1. Podać definicję granicy ciągu punktów z rozszerzonej prostej. Podać twierdzenie o trzech ciągach i twierdzenie o granicy ciągu monotonicznego.

Punkt
nazywamy granicą ciągu
, gdy dla dowolnego otoczenia standardowego U_g punktu g istnieje
takie, że dla
mamy
i mówimy, że
x_n=g

Dane są ciągi x_n, y_n, z_n punktów z rozszerzonej prostej takie, że
dla
. Jeżeli
to
, gdzie
.

Dany jest ciąg
. Załóżmy, że ciąg x_n jest niemalejący tzn.
dla
. Wówczas istnieje
. Jeśli dodatkowo założymy, że ciąg x_n jest ograniczony z góry, to
R.

2. Podać definicję zbieżności szeregu liczbowego o wyrazach a_n i warunek konieczny zbieżności takiego szeregu. Podać wybrane kryteria zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych.

Szereg jest zbieżny, gdy ciąg jego sum częściowych jest zbieżny.

Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu a_n jest, aby
.

Kryteria zbieżności szeregu:

Kryterium Cauchy'ego:

Jeśli istnieje
, to:

-jeśli g<1 to szereg jest zbieżny;

-jeśli g>1 to szereg jest rozbieżny;

Kryterium d'Alemberta:

Załóżmy, że
. Jeżeli istnieje
, to:

-jeśli g<1 to szereg jest zbieżny;

-jeśli g>1 to szereg jest rozbieżny;

Jeśli w powyższych kryteriach g=1, to nie dają one rozstrzygnięcia co do zbieżności i trzeba skorzystać z innego kryterium.

Kryterium porównawcze zbieżności szeregu:

Dane są szeregi x_n, y_n o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje n₀ takie, że dla n> n₀ mamy
. Jeśli szereg y_n jest zbieżny, to szereg x_n jest zbieżny. Jeśli szereg x_n jest rozbieżny, to szereg y_n jest rozbieżny.

3. Podać definicję ciągłości funkcji w punkcie i w przedziale oraz interpretację geometryczną ciągłości. Podać przykłady funkcji nieciągłych.

Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie
, gdy
. Jeśli f(x) jest ciągła w każdym punkcie przedziału, to mówimy, że jest ciągła na przedziale.

Funkcje nieciągłe:

, dla
itd. Wymyślicie coś chyba

4. Podać definicję metryki i przestrzeni metrycznej. Podać definicję zbioru otwartego, domkniętego, punktu skupienia i brzegu zbioru.

Dowolną funkcję
, spełniającą warunki dla

1)

2)
-symetria

3)
-nierówność trójkąta

nazywamy metryką lub odległością w zbiorze X, a parę
nazywamy przestrzenią metryczną.

Mówimy, że E jest zbiorem otwartym, gdy dla dowolnego
istnieje r>0 takie, że
.

Zbiór domknięty, jest to taki zbiór, którego dopełnieniem jest zbiór otwarty

Mówimy, że
jest punktem skupienia zbioru E, gdy dla dowolnego r>0 zbiór
zawiera punkty zbioru E różne od x. Zbiór punktów skupienia zbioru E oznaczamy E^d i nazywamy pochodną zbioru E.

Brzegiem zbioru nazywamy zbiór punktów brzegowych, czyli takich punktów x, dla których dla dowolnego r>0 zbiór
ma punkty wspólne z E i z jego dopełnieniem E'=X/E.

5. Podać definicję przestrzeni zwartej, spójnej i zupełnej. Podać odpowiednie przykłady.

Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest zupełna, gdy każdy ciąg punktów tej przestrzeni spełniający warunek Cauchy'ego jest zbieżny do pewnego
.

Mówimy, że przestrzeń A jest zwarta, gdy każdy ciąg punktów
zawiera podciąg
zbieżny do pewnego
.

Mówimy, że A jest zbiorem spójnym, gdy nie istnieją zbiory otwarte U i V rozłączne i takie, że
. W przeciwnym wypadku A nazywamy niespójnym.

6. Podać definicję przekształcenia ciągłego przestrzeni metrycznych i twierdzenia o równoważnych określeniach ciągłości. Co to jest przekształcenie jednostajnie ciągłe?

Mówimy, że przekształcenie f jest ciągłe w punkcie
, gdy dla dowolnego ciągu punktów x_k z przestrzeni X, jeśli
, to
. Jeśli f jest ciągłe w każdym punkcie
, to mówimy, że f jest przekształceniem jednostajnie ciągłym przestrzeni X w Y

Dla przekształcenia f:X→Y następujące warunki są równoważne:

a) f jest ciągłym przekształceniem X w Y

b) dla każdego
dowolnego ε>0 istnieje δ>0 taka, że

c) dla dowolnego zbioru otwartego
jego przeciwobraz f^-1(U) jest zbiorem otwartym w X

d) dla każdego domkniętego
jego przeciwobraz f^-1(F) jest zbiorem domkniętym w X.

7. Podać twierdzenia o własnościach przekształceń ciągłych, w szczególności twierdzenie o własnościach funkcji ciągłej określonej na przedziale domkniętym.

Jeśli f:X→Y jest ciągłe i A jest zwartym (spójnym)podzbiorem X, to jego obraz f(A) jest (spójnym)zwartym podzbiorem Y.

Ciągły obraz zbioru zwartego (spójnego) jest zbiorem zwartym (spójnym).

Jeśli
jest niepusty, to f(x)=
określona dla
jest ciągła.

f:[a,b] →R i f ciągła to f ograniczona, przyjmuje swoje kresy m_f(A) oraz M_f(A) oraz ma własność Darboux, tzn. istnieją
takie, że
i dla dowolnego
istnieje
takie, że f(c)=y.

8. Podać definicję pochodnej funkcji f(x) w punkcie x₀ i jej interpretację geometryczną.

Jeśli istnieje skończona granica
, to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x₀ i oznaczamy f'(x₀). Jeśli istnieje f'(x₀) dla dowolnego
to mówimy, że funkcja jest różniczkowalna na przedziale E (gładka na E) i funkcję f'(x) nazywamy pochodną funkcji f(x).

Geometrycznie, pochodna funkcji f(x) w danym punkcie rowna się współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu w tym punkcie.

9. Podać warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum w punkcie funkcji różniczkowalnej.

Jeśli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x₀ i istnieje f'(x₀) to f'(x₀)=0

10. Sformułować twierdzenie Rolle'a i Lagrange'a. Podać przykłady zastosowania tych twierdzeń.

Twierdzenie Rolle'a: Jeśli f:[a,b]→R jest ciągła, istnieje f'(x) dla
i f(a)=f(b) to istnieje
takie, że f'(x)=0.

Twierdzenie Lagrange'a: Dana jest funkcja ciągła f:[a,b]→R posiadająca pochodną dla
. Wówczas istnieje
takie, że
.

11. Podać definicję zbieżności jednostajnej i punktowej ciągu funkcyjnego. Sformułować twierdzenie dotyczące własności granicy ciągu funkcyjnego.

Mówimy, że ciąg funkcji jest zbieżny punktowo do funkcji f na X, gdy dla dowolnego
mamy

Mówimy, że ciąg funkcji jest zbieżny jednostajnie do funkcji f, gdy dla dowolnego ε>0 istnieje
takie, że dla n>n₀ i dla dowolnego
mamy
i piszemy wówczas
.

Jeśli f_n zbiega jednostajnie do f na X, to f_n zbiega punktowo do f na X

Jeśli f_n zbiega jednostajnie do f i f_n jest ciągiem funkcji ciągłych to f jest ciągła. (Jednostajna granica funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

12. Podać definicję wielomianu Taylora i szeregu Taylora funkcji. Podać przykład zastosowania.

Mamy funkcję f:(a,b)→R ,(a,b)=P, ustalmy
.

Tworzymy ciąg:

W₀(x)=f(x₀)

W₁(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)

W_k(x) nazywamy wielomianem Taylora stopnia k funkcji f w punkcie x. Szereg Taylora to szereg sum wielomianów Taylora kolejnych stopni.

13. Podać definicję szeregu potęgowego i twierdzenie o jego różniczkowalności. Jak obliczamy promień zbieżności takiego szeregu?

Szereg potęgowy: Mamy dany ciąg liczbowy
. Szeregiem potęgowym o środku x₀ nazywamy szereg postaci:
.

Promień zbieżności liczymy za pomocą jednego ze wzorów:

Jeśli istnieje
, to

Jeśli
i istnieje
, to

Jeżeli szereg potęgowy
ma promień zbieżnosci R a suma jego rowna się f(x), to szereg potegowy z pochodnych wyraow szeregu pierwotnego
(x-x₀)ⁿ=a₁+2a₂(x-x₀)+3a₃(x-x₀)²+...ma ten sam promien zbieznosci R, a suma jego g(x) jest pochodna sumy szeregu pierwotnego.

14. Podać definicję funkcji pierwotnej dla funkcji f(x). Jakie funkcje mają funkcje pierwotne? Czy funkcja pierwotna jest wyznaczona jednoznacznie?

Funkcję F:P→R nazywamy funkcję pierwotną dla funkcji f, gdy F'(x)=f(x) dla
.

Funkcję pierwotną ma każda funkcja ciągła na P

Funkcja pierwotna jest wyznaczona z dokładnością do współczynnika c,

15. Podać definicję całki Riemanna z funkcji ciągłej w przedziale [a,b]. Podać interpretację całki oznaczonej i wymienić jej zastosowania.

Mamy dany przedział [a,b], który dzielimy na n przedziałów punktami ciągu a_n. Tworzymy ciąg c_n, który jest ciągiem punktów będących środkami odcinków [a_n,a_n+1]. Tworzymy funkcję
. Definiujemy
, czyli długość największego odcinka w podziale. Jeżeli istnieje
przy założeniu, że
, to wartość tej granicy nazywamy całką Riemanna z f(x) w [a,b] i oznaczamy

16. Podać definicję σ-algebry M podzbiorów zbioru X. Podać definicję miary określonej na tej σ -algebrze. Podać przykłady.

Klasę M nazywamy σ-algebrą podzbiorów R, gdy spełnione są warunki:

M

M→A'=X/A
M

M, j=1,2,... →
M

Dowolną funkcję μ: M →[0;∞) spełniającą warunki:

1.

2. Jeżeli Aj (j=1,2,3,..., ∞) są mierzalne należą do M i są parami rozłączne to

nazywamy miarą określoną na σ-algebrze M.

17. Podać definicję zbioru zaniedbywalnego i zbioru mierzalnego w sensie Lebesgue'a w Rⁿ. Co to jest σ -algebra podzbiorów borelowskich w Rⁿ.

Mówimy, że zbiór
jest zaniedbywalny, gdy dla każdego ε>0 istnieje ciąg kostek K₁, K₂, K₃,... taki, że
, oraz

Mówimy, że zbiór A jest jest mierzalny w sensie Lebesgue'a gdy A=B
C ,gdzie B
B(Rⁿ) i C jest zb. zaniedbywalnym.

18. Podać definicję całki Lebesgue'a z funkcji charakterystycznej zbioru, funkcji prostej i z funkcji nieujemnej. Podać definicję funkcji całkowalnej w sensie Lebesgue'a.

Jeśli f jest funkcją charakterystyczną zbioru A
M, a więc
to:

Jeśli f jest funkcją prostą nieujemną, tzn.
, gdzie
to:

, przy tym pamiętamy, że zgodnie z umową

Jeśli f jest funkcją nieujemną, to znaczy
to:

W ostatniej definicji kres górny należy rozumieć w sensie uogólnionym, tzn. może on być równy ∞. Zatem mierzalna funkcja nieujemna zawsze posiada całkę Lebesgue'a, która może być równa ∞.

13. Sformułować twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej i zbieżności zmajoryzowanej ciągu funkcji mierzalnych.

Zbieżność monotoniczna:Niech
będzie ciągiem funkcji mierzalnych takich, że
i
. Jeśli dla dowolnego
istnieje granica
to funkcja f jest mierzalna oraz

Zbieżność zmajoryzowana:Niech
będzie ciągiem funkcji mierzalnych takich, że dla
istnieje
. Jeśli istnieje funkcja całkowalna
taka, że
i μ prawie wszystkich
to funkcje f i f_n są całkowalne na X oraz

14. Sformułować twierdzenie Fubiniego i twierdzenie o zamianie zmiennych w całce Lebesgue'a. Opisać na przykładzie ich zastosowanie.

Twierdzenie Fubiniego:

Jeśli
jest całkowalna na E lub nieujemna na E to:

Twierdzenie o zamianie zmiennych:

Jeśli f jest całkowalna na E lub nieujemna to:

15. Wymienić własności całki względem dowolnej miary m z funkcji nieujemnej lub całkowalnej.

_,
,
,

Wszystkie te własności wynikają z odpowiednich właściwości całki z funkcji nieujemniej.

Ważne: (wniosek)

16. Podać definicję funkcji Gamma i opisać jej podstawowe własności. Podać definicję funkcji Beta.

Funkcja Gamma Eulera:

Własności:

Funkcja Beta Eulera:

17. Podać definicję pochodnej kierunkowej, pochodnej cząstkowej i gradientu funkcji wielu zmiennych. Jaką własność ma wektor gradientu funkcji.

Pochodna kierunkowa:Jeśli istnieje pochodna funkcji f_a(t) w punkcie t=0 to mówimy, że funkcja f(x) ma pochodną kierunkową w punkcie x₀ w kierunku wektora a. Oznaczamy ją D_af(x₀). Zatem

Pochodna cząstkowa:

Pochodną kierunkową w punkcie x₀ w kierunku wektora bazowego e_j nazywamy pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x_j w punkcie x₀ i oznaczamy

Gradient funkcji wielu zmiennych:

Jeśli istnieją pochodne cząstkowe
dla j=1,2,...n to wektor
nazywamy gradientem funkcji f w punkcie x₀.

Własność gradientu funkcji :Jeśli
to dla dowolnego
mamy D_af(x₀)=<grad f(x0),a>

18. Podać definicję różniczki odwzorowania f:Rⁿ->R^k i jej związek z pochodnymi cząstkowymi.

Liniowe odwzorowanie
nazywamy różniczką funkcji f:E→R^k w punkcie
, gdy funkcja ε_f(x) określona dla
wzorem
spełnia warunek
to odwzorowanie oznaczamy Df(x₀). Jego macierz w standardowych bazach w Rⁿ i w R^k to macierz Jacobiego J_f(x₀), czyli macierz pochodnych cząstkowych.

19. Podać warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych klasy C2.

Warunek konieczny: Jeśli funkcja f ma ekstremum w punkcie
i istnieje gradient funkcji f w punkcie P to grad f(P)=0, to znaczy
dla j=1,2,...,n. Każdy punkt P spełniający równanie grad f(P)=0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcji.

Warunek dostateczny: Załóżmy, że
jest punktem stacjonarnym funkcji f. Niech H_f(P) oznacza macierz Hessego funkcji f w punkcie P. Wówczas:

-jeśli macierz H_f(P) jest dodatnio określona, to w punkcie P jest minimum (właściwe) funkcji f;

-jeśli macierz H_f(P) jest ujemnie określona to w punkcie P jest maksimum (właściwe) funkcji f;

-jeśli macierz H_f(P) jest nieokreślona to w punkcie P funkcja nie ma ekstremum.

20. Sformułować twierdzenie Lagrange'a o ekstremum warunkowym funkcji różniczkowalnej. Opisać metodę wyznaczania największej i najmniejszej wartości takiej funkcji na zbiorze zwartym.

Niech
. Załóżmy, że dla dowolnego
rząd macierzy
jest równy k (czyli liczbie warunków określających zbiór D). Jeśli funkcja f ma ekstremum warunkowe w punkcie
to wektory
dla
są liniowo niezależne , to znaczy istnieją liczby
takie, że

Algorytm wyznaczania punktów , w których funkcja f może mieć ekstremum warunkowe na zbiorze D:

1° dla ustalonych parametrów
definiujemy funkcję
następująco

Funkcję nazywamy funkcja Lagrange'a a parametry
nazywamy mnożnikami Lagrange'a.

2° obliczamy gradient funkcji F

3° wyznaczmy punkty stacjonarne funkcji F na zbiorze D oraz wartości parametrów
rozwiązując układ równań:
Jest to układ n + k równań o n + k niewiadomych (n współrzędnych punktu x i k parametrów
).

21. Podać definicję funkcji wypukłej i opisać jej własności. Sformułować twierdzenia o równoważnych określeniach wypukłości.

Niech E będzie niepustym i wypukłym podzbiorem Rⁿ i niech
.

Mówimy, że funkcja f jest wypukła na zbiorze E gdy dla dowolnych
i dowolnego
mamy

Funkcja f jest wypukła na zbiorze E wtedy gdy jej nadwykres
jest zbiorem wypukłym.

(Nierówność Jensena) Jeśli funkcja f jest wypukła na zbiorze E to dla dowolnych punktów
i dowolnych liczb
takich, że
mamy

22. Sformułować twierdzenia o wartościach funkcji wypukłej na zbiorze otwartym i wypukłym.

Niech E będzie niepustym i wypukłym podzbiorem Rⁿ i niech
.

Jeśli zbiór E jest otwarty i funkcja f jest wypukła na E to f jest ciągła na E, to znaczy

Załóżmy, że E jest niepustym, wypukłym i otwartym podzbiorem Rⁿ . Zatem
jest zbiorem wypukłym i domkniętym. Niech
będzie funkcja klasy C¹, to znaczy

Funkcja f jest wypukła na zbiorze E wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego
mamy

Załóżmy, że
. Funkcja f jest wypukła na zbiorze E wtedy gdy dla dowolnego
macierz Hessego tej funkcji
jest nieujemnie określona.

23. Sformułować zagadnienie Cauchy'ego dla układu równań różniczkowych x'=f(t,x). Sformułować twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia Cauchy'ego.

Ustalam punkt
. Należy wyznaczyć krzywą całkową równania
przechodząca przez punkt
tzn. wyznaczyć krzywą x(t) określoną na przedziale otwartym
taką, że

1°
warunek początkowy

2° funkcja x(t) określona dla
jest rozwiązaniem równania

Twierdzenie o istnieniu rozwiązania: Jeśli funkcja
jest ciągła w G to przez każdy punkt
przechodzi maksymalna krzywa całkowa równania
tzn. istnieje maksymalne rozwiązanie x(t) zagadnienia Cauchey'ego spełniające warunek
.

Twierdzenie o jednoznaczności rozwiązania:Jeśli funkcja
jest ciągła w G oraz istnieją i są ciągle w G pochodne cząstkowe
, gdzie
to przez każdy punkt
przechodzi dokładnie jedna maksymalna krzywa całkowa równania

24. Podać definicję stopy wzrostu funkcji i elastyczności funkcji i opisać ich własności.

Stopa wzrostu:

Stopa wzrostu funkcji to względna zmiana wartości funkcji

Elastyczność funkcji:

Elastyczność funkcji w punkcie t jest dana wzorem:

jesli f(x) >=0 to f⁺(x)= f(x) i f^-(x)=0
wtedy
f(x)= f⁺(x) - f^-(x)= f(x) - 0= f(x)
|f(x)|=f⁺(x) + f^-(x)=f(x) + 0= f(x)=|f(x)|

jesli f(x)<0 to f⁺(x)=0 i f^-(x)= - f(x)
wtedy
f(x)=f⁺(x) - f^-(x)= 0 - (-f(x))= f(x)
|f(x)|= f⁺(x) + f^-(x)=0 + (-f(x))= -f(x)=|f(x)|

f⁺(x) wynosi 0 dla f(x)<0 i f(x) dla f(x)>=0
f^-(x) wynosi 0 dla f(x)>0 i -f(x) dla f(x)<=0

---