Wydział MT

Kierunek MiBM

Grupa 4

Ćwiczenie F

Temat : Całkowanie dynamicznych równań ruchu metodą Rungego - Kutty ; drgania układu o jednym stopniu swobody

Sekcja 10 Górski Rafał

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z numerycznym rozwiązywaniem równań różniczkowych zwyczajnych na przykładzie dynamicznych równań ruchu oraz zapoznanie się z zastosowaniem metody Newmarka do rozwiązywania różniczkowych równań ruchu na przykładzie drgań układu o jednym stopniu swobody.

2. Podstawy teoretyczne

II.1 Metody Rungego - Kutty

Metody Rungego - Kutty są zasadniczym reprezentantem metod jednokrokowych. Metody jednokrokowe charakteryzują się tym, że w celu wykonania jednego kroku obliczeń wykorzystujemy to przybliżenie, które zostało obliczone w bezpośrednio poprzedzającym kroku. Tak więc na podstawie samego warunku początkowego y_o obliczamy y₁, na podstawie y₁ obliczamy y₂ i tak dalej. Konstrukcja metod Rungego - Kutty oparta jest na zależności całkowej : y(x) = y(x_n) + ∫f(x,y(x)) dx ; x > x_n .

Ideą metody jest sposób przybliżenia całki za pomocą sumy, w której każdy składnik tej sumy jest wyrażony poprzez y(x_i). W ten sposób metoda Rungego - Kutty polega na takim doborze współczynników a₁, a₂, b₁, b₂, ... , oraz liczb A₁, A₂, ... , aby

y_i+1 = y_i + h∑m_jA_j

Wykonanie jednego kroku obliczeń za pomocą metody Rungego - Kutty następuje w bardzo prosty sposób; jeżeli dla x_i obliczono już y_i(y_i≈ y_i(x_i)), to w celu wykonania następnego kroku obliczeń zakładamy pewną długość kroku całkowania h, obliczmy kolejno k₁, k₂ , ... ,k_m, a następnie y_i+1 będące przybliżeniem y(x_i+1) dla x_i+1 = x_i + h. Należy podkreślić, że oszacowanie błędu całkowitego i błędu aproksymacji jest trudne. Dlatego ocena dokładności obliczeń na podstawie tych oszacowań byłaby całkowicie niepraktyczna. Bardzo popularnym sposobem oszacowania błędu i rozstrzygania o dokładności obliczeń jest ekstrapolacja. Idea tego sposobu polega na porównaniu wyniku uzyskanego w pojedynczym kroku obliczeń z długością kroku h z wynikiem uzyskanym po dwóch kolejnych krokach obliczeń wykonanych z długością kroku h/2.

II.2 Drgania układu o jednym stopniu swobody.

II.2.1 Metoda Newmarka

Metoda Newmarka jest jedną z metod numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych. Zakładamy, że znane są przemieszczenie, prędkość i przemieszczenie w chwili t₁. Przyjmujemy oznaczenia

x(t_i) = x_{i ,}

x(t_i + Δt) = x_i+1 ,

gdzie Δt - krok czasowy

Prędkość w chwili t_i +h jest równa

x(t_i + h) = x(t_i) + ∫ x(t_i + τ)dτ, 0≤τ≤h≤∆t.

Żeby wyznaczyć prędkość i przemieszczenie należy znać przebieg przyspieszenia w czasie od t_i do t_i+1. W metodzie Newmarka zakłada się charakter zmiany przyspieszenia. Równania metody mają postać :

x_i+1 = Δt[(1- γ)∙ x_i + γ∙ x_i+1)],

x_i+1 = x_i + Δt∙ x_i + Δt² [(½ - β)∙ x_i + β∙ x_i+1].

Założonemu przebiegowi przyspieszenia odpowiadają określone wartości parametrów β i γ. Przyjmuje się γ = ½, gdyż taka wartość parametru zapewnia przynajmniej drugi rząd dokładności metody.

Układ powyższych równań oraz równanie drgań ułożone dla następującego kroku czasowego

m∙ x_i+1 + c∙ x_i+1 + k∙ x_i+1 = 0

pozwalają wyznaczyć nieznane wartości przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia.

Żeby rozpocząć obliczenia, należy podać przemieszczenie i prędkość w chwili początkowej. Rozwiązanie numeryczne otrzymane metodą Newmarka ma okres drgań T_n , różniący się od dokładnego.

Warianty metody Newmarka, dla których β < ¼, charakteryzują się gwałtownym skróceniem okresu drgań po przekroczeniu pewnej wartości kroku czasowego. Zjawisku temu towarzyszy utrata stabilności rozwiązania. Całkując równanie drgań przy parametrze β = ¼ (metoda stałego przyspieszenia), otrzymuje się rozwiązanie stabilne niezależnie od przyjętego kroku całkowania.

3. Wyniki pomiarów.

III.1. Rzut ukośny

prędkość początkowa : v_o = 500 [m/s]

krok całkowania : 1/10

1. opór powietrza c = 0

kąt α [˚]	30	45	60
max. zasięg [m]	22500	22500	22500
max. wysokość [m]	3200	6000	9500

2. opór powietrza c = 0,01

kąt α [˚]	30	45	60
max. zasięg [m]	340	290	220
max. wysokość [m]	100	160	230

3. wykres

III.2. Metoda Newmarka

1. wyznaczenie wartości współczynnika c

dane : m = 10 [kg]

k = 1 [N/m]

z wykresu : T₁ = 20 [s]

(x_max)_i = 0,75

(x_max)_i+1 = 0,55

(x_max)_i

δ = ln = h∙T₁ = 0,310154 => h= 0,0155

(x_max)_i+1

h = c/2m => c = h∙2m

c = 0,320

współczynnik tłumienia krytyczny występuje dla ω = h, więc

c_kr = 2m√ k/m = 6,324

2. dane początkowe

masa m [kg]		10	10
wsp. sztywności k [N/m]		1	1
wsp. tłumienia c [Ns/m]		0,32	6,32
amplituda siły		0	0
okres T		20	20
war. początkowa	xo	0,1	0,1
		yo	0	0
	par. metody	β	0,25	0,25
		γ	0,5	0,5
krok całkowania		0,1	0,1
liczba kroków		800	800

4. Wnioski

IV.1. rzut ukośny

Dla c = 0,01 największy zasięg wystąpił dla rzutu pod kątem 30˚.Jest to spowodowane tym, że cosinus kąta nachylenia jest dla tego kąta największy, przez co jednocześnie zasięg jest największy. Analogicznie, jeżeli chodzi o max. wysokość to jest ona największa dla kąta rzutu 60˚, ponieważ wysokość zależy od sinusa kąta nachylenia. Jeżeli chodzi o rzut ukośny z współczynnikiem c = 0 , to zasięg dla wszystkich badanych kątów rzutu był taki sam. Jest tak dlatego, że opór powietrza dla składowej "iksowej " prędkości nie występuje, przez co rzucenie ciała pod dowolnym kątem daje nam taki sam zasięg. Nie jest tak jeżeli chodzi o maksymalną wysokość. Tutaj bowiem działa na składową "igrekową" siła grawitacji i wyniki są zbliżone do tych ,które są z współczynnikiem c = 0,01 ;czyli wysokość jest proporcjonalnie większa, lecz tak samo zależy od sinusa kąta wyrzutu ciała.

IV.2. Drgania układu o jednym stopniu swobody

Dla współczynnika c = 0,32 wystąpiło tłumienie podkrytyczne. Wystąpiły oscylacje, a przyspieszenie, prędkość i przemieszczenie były identyczne jak na załączonym wykresie.

Dla współczynnika c = 6,32 wystąpiło tłumienie krytyczne. Ruch w tym przypadku nie miał charakteru drgań. Wychylenie x z położenia równowagi szybko malało z upływem czasu i zdążało asymptotycznie do zera.

Na podstawie tych pomiarów można zauważyć, jakie znaczenie ma współczynnik c na ruch ciała sprężystego. Jednak charakterystyczne dla ciała sprężystego jest również to, czy względny współczynnik tłumienia (h) i częstość drgań własnych układu bez tłumienia (ω) są sobie równe, lub czy jeden z nich jest większy od drugiego. Od tego bowiem zależy, czy ciało będzie drgało, czy też wystąpi tłumienie krytyczne lub nadkrytyczne dla którego układ nie drga. Podsumowując : układ drga tylko wtedy, gdy wartość współczynnika c jest mniejsza od wartości krytycznej.