach danego napięcia U
8. Przy pracy tej maszyny jako silnik obliczyć prąd pobierany z sieci o napięciu U

w pierwszej chwili rozruchu

9. Przy pracy tej maszyny jako silnik obliczyć wartość opornika dodatkowego w

obwodzie twornika ograniczającego prąd twornika w pierwszej chwili rozruchu do
wartości I

a

= 1,5 I

aN

Rozwiązania:

Podpowiedź: polecam wykonanie szkicu schematu połączenia prądnicy z zaznaczeniem

prądów, siły elektromotorycznej i napięcia

1. Do obliczania wartości znamionowych prądu twornika i prądu wzbudzenia musimy

stosować iteracje

I iteracja - z braku wiedzy na temat prądu wzbudzenia zakładamy, że prąd twornika

jest równy prądowi znamionowemu prądnicy

N

a

I

I

=

Prąd znamionowy prądnicy

N

N

N

U

P

I

=

UWAGA: prądnica jest znamionowana w mocy elektrycznej na zaciskach

obliczamy siłę elektromotoryczną w tworniku prądnicy

tc

a

N

N

a

u

2

R

I

U

E

E

Δ

+

⋅

+

=

′

=

∑

z charakterystyki odczytujemy dla

E

a

=

XXX V prąd wzbudzenia

Y,Y A

=

I

f

II iteracja - przyjmujemy dokładniejszą wartość prądu twornika

f

N

a

aN

I

I

I

I

+

=

≅

sprawdzamy siłę elektromotoryczną w tworniku prądnicy

tc

a

aN

N

N

aN

u

2

R

I

U

E

E

Δ

+

⋅

+

=

′

=

∑

sprawdzamy na charakterystyce czy należy skorygować prąd wzbudzenia –
odczytujemy wartość znamionowego prądu wzbudzenia

Znamionowy prąd twornika

I

fN

fN

N

aN

I

I

I

+

=

2. Postępujemy jak wyżej aby wyznaczyć znamionowy prąd wzbudzenia, a następnie

obliczamy znamionową wartość obwodu wzbudzenia

fN

N

ad

2

E

1

E

fN

I

U

R

R

R

=

+

=

stąd wartość opornika dodatkowego – włączonego szeregowo w obwodzie
wzbudzenia

2

E

1

E

fN

N

2

E

1

E

fN

ad

R

I

U

R

R

R

−

==

−

=

3. Rezystancja krytyczna wynika z nachylenia charakterystyki stanu jałowego E

0

= f(I

f

)

w jej początkowym, prostoliniowym odcinku – przy takiej rezystancji obwodu
wzbudzenia prądnica nie wzbudzi się przy prędkości znamionowej

.)

pocz

(

f

.)

pocz

(

0

fcr

I

E

R

=

UWAGA: najlepiej przyjąć pierwsze wartości z tabelki

4. Prędkość krytyczna to taka, przy której charakterystyka stanu jałowego E

0

= f(I

f

) jest

styczna, w jej początkowym, prostoliniowym odcinku, do prostej obrazującej spadek
napięcia na rezystancji obwodu wzbudzenia.
Przy biegu jałowym i rezystancji obwodu wzbudzenia R

f

= R

E1E2

siła

elektromotoryczna dla prędkości krytycznej w początkowym, prostoliniowym odcinku
charakterystyki jest równa spadkowi napięcia na rezystancji R

E1E2

2

E

1

E

.)

pocz

(

f

)

ncr

(

0

R

I

E

⋅

=

Pamiętamy, że siła elektromotoryczna w tych samych warunkach magnetycznych
w maszynie (np. w stanie jałowym) zależy od prędkości obrotowej

N

cr

)

n

(

0

)

ncr

(

0

n

c

n

c

E

E

N

⋅

Φ

⋅

⋅

Φ

⋅

=

stąd

)

n

.

pocz

(

0

)

ncr

(

0

N

cr

N

E

E

n

n

⋅

=

UWAGA: jako początkowe wartości SEM i prądu wzbudzenia dla prędkości

nominalnej odczytujemy pierwsze wartości z tabelki

5. BIEG JAŁOWY - U

≅ E

0

odczytujemy z charakterystyki E

0

= f(I

f

) wartość napięcia dla danego prądu I

f

OBCIĄŻENIE PRĄDNICY PRĄDEM ZNAMIONOWYM - U = E

a

– I

aN

·

ΣR

a

– 2Δu

tc

odczytujemy z charakterystyki E

a

= f(I

f

) wartość SEM dla danego prądu I

f

obliczamy napięcie na zaciskach przy obciążeniu prądem twornika I

aN

tc

a

aN

a

u

2

R

I

E

U

Δ

−

⋅

−

=

∑

UWAGA: w przypadku idealnej kompensacji charakterystyka

E

a(I

a

=I

aN

)

= E’

(I

a

=I

aN

)

= E

0

= f(I

f

) (przy n = n

N

)

6. BIEG JAŁOWY - U

≅ E

0

Punkt pracy będzie odpowiadał przecięciu się charakterystyki E

0

= f(I

f

) z prostą

obrazującą spadek napięcia na rezystancji obwodu wzbudzenia

f

f

0

R

I

U

E

⋅

=

≅

na charakterystyce kreślimy prostą U = (I

f

) = I

f

·R

f

z punktu przecięcia z charakterystyką E

0

= f(I

f

) odczytujemy wartość SEM (napięcia)

oraz prąd wzbudzenia I

f

7. BIEG JAŁOWY - U

≅ E

0

odczytujemy z charakterystyki E

0

= f(I

f

) wartość prądu wzbudzenia I

f

dla danego

napięcia

Dla prędkości n

≠ n

N

N

)

n

(

0

)

n

(

0

n

n

E

E

N

=

OBCIĄŻENIE PRĄDNICY PRĄDEM ZNAMIONOWYM - U = E

a

– I

aN

·

ΣR

a

– 2Δu

tc

obliczamy SEM pod obciążeniem

tc

a

aN

a

u

2

R

I

U

E

E

Δ

+

⋅

+

=

′

=

∑

odczytujemy z charakterystyki E

a

= f(I

f

) wartość prądu wzbudzenia I

f

dla danej

wartość SEM

Dla prędkości n

≠ n

N

przed odczytem z charakterystyki obliczamy SEM dla

znamionowych obrotów

n

n

E

E

N

)

n

(

a

)

n

(

a

N

=

UWAGA: w przypadku idealnej kompensacji charakterystyka

E

a(I

a

=I

aN

)

= E’

(I

a

=I

aN

)

= E

0

= f(I

f

) (przy n = n

N

)

Podpowiedź: przed przystąpieniem do zadań z silnikiem polecam wykonanie szkicu

schematu połączenia silnika bocznikowego z zaznaczeniem prądów, siły
elektromotorycznej i napięcia

8. W pierwszej chwili rozruchu prędkość jest równa zero, a więc i SEM równa się zero

0

n

=

czyli

0

n

c

E

=

⋅

Φ

⋅

=

stąd popłynie maksymalny prąd rozruchowy, a napięcie sieci będzie zrównoważone
tylko spadkami napięć w obwodzie twornika

tc

a

max

as

u

2

R

I

U

Δ

+

⋅

=

∑

maksymalny prąd rozruchowy twornika

∑

Δ

−

=

a

tc

max

as

R

u

2

U

I

równolegle do obwodu twornika włączony jest obwód wzbudzenia –
maksymalny prąd wzbudzenia

2

E

1

E

max

f

R

U

I

=

stąd maksymalny prąd rozruchowy silnika

max

f

max

as

max

s

I

I

I

+

=

9. W pierwszej chwili rozruchu prędkość jest równa zero, a więc i SEM równa się zero

0

n

=

czyli

0

n

c

E

=

⋅

Φ

⋅

=

stąd popłynie maksymalny prąd rozruchowy, a napięcie sieci będzie zrównoważone
tylko spadkami napięć w obwodzie twornika, w przypadku dodatkowego opornika
włączonego szeregowo w obwodzie twornika

(

)

tc

s

a

max

as

u

2

R

R

I

U

Δ

+

+

⋅

=

∑

jeżeli chcemy ograniczyć prąd twornika do wartości I

a

= 1,5 I

aN

, to musimy włączyć

szeregowo w obwód twornika opornik o wartości

∑

∑

−

⋅

Δ

−

=

−

Δ

−

=

a

aN

tc

a

a

tc

s

R

I

5

,

1

u

2

U

R

I

u

2

U

R

UWAGA: prąd rozruchowy silnika bocznikowego jest większy od prądu samego

twornika o prąd wzbudzenia

Maszyny Asynchroniczne

Trójfazowy silnik indukcyjny ma następujące dane znamionowe:

P

N

= kW

f

N

= 50 Hz

U

N

= V (poł. uzw. stojana)

n

N

= obr/min

cosφ

N

=

m

bN

=

η

N

= lub I

N

= A

Przykładowe zadania:

1. Obliczyć znamionowy prąd fazowy i przewodowy stojana
2. Obliczyć znamionową sprawność silnika
3. Obliczyć znamionowy poślizg
4. Obliczyć znamionowy poślizg krytyczny i znamionowa prędkość krytyczną
5. Obliczyć moment znamionowy
6. Obliczyć znamionowy moment krytyczny
7. Obliczyć znamionowy moment rozruchowy
8. Obliczyć moment obciążenia dla silnika wirującego z prędkością n

≠ n

N

9. Obliczyć prędkość dla silnika obciążonego momentem M

≠ M

N

Rozwiązania:

Podpowiedź: przed przystąpieniem do zadań z silnikiem asynchronicznym polecam

wyznaczenie prędkości synchronicznej i liczby par biegunów

p

60

f

n

N

s

⋅

=

obr/min

1. Znamionowy prąd silnika jest prądem przewodowym

UWAGA: silnik jest znamionowany mocą mechaniczna na wale stad moc wejściowa
(elektryczna)

N

N

N

N

N

N

N

el

cos

S

cos

I

U

3

P

P

ϕ

⋅

=

ϕ

⋅

⋅

⋅

=

η

=

stąd znamionowy (przewodowy) prąd stojana

N

N

N

N

N

N

el

N

N

N

cos

U

3

P

cos

U

3

P

U

3

S

I

η

⋅

ϕ

⋅

⋅

=

ϕ

⋅

⋅

=

⋅

=

Prąd fazowy zależy od skojarzenia uzwojeń !!!
dla połączenia w GWIAZDĘ – Y - y prąd fazowy

N

phN

I

I

=

dla połączenia w TRÓJKĄT – Δ - D - d prąd fazowy

3

I

I

N

phN

=

2. Znamionowa sprawność - uwagi j.w.

N

N

N

N

N

N

N

.

el

N

N

cos

I

U

3

P

cos

S

P

P

P

ϕ

⋅

⋅

⋅

=

ϕ

⋅

=

=

η

3. Znamionowy poślizg

s

N

s

N

n

n

n

s

−

=

4. Znamionowy poślizg krytyczny

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

⋅

=

1

m

m

s

s

2

bN

bN

N

bN

UWAGA: jeśli w zadaniu na kolokwium nie podano znamionowego poślizgu s

N

, to

trzeba go wyliczyć ze znamionowej prędkości (zgodnie z p. 3)

Znamionowa prędkość krytyczna

(

)

bN

s

bN

s

1

n

n

−

⋅

=

5. Moment znamionowy

N

N

N

n

2

60

P

M

⋅

π

⋅

⋅

=

UWAGA: wzór słuszny przy prędkości podanej w obrotach na minutę

6. Znamionowy moment krytyczny

N

bN

bN

M

m

M

⋅

=

UWAGA: jeśli w zadaniu na kolokwium nie podano momentu znamionowego M

N

, to

trzeba go wyliczyć (zgodnie z p. 5)

Jeśli nie mamy podanej przeciążalności momentem m

bN

, to moment krytyczny

możemy obliczyć ze wzoru Kloss’a i wartości poślizgów s

N

i s

bN

(podany lub podana

prędkość krytyczna)

N

bN

bN

N

bN

N

s

s

s

s

M

2

M

+

⋅

=

stąd

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⋅

=

N

bN

bN

N

N

bN

s

s

s

s

2

M

M

7. Znamionowy moment rozruchowy wyliczamy dla prędkości równej zero czyli poślizgu

równego 1

bN

bN

bN

N

1

s

s

1

M

2

M

+

⋅

=

UWAGA: jeśli w zadaniu na kolokwium nie podano znamionowego momentu
krytycznego

M

bN

, to

trzeba go wyliczyć (zgodnie z p. 6)

8. Obliczamy poślizg przy prędkości n

≠ n

s

s

n

n

n

s

−

=

moment elektromagnetyczny, w przybliżeniu równy momentowi obciążenia przy tym
poślizgu obliczamy ze wzoru Kloss’a

s

s

s

s

M

2

M

bN

bN

bN

+

⋅

=

UWAGA: jeśli w zadaniu na kolokwium nie podano znamionowego momentu
krytycznego

M

bN

i znamionowego poślizgu krytycznego s

bN

, to

trzeba je wyliczyć zgodnie z poprzednimi punktami

9. Obliczamy poślizg przy obciążeniu momentem M

≠ M

N

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

=

1

M

M

M

M

s

s

2

bN

bN

bN

stąd prędkość

( )

s

1

n

n

s

−

⋅

=

UWAGA: jeśli w zadaniu na kolokwium nie podano znamionowego momentu
krytycznego

M

bN

i znamionowego poślizgu krytycznego s

bN

, to

trzeba je wyliczyć zgodnie z poprzednimi punktami