Punkt 
nazywamy granicą ciągu 
, gdy dla dowolnego otoczenia standardowego Ug punktu g istnieje 
takie, że dla 
mamy 
i mówimy, że 
xn=g
Podać definicję granicy ciągu punktów z rozszerzonej prostej. Podać twierdzenie o trzech ciągach i twierdzenie o granicy ciągu monotonicznego.
Punkt
nazywamy granicą ciągu
, gdy dla dowolnego otoczenia standardowego Ug punktu g istnieje
takie, że dla
mamy
i mówimy, że
xn=g
Dane są ciągi xn, yn, zn punktów z rozszerzonej prostej takie, że 
dla 
. Jeżeli 
to 
, gdzie 
.
Dany jest ciąg 
. Załóżmy, że ciąg xn jest niemalejący tzn. 
dla 
. Wówczas istnieje 
. Jeśli dodatkowo założymy, że ciąg xn jest ograniczony z góry, to 
R.
Podać definicję zbieżności szeregu liczbowego o wyrazach an i warunek konieczny zbieżności takiego szeregu. Podać wybrane kryteria zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych.
Szereg jest zbieżny, gdy ciąg jego sum częściowych jest zbieżny.
Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu an jest, aby 
.
Kryteria zbieżności szeregu:
Kryterium Cauchy'ego:
Jeśli istnieje 
, to:
-jeśli g<1 to szereg jest zbieżny;
-jeśli g>1 to szereg jest rozbieżny;
Kryterium d'Alemberta:
Załóżmy, że 
. Jeżeli istnieje 
, to:
-jeśli g<1 to szereg jest zbieżny;
-jeśli g>1 to szereg jest rozbieżny;
Jeśli w powyższych kryteriach g=1, to nie dają one rozstrzygnięcia co do zbieżności i trzeba skorzystać z innego kryterium.
Kryterium porównawcze zbieżności szeregu:
Dane są szeregi xn, yn o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje n0 takie, że dla n> n0 mamy 
. Jeśli szereg yn jest zbieżny, to szereg xn jest zbieżny. Jeśli szereg xn jest rozbieżny, to szereg yn jest rozbieżny.
Podać definicję ciągłości funkcji w punkcie i w przedziale oraz interpretację geometryczną ciągłości. Podać przykłady funkcji nieciągłych.
Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie 
, gdy 
. Jeśli f(x) jest ciągła w każdym punkcie przedziału, to mówimy, że jest ciągła na przedziale.
Funkcje nieciągłe:
, dla 
itd. Wymyślicie coś chyba
Podać definicję metryki i przestrzeni metrycznej. Podać definicję zbioru otwartego, domkniętego, punktu skupienia i brzegu zbioru.
Dowolną funkcję 
, spełniającą warunki dla 
1) 
2) 
-symetria
3) 
-nierówność trójkąta
nazywamy metryką lub odległością w zbiorze X, a parę 
nazywamy przestrzenią metryczną.
Mówimy, że E jest zbiorem otwartym, gdy dla dowolnego 
istnieje r>0 takie, że 
.
Zbiór domknięty, jest to taki zbiór, którego dopełnieniem jest zbiór otwarty
Mówimy, że 
jest punktem skupienia zbioru E, gdy dla dowolnego r>0 zbiór 
zawiera punkty zbioru E różne od x. Zbiór punktów skupienia zbioru E oznaczamy Ed i nazywamy pochodną zbioru E.
Brzegiem zbioru nazywamy zbiór punktów brzegowych, czyli takich punktów x, dla których dla dowolnego r>0 zbiór 
ma punkty wspólne z E i z jego dopełnieniem E'=X/E.
Podać definicję przestrzeni zwartej, spójnej i zupełnej. Podać odpowiednie przykłady.
Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest zupełna, gdy każdy ciąg punktów tej przestrzeni spełniający warunek Cauchy'ego jest zbieżny do pewnego 
.
Mówimy, że przestrzeń A jest zwarta, gdy każdy ciąg punktów 
zawiera podciąg 
zbieżny do pewnego 
.
Mówimy, że A jest zbiorem spójnym, gdy nie istnieją zbiory otwarte U i V rozłączne i takie, że 
. W przeciwnym wypadku A nazywamy niespójnym.
Podać definicję przekształcenia ciągłego przestrzeni metrycznych i twierdzenia o równoważnych określeniach ciągłości. Co to jest przekształcenie jednostajnie ciągłe?
Mówimy, że przekształcenie f jest ciągłe w punkcie 
, gdy dla dowolnego ciągu punktów xk z przestrzeni X, jeśli 
, to 
. Jeśli f jest ciągłe w każdym punkcie 
, to mówimy, że f jest przekształceniem jednostajnie ciągłym przestrzeni X w Y
Dla przekształcenia f:X→Y następujące warunki są równoważne:
a) f jest ciągłym przekształceniem X w Y
b) dla każdego 
dowolnego ε>0 istnieje δ>0 taka, że 
c) dla dowolnego zbioru otwartego 
jego przeciwobraz f-1(U) jest zbiorem otwartym w X
d) dla każdego domkniętego 
jego przeciwobraz f-1(F) jest zbiorem domkniętym w X.
Podać twierdzenia o własnościach przekształceń ciągłych, w szczególności twierdzenie o własnościach funkcji ciągłej określonej na przedziale domkniętym.
Jeśli f:X→Y jest ciągłe i A jest zwartym (spójnym)podzbiorem X, to jego obraz f(A) jest (spójnym)zwartym podzbiorem Y.
Ciągły obraz zbioru zwartego (spójnego) jest zbiorem zwartym (spójnym).
Jeśli 
jest niepusty, to f(x)=
określona dla 
jest ciągła.
f:[a,b] →R i f ciągła to f ograniczona, przyjmuje swoje kresy mf(A) oraz Mf(A) oraz ma własność Darboux, tzn. istnieją 
takie, że 
i dla dowolnego 
istnieje 
takie, że f(c)=y.
Podać definicję pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0 i jej interpretację geometryczną.
Jeśli istnieje skończona granica 
, to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy f'(x0). Jeśli istnieje f'(x0) dla dowolnego 
to mówimy, że funkcja jest różniczkowalna na przedziale E (gładka na E) i funkcję f'(x) nazywamy pochodną funkcji f(x).
Geometrycznie, pochodna funkcji f(x) w danym punkcie rowna się współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu w tym punkcie.
Podać warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum w punkcie funkcji różniczkowalnej.
Jeśli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x0 i istnieje f'(x0) to f'(x0)=0
Sformułować twierdzenie Rolle'a i Lagrange'a. Podać przykłady zastosowania tych twierdzeń.
Twierdzenie Rolle'a: Jeśli f:[a,b]→R jest ciągła, istnieje f'(x) dla 
i f(a)=f(b) to istnieje 
takie, że f'(x)=0.
Twierdzenie Lagrange'a: Dana jest funkcja ciągła f:[a,b]→R posiadająca pochodną dla 
. Wówczas istnieje 
takie, że 
.
Podać definicję zbieżności jednostajnej i punktowej ciągu funkcyjnego. Sformułować twierdzenie dotyczące własności granicy ciągu funkcyjnego.
Mówimy, że ciąg funkcji jest zbieżny punktowo do funkcji f na X, gdy dla dowolnego 
mamy 
Mówimy, że ciąg funkcji jest zbieżny jednostajnie do funkcji f, gdy dla dowolnego ε>0 istnieje 
takie, że dla n>n0 i dla dowolnego 
mamy 
i piszemy wówczas 
.
Jeśli fn zbiega jednostajnie do f na X, to fn zbiega punktowo do f na X
Jeśli fn zbiega jednostajnie do f i fn jest ciągiem funkcji ciągłych to f jest ciągła. (Jednostajna granica funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Podać definicję wielomianu Taylora i szeregu Taylora funkcji. Podać przykład zastosowania.
Mamy funkcję f:(a,b)→R ,(a,b)=P, ustalmy 
.
Tworzymy ciąg:
W0(x)=f(x0)
W1(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)
Wk(x) nazywamy wielomianem Taylora stopnia k funkcji f w punkcie x. Szereg Taylora to szereg sum wielomianów Taylora kolejnych stopni.
13. Podać definicję szeregu potęgowego i twierdzenie o jego różniczkowalności. Jak obliczamy promień zbieżności takiego szeregu?
Szereg potęgowy: Mamy dany ciąg liczbowy 
. Szeregiem potęgowym o środku x0 nazywamy szereg postaci: 
.
Promień zbieżności liczymy za pomocą jednego ze wzorów:
Jeśli istnieje 
, to 
Jeśli 
i istnieje 
, to 
Jeżeli szereg potęgowy 
ma promień zbieżnosci R a suma jego rowna się f(x), to szereg potegowy z pochodnych wyraow szeregu pierwotnego 
(x-x0)n=a1+2a2(x-x0)+3a3(x-x0)2+...ma ten sam promien zbieznosci R, a suma jego g(x) jest pochodna sumy szeregu pierwotnego.
14. Podać definicję funkcji pierwotnej dla funkcji f(x). Jakie funkcje mają funkcje pierwotne? Czy funkcja pierwotna jest wyznaczona jednoznacznie?
Funkcję F:P→R nazywamy funkcję pierwotną dla funkcji f, gdy F'(x)=f(x) dla 
.
Funkcję pierwotną ma każda funkcja ciągła na P
Funkcja pierwotna jest wyznaczona z dokładnością do współczynnika c,
15. Podać definicję całki Riemanna z funkcji ciągłej w przedziale [a,b]. Podać interpretację całki oznaczonej i wymienić jej zastosowania.
Mamy dany przedział [a,b], który dzielimy na n przedziałów punktami ciągu an. Tworzymy ciąg cn, który jest ciągiem punktów będących środkami odcinków [an,an+1]. Tworzymy funkcję 
. Definiujemy 
, czyli długość największego odcinka w podziale. Jeżeli istnieje 
przy założeniu, że 
, to wartość tej granicy nazywamy całką Riemanna z f(x) w [a,b] i oznaczamy 
16. Podać definicję σ-algebry M podzbiorów zbioru X. Podać definicję miary określonej na tej σ -algebrze. Podać przykłady.
Klasę M nazywamy σ-algebrą podzbiorów R, gdy spełnione są warunki:
M
M→A'=X/A
M
M, j=1,2,... →
M
Dowolną funkcję μ: M →[0;∞) spełniającą warunki:
1. 
2. Jeżeli Aj (j=1,2,3,..., ∞) są mierzalne należą do M i są parami rozłączne to 
nazywamy miarą określoną na σ-algebrze M.
17. Podać definicję zbioru zaniedbywalnego i zbioru mierzalnego w sensie Lebesgue'a w Rn. Co to jest σ -algebra podzbiorów borelowskich w Rn.
Mówimy, że zbiór 
jest zaniedbywalny, gdy dla każdego ε>0 istnieje ciąg kostek K1, K2, K3,... taki, że 
, oraz 
Mówimy, że zbiór A jest jest mierzalny w sensie Lebesgue'a gdy A=B
C ,gdzie B
B(Rn) i C jest zb. zaniedbywalnym.
Podać definicję całki Lebesgue'a z funkcji charakterystycznej zbioru, funkcji prostej i z funkcji nieujemnej. Podać definicję funkcji całkowalnej w sensie Lebesgue'a.
Jeśli f jest funkcją charakterystyczną zbioru A
M, a więc 
to:
Jeśli f jest funkcją prostą nieujemną, tzn. 
, gdzie 
to:
, przy tym pamiętamy, że zgodnie z umową 
Jeśli f jest funkcją nieujemną, to znaczy 
to:
W ostatniej definicji kres górny należy rozumieć w sensie uogólnionym, tzn. może on być równy ∞. Zatem mierzalna funkcja nieujemna zawsze posiada całkę Lebesgue'a, która może być równa ∞.
Sformułować twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej i zbieżności zmajoryzowanej ciągu funkcji mierzalnych.
Zbieżność monotoniczna:Niech 
będzie ciągiem funkcji mierzalnych takich, że 
i 
. Jeśli dla dowolnego 
istnieje granica 
to funkcja f jest mierzalna oraz 
Zbieżność zmajoryzowana:Niech 
będzie ciągiem funkcji mierzalnych takich, że dla 
istnieje 
. Jeśli istnieje funkcja całkowalna 
taka, że 
i μ prawie wszystkich 
to funkcje f i fn są całkowalne na X oraz
Sformułować twierdzenie Fubiniego i twierdzenie o zamianie zmiennych w całce Lebesgue'a. Opisać na przykładzie ich zastosowanie.
Twierdzenie Fubiniego:
Jeśli 
jest całkowalna na E lub nieujemna na E to:
Twierdzenie o zamianie zmiennych:
Jeśli f jest całkowalna na E lub nieujemna to:
Wymienić własności całki względem dowolnej miary m z funkcji nieujemnej lub całkowalnej.
,
,
, 
Wszystkie te własności wynikają z odpowiednich właściwości całki z funkcji nieujemniej.
Ważne: (wniosek)
Podać definicję funkcji Gamma i opisać jej podstawowe własności. Podać definicję funkcji Beta.
Funkcja Gamma Eulera:
Własności:
Funkcja Beta Eulera:
Podać definicję pochodnej kierunkowej, pochodnej cząstkowej i gradientu funkcji wielu zmiennych. Jaką własność ma wektor gradientu funkcji.
Pochodna kierunkowa:Jeśli istnieje pochodna funkcji fa(t) w punkcie t=0 to mówimy, że funkcja f(x) ma pochodną kierunkową w punkcie x0 w kierunku wektora a. Oznaczamy ją Daf(x0). Zatem
Pochodna cząstkowa:
Pochodną kierunkową w punkcie x0 w kierunku wektora bazowego ej nazywamy pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej xj w punkcie x0 i oznaczamy 
Gradient funkcji wielu zmiennych:
Jeśli istnieją pochodne cząstkowe 
dla j=1,2,...n to wektor
nazywamy gradientem funkcji f w punkcie x0.
Własność gradientu funkcji :Jeśli 
to dla dowolnego 
mamy Daf(x0)=<grad f(x0),a>
Podać definicję różniczki odwzorowania f:Rn->Rk i jej związek z pochodnymi cząstkowymi.
Liniowe odwzorowanie 
nazywamy różniczką funkcji f:E→Rk w punkcie 
, gdy funkcja εf(x) określona dla 
wzorem
spełnia warunek
to odwzorowanie oznaczamy Df(x0). Jego macierz w standardowych bazach w Rn i w Rk to macierz Jacobiego Jf(x0), czyli macierz pochodnych cząstkowych.
Podać warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych klasy C2.
Warunek konieczny: Jeśli funkcja f ma ekstremum w punkcie 
i istnieje gradient funkcji f w punkcie P to grad f(P)=0, to znaczy 
dla j=1,2,...,n. Każdy punkt P spełniający równanie grad f(P)=0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcji.
Warunek dostateczny: Załóżmy, że 
jest punktem stacjonarnym funkcji f. Niech Hf(P) oznacza macierz Hessego funkcji f w punkcie P. Wówczas:
-jeśli macierz Hf(P) jest dodatnio określona, to w punkcie P jest minimum (właściwe) funkcji f;
-jeśli macierz Hf(P) jest ujemnie określona to w punkcie P jest maksimum (właściwe) funkcji f;
-jeśli macierz Hf(P) jest nieokreślona to w punkcie P funkcja nie ma ekstremum.
Sformułować twierdzenie Lagrange'a o ekstremum warunkowym funkcji różniczkowalnej. Opisać metodę wyznaczania największej i najmniejszej wartości takiej funkcji na zbiorze zwartym.
Niech 
. Załóżmy, że dla dowolnego 
rząd macierzy 
jest równy k (czyli liczbie warunków określających zbiór D). Jeśli funkcja f ma ekstremum warunkowe w punkcie 
to wektory 
dla 
są liniowo niezależne , to znaczy istnieją liczby 
takie, że 
Algorytm wyznaczania punktów , w których funkcja f może mieć ekstremum warunkowe na zbiorze D:
1° dla ustalonych parametrów
definiujemy funkcję 
następująco
Funkcję nazywamy funkcja Lagrange'a a parametry 
nazywamy mnożnikami Lagrange'a.
2° obliczamy gradient funkcji F
3° wyznaczmy punkty stacjonarne funkcji F na zbiorze D oraz wartości parametrów 
rozwiązując układ równań:
Jest to układ n + k równań o n + k niewiadomych (n współrzędnych punktu x i k parametrów 
).
Podać definicję funkcji wypukłej i opisać jej własności. Sformułować twierdzenia o równoważnych określeniach wypukłości.
Niech E będzie niepustym i wypukłym podzbiorem Rn i niech 
.
Mówimy, że funkcja f jest wypukła na zbiorze E gdy dla dowolnych 
i dowolnego 
mamy 
Funkcja f jest wypukła na zbiorze E wtedy gdy jej nadwykres 
jest zbiorem wypukłym.
(Nierówność Jensena) Jeśli funkcja f jest wypukła na zbiorze E to dla dowolnych punktów 
i dowolnych liczb 
takich, że 
mamy 
Sformułować twierdzenia o wartościach funkcji wypukłej na zbiorze otwartym i wypukłym.
Niech E będzie niepustym i wypukłym podzbiorem Rn i niech 
.
Jeśli zbiór E jest otwarty i funkcja f jest wypukła na E to f jest ciągła na E, to znaczy 
Załóżmy, że E jest niepustym, wypukłym i otwartym podzbiorem Rn . Zatem 
jest zbiorem wypukłym i domkniętym. Niech 
będzie funkcja klasy C1, to znaczy 
Funkcja f jest wypukła na zbiorze E wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego 
mamy 
Załóżmy, że 
. Funkcja f jest wypukła na zbiorze E wtedy gdy dla dowolnego 
macierz Hessego tej funkcji 
jest nieujemnie określona.
Sformułować zagadnienie Cauchy'ego dla układu równań różniczkowych x'=f(t,x). Sformułować twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia Cauchy'ego.
Ustalam punkt 
. Należy wyznaczyć krzywą całkową równania 
przechodząca przez punkt 
tzn. wyznaczyć krzywą x(t) określoną na przedziale otwartym 
taką, że
1° 
warunek początkowy
2° funkcja x(t) określona dla 
jest rozwiązaniem równania
Twierdzenie o istnieniu rozwiązania: Jeśli funkcja 
jest ciągła w G to przez każdy punkt
przechodzi maksymalna krzywa całkowa równania 
tzn. istnieje maksymalne rozwiązanie x(t) zagadnienia Cauchey'ego spełniające warunek 
.
Twierdzenie o jednoznaczności rozwiązania:Jeśli funkcja 
jest ciągła w G oraz istnieją i są ciągle w G pochodne cząstkowe
, gdzie 
to przez każdy punkt 
przechodzi dokładnie jedna maksymalna krzywa całkowa równania 
Podać definicję stopy wzrostu funkcji i elastyczności funkcji i opisać ich własności.
Stopa wzrostu:
Stopa wzrostu funkcji to względna zmiana wartości funkcji
Elastyczność funkcji:
Elastyczność funkcji w punkcie t jest dana wzorem:
jesli f(x) >=0 to f+(x)= f(x) i f-(x)=0
wtedy
f(x)= f+(x) - f-(x)= f(x) - 0= f(x)
|f(x)|=f+(x) + f-(x)=f(x) + 0= f(x)=|f(x)|
jesli f(x)<0 to f+(x)=0 i f-(x)= - f(x)
wtedy
f(x)=f+(x) - f-(x)= 0 - (-f(x))= f(x)
|f(x)|= f+(x) + f-(x)=0 + (-f(x))= -f(x)=|f(x)|
f+(x) wynosi 0 dla f(x)<0 i f(x) dla f(x)>=0
f-(x) wynosi 0 dla f(x)>0 i -f(x) dla f(x)<=0