Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
v
v
v
v
v
v
v
v
v
Ia
v
k
Ia
v
k
durIa
k
k
n
n
k
k
n
−
+
=
−
−
−
−
−
=
→
=
∞
∞
=
=
å
å
1
1
)
1
(
1
1
)
1
(
2
2
2
1
2
1
2
v
v
v
v
a
Ia
v
v
v
I
v
v
Iv
v
v
I
−
−
−
=
−
=
+
−
⋅
+
=
−
+
+
=
+
+
=
∞
∞
1
)
1
(
2
2
...
)
1
2
2
(
1
)
1
(
...
2
1
...
2
1
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
Ia
a
n
Da
a
n
Da
Ia
−
+
=
→
+
=
+
)
1
(
)
1
(
n
n
n
k
k
n
Ia
a
n
v
k
Ia
n
durD
−
+
−
+
=
å
=
)
1
(
)
1
(
1
2
dzielimy licznik i mianownik przez (1+n) i mamy
1
1
1
)
1
(
....
.....
2
v
v
v
v
v
a
Ia
n
a
n
Ia
n
n
−
=
−
−
=
→
−
−
∞
∞
9
,
1
1
1
1
:
1
1
:
≈
+
=
−
−
+
v
v
v
v
ODP
Zadanie 2
å
å
=
=
+
−
=
−
=
−
=
k
j
j
k
j
j
n
n
Y
v
P
b
X
v
P
a
Pa
L
1
1
1
)
1
(
)
)
1
(
)
)
1
(
1
+
−
−
j
n
v
P
(i)
TAK
k
n
i
v
a
a
v
v
v
Y
X
k
n
k
k
k
n
k
j
k
j
j
j
n
=
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=
−
−
=
=
+
−
å
å
lub
0
1
1
1
1
(ii)
TAK
k
n
n
k
n
k
k
k
j
j
v
ik
v
Y
i
v
i
v
k
Y
a
a
k
Y
L
a
k
Y
v
Y
P
+
−
−
=
−
−
−
=
−
=
→
−
=
−
=
å
=
1
)
1
(
1
1
)
1
(
1
(iii)
TAK
δ
δ
→
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
=
−
−
→
−
−
=
→
→
−
−
=
→
−
=
→
−
=
−
=
−
−
−
Y
PK
X
PK
k
n
Y
PK
X
PK
v
P
Y
PK
v
k
X
P
P
Y
PK
a
a
v
k
X
P
a
k
Y
P
k
n
k
n
k
k
k
n
k
ln
)
)(
(
i
Zadanie 3
ò
ò
ò
ò
ò
+
+
=
=
+
+
+
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
5
,
4
0
5
,
4
0
5
,
4
0
5
,
4
0
5
,
4
5
,
5
)
1
ln(
5
,
5
5
,
5
1
5
,
5
)
1
ln(
)
1
(
exp
exp
)
(
t
dt
t
t
t
ds
dt
ds
t
C
ODP
s
t
s
δ
δ
ò
ò
−
+
+
=
+
−
−
+
=
=
+
=
′
=
′
+
=
=
+
t
t
t
dt
t
t
t
t
v
t
u
v
t
u
t
)
1
)(
1
ln(
1
1
1
)
1
ln(
1
1
1
)
1
ln(
)
1
ln(
[
]
5
,
32
5
,
5
5
,
4
5
,
5
ln
5
,
5
5
,
5
≈
+
−
=
ODP
Zadanie 4
(i)
NIE
)
1
(
...
2
1
1
1
)
1
(
...
)
1
(
1
1
ni
i
i
P
i
i
L
n
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
−
(ii)
TAK
TEORIA ale
t
- duration przy i=0%
cnd
c
k
0
i
przy
duration
å
å
å
å
å
å
<
å
å
<
→
>
→
>
k
t
k
c
v
c
t
k
t
k
tk
k
tk
k
c
v
c
v
v
c
v
c
v
t
v
c
k
k
k
t
k
k
4
8
4
7
6
(iii)
TAK
TEORIA - twierdzenie
Zadanie 5
12
,
0
;
30
2
1
,
0
;
40
1
1
,
0
;
50
1
100000
a
R
a
R
a
R
=
=
å
å
=
+
−
=
+
−
−
=
−
=
30
)
(
2
1
30
12
,
0
2
40
)
(
12
1
50
1
,
0
1
)
1
(
)
1
(
parz
k
k
parz
k
k
v
R
II
v
R
I
ODP=II-I
1
,
0
2
30
11
1
11
37
39
1
1
1
15
1
,
1
1
...
1
,
1
1
1
,
1
1
15
ú
û
ù
ê
ë
é
−
−
−
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
+
−
=
v
v
v
R
R
I
12
,
0
2
30
2
1
27
29
2
1
1
15
12
,
1
1
...
12
,
1
1
12
,
1
1
15
ú
û
ù
ê
ë
é
−
−
−
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
+
−
=
v
v
v
R
R
II
Zadanie 6
bankructw
liczba
-
!
2
)
(
2
02
,
0
100
2
l
e
k
k
l
P
np
k
−
=
=
=
=
⋅
→
=
λ
λ
72
,
108
1
,
1
)
(
45
4
15
4
3
2
3
4
2
2
1
50
45
4
15
4
90
3
2
3
4
100
)
2
2
(
130
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
≈
=
→
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
−
−
−
−
−
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
+
+
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
WYP
E
CENA
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
WYP
E
po jednym bankructwie
130 gdy 0,1 w 99 próbach
100 2,3
90
4,5
1
98
,
1
02
,
0
99
λ
=
=
⋅
50
>5
(
)
100
1
,
1
)
(
2
2
.....
98
,
1
130
)
(
2
98
,
1
98
,
1
≈
=
=→
+
+
=
−
−
WYP
E
CENA
itd
e
e
WYP
E
%
75
,
7
100
2
1
≈
úû
ù
êë
é
−
=
CENA
CENA
ODP
Zadanie 7
Cena wykonania
50
60
70
Cena call
7,8(a)
3,9(c)
1,8(e)
Cena put
4,1(b)
9,4(d)
16,5(f)
1. b(50-x)+d(60-x)+f(70-x)=20
2. a(x-50)+d(60-x)+f(70-x)=120-2x
3. a(x-50)+c(x-60)+f(70-x)=4x-240
4. a(x-50)+c(x-60)+e(x-70)=6x-380
Z tego 8 równa
ń
porównujemy przy x i wyrazy wolne i otrzymujemy:
a- dowolne
b=-a-2
c=4-2a
d=2+2a
e=a+2
f=-a
CENA=7,8a+4,1(-a-2)+3,9(4-2a)+9,4(2+2a)+1,8(a+2)-16,5a=29,8
Zadanie 8
)
6
,
1
;
6
,
0
(
~
)
30
;
10
(
)
30
;
10
(
~
X
X
J
C
X
J
X
∈
ò
+
−
=
−
=
−
=
X
X
X
X
C
X
X
C
dC
X
C
OPzarok
E
6
,
1
20
6
,
1
20
2
200
32
28
,
1
20
2
20
)
(
1
,
1
200
32
28
,
1
X
X
CENA
+
−
=
Pomoc: 20>0,6X bo inaczej X>33,33.. a to niemo
ż
liwe
Je
ś
li 20>1,6X to całka ujemna i tu by nie wyszło, to obejmuj
ą
wyliczenia
10
x
bo
28
,
1
2
96
,
300
4
,
36
0
200
4
,
36
28
,
1
0
4
2
1
2
<
⋅
+
=
→
>
+
−
→
>
−
x
x
x
x
CENA
ò
=
ú
û
ù
ê
ë
é
−
+
−
=
30
1
4
1
,
1
200
1
,
1
32
1
,
1
28
,
1
20
1
)
(
x
A
X
X
WYP
E
55
,
1
1
,
1
≈
=
A
ODP
Zadanie 9
...
)
1
9
1
(
)
1
8
1
(
)
1
7
1
(
)
1
6
1
(
)
1
5
1
(
)
1
4
1
(
)
1
3
1
(
)
1
2
1
(
)
1
1
(
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
+
⋅
+
+
⋅
+
+
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
+
+
+
=
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
R
...
)
3
7
1
(
)
3
6
1
(
)
3
5
1
(
)
3
4
1
(
)
3
3
1
(
)
3
2
1
(
)
3
1
(
10
9
8
7
6
5
4
3
3
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
+
+
+
=
v
v
v
v
v
v
v
v
R
....
)
5
5
1
(
)
5
4
1
(
)
5
3
1
(
)
5
2
1
(
)
5
1
(
10
9
8
7
6
5
5
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
+
+
+
=
v
v
v
v
v
v
R
...
)
7
3
1
(
)
7
2
1
(
)
7
1
(
10
9
8
7
7
+
⋅
+
+
⋅
+
+
+
+
=
v
v
v
v
R
...
)
9
2
1
(
)
9
1
(
11
10
9
9
+
⋅
+
+
+
+
=
v
v
v
R
Pomoc:
...
2
2
11
)
1
(
...
11
...
13
11
5
3
2
3
2
3
+
+
+
=
−
+
=
+
+
=
v
v
v
v
I
v
Iv
v
v
I
gdy stopa jednolita to:
[
]
∞
∞
−
+
=
kvIa
a
v
R
k
k
1
dla k=11,13,...
ú
û
ù
ê
ë
é
+
=
∞
∞
−
1
,
0
;
1
,
0
;
11
10
1
,
1
1
,
1
1
05
,
1
1
a
k
a
R
k
k
2
2
3
1
,
0
;
10
2
10
13
11
1
1
11
1
2
05
,
1
1
1
,
1
1
1
1
05
,
1
1
v
v
v
v
Ia
a
R
S
k
k
−
+
−
+
−
=
=
∞
∞
=
å
dla k=1,3,5,9 troch
ę
gorzej
(
)
[
]
1
,
0
;
1
,
0
;
10
05
,
0
;
10
05
,
0
;
11
1
)
10
(
1
05
,
1
1
05
,
1
1
05
,
1
1
∞
∞
−
−
−
+
−
+
+
ú
û
ù
ê
ë
é
+
=
kIa
a
k
k
kIa
a
R
k
k
k
k
na piechot
ę
liczymy:
[
]
1
,
0
;
1
,
0
;
10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
2
25
90
05
,
1
1
90
75
48
32
22
13
8
4
2
∞
∞
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Ia
a
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
S
9728
2
1
≈
+
S
S
Zadanie 10
X - udział po
ż
yczki
0,1X=(1-X)a
a- udział akcji
f - udział funduszu ale tak,
ż
e a+f=1
8
,
0
6
,
1
5
,
0
)
,
cov(
=
⋅
=
f
A
r
r
r
r
X
f
r
X
a
r
X
f
A
p
+
=
+
−
+
+
−
+
+
1
)
1
)(
1
(
)
1
)(
1
(
)
1
(
Z tego wyliczamy r i liczymy wariancj
ę
któr
ą
minimalizujemy:
Minimalizujemy:
8
,
0
)
1
,
1
1
(
1
,
0
2
)
1
,
1
1
(
56
,
2
1
,
0
2
2
2
x
x
x
x
−
⋅
+
−
+
21000
)
1
(
500000
3
07
,
0
;
5
min
≈
−
=
=
⋅
v
R
ODP
Ra
x
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2005.10.10 matematyka finansowa
2005 05 16 matematyka finansowaid 25340
2005.05.16 matematyka finansowa
2005 12 05 matematyka finansowaid 25347
2005 01 17 matematyka finansowaid 25337
2004 10 11 matematyka finansowaid 25165
1 2006 10 09 matematyka finansowaid 8919
Matematyka finansowa Wyklad 10 F
1 2009 10 05 matematyka finansowaid 8924
2002 10 12 matematyka finansowaid 21647
Egzamin 2003.10.11, rozwiazania zadań aktuarialnych matematyka finansowa
2007.10.08 matematyka finansowa
2008.10.06 matematyka finansowa
Egzamin 2006.10.09, rozwiazania zadań aktuarialnych matematyka finansowa
MATEMATYKA FINANSOWA WYKŁAD 2 (10 03 2012)
więcej podobnych podstron