Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Matematyka Finansowa

Zadanie 1

R - rata dla i-tej transzy i

100000 = R a

1 25

100000 − R = R a

2

22

.................

100000 − ( i − )

1 R = R a

i

∈{

}

6

,...,

1

25−

i

3( i− )

1

zadłużenie po 20 latach:

R a + R a + ... + R a = 200000

1 5

2

5

6

5

6

6

L =

100000

( i

)

1 R

100000

( i

)

1 R

a

R

a

a

5 å

i =

5 å

− −

= 5 å

− −

=

28−3 i

a

i=1

i=1

25− (

3 i− )

1

æ 1 ö

1 − ç

÷

è 05

,

1

ø

05

,

0

æ

5

1 ö

1 − ç

÷

è 0

,

1 5 ø

(100000 − ( i − )1 R) 28−3 i

=

⋅ 0

,

0

å

0

,

1 5

5

=

2 −

0

,

0 5

0

,

1 5 8 3 i −1

é

5 ù

æ 1 ö é100000 ⋅ 0

,

1 525

1

( 00000 − R 0

,

1

)

522

1

( 00000 −

19

= ê

R

1 − ç

÷ ú

2

0

,

1

)

5

ê

+

+

ê

è 0

,

1 5 ø ú

ë

ûë

0

,

1 525 −1

0

,

1 522 −1

0

,

1 519 − 1

1

( 00000 − 3 R ,

1

) 0516

1

( 00000 − 4 R ,

1

) 0513

1

( 00000 − 5 R ,

1

) 0510 ù

+

+

+

ú = 200000

,

1 0516 −1

,

1 0513 −1

,

1 0510 −1

û

100000 ⋅ 0

,

1 525

200000

100000 ⋅ 0

,

1 522

100000 ⋅

19

A =

−

+

+

0

,

1 5

+

0

,

1 525 − 1

æ

5

22

19

1 ö

0

,

1 5

−1

0

,

1 5

−1

1 − ç

÷

è 0

,

1 5 ø

100000 ⋅ ,

1 0516

100000 ⋅ ,

1 0513

100000 ⋅ ,

1 0510

+

+

+

= RB, gdzie

,

1 0516 −1

,

1 0513 −1

,

1 0510 −1

,

1 0522

2 ⋅ ,

1 0519

3 ⋅ ,

1 0516

4 ⋅ ,

1 0513

5 ⋅ ,

1 0510

B =

+

+

+

+

,

1 0522 −1

,

1 0519 −1

,

1 0516 −1

,

1 0513 −1

,

1 0510 −1

= A

R

≈ 6028 ≈ 6000

B

Zadanie 2

x

- tyle procent płaci A do instytucji A

x

- tyle procent płaci B do instytucji B

F – instytucja

zyskA = WIBOR + 1

,

0 5 − 1

( 9 + WIBOR − x ) x

A

= A −18 8

, 5

zyskB = 2 ,

1 25 − ( x + WIBOR + 9

,

0

− WIBOR = 20 3

, 5 − x

B

)

B

zyskF = x − x B

A

ì x

x

x

B −

A =

5

,

0

ì A = 19 3

, 5

í

→ í

î x

x

x

A − 18 8

, 5 = 20 3

, 5 − B

î B = 19 8

, 5

ODP = x

B +

9

,

0

= 19 8

, 5 + 9

,

0

= 20 7

, 5

Zadanie 3

R = 50000 ⋅ 0

,

1 6

1

R = ( 7

,

0 5 ⋅ 50000 ⋅ 0

,

1 6 + 2000 0

,

1

)

6

2

R =

R +

=

⋅

+

⋅

⋅

+

3

( 7,

0 5

2000

2

) 0,

1 6

( 7,

0 52 0

,

1 62 50000

2000

7

,

0 5

0

,

1 6

2000) 0

,

1 6

R =

R +

=

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅

+

4

( 7,

0 5

2000

3

) 0,

1 6

( 7,

0 53 0

,

1 63 50000

2000

7

,

0 52 0

,

1 62

2000

7

,

0 5

0

,

1 6

2000) 0

,

1 6

R =

7

,

0 5 R + 2000 0

,

1 6 =

7

,

0 5

0

,

1 6 ⋅ 50000 + 2000 ⋅ 7

,

0 5

0

,

1 6 + 2000 ⋅ 7

,

0 5

0

,

1 6

5

(

4

)

( 4 4

3

3

2

2

+ 2000 ⋅ 7

,

0 5 ⋅ 0

,

1 6 + 2000) 0

,

1 6

.................................

R

i = [

i−1

i−

7

,

0 5

0

,

1 6 1 ⋅ 50000 + 200 (

0 1 + 7

,

0 5 ⋅ 0

,

1 6 + ... +

i−2

i−

7

,

0 5

0

,

1 6 2 )] 0

,

1 6 =

é

i− ù

i−

i−

−

⋅

1

1

1 ( ,

0 75 ,

1 06) 1

= ê ,

0 75

,

1 06

⋅50000 + 2000

ú ,

1 06

ê

1 − ,

0 75 ⋅ ,

1 06

ë

úû

25

25 é

i 1 ù

i−1

i−1

1 − ( ,

0 75 ⋅ ,

1 06) −

ODP = ,

0 2 å

5

R

i =

,

0 25 ⋅ ,

1 06å ê50000 ⋅ ,

0 75

,

1 06

+ 2000

ú =

i=

1

,

0 75 ,

1 06

9

i=9 ê

ë

−

⋅

úû

é

17

æ

17 ö

8 1 −

7

,

0 5 ⋅ 0

,

1 6

2000

8 1 −

7

,

0 5 ⋅

= ,

0 25 ⋅ 0

,

1 6ê5000 (

0

7

,

0 5 ⋅ 0

,

1 6)

(

)

ç

+

17 − ( 7

,

0 5 ⋅ 0

,

1 6)

(

0

,

1 6)

ù

÷ú ≈

ê

ç

÷

ë

1 − 7

,

0 5 ⋅ 0

,

1 6

1 − 7

,

0 5 ⋅ 0

,

1 6 è

1 − 7

,

0 5 ⋅ 0

,

1 6 øúû

≈ 52084 ≈ 52080

Zadanie 4

Dla i-tego scenariusza

i

PS = 1000 ⋅ 8

,

0 ma R

i

−

1

[x ( )1

,

0

0

,

0 3 0

; ]

i

PS = 1200 ⋅ 8

,

0 ma R

i

−

2

[x ,1

(

)

2

0

,

0 3 0

; ]

R (

)

1

,

0

= 0

,

0 5 ⋅ 3

,

0 + 0

,

0 6 ⋅ 3

,

0 + 1

,

0 ⋅ ,

0 4 =

0

,

0 73

1

R

,

1

(

)

2 =

(

3

,

0

0

,

0 7 + 0

,

0

)

4 + ,

0 4 ⋅ 1

,

0 2 =

0

,

0 81

1

R (

)

1

,

0

=

(

3

,

0

1

,

0 2 + ,

0 2 )

3 + ,

0 4 ⋅ 0

,

0 15 = 1

,

0 11

2

R

,

1

(

)

2 =

(

3

,

0

1

,

0 + 1

,

0 7) + ,

0 4 ⋅ 0

,

0 2 =

0

,

0 89

2

R (

)

1

,

0

=

(

3

,

0

1

,

0 3 + 1

,

0

)

8 + ,

0 4 ⋅ 1

,

0 = 1

,

0 33

3

R

,

1

(

)

2 =

(

3

,

0

0

,

0 8 + 1

,

0

)

4 + ,

0 4 ⋅ 0

,

0 2 =

0

,

0 74

3

R (

)

1

,

0

=

(

3

,

0

0

,

0 3 + 1

,

0

)

2 + ,

0 4 ⋅ 0

,

0 2 =

0

,

0 53

4

R

,

1

(

)

2 =

(

3

,

0

0

,

0 1 + 0

,

0

)

8 + ,

0 4 ⋅ 0

,

0 5 =

0

,

0 47

4

1

PS = 800 ⋅ ,

0 043 = 3 ,

4 4

1

1

PS = 960 ⋅ ,

0 051 = 48 9

, 6

2

2

PS = 800 ⋅ ,

0 081 = 64 8

,

1

2

PS = 960 ⋅ ,

0 059 = 5 ,

6 64

2

3

PS = 800 ⋅ 1

,

0 03 = 8 ,

2 4

1

3

PS = 960 ⋅ ,

0 044 = 4 ,

2 24

2

4

PS = 800 ⋅ ,

0 023 = 1 ,

8 4

1

4

PS = 960 ⋅ ,

0 017 = 16 3

, 2

2

4

i

i

ODP =

PS

PS

,

0 2 å

æ 3 ,

4 4

64 8

,

8 ,

2 4 1 ,

8 4

48 9

, 6

56 6

, 4

4 ,

2 24 16 3

, 2

1

2

+

+

+

+

+

+

ö

5

+

= ,

0 25

+

≈ 84 8

, 4

2

çç

2

÷÷

i=

0

,

1 5

0

,

1 5

0

,

1 5

1

è

0

,

1 5

ø

Zadanie 5

Dygresje:

I = v + v

2 2 + ... + nvn

2

3

+

Iv = v + v

2

+ ... + nvn 1

+

a

1

2

+1

− nvn

I 1

( − v) = v + v + ... + vn − nvn

→ I

n

=

1 − v

I = 16 v + 17 v 2 + ... + 30 v 15

Iv = 16 v 2 + 17 v 3 + ... + 30 v 16

a

+1 v

5 − 30 v 16

I 1

( − v) = 16 v + v 2 + ... + v 15 − 30 v 16 → I = 15

1 − v

21

a

− 20 v

16

16

a

−15 v

a

+15 v − 30 v

20

20

0

,

0 8

+ 20 v

15

15

15

+ 2 v

1 − v

−

−

DA =

1 v

1 v

DP =

20

0

,

0 8 a

+ v

15

a

+ 2 v a

20

15

15

DP − DA ≈

5

,

2

Zadanie 6

Butterfly oznacza, że:

Kupujemy 1 opcję po cenie X

1

Wystawiamy 2 opcje po cenie X

2

Kupujemy 1 opcję po cenie X

3

X < X < X

1

2

3

profil wypłaty:

dla S < X 0

1

dla S ∈ [ X ; X S − X

1

2 )

1

dla S ∈ [ X ; X

2

2

2

2

3 )

S − X 1 − ( S − X 2 ) = X 2 − X 1 − S

dla S ∈ [ X ;∞ S − X − S − X

+ S − X = X − X −

3

)

1

(2 2 2 )

2

1

3

2

3

z powyższego i z obrazka wynika: dla S = X zaczyna maleć czyli X = 120 -

opcja 2

2

2

dla S = X zaczyna rosnąć czyli X = 100 -

opcja 1

1

1

oraz 2 X − X − X = −10 → 2 ⋅120 − X −100 = 1

− 0 → X = 150

-

opcja 3

2

3

1

3

3

P(i) – cena opcji nr i

−

P = P − S + Xe RT , gdzie P

C

P

- cena opcji sprzedaży

P

P

- cena opcji kupna

C

S – cena instrumentu bazowego

X – cena wykonania

R – stopa wolna od ryzyka

−0,05

−0,05

3

,

1 = P )

1

( −120 + 100 e

→ P )

1

(

= 121 3

, −100 e

−0,05

−0,05

,

6 7 = P(2) −120 + 120 e

→ P(2) = 12 ,

6 7 −120 e

0

− ,05

0

− ,05

25 5

, = P )

3

(

−120 +150 e

→ P )

3

(

= 145 5

, −150 e

ODP = P )

1

( − 2 P(2) + P )

3

(

= −10 0

− ,05

e

+1 ,

3 4 ≈ 9

,

3

Zadanie 7

DL(8) – dług po spłacie 8 raty

DL(7) – dług po spłacie 7 raty

Kapitał spłacony w 8 racie = DL(7)-DL(8) ODP=18-DL(7)+DL(8)

18 – 8 rata

2

8

DL(7) = 18 v + 19 v + ... + 25 v 2

7

DL )

8

(

= 19 v + 20 v + ... + 25 v ODP = 18 − (18 v +

2

19 v + ... +

8

25 v −19 v −

2

20 v − ... −

7

25 v ) =

= 18 − (

2

7

8

− v − v − ... − v + 25 v ) 8

8

= 18 + a − 25 v = 17 + a&& − 25 v 7

8

Zadanie 8

2

n

v + v + ... + v dura =

n

1 2

1 n

v +

v + ... +

v

2

n

2

2

2 n

v + 2 v + ... + n v durb =

n

2

n

v + v

2

+ ... + nv

an

dura ≤

= a

n

n

&

&

v

n 2 an

durb ≤

= n 2 a

n

n

&

&

v

stąd

D ≤

n 2

1 +

a

n

( ) n&&

dura ≥ an

n

= 1

an

+

a

1 − v

a − nvn 1

durb

n

≥

=

a b

o Ia

n

=

n

n

n

Ia

−

+1

1 −

n

a

nv n

v

n

1

1

i

1 − v

1 − v

≥

=

=

≥

→ durb ≥ 1

( − v 2

) a

n 1

n

a −

+

nv

a

1 − v

v 1 − v

1

n

n

( n)

n

n

czyli:

1 + 1

( − v 2

) a ≤ D ≤ 1 + n 2 a n

n

(

) n&&

Zadanie 9

p

- prawdopodobieństwo hossy

1

p

- prawdopodobieństwo bessy

2

wtedy:

4 p

p + 2 p

1 + p 2

1

2 = ,

1 4

1 + r

1 + r

ì4 p

p

r

1 +

2 =

1

(

1

,

2

+ )

í

î p

p

r

1 + 2

2 = ,

1

1

(

4 + )

Z tego:

p = ,

0

1

(

4 + r)

1

p =

1

(

1

,

2

+ r) −

1

(

6

,

1

+ r) =

1

(

5

,

0

+ r)

2

1

p + p = 1 → 9

,

0

1

( + r) = 1 → r =

1

2

9

Zadanie 10

w(i) – numery węzłów

c(i) – cena opcji w węźle i

z braku arbitrażu mamy:

ì187 5

, p

112 5

, p

150 e

p

2 e

5

,

1

1 +

2 =

0,07

ïì 1 =

0,07 −

í

→ í

î p

p

1

1 +

2 =

ïî p

5

,

2

2 e

2 =

− 0,07

wyceniamy od prawej strony:

c(8)=c(9)=c(10)=0

c(11)=160-105,46875=54,53125

c(12)=0

c(13)=54,53125

c(14)=54,53125

c(15)=96,711875

c(4)=0

0

− ,07

c )

5

(

= p ⋅ c 1

( )

1 e

2

0

− ,07

c(6) = p c 1

( )

3 e

2

c(7) = [ p c 1

( 4)

p c 1

(

)

5

−

+

e

1

2

] 0,07

0

− ,07

c(2) = c )

5

(

p e

2

c )

3

(

= [ p c )

5

(

p c(7) −

+

e

1

2

] 0,07

ODP = c )

1

(

= [ p c(2) p c )

3

(

e

p p c )

5

(

p p c )

5

(

p c(7) e

1

+ 2

] −0,07 = [ 1 2 + 1 2 + 22 ] −0,0 ⋅72 =

= [

−0,07

p p p c 1

( )

1 e

p p p c 1

( )

1 e

p p c 1

( 4) e

p p c 1

( )

5 e

e

1

2

2

+

−0,07

1

2

2

+ 2

−0,07

2

1

+ 2

−0,07

2

2

] −0,0 ⋅72 =

= [2

2

p p c 1

( )

1

2

+ p p c 1

( 4)

3

+ p c 1

( )

5

− ⋅

e

≈

1

2

1

2

2

] 30,07 20