Opracowanie: Małgorzata Sztokfisz

WYKŁAD 5

KONSTRUKCJA CAŁKI WZGLĘDEM MIARY

(Ω, U, μ) - przestrzeń z miarą

ƒ: Ω→R

I ETAP KONSTRUKCJI CAŁKI WZGLĘDEM MIARY

DEFINICJA 5.1 (FUNKCJA PROSTA)

ƒ - funkcja prosta :⇔ jeżeli funkcja przyjmuje skończoną ilość wartości {α₁, ..., α_n}

DEFINICJA 5.2 (FUNKCJA CHARAKTERYSTYCZNA)

E∈U

χ_E : Ω→R ∧

WNIOSEK 5.1 (POSTAĆ NORMALNA FUNKCJI PROSTEJ)

ƒ - funkcja prosta (definicja 5.1.)

Objaśnienie:

Gdy: x∈E_k , to: L=ƒ(x)= α_k
⇒ L=P

Każda funkcja prosta jest kombinacją liniową funkcji charakterystycznych.

Istnieje nieskończenie wiele postaci normalnych funkcji prostej.

TWIERDZENIE 5.1 (WŁASNOŚCI FUNKCJI PROSTYCH)

ε - zbiór wszystkich funkcji prostych określonych na Ω

1. 
   
   ∀ƒ,g∈ε ∀α,β∈R (αƒ+βg)∈ ε

2. 
   
   ∀ƒ,g∈ε sup.{ƒ,g }∈ ∧ inf{ƒ,g}∈ ε

∀ x∈Ω (sup.{ƒ,g })(x)=max{ƒ(x),g(x)}

∀ x∈Ω (inf.{ƒ,g })(x)=min{ƒ(x),g(x)}

3. ∀ƒ∈ε ƒ∈ ε

4. ∀ƒ∈ε ∀E∈U ƒχ_E∈ ε

5. ∀ƒ,g∈ε (ƒg)∈ ε

Dowód:

Ad. 1) Niech:

x={ E_i∩F_j: i={0, ..., n}∧ j={0, ..., m}}

Uwaga:

A∩B=∅ to χ_A∪B = χ_A+χ_B

gdzie E_i∩F_j są parami rozłączne,

tzn. (E_i∩F_j)∩( E_i∩F_k)=∅ dla

Ad. 2.)

korzystając z ad. 1) można zapisać:

analogicznie:

Ad. 3.)

Ad. 4.)

DEFINICJA 5.3 (FUNKCJA PROSTA CAŁKOWALNA)

ƒ - funkcja prosta całkowalna :⇔

DEFINICJA 5.4 (CAŁKA Z FUNKCJI PROSTEJ)

ƒ - funkcja prosta całkowalna

TWIERDZENIE 5.2

Wartość całki nie zależy od postaci normalnej funkcji prostej.

Z. ƒ - funkcja prosta całkowalna

E_i pokrywają Ω i są parami rozłączne

F_j pokrywają Ω i są parami rozłączne

20. 
    

D.

Analogicznie jak w dowodzie ad. 1.) (twierdzenie 5.1.)

⇒ L=P

TWIERDZENIE 5.3 (WŁASNOŚCI CAŁKI Z FUNKCJI PROSTEJ)

1. 
   funkcji prostych całkowalnych

całkowalna

2. E∈U ∧ μ(E)<∞ to:

bo: α_i=1

3. ƒ - funkcja prosta całkowalna ∧ ƒ≥0 ⇒
   

Dowód:

na podstawie dowodu ad. 1.) (twierdzenie 5.1.)

Ad. 1.)

(zbiory
są parami rozłączne)

Ad. 2.)

Ad. 3.)

ƒ>0 ∧
⇒
,

bo:

II ETAP KONSTRUKCJI CAŁKI WZGLĘDEM MIARY

ε⁺ - zbiór całkowalnych funkcji prostych nieujemnych

TWIERDZENIE 5.4

Z. (u_n)_n∈N⊂ε⁺, u_n

(v_n)_n∈N⊂ε⁺, v_n

20. 
    

D.

ε₁⁺={ƒ: Ω→R₊, ∃(u_n) ⊂ε₊, u_{n ∧}
}

{
:⇔ ∀x∈R
}

DEFINICJA 5.5 (CAŁKA Z FUNKCJI NIEUJEMNEJ)

Niech: ƒ∈ε₁⁺ _∧
, (u_n) ⊂ε⁺ _∧ u_n

:=

WNIOSEK 5.2

1. 
   z twierdzenia 5.4. wynika, że całka z funkcji nieujemnej nie zależy od wyboru ciągu funkcji prostych

(u_n)∈ε⁺ ∧ u_n ∧

2. ∀ƒ,g∈ε₁⁺ ∀α,β∈R₊

(αƒ+βg)∈ε₁⁺ ∧

3. ∀ƒ,g∈ε₁⁺, (ƒg)∈ε₁⁺ ∧ sup{ƒ,g}∈ε₁⁺ ∧ inf{ƒ,g}∈ε₁⁺

4. ƒ≤g ⇒
   

(własności 2), 3), 4) wynikają z odpowiednich własności całki z funkcji prostych i własności granic)

Dowód:

Ad. 2)

, u_n∈ε⁺ ∧ u_n

, v_n∈ε⁺ ∧ v_n

α,β∈R₊ (αƒ+βg)=

α,β∈R₊ ∧ u_n ∧ v_n ⇒
∧
∈ε⁺

⇒
∈ε₁⁺ ∧

III ETAP KONSTRUKCJI CAŁKI WZGLĘDEM MIARY

DEFINICJA 5.6 (FUNKCJA CAŁKOWALNA)

Niech:

ƒ: Ω→R

ƒ₊: Ω ∋ →ƒ₊(x) := max {ƒ (x), 0}

ƒ_-: Ω∋ →ƒ_{_}(x) := max {-ƒ (x), 0}

ƒ ₌ ƒ₊ - ƒ_-

ƒ - μ- całkowalna :⇔ ƒ₊, ƒ_- są μ- całkowalne

tzn. ∃ ((u_n)⊂ε⁺, u_n ∧ (v_n)⊂ε⁺, v_n )

∧

:=

Uwaga:

L¹(μ) - zbiór funkcji μ- całkowalnych

ε⁺ ⊂ ε₁⁺ ⊂ L¹(μ)

KONSTRUKCJA CAŁKI WZGLĘDEM MIARY

- PODSUMOWANIE -

1. Całka z funkcji prostej

to

1. Całka z funkcji nieujemnej

, u_n⊂ε⁺ ∧ u_n

to:

2. Całka z dowolnej funkcji μ- całkowalnej

ƒ∈L¹(μ) ∧ ƒ ₌ ƒ₊-ƒ_- ∧ ƒ₊, ƒ_-∈ ε₁⁺

to:

DEFINICJA 5.7 (CAŁKA PO ZBIORZE)

E∈U E - zbiór mierzalny

TWIERDZENIE 5.5 (WŁASNOŚCI CAŁKI)

1. ∀ƒ,g∈L₁ (μ) ∀α,β∈R

(αƒ+βg)∈ L₁(μ) ∧

2. ∀ƒ∈L₁(μ) ƒ∈L₁(μ)
   

3. ∀ƒ,g∈L₁(μ) ƒ≤g ⇒
   

4. (E_n)_n∈N⊂U ∧ ∀i≠j E_i∩E_j=∅

to:

Wszystkie te własności wynikają z odpowiednich właściwości całki z funkcji nieujemnej.

Ważne: (wniosek)

1. μ(E)=0 ⇒
   

2. 
   ⇒
   

Dowód:

Ad.1)

1. 
   ,
   

μ(E)=0 ⇒ ∀i∈{0, ..., n} μ(E∩E_i)=0

2. 
   ƒ∈ε₁⁺,
   ∧ u_n

,

bo
(I ETAP)

3. ƒ ₌ ƒ₊ - ƒ_-=0, bo ƒ₊=0, ƒ_-=0

,

bo na podstawie 2):

1

α₁

α₂

α₃

E₁

E₀

E₂

ƒ- funkcja prosta :⇔

:⇔ ∃(α₁, ..., α_n∈R ∧ E_1, ..., E_n∈U

∧ E_i ∩E_j =∅ dla i≠j)

1

E

y=ƒ(x)

y=g(x)

E₃

E₁

E₄

E₂

F₁

F₂

F₃

α₁

α₂

α₃

α₄

1

B

A

E

(*)

*

*

y=(inf.{ƒ,g })(x)

y=(sup.{ƒ,g })(x)

---