f(x,y)=xy na zb. x²/8+y²/2=<1 ∂f/∂x=y ∂f/∂y=x f.jest ciągła i na zb. zwart. D przyjmuje wart.najmn, i najw.na D. ∂f/∂x=0 ∂f/∂y=0 x=0 y=0 P=(0,0) szukam ekstr. na brzegu zb. g(x,y)= x²/8+y²/2-1 D={(x,y): x²/8+y²/2-1=0} gradg(x,y)=(x/4,y)=(0,0) =>x/4=0 i y=0 czyli x=0 i y=0

ale pkt(0,0)є\D więc gradg(x,y)҂(0,0) dla (x,y)€D stad zb. D jest zb. Lagrange'a.

F(x,y)=xy-λ(x²/8+y²/2-1); ∂F/∂x=y-λx/4 ∂F/∂y=x-yλ {=0 =0 x²/8+y²=1 λ= λ = =->x, y

f(x,y)=3x²+y³+12xy-27y W: y>4 F. jest wypukła na zb. wyp. W wtedy gdy jej macierz Hessego jest nieujemnie określona na zb. W. Jeśli f:R²->R to trHf(x,y)>=0, detHf(x,y)>=0; ∂f/∂x=6x+12y ∂f/∂y=3y²+12x-27; ∂²f/∂x²=6 ∂²f/∂y²=6y, ∂²f/∂x∂y=12 Hf(x,y)=[6 12, 12 6y] tr Hf(x,y)=6+6y>=0 y>=-1 detHf(x,y)=36y-144>=0y>=4} stąd Hf jest nieujemnie określ. dla y>=4, a stąd….

Wyzn. najmn. wart. f.: {6x+12y=0, 3y²-12x-27=0 y1=, y2= y1єW P(x1,y1) f(P1)= - wart. najmn.

---