4.5 Współrzędne izometryczne

Współrzędne krzywoliniowe u,v nazywane są izometrycznymi, jeżeli długość ds na powierzchni można wyrazić wzorem:

gdzie: μ² - dowolna funkcja parametrów u i v.

Jeżeli zatem współrzędne u i v są izometrycznymi to zachodzą następujące związki:

F = 0, E = G = μ²

Twierdzenie:

Współrzędne u i v są izometryczne jeżeli:

1. siatka współrzędnych jest siatką ortogonalną,

1. przesunięcie ds wywołane zmiana współrzędnej u o wartość du = ε jest równe przesunięciu ds wywołanemu zmiana współrzędnej v o dv = ε

(gdzie ε to nieskończenie mała, dowolnie obrana liczba)

Współrzędne elipsoidalne B,L nie są izometryczne.

zamiast współrzędnej B wprowadzimy nową współrzędną q taką, że

otrzymamy zatem:

Współrzędna q będzie równa:

czyli po rozwiązaniu

gdzie: q - współrzędna izometryczna (ważna w odwzorowaniach równokątnych)

e - mimośród elipsoidy

Warunki równokątności

(w przypadku stosowania współrzędnych izometrycznych)

Warunki równokątności odwzorowania elipsoidy obrotowej na płaszczyznę:

oraz

Po zastąpieniu B,L współrzędnymi izometrycznymi q,L otrzymamy:

ponieważ
zatem

przedstawia warunki równokątności w zastosowaniu współrzędnych izometrycznych (Cauchy'ego - Riemana)

Warunki te musi spełniać funkcja analityczna zmiennej zespolonej z = q+iL

Kartografia matematyczna. Współrzędne izometryczne - skrót

1