Przekształcenia przestrzeni 3D



reprezentacja za pomocą
macierzy 4x4



zastosowanie
współrzędnych
jednorodnych



prawoskrętny układ
współrzędnych

Przekształcenia przestrzeni 3D



przedstawimy macierze przekształceń

obiektów względem układu współrzędnych



jeśli dokonujemy przekształceń

osi układu

współrzędnych, to macierze przekształceń

będą

podobne



przykładowo

rotacja

obiektów wokół osi

układu współrzędnych o

pewien kąt

jest

równoważna rotacji układu współrzędnych

wokół tej samej osi o

kąt przeciwny

Translacja 3D



Przesunięcie w układzie 3D jest
rozszerzeniem operacji 2D

To znaczy:































1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

,

,

dz

dy

dx

d

d

d

z

y

x

T













T

z

y

x

T

z

y

x

d

z

d

y

d

x

z

y

x

d

d

d

1

1

,

,











T

Skalowanie 3D



Skalowanie w układzie 3D jest
rozszerzeniem operacji 2D

To znaczy:































1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

,

,

z

y

x

z

y

x

S

S

S

S

S

S

S













T

z

y

x

T

z

y

x

z

S

y

S

x

S

z

y

x

S

S

S

S

1

1

,

,











Rotacja 3D



obrót wokół osi z



obrót wokół osi y



obrót wokół osi x



obrót wokół dowolnej osi

Rotacja 3D



macierz obrotu wokół osi z – rozszerzenie
obrotu 2D

 

 

 

 

 





























1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

cos

sin

0

0

sin

cos











z

R

Rotacja 3D



macierz obrotu wokół osi x

 

 

 

 

 





























1

0

0

0

0

cos

sin

0

0

sin

cos

0

0

0

0

1











x

R

Rotacja 3D



macierz obrotu wokół osi y

 

 

 

 

 





























1

0

0

0

0

cos

0

sin

0

0

1

0

0

sin

0

cos











y

R

Pochylenie 3D



pochylenie w płaszczyźnie (x, y)



stosując operację w stosunku do wektora
[x, y, z, 1]

T

otrzymujemy































1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

,

y

x

y

x

xy

sh

sh

sh

sh

SH





T

y

x

z

z

sh

y

z

sh

x

1









Pochylenie 3D



pochylenie w płaszczyźnie (x, z)



stosując operację w stosunku do wektora
[x, y, z, 1]

T

otrzymujemy































1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

,

z

x

z

x

xz

sh

sh

sh

sh

SH





T

z

x

y

sh

z

y

y

sh

x

1

,

,

,









Pochylenie 3D



pochylenie w płaszczyźnie (y, z)



stosując operację w stosunku do wektora
[x, y, z, 1]

T

otrzymujemy































1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

,

z

y

z

y

yz

sh

sh

sh

sh

SH





T

z

y

x

sh

z

x

sh

y

x

1









Przekształcenia przestrzeni 3D



wszystkie macierze przekształceń posiadają
macierze odwrotne



dla macierzy T poprzez negację T

x

, T

y

, T

z



dla macierzy S poprzez odwrotność S

x

, S

y

, S

z



dla macierzy R poprzez negację kąta

