www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM ROZSZERZONY

30

KWIETNIA

2011

C

ZAS PRACY

: 180

MINUT

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

1

(4

PKT

.)

Rozwi ˛a˙z nierówno´s´c

|

5

−

x

| +

12

>

|

2

−

3x

|

.

2

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

2

(5

PKT

.)

Trójk ˛at ostrok ˛atny, którego boki maj ˛a długo´sci 17 i 16 ma pole równe 64. Oblicz promie ´n
okr˛egu opisanego na tym trójk ˛acie.

3

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

3

(5

PKT

.)

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których równanie x

2

+

2mx

−

2m

+

3

=

0 ma

dwa ró ˙zne pierwiastki nale ˙z ˛ace do przedziału

(−

2, 0

)

.

4

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

4

(4

PKT

.)

Przek ˛atne trapezu przecinaj ˛a si˛e w punkcie S. Przez punkt S poprowadzono prost ˛a rów-
noległ ˛a do podstaw trapezu, która przecina ramiona trapezu w punktach E i F. Wyka ˙z, ˙ze

|

ES

| = |

SF

|

.

5

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

5

(4

PKT

.)

Liczby a i b s ˛a pierwiastkami równania x

2

+

8x

+

s

=

0, a liczby c i d s ˛a pierwiastkami

równania x

2

+

72x

+

t

=

0. Ci ˛ag

(

a

, b, c, d

)

jest malej ˛acym ci ˛agiem geometrycznym. Oblicz s

i t.

6

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

6

(5

PKT

.)

Napisz równanie okr˛egu opisanego na trójk ˛acie o wierzchołkach A

= (−

8,

−

5

)

, B

= (

8, 3

)

i

C

= (

6, 9

)

.

7

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

8

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

7

(5

PKT

.)

Rozwi ˛a˙z nierówno´s´c 2 cos

2

x

+

sin x

>

1, gdzie x

∈ h

0, 2π

i

.

9

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

8

(3

PKT

.)

Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli ˙zadne dwie spo´sród liczb a, b, c nie s ˛a równe oraz liczby

(

a

−

b

)

2

,

(

b

−

c

)

2

i

(

c

−

a

)

2

tworz ˛aci ˛ag arytmetyczny, to liczby

1

b

−

a

,

1

c

−

b

i

1

a

−

c

równie ˙z tworz ˛aci ˛ag arytmetyczny.

10

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

9

(4

PKT

.)

Ka ˙zda ´sciana dwudziesto´scianu foremnego W jest trójk ˛atem równobocznym, a z ka ˙zdego
wierzchołka tej bryły wychodzi 5 kraw˛edzi. Wybieramy losowo dwa ró ˙zne wierzchołki wie-
lo´scianu W. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze odcinek ł ˛acz ˛acy te dwa wierzchołki nie
jest kraw˛edzi ˛a wielo´scianu W?

11

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

10

(5

PKT

.)

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla którego wielomian W

(

x

) =

x

3

+ (

m

+

1

)

x

2

+

(

m

+

2

)

x

+

2 ma trzy ró ˙zne pierwiastki rzeczywiste.

12

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

11

(6

PKT

.)

W kul˛e wpisano walec w ten sposób, ˙ze obj˛eto´s´c walca stanowi

9

16

obj˛eto´sci kuli. Oblicz

stosunek promienia kuli do wysoko´sci walca.

13

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

14