Przykładowy zestaw zadań egzaminacyjnych z matematyki (zestaw 1)

Zad.1

a. Stosując metodę zerojedynkową wykaż zasadę kontrapozycji.

b. Omów jej wykorzystanie w twierdzeniu zwanym warunkiem koniecznym różniczkowalnoś-ci funkcji punkcie (w szczególności podaj to twierdzenie w formie implikacji).

c. Zbadaj różniczkowalność funkcji
.

Zad.2

a. Podaj wnioski wypływające z twierdzenia Lagrange'a oraz wykorzystaj je do:

b. Pokazania równości

c. Wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji

Zad.3

a. Podaj definicję wypukłości (wklęsłości) funkcji w punkcie oraz w przedziale.

b. Zbadaj charakter wypukłości funkcji
w punkcie
.

c. Określ wzajemne położenie wykresu funkcji i stycznej w punkcie
do funkcji
(bez znajdowania stycznej), wyznacz równanie tej stycznej (w postaci kierunkowej).

Zad.4. Oblicz

a. Granicę ciągu

b. Pochodną funkcji

c. Całkę

Zad.5

a. Omów poznane rodzaje całek niewłaściwych, zrób rysunki.

b. Zbadaj zbieżność całki
.

c. Zbadaj istnienie pola figury nieskończonej zawartej między wykresami

Przykładowy zestaw zadań egzaminacyjnych z matematyki (zestaw 2)

Zad.1. Dane są funkcje:

,

a). Naszkicuj wykresy funkcji f i g.

b). Utwórz złożenie
, wzór, dziedzina.

c). Oblicz pochodną tego złożenia

Zad.2. Znajdź granice, cytując twierdzenia, z których korzystasz

a). ciągu

b).funkcji

Zad. 3. Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema

Zad.4. Dana jest funkcja

Zbadaj charakter wypukłości funkcji w punkcie
i określ wzajemne położenie stycznej w punkcie
do funkcji f i wykresu funkcji f (bez znajdowania stycznej)

Zad.5.

a. Zapisz wzór Maclaurina dla funkcji
(n=8).

b. Oblicz całkę

Przykładowy zestaw zadań egzaminacyjnych z matematyki (zestaw 3)

Zad. 1.

a. Podaj definicję ciągłości funkcji w punkcie, a następnie utwórz jej zaprzeczenie.

b. Podaj przykłady dwóch funkcji nieciągłych (z różnych powodów) w punkcie
. Zrób rysunki

c. Dobierz stałą C tak, by f była ciągłą w
. Odwołaj się do definicji ciągłości funkcji w punkcie

Zad. 2.

a. Zilustruj twierdzenie Rolle'a dla f na [a, b]. Znajdź punkt, o którym jest mowa w tezie twierdzenia

b. Podaj twierdzenie, które jest uogólnieniem twierdzenia Rolle'a, wyjaśnij na czym to uogólnienie polega

Zad. 3.

a. Zbadaj charakter wypukłości funkcji.

Wyniki przedstaw symbolicznie na osi liczbowej.

b. Napisz wzór Maclaurina dla n=8 dla funkcji f. Jaką ma postać
(reszta Lagrange'a)

Zad.4.

a. Wyznacz ekstrema funkcji. Zacytuj twierdzenia z których korzystasz i wyniki przedstaw symbolicznie na osi liczbowej

b. Napisz równanie stycznej do funkcji f w jej punkcie przegięcia

Zad.5. Wyznacz metodą całek stowarzyszonych całki

,