1. Opis położenia punktu w układzie współrzędnych:

Położenie poruszającego sie punktu P w układzie współrzędnych można określić za pomocą współrzędnych x, y, z. Ponieważ współrzędne te są funkcjami zmiennej t ( czasu) to otrzymujemy :


. Innym sposobem opisu ruchu jest funkcją promienia wektora
. Jeżeli początek promienia r pokrywa się z początkiem układu współrzędnych to składowe wektora są równe współrzędnym punktu P :

2. Definicja prędkości średniej i chwilowej punktu:

Prędkość średnia punktu materialnego w danym przedziale czasu definiujemy jako stosunek przemieszczania ၄s do czasu t, w jakim to przemieszczenie nastąpiło. Gdy ciało znajdowało się w położeniu s₀ , a po pewnym czasie, w chwili t znalazło się w położeniu s, to jego przemieszczenie wyniosło ၄s = s - s_0.

Prędkość średnią określamy wzorem:

Prędkość chwilowa jest to prędkość mierzona w bardzo krótkim okresie czasu, w „chwili”. Jeżeli w celu określenia prędkości przyjmiemy, że w czasie t₁ punkt znajduje się w położeniu s1, a w czasie t₂- w położeniu s₂, to przemieszczenie ၄s. = s₂-s₁wystąpiło w czasie ၄t = t₂-t₁. Wynika z tego, że w przedziale czasu prędkość średnia jest równa:

3. Definicja przyśpieszenia punktu:

Przyśpieszenie określamy jako przyrost prędkości na jednostkę czasu. Jeżeli w pewnym momencie prędkość chwilowa punktu materialnego wynosiła V₀, a po upływie czasu ၄t wynosiła V, to przyrost prędkości ၄V=V-V₀ dokonał w czasie ၄t. Wynika z tego, że średnie przyśpieszenie a wynosiło:

4. Ruch prostoliniowy jednostajny i zmienny:

Ruch jednostajny prostoliniowy - ruch ze stałą prędkością i w stałym kierunku, którego torem jest linia prosta, opisywany wzorami:

v - prędkość chwilowa

• 
  - prędkość średnia (szybkość)

• 
  - przemieszczenie

• s - droga

• t - czas

Ponieważ w ruchu prostoliniowym kierunek ruchu nie zmienia się, to:

• kierunek i zwrot wektora prędkości jest stały i zgodny z kierunkiem i zwrotem ruchu,

• wartość prędkości - stała

• przyspieszenie jest równe zeru, ponieważ wektor prędkości jest stały

ruch prostoliniowy zmienny: to ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób ze w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa różne odcinki drogi, jeżeli prędkość jest funkcja liniowa czasu to ruch jest jednostajnie zmienny.

5. Ruch krzywoliniowy jednostajny i zmienny - przyśpieszenie styczne i normalne:

Ruch krzywoliniowy jednostajny : ruch odbywający się ze stałą wartością prędkości liniowej po dowolnej krzywej. Szczególnym przypadkiem ruchu jednostajnego krzywoliniowego jest ruch jednostajny po okręgu. Przyspieszenie styczne . Jest to składowa przyspieszenia styczna do toru ruchu, wpływająca na wartość prędkości. Stosując oznaczenie v dla wartości prędkości chwilowej i oznaczenie s dla drogi pokonanej przez ciało, przyspieszenie styczne a_s określają wzory:

Ruch krzywoliniowy zmienny : jest ruchem punktu po torze krzywoliniowym ruchem niejednostajnym. Wektor prędkości ruchomego punktu zmienia wartość i kierunek.

5. Ruch jednostajny po okręgu - droga, prędkość, przyśpieszenie liniowe i kątowe:

W ruchu tym punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okregu o promienu r, przebywając w równych odtepach czasu t równe odcinki drogi
Predkościa katowa nazywamy stosunek kąta alfa wyrażony w radianach do czasu t w którym ten kat został zatoczony.

6. Pojęcie ciała sztywnego:

Zbiór punktów, których wzajemne doleglości sa stale. Ruch ciala sztywnego w przestrzeni jest jednoznacznir okreslony przez ronania ruchu trzech punktów nie lezących na jednej prostej. Jednak musi być spelniony warunek, aby trzy punkty nie lezały na jednej prostej. W ciele sztywnym podczas dowolnego ruchu , rzuty wektorów predkości dwoch jej dowolnych punktów na prosta łaczącą te punkty sa sobie rowne.

7. Ruch postępowy ciała sztywnego:

Ruch w którym wszystkie punkty ciała sztywnego doznaja tych samych przesunieć. Cialo w ruchu postępowym ma trzy stopnie swobody. Równania ruchu rozpatrywanych punktów:
gdzie U jest przesunieciem jednakowym dla wszystkich punktów.

8. Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół nieruchomej osi - prędkość i przyśpieszenie:

Ten ruch otrzymuje się unieruchamiając dwa punkty bryły. W takim przypadku bryla może obracac się jedynie dookoła osi (osi obrotu). Przyspieszenie kątowe ciała sztywnego obracającego się wokół nieruchomej osi jest wprost proporcjonalne do wypadkowego momentu (względem tej osi) wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało i odwrotnie proporcjonalny do momentu bezwładności ciała względem tej osi.

Predkosc punktu p który porusza się po okręgu o promieniu r jest wektorem stycznym do tego okregu i zwróconym w strone obrotu o module równym

9. Ruch płaski bryły - pojęcie płaszczyzny kierującej

Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas którego wszystkie punkty ciała poruszaja sie w płaszczyznach równoległych do

pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzna kierujaca. Punkty ciała leżace na prostej prostopadłej do płaszczyzny kierujacej poruszaja sie po takich samych torach, maja

jednakowe predkosci i przyspieszenia. Ruch płaski jest superpozycja (złożeniem) ruchów: postepowego dowolnie wybranego punktu ciała (bieguna) i obrotowego

wokół tego wybranego punktu. Ruch płaski mozna też traktowac jako ruch obrotowy, wokół pewnego punktu, tzw. srodka

obrotu. Srodek obrotu zmienia swoje poło_enie podczas ruchu.

10. Równania ruchu płaskiego - chwilowe położenie, prędkość i przyśpieszenie

Położenie bryły w ruchu płaskim

- dwie współrzedne bieguna 0(x, y):

xO = xO (t),

yO = yO (t),

- kat, o jaki obróciło sie ciało

 = 

Różniczkując względem czasu równanie
otrzymamy predkośc dowolnego punktu przekroju poruszjacego się po plaszczyźnie kierującej. Wektor prędkości dowolnego punktu przekroju wygląda następująco:
predkośc dowolnego punktu jest suma geometryczna prędkości ruchu postepowego i predkości ruchu obrotowego dookoła obracanego bieguna.

Przyspieszenie jest równe pochodnej wektora prędkości względem czasu :

11. Pojęcie ruchu kulistego - określenie położenia bryły

Ruchem kulistym ciała sztywnego nazywamy taki ruch ciała podczas którego jeden jego punkt pozostaje nieruchomy

12. Równania ruchu kulistego bryły - prędkość i przyśpieszenie

13. Pojęcie ruchu ogólnego - przemieszczenie bryły, prędkość i przyśpieszenie

14. Zasady dynamiki punktu materialnego

I. zasada

• Każde ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, dopóki działanie innych ciał nie zmusi go do zmiany tego stanu;

• Ciało pozostaje w stanie spoczynku lub stałej prędkości, gdy jest pozostawione samo sobie (działająca na nie siła wypadkowa jest równa zeru);

II. Zasada:

• Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły i zachodzi w kierunku działającej siły;

• Tempo zmiany pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to ciało;

15. Siła bezwładności - zasada d'Alamberta

Zasada d'Alemberta stosowana jest podczas wyprowadzania modelu matematycznego (a dokładniej dynamiki) kołowego robota mobilnego. Zasada ta stwierdza, że: ciało spoczywa w układzie nieinercjalnym, gdy suma wszystkich sił działających, łącznie z siłą bezwładności, równa się zero.

Siły F nie wykonują pracy na dopuszczalnych przesunięciach:

F^Tdq = 0, gdzie:

dq = q^'dt.

Innymi słowy, jeśli obiekt (robot) porusza się w dozwolonym kierunku, to siła ta przestaje oddziaływać na niego. Sytuacja ta ma miejsce w przypadku robota holonomicznego, gdzie: F(q) = 0, q - ograniczona przestrzeń stanu.

16. Zasada pędu masy i impulsu siły punktu materialnego:

Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem sil F1, F2. zgodnie z równaniem dynamiki możemy zapisac

. wektor p=mv nazywamy pedem punktu materialnego w ukladzie kartezjańskim

Impuls siły dzialającej na punkt materialny jest równy przyrostowi elementarnemu tego punktu. Przyrost pdu masy poruszającego się punktu jest równy impulsowi całkowitemu sil.

17. Zasada krętu punktu materialnego:

Krętem poruszającego się punktu materialnego względem obranego bieguna O nazywamy wektor równy iloczynowi wektorowemy promienia r przez ped p poruszającego się punktu. Kret jest więc momentem pedu względem obranego bieguna .

18. Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego:

Równanie
przedstawiając związek miedzy masa, przyspieszeniem i siła nazywamy dynamicznym równaniem ruchu. Można je zastąpić trzema równaniami analitycznymi

19. Całkowanie dynamicznych równań ruchu - przykłady:

Rozwiązywanie równań dynamicznych sprowadza się do dwóch zagadnien : 1. wyznaczanie sily F pod której wplywem porusza się punkt materialny. 2. Wyznaczanie przyspieszenie , prędkosci i toru poruszajacego się punktu

20. Drgania swobodne i tłumione punktu materialnego:

Drgania swobodne — drgania ciała wywołane wychyleniem z położenia równowagi trwałej, kiedy na ciało nie działają żadne siły, poza określającymi położenie równowagi i dążącymi do przywrócenia równowagi. Amplituda drgań zależy od wielkości początkowego wychylenia (energii potencjalnej) oraz jego prędkości początkowej (energii kinetycznej).

Drgania tłumione występują wtedy, gdy w układzie działają siły oporu ośrodka.

22. Drgania wymuszone punktu materialnego Rezonans mechaniczny.

Drgania wymuszone to zjawisko, w którym biora udział dwie siły F=-cx i S=Hsinpt. S nazywamy siłą wymuszającą, natomiast F jest stale zwrócona do środka drgań, pt - faza sily wymuszającej.

To zjawisko polegające na przepływie energii pomiędzy kilkoma (najczęściej dwoma) układami drgającymi. Warunkami koniecznymi do zajścia rezonansu mechanicznego są:

• jednakowa częstotliwość drgań własnych (lub swobodnych) układów

• istnienie mechanicznego połączenia między układami

Przykładem układu, w którym występuje rezonans mechaniczny są wahadła sprzężone.

Zjawisko to zachodzi, gdy częstotliwość drgań wymuszających zbliża się do częstości drgań własnych. Gdy siła wymuszająca działa na drgające ciało z odpowiednią częstotliwością to amplituda drgań może osiągnąć bardzo dużą wielkość nawet przy niewielkiej sile wymuszającej.

Ze zjawiskiem rezonansu spotykamy się jadąc np. autobusem. Przy pewnej prędkości obrotów silnika szyby lub niektóre części karoserii zaczynają silnie drgać.

23. Ruch punktu materialnego po gładkiej równi pochylnej.

Ruch punktu materialnego po gładkiej równi pochyłej poruszającej się ruchem postępowym z przyspieszeniem Au

Ruch opisujemy równaniem


ale


Dla
ciało będzie poruszało się w dół, a przy równym w spoczynku lub ruchem jednostajnym prostoliniowym (względem ruchomej płaszczyzny).

24. ruch wahadła matematycznego.

Punkt materialny zawieszony w polu cieżkości na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest stałość okresu drgań dla niewielkich wychyleń wahadła.

Ogólne równanie ruchu wahadła matematycznego:

Gdzie:

• l - długość nici,

• g - przyspieszenie ziemskie,

• m - masa ciała,

• θ - kąt wektora wodzącego ciała z pionem

• A - amplituda siły wymuszającej

• ω_D - częstość siły wymuszającej

• γ - współczynink oporu ośrodka

Równanie to odpowiada równaniu drgań tłumionych o sile nieproporcjonalnej do wychylenia, czyli drgań nieharmonicznych. Równania tego nie da się rozwiązać analitycznie, nawet gdy A=0.

Równanie stycznej i normalnej do toru:

,

25. Zderzenie proste i ukośne ciał.

26. Dynamiczne równania ruchy punktu materialnego.

Dynamiczne równania ruchy w postaci wektorowej

,
,

Równania ruchu w naturalnym układnie współrzędnych

27.Zasada pedu masy i impulsu sily dla układu punktu materialnego.

Pęd punktu materialnego jest wektorem stałym jeżeli suma geometryczna sil działających na punkt jest równa zeru.


Impuls elementarny siły działającej na punkt materialny jest równy przyrostowi elementarnemu pędu tego punktu.

28. Kręt układu punktu materialnego.

Krętem poruszającego się punktu materialnego wzgledem obranego bieguna 0 nazywamy wektor równy iloczynowi wektorowemu promienia r przez pęd p poruszającego się punktu.

Kręt jest więc momentem pędu (momentem ilości ruchu) względem obranego bieguna.

Pochodna wektora krętu względem czasu jest równa mometowi głównemu wszystkich sił działających na dany punkt materialny.

29. ruch układu o zmiennej masie

Jako podstawę przyjmujemy tu 2 zasadę dynamiki /Newtona dla układu materialnego- zasadę pędu

Zakładając, że od układu odrywa się z Prędkością Vb masa dm określimy elementarną zmianę wektora pędu układu

Przy czym mvs- wektor pedu układu przed oderwaniem się masy dm,

-ped układy po oderwaniu się masy dm.

30.Definicja i równanie pracy sily stalej

Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku dzialania sily nazywamy iloczyn tej sily przez długość przesuniecia (przez droge)

A=Fs

31.Praca mechaniczna siły zmiennej

32.Praca mechaniczna na torze kołowym:

33.Praca mechaniczna siły sprężystości:

gdzie
jest siłą spręzystości odpowiadajacą przemieszczeniu h. Praca sily sprzystości jest proporcjonalna do kwadratu przemieszczenia.

34.Praca mechaniczna siły ciężkości:

gdzie
jest to wartość przesunięcia punktu. Praca siły cięzkosci nie zależy od ksztaltu toru lecz tylko od odleglośći między poziomymi płaszczyznami przechodzacymi przez pocztkowe i końcowe położenie punktu. Praca jest dodatnia jeśli
, a ujemna jeżeli
czyli punkt się wznosi

35.Moc i sprawność układu:

Mocą nazywa się prace wykonaną w jednostce czasu. Wartość mocy równa się ilorazowi pracy i czasu , w którym ta praca została wykonana P= L/t

Sprawnościa ukladu nazywa się stosunek mocy uzytecznej do mocy dostarczonej do danego układu .

36.Zasada równowazności pracy i energii kinetycznej:

Przyrost energii kinematycznej punktu materialnego na dowolnym odcinku toru róna się pracy sil dzialajacych na punkt materialny na tym odcinku toru.

37.Praca w polu sił:

Znajomosc pola sil jest niewystarczająca aby można było określic prace wykonaną przez pole sil podczas przejścia w nim punktu materialnego od położenia A do B. Aby wyznaczyc tę pracę musimu znac rónież tor, po którym porusza się punkt materialny. Jedynym wyjątkiem pola sił w którym praca nie zalezy od drogi lecz jedynie od poczatkowego i koncowego położenia punktu materialnego jest potencjalne pole sił.

38. Potencjalne pole sił: : nazywamy obszar przestrzeni, w którego każdym punkcie działa określona sila na punkt materialny. Siła ta zalezy od współżędnych punktu i jeśli sila: a) nie zależy od czasu to pole nazywamy stacjonarnym, b) zalezy od czasu to pole nazywamy niestacjonarnym . Przyłady: pole siły ciężkości, pole sily spręzystości, pole sily centralenj o postaci

39 Zasada zachowania energii mechanicznej:

Podczas ruchu punktu materialnego (lub ciała sztywnego) w polu sil ciężkośći energia mechaniczna poruszającego się ciała zachowuje staławartość. Suma energii potencjalnej i kinetycznej nasywamy energią mechaniczną.

40. Równowaga punktu w polu sił ciężkości:

41. Dynamiczne równania ruchu postępowego ciała sztywnego:

42. Twierdzenie o pochodnej krętu bryły materialnej: Definicja: Krętem ciala sztywnego wokół osi obrotu nazywa się iloczyn masowego momentu bezwładności ciała względem tej osi i prędkości katowej.

Kręt ciala sztywnego jest suma krętów wszystkich mas elementarnych :

43. Charakterystyka ruchu płaskiego bryły materialnej:

Swobodne ciało sztywne, na które działa uklad sił zewnętrznych
znajduje się w ruchu płaskim . Ma ono 3 stopnie swobody i wystarczy podac ruch dowolnego jego punktu na plaszczyźnie kierującej- ma on dwa stopnie swobody- i np. drogę kątową
w jego własnym obrocie aby jednoznacznie opisać położenie calego ciała sztywnego.

44. Dynamiczne równania ruchu bryły materialnej - przykłady rozwiązań

Dla ruchu obrotowego dookoła nieruchomej osi:

Przykład: Koło zamachowe porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym bez predkosci poczatkowej a więc przyspieszenie
obliczymy ze wzoru :
=>
moment obrotowy ;

---