TRÓJKĄTY

PODOBIEŃSTWO TRÓJKĄTÓW:

Cechy podobieństwa trójkątów, to warunki konieczne i wystarczające na to, aby dwa trójkąty były podobne. Podobieństwo trójkątów oznaczamy symbolem ~.

I cecha podobieństwa trójkątów

b′b=a′a=c′c=k
k - skala podobieństwa
ΔABC ~ ΔA'B'C'


Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.

II cecha podobieństwa trójkątów

α = α'
β = β'
ΔABC ~ ΔA'B'C'


Jeżeli miary dwóch kątów jednego trójkąta są równe miarom odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.

III cecha podobieństwa trójkątów

α = α'
b′b=a′a
ΔABC ~ ΔA'B'C'


Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne.

SUMA KĄTÓW W TRÓJKĄCIE: 180°

POLE TRÓJKĄTA: P=ah/2 (a-podstawa, h-wysokość trójkąta rzucona na tę podstawę)

TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY: ma wszystkie boki równe i kąty równe.

h=a√3/2 P=a²√3/4

TRÓJKĄT RÓWNORAMIENNY: kąty przy podstawie (pomiędzy ramieniem, a podstawą) są sobie równe.

KĄTY NAPRZEMIANLEGŁE: α = β

KATY ODPOWIADAJĄCE: k||l

WYSOKOŚĆ TRÓJKĄTA: jest to odcinek opuszczony z wierzchołka na bok leżący naprzeciw niego, pod kątem prostym do boku.

ZALEŻNOŚCI MIĘDZY BOKAMI W TRÓJKĄCIE:

a+b<c a+c<b b+c<a

TWIERDZENIE PITAGORASA:

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

TWIERDZENIE ODWROTNE DO PITAGORASA:

Jeśli dane są trzy dodatnie liczby i takie, że , to istnieje trójkąt o bokach długości i a kąt między bokami o długości i jest prosty.

c - przeciwprostokątna (najdłuższy bok)

a,b – przyprostokątne

kąt półpełny = 180°

kąt pełny = 360°

PODOBIEŃSTWO TRÓJKĄTÓW:

Zad.1. Sprawdź czy trójkąty są podobne.

a) b)

c) d)

Zad.2. Trójkąt o bokach 2, 5, 6 jest podobny do trójkąta, którego najkrótszy bok wynosi 8. Oblicz pozostałe boki tego trójkąta.

Zad.3. Znajdź długości odcinków, jeżeli odcinki CB i ED sa równoległe.

a) b) c)

Zad.4. W słoneczny dzień chłopiec o wzroście 1,6 m rzuca cień o długości 2m. Oblicz wysokość drzewa, które rzuca cień o długości 12 m.

Zad.5. Na rysunku prosta k przechodzi przez punkt A(12,-3). Wiedząc, że stosunek pól obu zakreskowanych trójkątów jest równy 4 oblicz sumę pól tych trójkątów.

KĄTY W TRÓJKĄCIE:

Zad.6. Oblicz nieznane miary kątów w trójkącie.

a) b) c)

Zad.7. Poniżej narysowano trójkąty równoramienne. Oblicz miary ich kątów.

a) b) c)

POLE TRÓJKĄTA:

Zad.8. W trójkącie ABC są dane : AB = √2 cm, AC = √3 cm, kąt ACB = 45°. Oblicz pole tego trójkąta.

Zad.9. W trójkącie prostokątnym dane są przyprostokątne o długościach 3 cm i 5 cm. Oblicz długość wysokości tego trójkąta poprowadzonej na przeciwprostokątną.

Zad.10. Przekątne równoległoboku ABCD przecinają się pod kątem 60°, a ich długości są równe 2 cm i 6 cm. Oblicz pole tego równoległoboku.

Zad.11. Oblicz wysokość trójkąta równobocznego o boku:

a) 12 cm b) 5 cm c) √3 cm d) √6 cm

Zad.12. Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku:

a) 10 cm b) 8 cm

Zad.13. Pole trójkąta równobocznego, którego wysokość jest o 1cm krótsza od boku, jest równe:

a) (3+2√3) cm² b) 4(2+√3) cm² c) 7cm² d) (12+7√3) cm²

TWIERDZENIE PITAGORASA:

Zad.14. Oblicz obwód i pole trójkąta, w którym przekątna ma długość 8 cm, a krótszy bok 4 cm.

Zad.15. Wierzchołkami trójkąta ABC są punkty A(-3,-4) , B(-2,1) , C(3,0)

a) sprawdź, że |AB| = |BC| b) uzasadnij, że kąt ABC jest kątem prostym.

Zad.16. Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC| = 17 i |BC| = 10. Na boku AB leży punkt D, talki że |AD|:|DB| = 3:4 oraz |DC| = 10. Oblicz pole trójkąta ABC.

TWIERDZENIE ODWROTNE DO PITAGORASA:

Zad.17. Sprawdź, czy trójkąt o danych długościach boków jest prostokątny, ostrokątny czy rozwartokątny

a) 2 cm, 3 cm, 4 cm b) 30 cm, 40 cm, 60 cm c) 9 cm , 2√3, √69

d) 10 cm, 11 cm , 12 cm e) 2√2, 2√3, 3√3