WIELOMIANY - zadania

1. Znajdź takie wartości parametrów a , b i c , aby wielomiany W(x) i G(x) były równe :

a ) W(x) = a (x - 2)(x - 3) + b (x-1)(x - 3) + c (x - 1)(x - 2)

G(x) = 5x
- 19x + 18.

b ) W(x) = ax
- 4x
+ 5x - 2

G(x) = (x - b)
(x - c).

2. Dany jest wielomian W(x) = 3x
+ 2mx
- 3n
x - 4m - 6n . Wielomian ten dla x = 0
przyjmuje wartość -24 , a dla x = -1 wartość -9 .

a ) Oblicz m i n .

b ) Dla wyznaczonych całkowitych wartości m i n oblicz pierwiastki tego
wielomianu .

3. Wielomian dany wzorem W(x) = x
+ k
x
+ (3k + m)x + 2m - 2k ma pierwiastek
równy -1 oraz dla x = 0 przyjmuje wartość -8 .
a ) Oblicz k i m .

b ) Dla wyznaczonych wartości k i m oblicz pozostałe pierwiastki wielomianu .

4. Dany jest wielomian W(x) = x
+ ax
- bx - 6 . Liczby 1 i 2 są jego pierwiastkami .

a ) Wyznacz współczynniki tego wielomianu .

b ) Przy wyznaczonych współczynnikach rozwiąż nierówność W(x) > 0 .

5. Dany jest wielomian W(x) = 2x
- (3m - 2)x
+ (2m
- 2)x + 7 . Liczba -1 jest
pierwiastkiem tego wielomianu .

a ) Wyznacz współczynniki tego wielomianu .

b ) Przy wyznaczonych współczynnikach rozwiąż nierówność W(x)
0 .

6. Znajdź te wartości parametru k , dla których wielomian W(x) = x
+ kx
+ 6x + k jest
podzielny przez dwumian x + 2 .

7. Dla jakich wartości parametrów k i m wielomian W(x) = x
+ kx
+ mx + 6 jest podzielny
przez wielomian Q(x) = (x - 2)(x - 3) ?

8. Dla jakich wartości parametru k reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x
+ 2x
+ kx + 3
przez wielomian Q(x) = x + 1 jest równa 5 ?

9. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x - 1 jest równa 1 , zaś reszta z
dzielenia tego wielomianu przez x - 2 jest równa 4 . Wyznacz resztę z dzielenia
wielomianu W(x) przez wielomian x
- 3x + 2 .

10. Wiadomo , że liczby 2 i 3 są pierwiastkami równania 2x
+ mx
- 13x + n = 0 . Wyznacz
m i n oraz znajdź trzeci pierwiastek tego równania .

11. Dany jest wielomian W(x) = (x - 1)(x - 4m - 2)(x - m
+ 3), gdzie x
R . Dla jakiej
wartości parametru m
R suma pierwiastków wielomianu jest najmniejsza ? Dla
znalezionej wartości parametru m rozwiąż nierówność W(x)
0 .

12. Liczby -1 i 2 są pierwiastkami wielomianu W(x) = 2x
+ ax
+ bx
+ cx - 2. Wiedząc , że
suma wszystkich współczynników tego wielomianu wynosi -3 , rozwiąż nierówność
W(x)
0 .

13. Wielomian W(x) = x
- (p + q)x
- (p - q)x + 3 dzieli się ( bez reszty ) przez wielomian
P(x) = x
- 4x + 3 . Oblicz p i q . Znajdź pierwiastki wielomianu W(x) .

14. Wielomian W(x) = 2x
+ 4x
+ ax
+ bx + 2 jest podzielny przez trójmian x
+ x - 2 .
Oblicz sumę odwrotności wszystkich pierwiastków wielomianu W(x) .

15. Wielomian W(x) = x
+ ax
+ bx + c jest podzielny przez trójmian x
- 3x + 2 i przy
dzieleniu przez dwumian x + 1 daje resztę -24 . Wyznacz współczynniki a , b i c .

16. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = 2x
+ 4x
+ ax
+ bx + 2 przez dwumian
x - 1 wiedząc , że funkcja f(x) = ax
+ bx + 2 dla x=3 osiąga maksimum równe 11 .

17. Wyznacz a i b tak , aby wielomian W(x) = x
+ x
+ ax + b był podzielny przez x
- 1 .

Napisz równanie stycznej do wykresu tego wielomianu w punkcie A = (1 , 0) .

18. Rozwiąż równanie ax
+ bx
+ cx + d = 0 wiedząc , że współczynniki a , b , c , d
w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q = 3 .

19. Dla jakich wartości parametru m wielomian W(x) = x
log
m - 3x
log m - 6x - 2log m
jest podzielny przez (x + 1) ?

20. Wyznacz liczby a i b , wiedząc , że liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu
W(x) = x
- 5x
+ ax + b .

21. Określ liczbę pierwiastków równania px
+ (9p - 3)x
+ (2 - p)x = 0 w zależności od
wartości parametru p . Naszkicuj wykres funkcji , która każdej wartości parametru p
przyporządkowuje liczbę pierwiastków tego równania .

22. Zbadaj dla jakich wartości parametru m równanie (m - 2)x
- 2(m + 3)x
+ m + 1 = 0 ma
cztery różne pierwiastki rzeczywiste .

23. Dla jakich wartości parametru m równanie x
- 6x
+ m = 0 ma cztery różne rozwiązania?

24. Wielomian W(x) jest iloczynem dwumianu 3x - m + 4 i trójmianu kwadratowego
2x
+ (m - 1)x + m - 3 . Dla jakich wartości parametru m
wszystkie pierwiastki
wielomianu W(x) są ujemne ?

25. Dane są zbiory :

A = { x: x
i 3x
- 2x
- 11x + 10 > 0 }

B = { x: x
i x
+ 8x
0 }

C = { x: x
i 0
x
+ x
2 }.

Wyznacz zbiory : A
B , A
B , A \ B , A
B
C , C
B , (A
C) \ B .

25