Całkowita energia elektronu w stanie podstawowym wynosi −13,6 eV. Potraktujmy go jako klasyczną cząstkę, obiegającą proton po orbicie kołowej. Wyznacz promień tej orbity, energię potencjalną i kinetyczną oraz prędkość elektronu.
Zapis danych
| E1 = −13,6 eV | energia elektronu w atomie wodoru w stanie podstawowym |
|---|---|
| r = ? | promień orbity elektronu (tzw. promień Bohra) |
| Ek = ? | energia kinetyczna elektronu |
| Ep = ? | energia potencjalna elektronu |
| v = ? | prędkość elektronu |
Z tablic:
| c = 1,6·10−19 C | ładunek elektronu |
|---|---|
| me = 9,1·10−31 kg | masa elektronu |
| ε0 = 8,8·10−12 Fm−1 | przenikalność elektryczna próżni |
Zakładamy, że elektron porusza się dokoła jądra (protonu) po okręgu. To oznacza, że siła elektryczna działająca pomiędzy nimi spełnia rolę siły dośrodkowej.
Na całkowitą energię elektronu składa się energia kinetyczna i potencjalna elektrostatyczna, która ma wartość ujemną, ze względu na przyciąganie elektronu i protonu.
Otrzymamy dwa równania z dwiema niewiadomymi – prędkością elektronu i jego odległością od jądra.
Potrzebne wzory
Siła elektryczna między elektronem a protonem:
Fel=ke2r2=14πϵ0e2r2.
Siła dośrodkowa w ruchu jednostajnym po okręgu:
Fd=mv2r.
Energia kinetyczna:
Ek=12mv2.
Energia potencjalna elektrostatyczna:
Ep=ke2r=14πϵ0e2r.
Oznaczenia są wyjaśnione przy zapisie danych.
naliza
Całkowita energia elektronu składa się z energii kinetycznej i potencjalnej. Energia potencjalna wynika z oddziaływania elektrostatycznego między elektronem a jądrem (protonem). Energia ta zależy od ładunku obu cząstek i ich odległości (promienia orbity elektronu), a ponieważ obie cząstki się przyciągają (mają przeciwne znaki ładunku), jest ujemna.
Energia kinetyczna zależy od szybkości. Prędkość elektronu musi być tak duża, aby siła przyciągania elektrostatycznego ze strony jądra została zrównoważona przez siłę odśrodkową. Z porównania tych dwóch sił określimy prędkość elektronu w funkcji odległości.
W ten sposób całkowita energia będzie wyrażona już tylko poprzez jedną niewiadomą – promień orbity, który będziemy mogli określić i wykorzystać w dalszych obliczeniach.
Rozwiązanie
Całkowita energia E to suma energii kinetycznej Ek i potencjalnej Ep, przy czym przez potencjalną rozumiemy elektrostatyczną:
E=Ek+Ep=12mev2−ke2r.
Prędkość elektronu musi być taka, aby siła elektryczna Fe przyciągania jądra spełniała rolę siły dośrodkowej Fd:
Fe=Fd,
ke2r=mev2r.
Stąd wyznaczymy prędkość v
v2=ke2mer
i podstawimy do wzoru na energię całkowitą E
E=12meke2mer−ke2r=−ke22r.
Wyznaczymy szukany promień r:
r=−ke22E=−e28πϵ0E1
i podstawimy znane wielkości, za energię całkowitą E podstawimy energię elektronu w stanie podstawowym E1, którą przeliczymy na dżule:
r=−(1,6⋅10−19)28π⋅8,8⋅10−12⋅(−13,6⋅1,6⋅10−19)m=5,3⋅10−11m.
Energia potencjalna Ep elektronu wynosi
Ep=−ke2r=−ke2−ke22E1=2E1=−27,2eV.
Energię kinetyczną Ek elektronu określimy najprościej ze wzoru na energię całkowitą
E1=Ek+Ep
Ek=E1−Ep=E1−2E1=−E1=13,6eV
a prędkość ze wzoru na energię kinetyczną
Ek=12mev2⇒v=2Ekme−−−−√=−2E1me−−−−−√
v=−2⋅(−13,6⋅1,6⋅10−19)9,1⋅10−31−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷ms−1=1,5⋅106ms−1.
Odpowiedź
Gdybyśmy na atom wodoru patrzyli w sposób klasyczny, promień orbity elektronu w stanie podstawowym wynosiłby 5,3 · 10−11 m (co odpowiada wartości tzw. promienia Bohra podawanej w tablicach), jego energia potencjalna miałaby wartość −27,2 eV, kinetyczna 13,6 eV, a prędkość 1500 km s−1.