TEORIA STEROWNIA

Zajęcia nr 8

Modele obiektów i układów sterowania w przestrzeni stanu

RÓWNANIE STANU (teoria układów dynamicznych)

Równania stanu są sposobem na reprezentację modelu matematycznego układu dynamicznego (zwłaszcza układu automatycznej regulacji). Znajomość stanu układu daje bardzo wiele, ale jeszcze więcej wiemy o układzie, gdy znamy związki zmiennej stanu z innymi ważnymi zmiennymi. Dlatego w opisie układu (w jego modelu matematycznym) kluczową rolę odgrywa związek rządzący zachowaniem się zmiennej stanu czyli równania stanu. Opis układu za pomocą równań stanu nazywany jest też czasami opisem w przestrzeni stanów lub modelem zmiennych stanu.

Sformułowanie równań stanu.

$\dot{x} = f\left\lbrack \overrightarrow{x}\left( t \right),\overrightarrow{u}\left( t \right),t \right\rbrack$ - równanie stanu (1)

$$\overrightarrow{x_{0}}\left( t_{0} \right) = {\overrightarrow{x}}_{0}$$

Nie zawsze wektor stanu jest odpowiedzią układu, dlatego dla pełnego opisu układu potrzebne jest jeszcze jedno równanie, które wiąże ze sobą wektor :

• stanu

• odpowiedzią układu

• wymuszenia

Zatem:

$\overrightarrow{y} = g\left\lbrack \overrightarrow{x}\left( t \right),\overrightarrow{u}\left( t \right),t \right\rbrack$ - równanie wyjścia układu (2) $\overrightarrow{y}\left( t \right)$

(1) i (2) przyporządkowuje schemat blokowy:

Funkcje f i g są liniowe.

(1) i (2) przyjmuje stan:

- równanie stanu

- równanie wyjścia

(jak już wyżej wskazano, drugie z powyższych równań nazywa się równaniem wyjścia) gdzie

- macierz stanu (procesu)

-macierz wejść (wymuszeń)

- macierz wyjść (odpowiedzi)

- macierz transmitancyjna (przenoszenia)

ZADANIA:

1. Dany jest układ dynamiczny jak na rysunku złożony z liniowego obwodu elektrycznego, źródła napięcia zasilającego u(t) i amperomierza mierzącego prąd wyjściowy i(t) = y(t). Należy podać stanowy model tego układu.

1. Dany jest obwód elektryczny jak na rysunku poniżej. Wybierając jako zmienne stanu x₁(t),  x₂(t) napięcia na kondensatorach, zaś jako sygnał wyjściowy y(t) spadek napięcia na rezystencji R₂, podaj stanowy model tego obwodu.

1. Dane są obwody elektryczne a i b.

   1. W przypadku obwodu a jako zmienne stanu przyjmuje się napięcie panujące na kondensatorze x₁(t) = u_c(t), oraz prąd płynący przez cewkę x₂(t) = i_L(t), zaś jako sygnał wyjściowy zakłada się napięcie na kondensatorze y(t) = u_c(t).

   2. W przypadku obwodu b zmienne stanu wybiera się jak następuje: x₁(t) = u_c(t), x₂(t) = i₂(t) oraz x₃(t) = i₁(t), zaś napięcie na kondensatorze przyjmuje się jako sygnał wyjściowy, y(t) = u_c(t).

W obu przypadkach napięcie u(t) jest sygnałem wejściowym. Podaj stanowe modele tych obwodów.