Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 1)

P

RZESTRZENIE I PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE

1.

Niech S i T b˛ed ˛

a sko´nczenie wymiarowymi podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V . Wyka˙z, ˙ze

(a) Je´sli dim S = dimV , to S = V .

(b) Je´sli dimV = n oraz {v

1

, . . . , v

k

} jest baz ˛

a S, to istniej ˛

a wektory v

k+1

, . . . , v

n

∈ V takie, ˙ze {v

1

, . . . , v

n

} jest baz ˛

a

przestrzeni V .

(c) Je´sli {v

1

, . . . , v

k

} jest baz ˛

a S za´s {v

k+1

, . . . , v

n

} jest baz ˛

a T , to {v

1

, . . . , v

n

} jest baz ˛

a V wtedy i tylko wtedy, gdy

V = S ⊕ T .

2.

Niech U i V b˛ed ˛

a przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Niech {u

1

, . . . , u

n

} b˛edzie baz ˛

a U , za´s {v

1

, . . . , v

n

}

dowolnym układem wektorów przestrzeni V . Wyka˙z, ˙ze:

(a) Istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : U → V takie, ˙ze f (u

i

) = v

i

dla i = 1, . . . , n.

(b) Przekształcenie f jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy {v

1

, . . . , v

n

} jest baz ˛

a V .

(c) U ∼

= V wtedy i tylko wtedy, gdy dimU = dimV .

3.

Niech K b˛edzie ciałem, A = [a

i j

] ∈ K

n

m

oraz b = [b

i

] ∈ K

n

. Oznaczmy, przez A

u

macierz, której pocz ˛

atkowych

n kolumn to kolumny macierzy A a ostatni ˛

a jest kolumna b = [b

i

]. Rozwa˙zmy układ m równa´n liniowych o n

niewiadomych.

A ·






X

1

..

.

X

n






= b

(?)

Wyka˙z, ˙ze:

(a) Układ (?) ma rozwi ˛

azanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(A) = r(A

u

).

(b) Je´sli n = m oraz det A 6= 0, to układ (?) ma dokładnie jedno rozwi ˛

azanie.

(c) Je´sli b = 0, to zbiór rozwi ˛

aza´n układu (?) jest podprzestrzeni ˛

a przestrzeni K

n

o wymiarze równym n − r(A).

4.

Niech V b˛edzie n-wymiarow ˛

a przestrzeni ˛

a liniow ˛

a nad ciałem K, za´s {v

1

, . . . , v

n

} baz ˛

a V . Wska˙z naturalny izo-

morfizm V → K

n

.

5.

Niech V = R[X]

n

= { f ∈ R[X] : deg f ≤ n}, natomiast przekształcenie

δ

: V → V niech przyporz ˛

adkowuje wielo-

mianowi jego pochodn ˛

a. Pokaza´c, ˙ze

δ

jest endomorfizmem przestrzeni V oraz znale´z´c macierz

δ

w bazie:

(a) (1, X , X

2

, . . . , X

n

),

(b) (1, X − c,

(X − c)

2

2!

, . . . ,

(X − c)

n

n!

), gdzie c jest ustalon ˛

a liczb ˛

a rzeczywist ˛

a.

6.

Macierz przekształcenia

ϕ

: K

3

→ K

3

w bazie (

ε

1

,

ε

2

,

ε

3

) ma posta´c

(a)





∗

∗

0

∗

∗

0

∗

∗

1





,

(b)





∗

∗

0

∗

∗

0

∗

∗

0





,

(c)





∗

∗

0

∗

∗

0

0

0

∗





.

Jakie własno´sci przekształcenia

ϕ

mo˙zna st ˛

ad odczyta´c ?

7.

Obliczy´c wielomian charakterystyczny endomorfizmu, który w pewnej bazie ma macierz postaci









−a

n−1

−a

n−2

· · ·

−a

1

−a

0

1

0

· · ·

0

0

0

1

· · ·

0

0

..

.

..

.

. ..

..

.

..

.

0

0

· · ·

1

0










;

(b)










0

0

· · ·

0

−a

0

1

0

· · ·

0

−a

1

0

1

· · ·

0

−a

2

..

.

..

.

. .

.

..

.

..

.

0

0

· · ·

1

−a

n−1










.

Czy ka˙zdy wielomian unormowany, z dokładno´sci ˛

a do znaku, mo˙ze by´c wielomianem charakterystycznym jakiego´s

endomorfizmu ?

8.

Niech

ϕ

: R[X]

3

→ R[X]

3

b˛edzie przekształceniem danym wzorem

ϕ

( f (X )) = ((X + 3) f (X ))

0

. Sprawdzi´c, ˙ze

ϕ

jest

przekształceniem liniowym i obliczy´c jego warto´sci własne i wektory własne.

9.

Dana jest macierz

A =





−3

0

2

−4

1

2

−4

0

3





. Znale´z´c tak ˛

a macierz odwracaln ˛

a C ∈ M

3

(R) aby macierz C

−1

AC była

diagonalna. Obliczy´c A

2001

.

1