EKSTREMA FUNKCJI PRZY WARUNKACH OGRANICZAJĄCYCH RÓWNOŚCIOWYCH WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA EKSTREMUM
Minimum warunkowe funkcji f(x) może istnieć tylko wówczas gdy nie istnieje żaden taki kierunek, w którym możemy dokonać nieskończenie małego przesunięcia i który należy do sektora kierunku spadku wartości funkcji f(x).
Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są różniczkowalne w punkcie
i funkcje f(x) osiąga w tym punkcie ekstremum warunkowe przy warunku ograniczającym g(x)=0 to istnieje taka liczba
że zachodzi równość
oraz
i = 1,2,..., I
Metoda mnożników Lagrange'a
n= 1,2,...,N
warunki Lagrange'a
n = 1,2,...,N
i = 1,2,...,I
EKSTREMA FUNKCJI PRZY WARUNKACH OGRANICZAJĄCYCH NIERÓWNOŚCIOWYCH
Jeżeli funkcje f(x), hj(x) j=1,2,...,J przy czym x ∈ RN, są różniczkowalne w punkcie
będącym punktem regularnym i funkcja f(x) osiąga w tym punkcie minimum warunkowe przy warunkach ograniczających hj(x)=<0
J=1,2,...,J to są spełnione warunki.
Warunki Kuhna - Tuckera
n=1,2,...,N
j=1,2,...,J
WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA MINIMUM FUNKCJI PRZY NIEUJEMNOŚCI JEJ ARGUMENTÓW
n=1,2,...,N
warunki Kuhna - Tuckera
n=1,2,...,N
OGÓLNE SFORMUŁOWANIE WARUNKÓW ISTNIENIA MINIMUM FUNKCJI PRZY WARUNKACH OGRANICZAJĄCYCH
i=1,2,...,I
j=1,2,...,J Kuhna - Tuckera
n=1,2,...,N'
n=1,2,...,N'
n=N'+1,...,N
i=1,2,..,I
j=1,2,...,J
METODY NUMERYCZNE ZNAJDOWANIA PUNKTU MINIMUM FUNKCJI
Metoda gradientowa
Algorytm znajdowania miejsca zerowego funkcji
x (k+1) = x (k) - αkp [ x (k) ]
p - funkcja dla której szukamy miejsca zerowego
αk>0
1.
,
2.
,
Algorytm pochodnych
sign (u) = -1 jeżeli u < 0
0 jeżeli u = 0
1 jeżeli u > 0
Algorytm NEWTONA
dla x = x ( k + 1 )
Algorytm złotego podziału (algorytm bez gradientowy)
Kurna nima
PODSTAWOWE METODY ZNAJDOWANIA MINIMUM FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
ALGORYTM GRADIENTOWY
n=1,2,...,N
Algorytm NEWTONA
METODA FUNKCJI KARY
j=1,2,...,J
funkcja krytyczna f(x)
zmodyfikowana funkcja krytyczna
funkcja kary
blebleble
Metoda wewnętrznej funkcji kary
j=1,2,...,J
Metoda zewnętrznej funkcji kary
j=1,2,...,J
Metoda mieszanej funkcji
j=1,2,...,J1 - powinny być spełnione
(wew. funkcje kary)
j=J1+1,...,J - (zew. funkcje kary)
⇓
B(x) K(x)