an
n " m (1)
Laboratorium Identyfikacji procesów technologicznych |
NAZWISKO IMI :
|
III A i R
|
Temat : Liniowe modele obiektów i sposoby ich opisów |
wiczenie numer :
|
Data wykonania:
|
Uwagi : |
Ocena : |
Data oddania : |
1.Cel wiczenia
.wiczenie polega na zapoznaniu si z liniowymi modelami obiektów i sposobie ich opisu
2. Wstp
Uywane opisy liniowych modeli :
Równanie róniczkowe
G(s) transmitancja operatorowa
Transmitancja widmowa i charakterystyki czstotliwociowe
Charakterystyka impulsowa i skokowa
Opis w przestrzeni stanu A,B,C,D
Ad.1
Zwizek midzy wielkoci wyjciow y(t) i wielkoci wejciow x(t) ukadu liniowego cigego ,o staych skupionych parametrach, o jednym wyjciu i wejciu wyraa si równaniem róniczkowym :
an
n " m (1)
x(t) -wielko wejciowa
x(t) y(t) y(t) -wielko wyjciowa
n = deg a , m =deg b
Rys.1 Ukad dynamiczny o jednym wyjciu i wejciu
Rozwizanie powyszego równania róniczkowego cakowicie okrela wasnoci dynamiczne (zachowanie si w czasie) badanego ukadu.
Ad.2
Stosunek transformaty Laplace'a wielkoci wyjciowej Y(s) ukadu do trnsformaty Laplace'a wielkoci wejciowej X(s) ukadu, przy zerowych warunkach pocztkowych , nazywamy transmitancj operatorow ukadu G(s) :
G(s) = 
(2)
Transmitancja operatorowa ukadu liniowego o staych parametrach skupionych jest funkcj wymiern zmiennej s . Ma ona posta ilorazu dwóch wielomianów stopnia m oraz n .
Ad.3
Transmitancja widmowa jest równa stosunkowi zespolonej odpowiedzi ukadu, wywoanej wymuszeniem harmonicznym, do wartoci zespolonej tego wymuszenia, w stanie ustalonym .G(j) stanowi wyraenie analogiczne do zalenoci (2) dla transmitancji operatorowej, rónice si jedynie zamian zmiennej s na j co mona zapisa :
G(j) = G(s)
s = j (3)
Zaleno moduu transmitancji widmowej od pulsacji nazywa si amplitudow charakterystyk czstotliwociow elementu lub ukadu. Argument transmitancji widmowej jest równy przesuniciu fazowemu midzy odpowiedzi i wymuszeniem harmonicznym.
Arg G(j) = () (4)
Zaleno argumentu transmitancji widmowej od pulsacji nazywa si fazow charakterystyk czstotliwociow elementu lub ukadu. Podobnie definiuje si charakterystyki czstotliwociowe -rzeczywist i urojon - otrzymane w wyniku przedstawienia transmitancji widmowej w postaci algebraicznej :
G(j) = P() +jQ() (5)
przy czym : P() = Re [G(j)]
Q() = Im [G(j)] (6)
Ad.4
Wasnoci ukadów liniowych mona opisa nie tylko za pomoc równa lub transmitancji, lecz równie za pomoc charakterystyk czasowych, a wic przebiegów w czasie odpowiedzi ukadu na pewne typowe wymuszenie.Za wymuszenie takie przyjto skok jednostkowy 1(t) i jego pochodn wzgldem czasu, zwan impulsem Diraca (t). Jeeli wymuszenie x(t) , dziaajce na wejciu ukadu , ma posta skoku jednostkowego x(t) = 1(t) , to odpowied y(t) nazywamy charakterystyk skokow ukadu i oznaczamy h(t). Jeeli sygna wejciowy ukadu stanowi impuls Diraca ( x(t)=(t) ), to przebieg y(t) nazywamy charakterystyk impulsow i oznaczamy przez g(t).
Ad.5
X(t) = Ax(t) + Bu(t) - równanie stanu (7)
y(t) = Cx(t) + Du(t) - równanie wyjcia (8)
gdzie : A - macierz stanu
B - macierz wejciowa
C - równanie stanu
D - równanie wyjcia
x(t) - wektor stanu
y(t) - wektor wejciowy
u(t) - wektor wyjciowy
Model dyskretny w przestrzeni stanu (liniowy)
x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) - równanie stanu (9)
y(k) = Cx(k) + Du(k) - równanie wyjcia (10)
3. Przebieg wiczenia
Rys. 2 Schemat blokowy obiektu
Obiekt nieliniowy
SS DTF
SR TR TF DSS DTR DSR
Rys. 3 Kombinacje przej sygnaów dyskretnych i cigych
SR- odpowied skokowa
TR- odpowied impulsowa
TF- transformata funkcji
DTR- dyskretna odpowied impulsowa
DSR- dyskretna odpowied skokowa
DTF- dyskretna transformata funkcji
Przy badaniu ukadów nieliniowych wskazane jest dokonanie linearyzacji , gdy anliza wasnoci na podstawie równania liniowego jest duo prostsza.
Przejcie SS TF
» [A,B,C,D]=linmod('obiekt') % linearyzacja
A = -2.0000 -3.0000
1.0000 0
B = 1
0
C = 0 2.0000
D = 0
eig(A) % wasnoci wasne macierzy
ans =
-1.0000 + 1.4142i
-1.0000 - 1.4142i
» [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) % wyznaczenie wektora mianownika i licznika
num =
0 0 2.0000
den =
1.0000 2.0000 3.0000
printsys(num,den) % zapis transmitancji naszego obiektu
num/den =
2
-------------
s^2 + 2 s + 3
» roots(den) % wyliczenie pierwiastków
ans =
-1.0000 + 1.4142i
-1.0000 - 1.4142i
Obliczamy odwrotne przejcie ( TF SS )
[A1,B1,C1,D1]=tf2ss(num,den)
A1 =
-2.0000 -3.0000
1.0000 0
B1 =
1
0
C1 =
0 2.0000
D1 =
0
Wniosek :
A-macierz stanu , B- macierz wyjciowa ,C- macierz wejciowa , D- skalar
Ukad jest rzdu drugiego . Zapis równania rónicowego dla danego ukadu :
x1(t) = -2x1(t) -3 x2(t) + u(t)
x2(t) = x1(t)
y(t) = 2x2(t)
Obiekt ma charakter oscylacyjny, a pierwiastki mianownika takie same co wartoci wasne. Poniewa pierwiastki równania charakterystycznego le po lewej stronie granicy stabilnoci wic obiekt jest stabilny ( Re < 0). Przy odwrotnym przejciu ( tzn. TF - SS) wartoci ABCD takie same jak przy przejciu SS - TF.
Model dyskretny :
[Ad,Bd,Cd,Dd]=dlinmod('obiekt',0.1) % linearyzacja
Ad =
0.8056 -0.2705
0.0902 0.9860
Bd =
0.0902
0.0047
Cd =
0 2.0000
Dd =
0
» eig(Ad)
ans =
0.8958 + 0.1275i
0.8958 - 0.1275i
» abs(ans)
ans =
0.9048
0.9048
» [numd,dend]=ss2tf(Ad,Bd,Cd,Dd)
numd =
0 0.0093 0.0087
dend =
1.0000 -1.7916 0.8187
» printsys(numd,dend,'z')
num/den =
0.009342 z + 0.008739
----------------------
z^2 - 1.792 z + 0.8187
» roots(dend) % bieguny
ans =
0.8958 + 0.1275i
0.8958 - 0.1275i
Przejcie DTF DSSS
[Ad1,Bd1,Cd1,Dd1]=tf2ss(numd,dend)
Ad1 =
1.7916 -0.8187
1.0000 0
Bd1 =
1
0
Cd1 =
0.0093 0.0087
Dd1 =
0
Przejcie SS DSS
[Ad2,Bd2,Cd2,Dd2]=c2dm(A,B,C,D,0.1,'zoh')
Ad2 =
0.8056 -0.2705
0.0902 0.9860
Bd2 =
0.0902
0.0047
Cd2 =
0 2.0000
Dd2 =
0
Wniosek :
Równanie rónicowe ukadu :
x1(k+1) = 0.8056x1(k) -0,2705 x2(k) + u(k)
x2(k+1) = 0,0902x1(k) + 0,986x2(k)
y(k) = 2 x2(k)
Wyliczone wartoci Ad Ad1 Ad2 ....przy kadym przejciu s róne jedynie s taki same wasnoci wasne co wskazuje na tak sam dynamik. Obiekt jest stabilny (poniewa wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego le wewntrz okrgu jednostkowego
zk < 1).
CHARAKTERYSTYKI CZASOWE :
Przejcie DSR SS
» dstep(Ad,Bd,Cd,Dd)
Rys. 4 Odpowied skokowa
tf2zp- przejcie z transmitacji na opis zer i biegunów
[z,p,k]=tf2zp(num,den)
z =
[]
p =
-1.0000 + 1.4142i % pierwiastki
-1.0000 - 1.4142i
k =
2.0000
pzmap(p,z) % rysowanie na paszczynie zespolonej zer i biegunów
» pzmap(numd,dend)
Rys. 5 Charakterystyka rozmieszczenia zer i biegunów
Charakterystyki czstotliwociowe :
» bode(num,den)
a)
b)
Rys.6 Charakterystyka logarytmiczna : a) amplitudowa, b) fazowa
nyquist(num,den)
Rys.7 Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Charakterystyki czstotliwociowe dla ukadu dyskretnego :
» dbode(numd,dend,0.1)
a)
b)
Rys.8 Charakterystyki logarytmiczne : a) amplitudowa , b) fazowa
» dnyquist(numd,dend,0.1)
Rys.9 Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Wniosek :
Charakterystyki logarytmiczne obiektu dyskretnego i cigego potwierdzaj stabilno w obu przypadkach (ukad jest stabilny jeeli logarytmiczna charakterystyka amplitudowa ukadu otwartego posiada warto ujemn dla pulsacji odpowiadajcej przesuniciu fazowemu -).