Zadania przykladowe PS-y - 2011-12, Semestr 3


1. Rozkład sygnału okresowego w zespolony szereg Fouriera oraz całkowe przekształcenie Fouriera

Zespolony szereg Fouriera

Całkowe przekształcenie Fouriera

0x01 graphic
(wzór syntezy)

0x01 graphic
(wzór analizy)

0x01 graphic
(wzór analizy)

0x01 graphic
(wzór syntezy)

1.1 Oblicz i narysuj widmo sygnału okresowego o okresie T (rozkładając sygnał w zespolony szereg Fouriera) a) prostokątnego o wypełnieniu D i amplitudzie A; b) trójkątnego symetrycznego o amplitudzie A, c) piłokształtnego o wartości międzyszczytowej 2A (rysunki poniżej).

0x01 graphic

Odp.

Dla przykładu a)

0x01 graphic

1.2 Oblicz i narysuj widmo a) impulsu prostokątnego 0x01 graphic
; b) trójkątnego symetrycznego o amplitudzie A 0x01 graphic
; c) 0x01 graphic
.

1.3 Udowodnij, że na wyjściu filtru o rzeczywistej odpowiedzi impulsowej i znanej transmitancji H(s) przy pobudzeniu sygnałem x(t)=Acos(Ω0t) pojawi się sygnał y(t)=A|H(jΩ0)|cos(Ω0t+arg(H(jΩ0))). Wykorzystaj symetrię Hermite'a: H(jΩ)= H*(-jΩ).

1.4 Narysuj i zapisz wzorem widmo sygnału x(t) = 1 + sin(t) + cos(πt) + exp(j5t) oraz widmo odpowiedzi y(t) tzw. filtru analitycznego o charakterystyce częstotliwościowej 0x01 graphic
na pobudzenie x(t).

Odp.

Widmo pobudzenia: 0x01 graphic

Widmo odpowiedzi: 0x01 graphic

2. Próbkowanie

2.1 Podaj twierdzenie o próbkowaniu. Jakie zjawisko wystąpi w przypadku niespełnienia jego założeń? Co to jest częstotliwość Nyquista, a co oznacza szybkość Nyquista?

2.2 Falę prostokątną o amplitudzie A, częstotliwości podstawowej F0 i wypełnieniu D=50% (patrz: zad. 1.1a)) spróbkowano z szybkością FS = 8F0. Wyznacz amplitudy i częstotliwości składowych sygnału po rekonstrukcji.

Wskazówka: Narysuj widmo sygnału przed próbkowaniem i po spróbkowaniu, a następnie po rekonstrukcji.

2.3 Symetryczny sygnał trójkątny o amplitudzie A i częstotliwości podstawowej F0 (patrz: zad. 1.1b)) spróbkowano z szybkością FS = 4F0. Wyznacz amplitudy i częstotliwości składowych sygnału po rekonstrukcji.

0x08 graphic
2.4 Sygnał x(t) = 5cos(6000πt) + 4cos(12000πt) + 8cos(24000πt) spróbkowano z szybkością FS = 8000 Sa/s (próbek na sekundę). Podaj postać sygnału x[n] po spróbkowaniu. Wyznacz amplitudy i częstotliwości składowych tego sygnału po rekonstrukcji. Jaka jest częstotliwość Nyquista? Co się zmieni, gdy sygnał przed próbkowaniem poddamy filtracji antyaliasingowej w filtrze dolnoprzepustowym o charakterystyce amplitudowej jak na rysunku i zerowej charakterystyce fazowej?

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Zwróć uwagę na dobór częstotliwości granicznej filtru. Jaki ma to związek z szybkością próbkowania i z tym, że filtr aby być przyczynowy, nie może być idealny?

Odp.

W pierwszym przypadku (bez filtru) sygnał po rekonstrukcji:

y(t) = 4cos(4000πt) + 5cos(6000πt) + 8cos(8000πt);

w drugim:

y(t) = cos(4000πt) + 5cos(6000πt) + 0.5cos(8000πt).

W rozwiązaniu należy sprawdzić, czy częstotliwości składowych po rekonstrukcji są nie większe od częstotliwości Nyquista (FS/2).

3. Splot (liniowy)

0x01 graphic

3.1 Oblicz splot sygnałów x[n] i h[n], metodą graficzną i metodą algebraiczną, korzystając z właściwości delty Kroneckera:

  1. h[n] = δ[n] + 2δ[n-1] + 3δ[n-2], x[n] = {1, 2}; Odp. y[n] = {1, 4, 7, 6}

  2. h[n] = δ[n+1] + 2δ[n] + 3δ[n-1], x[n] = {1, 2}; Odp. y[n] = {1, 4, 7, 6}

  3. h[n] = δ[n-1] + 2δ[n-2] + 3δ[n-3], x[n] = {1, 2}; Odp. y[n] = {0, 1, 4, 7, 6}

Zwróć uwagę na różnice w sygnałach. Jakie ogólne prawo obrazują?

3.2 Znajdź odpowiedzi systemów cyfrowych o danych odpowiedziach impulsowych h[n] na podane sygnały pobudzające x[n]. Czy systemy te są typu SOI (FIR) czy NOI (IIR)? Czy są przyczynowe? Które są stabilne?

  1. h[n] = u[n], x[n] = u[n] - u[n-N], N>0;

  2. h[n] = u[n] - u[n-N], N>0, x[n] = u[n] - u[n-M], 0<N<M;

  3. h[n] = anu[n], 0<a<1, x[n] = u[n];

  4. h[n] = nu[n], x[n] = u[n] - u[n-N], N>0;

  5. h[n] = anu[n], 0<a<1, x[n] = u[n] - u[n-N], N>0;

  6. h[n] = n(u[n] - u[n-N]), N>0, x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0<N<M;

  7. h[n] = [n] - [n-N], N>0, x[n] = u[n] - u[n-M], 0<N<M;

  8. h[n] = [n] - [n-N], N>0, x[n] = u[n] - u[n-M], 0<M<N;

  9. h[n] = [n] - [n-N], N>0, x[n] = nu[n];

  10. h[n] = [n] + [n-N], N>0, x[n] = nu[n];

  11. h[n] = [n] - [n-N], N>0, x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0<N<M;

  12. h[n] = [n] + [n-N], N>0, x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0<N<M;

  13. h[n] = [n] - [n-N], N>0, x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0<M<N;

  14. h[n] = [n] + [n-N], N>0, x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0<M<N.

Zastanów się, jak zapisać sygnały h[n] i x[n], stosując symbol sumowania? Oblicz sygnały wyjściowe dla przypadku, gdy przekształceniom (odwróceniu w czasie i przesunięciu na osi czasu) podlega sygnał h[n], i dla przypadku z przekształcaniem sygnału x[n].

Odp.

a) 0x01 graphic
. Oba zapisy (z nawiasem klamrowym i za pomocą skoków jednostkowych) są oczywiście równoważne. W rozwiązaniach wystarczy podać jeden z nich.

3.3 Dwa systemy, jeden o odpowiedzi impulsowej 0x01 graphic
, drugi o odpowiedzi impulsowej0x01 graphic
, połączono w kaskadę. Wyznacz wypadkową odpowiedź impulsową.

3.4 Wyznacz i naszkicuj odpowiedź systemu o odpowiedzi impulsowej 0x01 graphic
na pobudzenie ciągiem „rzadkich” delt Kroneckera, opisanym wzorem 0x01 graphic
, gdzie M>N oznacza odstęp między kolejnymi deltami.

3.5 Zamodeluj w dziedzinie czasu dyskretnego odbicia dźwięku od dwóch równoległych nieskończenie długich i nieskończenie wysokich ścian „pomieszczenia”. Opisz zjawisko wielokrotnego echa za pomocą odpowiedzi impulsowej. Jaki charakter powinna mieć (jaką funkcją należy ją wyrazić), aby odpowiadała zjawisku fizycznemu? Jak obliczyć odpowiedź „pomieszczenia” na dowolny sygnał pobudzający?

3.6 Udowodnij, że:

0x01 graphic
(splot z opóźnioną deltą daje opóźnienie sygnału)

0x01 graphic

4. Przekształcenie Z

0x01 graphic
(proste)

0x01 graphic
(odwrotne)

4.1 Oblicz transmitancje filtrów z zadania 3.2.

Odp.

  1. 0x01 graphic
    , obszar zbieżności (ROC): 0x01 graphic

  2. 0x01 graphic
    , obszar zbieżności (ROC): 0x01 graphic

  3. 0x01 graphic
    , obszar zbieżności (ROC): 0x01 graphic

  4. Korzystamy z następującej właściwości: Jeżeli 0x01 graphic
    , to 0x01 graphic
    . Wówczas szukana transmitancja wynosi: 0x01 graphic
    , obszar zbieżności (ROC): 0x01 graphic

4.2 Stosując przekształcenie Z, wyznacz odpowiedź systemu o odpowiedzi impulsowej h[n]=(1/3)nu[n] na pobudzenie sygnałem x[n] = (1/2)nu[n].

Odp.

Transmitacja systemu:0x01 graphic
, transformata pobudzenia:0x01 graphic
. Transformata odpowiedzi:

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic

4.3 Oblicz odpowiedź y[n] systemu DLS y[n] = x[n] + ay[n-1] na pobudzenie sygnałem x[n]=10u[n]. Przyjmij a=1/2. Sprawdź poprawność rozwiązania za pomocą splotu. Oblicz transmitancję H(z) i odpowiedź impulsową h[n] systemu. Czy ten system jest przyczynowy? Czy jest stabilny? (zadanie z egzaminu z PCPS z 2003r., E. Hermanowicz)

4.4 Wyznacz odpowiedź y[n] systemu o transmitancji H(z) na pobudzenie x[n]. Narysuj schemat systemu. Czy system jest stabilny?

a) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

b) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

c) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Odp.

a) 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

4.5 Dane są sygnały:

a) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

b) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Jaką transmitancję ma system, który pobudzony sygnałem x[n] daje na wyjściu odpowiedź y[n]? Podaj równanie różnicowe opisujące ten system i jego odpowiedź impulsową. Następnie sprawdź metodą splotu, że 0x01 graphic
. Który z filtrów jest typu FIR, a który IIR? Kiedy są stabilne?

Odp.

a)0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

b)0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Metodą splotu rozwiążemy drugi przykład z tego zadania jako mniej trywialny. Skorzystamy tu ze wzoru definicyjnego splotu.

0x01 graphic

Wymnożenie przez skok jednostkowy otrzymaliśmy z warunku, że suma typu 0x01 graphic
ma sens tylko wtedy, gdy górna granica sumowania jest nie mniejsza od dolnej. W tym przypadku n musi być dodatnie. Pierwsza próbka sygnału 0x01 graphic
ma wartość zero, z czego wynika równość sygnałów 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

D. Tkaczuk. Zadania z Przetwarzania Sygnałów, rok 2011/2012

3

3

-12dB/okt

0dB

F [kHz]

|H(j2πF)|

-3



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
tematy ćwiczeń i zakres materiału na wejściówki 2011-12, semestr 1
zadania przyklady, Politechnika Lubelska, Studia, semestr 5, Sem V, Sprawozdania, sprawozdania, Spra
Zadanie 4 kolokwium 1 2011-12, Budownictwo PG, Semestr 3, Matematyka, Prace domowe-rozwiązania kół
Test przykladowy UMK 2011 new PS stacj, ZARZĄDZANIE UMK, Prognozowanie
zadania cwiczeniowe 2011-12
Prawo sądowo-administracyjne- 2011-12 wykład (stacjonarne), Administracja, Semestr 6, Postępowanie s
sylabus z filozofii kultury dla IIr Politologia 2011-12, Politologia UMCS - materiały, IV Semestr le
Ps reh Dz zagad kol 2011 12, rehabilitacja
6. p społ stos 12.05.2011, Psychologia, Semestr VI, Psychologia społeczna stosowana
Jonagold na 12 podkładkach, Ogrodnictwo 2011, IV Semestr, Sadownictwo
fizyka jak rozwiązać, WNOŻCiK wieczorowe, semestr I, fizyka, fizyka 2011-12
Zadania przykladowe.cz2.2012, Semestr 3
kolokwium nr 1 a i b - zadania przykładoweee, Semestr I, Chemia
KI program cwiczen 2011-12 nowy, Politologia UMCS - materiały, III Semestr zimowy, Komunikacja Inter
FiR-przykladowe zadania z dynamiki i korelacji, Finanse i rachunkowość, 3 semestr, statystyka
Zadania przykładoweDSZ - Kopia, SgSp 2011, 2013

więcej podobnych podstron