Zadania do samodzielnego rozwiązania przed egzaminem

1. Obliczyć
   
   , gdzie
   .

2. Obliczyć objętość bryły zawartej wewnątrz walca o równaniu
   
   i sfery o równaniu
   .

3. Korzystając z całki krzywoliniowej skierowanej obliczyć pole ograniczone pętlą Kartezjusza :
   , (wsk. y=xt, 0
   t
   1).

4. Obliczyć pole powierzchni walca S : y²+z²=r², ograniczonej walcem o równaniu

x²+y²=r².

5. Obliczyć strumień wektora pola
   przez zorientowaną

zewnętrznie powierzchnię całkowitą walca x²+y²=4 dla z
<0;4>.

6. Sprawdzić tezę twierdzenia Stokesa-Ampera dla pola wektorowego
   

=[x,x+y,x+y+z] i krzywej L o przedstawieniu parametrycznym : x=2cost, y=2sint,

z=2(cost+sint), dla t
<0;2
>.

7. Sprawdzić tezę twierdzenia Stokesa-Ampera dla pola wektorowego
   

=[2x,xy²,3xyz] i krzywej L będącej brzegiem gładkiego płata powierzchniowego

S : z=2-x²-y² dla x²+y²

8. Wyznaczyć punkty, w których funkcja f(z)=z
² ma pochodną i obliczyć jej pochodną w

tych punktach.

9. Znaleźć funkcję holomorficzną f(z)=u(x,y)+jv(x,y) spełniającą warunek f(0)=0, jeżeli

1. u(x,y)=cosxshy, b) v(x,y)=e^x(xcosy-ysiny).

10. Obliczyć całkę
, gdzie K jest dodatnio skierowanym względem wnętrza

okręgiem o równaniu
=1.

11. Rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu punktu z₀=-3 funkcję
    f(z)=z²e^z i podać

promień zbieżności tego szeregu.

12. Rozwinąć w szereg Laurenta funkcję f(z)=
    w pierścieniu

1. P(0;0,2), b) P(2j;0,2), c) P(-2j;2,4) .

13. Korzystając z twierdzenia o residuach obliczyć całkę

1. 
   , K:
   =2,

2. 
   , K:
   =1.

14. Obliczyć L-transformatę oryginału f(t)1(t), gdzie

1. f(t)=cos²
   t, b) f(t)=sin2tcos3t, c) f(t)=t²e^-3tsin2t.

15. Obliczyć L^-1-transformatę funkcji

a)
(s)=
, b)
(s)=
, c)
(s)=
.

16. Obliczyć splot f₁(t)
    f₂(t) oryginałów

1. f₁(t)=e^3t , f₂(t)=e^5t ; b) f₁(t)=e^t , f₂(t)=t² ; c) f₁(t)=f₂(t)=sint.

17. Znaleźć CS równania różniczkowego przy podanych warunkach początkowych

1. x⁽⁴⁾ +x=2e^t , x(0)=x"(0)=0 , x^'(0)=x⁽³⁾(0)=1,

2. x⁽³⁾-x^'=-2t , x⁽ⁱ⁾(0)=i dla i=0,1,2 .

18. Znaleźć CS układu równań różniczkowych przy podanych war.początkowych

1. x^'-2y^'+x=1, y^'+x-2y=e^-t, x(0)=1 i y(0)=0,

2. x^'+x-y-z=e^t, y^'-x+y-z=e^3t, z^'-x-y-z=4, x(0)=-
   , y(0)=-
   , z(0)=
   .

19. Pole wektorowe
    =[P,Q,R] i pole skalarne
    są klasy C². Wykazać, że

1. div(rot
   )=0, b) rot(grad
   )=0, c) rot(rot
   )=grad(div
   )-
   
   .

20. Wykazać, że jeżeli pola wektorowe
    =[P₁,Q₁,R₁] i
    =[P₂,Q₂,R₂] są klasy C¹, to

div(

)=

-

.

21. Pole wektorowe
    =[P,Q,R] i pole skalarne
    są klasy C¹. Wykazać, że

1. rot(
   
   )=
   rot
   +(grad
   )
   
   ,

2. div(
   
   )=(grad
   ).
   +
   div
   .

22. Wykazać, że jeżeli
    (x,y,z) jest klasy C², to

1. div(grad
   )=
   
   , b)
   
   =∇
   .

23. Wykazać, że jeżeli
    =[P,Q,R] jest polem wektorowym klasy C³, to

div(∇²
)=∇²(div
).

Odpowiedzi (wzkazówki)

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   

6. 
   

7. 
   

8. 
   

9. a)
   

b)

10. 
    

11. Wsk.
    

12. Wsk.
    

13. a)
    , b) 0

14. a)
    

b)

c)

15. a)
    

b)

c)

16. a)
    

b)

c)

17. a)
    

b)

18. a)
    ,
    

b)

---