Egzamin z matematyki (termin I) - 2.02.2011

Wersja A

Zad.1a. Uzupełnij: Funkcją odwrotną do bijekcji
jest z definicji taka funkcja (oznaczona
) ,
, która ma następujące właściwości:

b. Oblicz z uzasadnieniem:

c. Naszkicuj wykres funkcji
i znajdź dowolną metodą funkcję odwrotną, podaj jej wzór
i dziedzinę

Zad.2a. Wyjaśnij co to jest całka niewłaściwa I rodzaju. Podaj odpowiednie wzory definicyjne i zrób dwa rysunki.

b. Zbadaj czy istnieje pole figury nieskończonej zawartej pomiędzy wykresem funkcji
, osią
oraz prostą
(dla
). Zrób rysunek

Zad.3a. Oblicz granicę ciągu

b. Oblicz pochodną
dla funkcji
korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkcie, a następnie sprawdź wynik stosując odpowiednie wzory

c. Oblicz całkę
, skomentuj otrzymany wynik

Zad.4a. Stosując metodę zerojedynkową wykaż zasadę kontrapozycji.

b. Omów jej zastosowanie w twierdzeniu zwanym W.K. (warunkiem koniecznym) istnienia ekstremum (podaj to twierdzenie w formie implikacji) i wyciągnij wnioski dotyczące ewentualnego istnienia ekstremum dla funkcji
w punktach

c. Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji
. Wyniki przedstaw symbolicznie na osi liczbowej

Wersja B

Zad.1a. Oblicz granicę ciągu

b. Oblicz pochodną
dla funkcji
korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkcie, a następnie sprawdź wynik stosując odpowiednie wzory

c. Oblicz całkę
, skomentuj otrzymany wynik

Zad.2a. Stosując metodę zerojedynkową wykaż zasadę kontrapozycji.

b. Omów jej zastosowanie w twierdzeniu zwanym W.K. (warunkiem koniecznym) różniczkowalności funkcji w punkcie (podaj to twierdzenie w formie implikacji) i wyciągnij wnioski dotyczące ewentualnego istnienia pochodnej dla funkcji
, w punktach

c. Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji
. Wyniki przedstaw symbolicznie na osi liczbowej

Zad.3a. Wyjaśnij co to jest całka niewłaściwa II rodzaju. Podaj odpowiednie wzory definicyjne i zrób dwa rysunki.

b. Zbadaj czy istnieje pole figury nieskończonej zawartej pomiędzy wykresem funkcji
, osią
oraz prostymi
. Zrób rysunek

Zad.4a. Uzupełnij: Funkcją odwrotną do bijekcji
jest z definicji taka funkcja (oznaczona
) ,
, która ma następujące właściwości:

b. Oblicz z uzasadnieniem:

c. Naszkicuj wykres funkcji
i znajdź dowolną metodą funkcję odwrotną, podaj jej wzór
i dziedzinę