1. POCHODNA granica ilorazu różnicowego. Tangens kąta pomiędzy styczną do wykresu funkcji w punkcie x₀, f(x₀) z osią OX. (POCHODNA Z KAŻDEJ LICZBY R = 1)

2. POCHODNA FUNKCJI W PUNKCIE Granicę właściwą (jeżeli istnieje) ilorazu różnicowego f(x0+h)-f(x0) / h dla h dążącego do 0 nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f `(x0) = lim h→0 f(x0+h)-f(x0) / h = lim x→x0 f(x)-f(x0) / x-x0 = ∆y / ∆x. Jeżeli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x to: 1 [c∙f(x)] '= c∙f `(x) dla dowolnej stałej c nal. do R; 2 [f(x)±g(x)] '=f '(x)±g '(x); 3 [f(x) ∙g(x)] '=f '(x)∙g(x)+g '(x)∙f(x); 4 []'= , gdy g(x)≠0; 5 {f[g(x)]} '=f '[g(x)]∙g '(x), gdy funkcja f ma pochodną w punkcie g(x), a funkcja g w punkcie x.

3. POCHODNEA FUNKCJI W PUNKCIE - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA Pochodna f `(x0) jest równa tangensowi kąta alfa, jaki tworzy z osią OX styczna do wykresu funkcji y=f(x) w punkcie o odciętej x0.

4. RÓWNANIE STYCZNEJ DO WYKRESU FUNKCJI y=f(x) W PUNKCIE (x0, f(x0)) y-f(x0)=f `(x0)(x-x0).

5. POCHODNE JEDNOSTRONNE FUNKCJI Jeżeli iloraz różnicowy f(x)-f(x0) / x-x0 ma granicę jednostronną w punkcie x0, to granicę tę nazywamy pochodną jednostronną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy odpowiednio symbolami: f `<sub>±</sub>(x0) = lim x→x0<sup>±</sup> f(x)-f(x0) / x-x0 (+ prawostronna, - lewostronna). Pochodna f `(x0) istnieje ↔ obie pochodne jednostronne istnieją i są równe.

6. FUNKCJA POCHODNEJ FUNKCJI f Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie x pewnego przedziału (lub innego zbioru punktów), to określoną na tym przedziale (zbiorze) funkcję f `(x) = lim ∆x→0 f(x+∆x)-f(x) / ∆x nazywamy funkcją pochodną funkcji f.

7. DRUGA POCHODNA Jeżeli funkcja pochodna f ` jest różniczkowalna, to pochodną funkcji f ` nazywamy pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną) funkcji f i oznaczamy symbolem f `'. f `'(x)=(f `) '(x).

8. POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Wzór funkcji y=f(x)	Pochodna f '(x)	Uwagi
f (x) = c	(c) ` = 0	c R
f (x) = ax + b	(ax + b) ` = a
f (x) = ax^2 + bx + c	(ax^2+bx+c)` = 2ax+b
f (x) = x^a	(x^a) ` = a ∙ x^a^-1	a R \ {0,1}
f (x) = √x	(√x) ` = 1 / 2√x	x > 0
f (x) = a / x	(a / x) ` = -a / x^2	x ≠ 0
f (x) = ^n√x	(^n√x) `= 1 / n ∙ ^n√x^n^-1 n należy do N \{0,1}	x > 0
f (x) = sin x	(sin x) ` = cos x
f (x) = cos x	(cos x) ` = - sin x
f (x) = tg x	(tg x) ` = 1 / cos^2 x	x≠π/2+kπ dla k C
f (x) = ctg x	(ctg x) ` = - 1 / sin^2 x	x ≠ kπ dla k C
f (x) = a^x	(a^x) ` = a^x ∙ ln a	a > 0
f (x) = e^x	(e^x) ` = e^x
f (x) = ln x	(ln x) ` = 1 / x	x > 0
f (x) = ln |x|	(ln |x|) ` = 1 / x	x ≠ 0
f (x) = logax	(logax) ` = 1 / x ln a	a > 0; a ≠ 1; x > 0
f (x) = arc sin x	(arc sin x) `=1/√1-x^2	|x| < 1
f (x) = arc cos x	(arc cosx)`=-1/√1-x^2	|x| < 1
f (x) = arc tg x	(arc tg x) `=1 / 1+x^2
f (x) = arc ctg x	(arc ctg x)`= -1/1+x^2

h(x) = (f∙g)(x) = f(g(x)); h'(x) = f `(g(x))∙g'(x)

9. REGUŁA DE L'HOSPITALA Jeżeli funkcje f i h są określone i różniczkowalne w sąsiedztwie punktu x0, h(x)≠0 i h'(x)≠0 oraz zachodzi jeden z następujących warunków: lim x→x0 f(x) = lim x→x0 h(x) = 0 lub lim x→x0 f(x) = ±∞ i lim x→x0 h(x) = ±∞ i jeśli istnieje granica lim x→x0 f ` (x) / h'(x), to istnieje granica lim x→x0 f(x) / h(x), przy czym: lim x→x0 f(x) / h(x) = lim x→x0 f ` (x) / h'(x). Reguła ta jest również prawdziwa dla granic jednostronnych oraz dla granic w nieskończoności. Jeżeli granica jest nieokreślona (0/0; ∞/∞; 0∙∞; ∞ - ∞; 0⁰; ∞⁰; 1^∞) to należy obliczyć pochodne (osobno w liczniku i osobno w mianowniku - nie korzystając ze wzorów wcześniejszych).

10. RÓŻNICZKI TWIERDZENIE ROLLE'A Funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle'a, gdy jest ciągła na przedziale domkniętym <a,b>, ma pochodną (jest różniczkowalna) we wnętrzu tego przedziału oraz jej wartości na końcach przedziału są jednakowe f(a)=f(b). Wówczas istnieje taki punkt c
(a,b), że f `(c)=0. Styczna do wykresu funkcji f w punkcie (c,f(c)) jest równoległa do OX.

11. TWIERDZENIE LAGRANGE'A Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła na przedziale domkniętym <a,b> i ma pochodną (jest różniczkowalna) na przedziale otwartym (a,b), to istnieje punkt c
(a,b) taki, że f(b)-f(a) / b-a =f ` (c). Styczna do wykresu funkcji f w punkcie (c,f(c)) jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty (a,f(a)) i (b,f(b)). Wnioski: Jeżeli funkcja y=f(x) jest różniczkowalna w przedziale (a,b), to dla: f `(x)=0 → funkcja jest stała; f `(x)>0 → funkcja jest rosnąca; f `(x)<0 → funkcja jest malejąca. Wnioski pozostają prawdziwe dla przedziałów: (-∞;b), (a; ∞), (-∞;∞).

12. WZÓR TAYLOR'A Wzór Taylor'a dla funkcji f, punktu x0 oraz liczby naturalnej n ma postać:

gdzie c jest pewną liczbą między x0 i x. Wyrażenie z „(n)” i „(c)” - to ostatnie - nazywamy n-tą resztą Lagrange'a.

13. FUNKCJA RÓŻNICZKOWALNA W PUNKCIE x0 Funkcję f zmiennej rzeczywistej określoną w pewnym otoczeniu punktu x0 nazywamy różniczkowalną w punkcie x0 ↔ istnieje pochodna funkcji f w punkcie x0. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, to jest w tym punkcie ciągła.

Funkcja f nie jest różniczkowalna Funkcja g jest różniczkowalna

w punkcie x0 w punkcie x0

Różniczkowalność funkcji f w punkcie x0 badamy: obliczając granicę

lim x→x0 f(x)-f(x0) / x-x0 albo obliczając lim x→x0^± f(x)-f(x0) / x-x0 = f±`(x0) dwa razy: dla (+) i (-) osobno oraz sprawdzając, czy f-`(x0) = f+`(x0).

14. FUNKCJA RÓŻNICZKOWALNA W ZBIORZE Funkcję f nazywamy różniczkowalną w zbiorze (przedziale), jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru (przedziału). W obliczeniach przybliżonych stosujemy wzór: f(x0)+∆x)≈f(x0)+f `(x0) ∆x.

15. EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMUM LOKALNE FUNKCJI MAKSIMUM LOKALNE Funkcja f ma w punkcie x0
Df maksimum lokalne równe f(x0) ↔ istnieje takie otoczenie U punktu x0, że dla każdego x
U ∩ Df i x≠x0 jest spełniona nierówność f(x)<f(x0). Maksimum lokalne wyznaczamy korzystając z różniczkowego kryterium istnienia ekstremum lokalnego funkcji.

MINIMUM LOKALNE Funkcja f ma w punkcie x0
Df minimum lokalne równe f(x0) ↔ istnieje takie otoczenie U punktu x0, że dla każdego x
U ∩ Df i x≠x0 jest spełniona nierówność f(x)>f(x0). Minimum lokalne wyznaczamy korzystając z różniczkowego kryterium istnienia ekstremum lokalnego funkcji.

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji: Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0
Df ekstremum i ma w tym punkcie pochodną, to f `(x0)=0. 1 warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji: Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0
Df i ma pochodną w pewnym sąsiedztwie (x0;δ), przy czym: f `(x)>0 dla x
(x0-δ;x0) i f `(x)<0 dla x
(x0;x0+δ) [f `(x)<0 dla x
(x0-δ;x0) i f `(x)>0 dla x
(x0;x0+δ)], to funkcja ma w punkcie x0 minimum [minimum] lokalne. 2 warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji: Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu U
Df punktu x0 i jej druga pochodna jest ciągła w tym otoczeniu oraz f `(x0)=0 i f `'(x0)>0 [f `'(x0)<0], to funkcja f ma w punkcie x0 minimum [maksimum] lokalne równe f(x0). EKSTREMUM GLOBALNE (ABSOLUTNE) FUNKCJI Funkcja y=f(x) ma w punkcie x0
Df minimum [maksimum] globalne, jeżeli dla każdego x
Df spełniona jest nierówność: f(x)≥f(x0) [f(x)≤f(x0)].

16. CAŁKI NIEOZNACZONE f - funkcja podcałkowa; C - stała całkowania; x - zmienna całkowania; f(x)dx - wyrażenie podcałkowe.

1. FUNKCJA PIERWOTNA Funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale (a, b): F '(x) = f(x). # NP F(x) = x² jest funkcją pierwotną funkcji f(x) = 2x, bo (x²)'=2x. # NP F(x)=ln x jest funkcją pierwotną funkcji f(x)=1/x, bo (ln x) `=1/x, x>0. 2. CAŁKOWANIE szukanie funkcji pierwotnej. 3. CAŁKA NIEOZNACZONA F(x)+C, C należy do R. Funkcja podcałkowa to f(x) z całki z f(x) dx. WZÓR:

17. CAŁKOWANIAE - PODSTAWOWE PRAWA

1. Całka z iloczynu funkcji przez stałą: dla a należącego do R;

2. Całka z sumy (różnicy) funkcji:

3. Całkowanie przez części:

4. Całkowanie przez podstawienie: dla t=g(x) i dt=g'(x)dx

18. CAŁKI FUNKCJI ELEMENTARNYCH:

Funkcja element.	Całka f element.	Uwagi
∫ dx	x + C
∫ a dx	ax + C
∫ x^n dx	x^n+1/n + 1 + C	n ≠ -1
∫ 1/x dx, dx/x	ln |x| + C	C należy do R
∫ a^x dx	1/ln a ∙ a^x + C
∫ e^x dx	e^x + C
∫ √x dx	2/3 √x^3 + C
∫ 1/√x dx	2√x + C
∫ dx/ax+b	1/a ln|ax+b|+C	a ≠ 0
∫ sin x dx	- cos x + C
∫ cos x dx	sin x + C
∫ tg x dx	- ln|cos x|+C
∫ ctg x dx	ln|sin x|+C
∫ 1/cos^2x dx	tg x + C	cos x ≠ 0
∫ 1/sin^2x dx	-ctg x + C	sin x ≠ 0
∫ 1/x^2+a^2 dx	1/a ∙ arc ∙ tg x/a +C	a ≠ 0
∫ 1/√a^2-x^2 dx	arc sin x/a + C	a ≠ 0
∫ 1/√x^2-a^2 dx	ln|x+√ x^2-a^2|+C
∫ (ax+b)^n dx	1/a(n+1)∙(ax+b)^n+1+C	n ≠ -1
∫ 1/a^2-x^2 dx	1/2a ∙ ln|a+x/a-x|+C	a > 0 i |x| ≠ a

19. CAŁKOWANIE - PRZYKŁADY

20. CAŁKI OZNACZONE Wzór ogólny:

1. PRZYKŁADY CAŁEK OZNACZONYCH:

21. CAŁKI OZNACZONE - WŁASNOŚCI

1.

2.

<=> funkcja f(x) jest funkcją nieparzystą, czyli f(-x) = -f(x) (przedział jest symetryczny względem punktu 0).

3.

<=> funkcja g(x) jest funkcją nieparzystą.

22. POLE OBSZARU OGRANICZONEGO WYKRESAMI

23. OBJĘTOŚĆ BRYŁ OBROTOWYCH

24. DŁUGOŚĆ ŁUKU KRZYWEJ Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [a, b]. Wówczas długość łuku krzywej będącej wykresem f funkcji f między punktami (a, f(a)), (b, f(b)) wyraża się wzorem:

25. METODA PROSTOKĄTÓW

f(x) - całkowalna na [a, b]; n należy do N - liczba ustalona wcześniej;

PRZYKŁAD:

a=0; b=1; y0=f(0)=0; y1=f(1/4)=1/16; y2=f(2/4)=1/4; y3=f(3/4)=9/16.

26. METODA TRAPEZÓW

f(x) - całkowalna na [a, b]; n należy do N - liczba ustalona wcześniej;

PRZYKŁAD:
a=0; b=1; y0=f(0)=0; y1=f(1/4)=1/16; y2=f(2/4)=1/4; y3=f(3/4)=9/16; y4=f(1)=1.

27. METODA PARABOL (SIMPSONA)

f(x) - całkowalna na [a, b]; n należy do N - liczba ustalona wcześniej;

PRZYKŁAD:

---