Teoria odwzorowań

1.Odwzorowanie - jednej powierzchni na drugą: każda jednoznaczna odpowiedniość punktowa między pow. nazywaną oryginałem a pow. będącą obrazem.

2.Odwzorowanie dane jest dwiema funkcjami U=f(u,v), V=g(u,v); są to funkcje odwzorowawcze. Przyporządkowują on każdemu punktowi P(u,v) oryginału odpowiedni punkt P (U,V) obrazu. Istnieją też funkcje odwrotne F i G.

3.Odwzorowanie regularne⇒f,g spełniają :

-każdej parze u i v przyporządkowuje jedną i tylko jedną parę U i V.

-są ciągłe i conajmniej dwukrotnie różniczkowalne

-są wzajemnie niezależne.

4.W geodezji najczęściej rolę u,v spełniają B i L, natomiast rolę U i V współrzędne prostokątne x i y. Wtedy funkcje mają postać

x=x(B,L) , y=y(B,L)

5.Odwzorowanie powierzchni elipsoidy na płaszczyznę nie może być wykonane bez zniekształceń

6.Skala długości i pól m = ds / ds

ds - długość nieskończenie małego łuku na powierzchni oryginału

ds - długość odpowiadającego mu łuku na obrazie

W odwzorowaniach równokątnych skala długości zależy tylko od współrzędnych punktu ( nie zależy od azymutu)

Odwzorowanie idealne miało by wszędzie skalę m = 1 jest to niemożliwe

Zniekształcenie długości Z_m=m-1

Zniekształcenie pól Z_p=p-1

Gdzie: p=dp/dp - skala pól

7.Odwzorowanie elementów pow. elipsoidy obrotowej na płaszczyznę

a)elementarny czworobok (z łuków południków i równoleżników)

d_s1 = M*dB

d_s2 = r*dL = N*cosB * dL

Odwzorowanie jest równokątne jeśli jednocześnie

-obrazy południków przecinają się z obrazami równoleżników pod kątem prostym,

- w każdym punkcie m_B=m_L

Współrzędne izometryczne-współrzędne krzywoliniowe u,v nazywamy izometrycznymi jeśli długość elementarnego łuku ds na danej powierzchni można wyrazić wzorem ds² = μ ² (du² + dv² )

μ² - dowolna, dodatnia funkcja u,v.

Jeśli powyższy wzór porównamy ze wzorem na długość łuku elementarnego na oryginale

ds² =E*du²+2Fdudv+Gdv² to dla współrzędnych izometryczne otrzymamy F=0, E=G=μ²

F=0 dla u,v ortogonalnych.

U,v są izometryczne jeśli:

-siatka u,v jest ortogonalna

-przesunięcie ds wywołane zmianą współrzędnej V o dv jest równe przesunięciu ds spowodowanemu zmianą u o du. Współrzędne B,L nie są izometryczne, gdyż:

ds²=M²dB²+N²cos²BdL²

każda funkcja analityczna opisuje jakieś odwzorowanie równokątne.

Przy wyprowadzeniu funkcji odwzorowawczym można posłużyć się następującym sposobem:

a)zastąpić współrzędne geodezyjne B,L współrzędnymi izometrycznymi q,l,

b) wykorzystać funkcję analityczną do przedstawienia związku między współrzędnymi płaskimi x,y i współrzędnymi q,l.

Wykorzystuje się przy tym następującą własność funkcji analitycznej: każda funkcja analityczna jest z założenia rozwijalna w szereg potęgowy.

Etapy obliczeń przy wykorzystaniu transformacji z układu satelitarnego do układu 65

Układ 65 jest to układ pięciostrefowy , nad elipsoidą Krasowskiego. W czterech strefach mamy odwzorowanie Quasi stereograficzne a w piątej odwzorowanie Gaussa - Krugera. Przeliczenie współrzędnych do tego układu odbywa się w różny sposób. Może to być przejście między elipsoidą GRS'80 a elipsoidą Krasowskiego ( jest to transformacja przestrzenna, siedmioparametrowa, np.

( X,Y,Z) GRS'80 → (X,Y,Z) Krasowskiego → ( B,L,H) Krasowskiego. Odwzorowanie sieci na płaszczyznę układu 65 może być:

punktowe i wektorowe. Przy odwzorowaniu punktowym wykorzystuje się program GPSTRANS, a przy odwzorowaniu wektorowym program GEONED.

Metoda punktowa - wykorzystuje punktowe prawa odwzorowywania dla określonej strefy układu 65 za pomocą następujących wzorów

X=f₁(B,L) , y=f₂(B,L)

W metodzie wektorowej jest projekcja ( wyrównanych) wektorów na płaszczyznę układu 65. Każdemu wektorowi odpowiada na elipsoidzie Krasowskiego wektor biegunowy. Współrzędne X,Y (dla wszystkich punktów sieci ) są jeszcze raz transformowane wg reguł transformacji układu płaskiego w płaski z uwzględnieniem współrzędnych punktów łącznych. Ostatnim etapem jest transformacja Hausbrandta. Punkty łączne otrzymują współrzdne wejściowe. Poprawki zostają rozmieszczone na punkty sieci.