Zestaw I na: .2005/06

Wektory

1. W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są dwa wektory
   

oraz

.

Obliczyć:

1. długość każdego wektora,

2. iloczyn skalarny
   ,

3. kąt zawarty miedzy nimi,

4. sumę i różnicę wektorów to jest
   
   ,

5. iloczyn wektorowy
   .

2. Oblicz: a) -j x 5i b) 5i x i c) k • j d) 5k x j

3. Dane są dwa wektory A i B takie, że A + B = 11x - y + 5z oraz A - B = -5x + 11y + 9z. Znajdź wektory A i B, oraz oblicz kąt zawarty między nimi.

4. Pilot samolotu chce osiągnąć punkt leżący 200 km na wschód od obecnego położenia. Wiatr wieje z prędkością 30 km/h z północnego zachodu. Obliczyć wektor prędkości samolotu względem masy powietrza, jeżeli wg. rozkładu samolot miał dolecieć do celu po 40 min.

5. Stałe siły F₁ = i + 2j + 3k oraz F₂ = 4i - 5j - 2k (gdzie i, j, k są wersorami układu) działają równocześnie na cząstkę przesuwając ją z punktu A (20, 15, 0) do B (0, 0, 7).

1. Obliczyć pracę wykonaną przy przesunięciu cząstki,

2. Zakładając działanie tych samych sił, obliczyć pracę przy przesunięciu od punktu B do A.

3. Obliczyć moment siły wypadkowej działającej na cząstkę względem początku układu,gdy znajduje się ona w punkcie A.

6. Dane są trzy wektory
   ,
   
   ,
   

gdzie
oraz
są wersorami osi kartezjańskiego układu współrzędnych.

Sprawdzić czy te trzy wektory są współpłaszczyznowe.

Wykonaj rysunek zgodny z tematem zadania.

7. Dany jest romb utworzony przez dwa wektory
   i
   .

Udowodnić, że:

1. pole równoległoboku P =
   ,

2. wektory przekątnych rombu „c”, „d” są do siebie prostopadłe,

3. pole rombu P_r =(
   )/2.

Wykonaj rysunek zgodny z tematem zadania.

8. Dane są dwa wektory
   oraz
   gdzie
   są wersorami

kartezjańskiego układu współrzędnych. Znaleźć kąt między wektorami
i
.

Wykonaj rysunek zgodny z tematem zadania.